Probabilidades - 9º ano
Elaborado por Sandra Coelho
Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem
que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e
colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente
nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30
pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi
interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma
correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a
situação. Essa correspondência marca o início da Teoria
das Probabilidades.
Fermat
Pascal
A importância das probabilidades na sociedade
METEREOLOGIA
É pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta
paga mais seguro?
JOGOS
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
Termos e conceitos
Experiência
• Lançamento de uma moeda
• Lançamento de um dado
• Totoloto
• Estado do tempo para a semana
• Extracção de uma carta
• Tempo que uma lâmpada irá durar
À partida o resultado é
desconhecido
• Furar um balão cheio
• Deixar cair um prego
num copo de água
• Calcular a área de
quadrado de lado 9 cm
À partida já conhecemos
o resultado
Termos e conceitos
Espaço de Resultados ou Espaço Amostral
Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3,
... ,47, 48, 49 }
Termos e conceitos
Acontecimentos
Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento A: “Sair um nº par”
A = { 2, 4, 6 }
Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”
B = { 3, 4, 5, 6 }
Termos e conceitos
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento
ELEMENTAR
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
COMPOSTO
B: “ Sair o nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um
elemento
Termos e conceitos
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço Amostral = S = { R, T, D, P }
Acontecimento
IMPOSSÍVEL
“ Sair a letra X ”
POSSÍVEL
“ Sair a letra T ”
CERTO
“ Sair uma
consoante ”
Modos de definir probabilidade de um acontecimento
Definição clássica de probabilidade
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso
S = { F, V }
Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?
Número de casos favoráveis
P F  
Número de casos possíveis
Nº casos favoráveis = 1
Nº casos possíveis = 2
1
PF    0,5  50%
2
Atenção!!! A regra de Laplace só é aplicável quando os acontecimentos elementares têm a mesma
probabilidade
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos:
1) A: “ Sair o número 5 “
nº de casos favoráveis 1
P  A 

nº de casos possíveis 6
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
B = { 3, 4, 5, 6 }
Nº casos favoráveis = 4
Nº casos possíveis = 6
Só há uma
face “5”
Um dado
tem 6 faces
4 2
P B   
6 3
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
Qual é o espaço de resultados?
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5) (1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5) (2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5) (3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5) (4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5) (5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5) (6,6)
Qual é a probabilidade de sair dois números
maiores que 4?
4 1
P

36 9
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma
entrada, um prato e uma sobremesa?
Entrada
:
 Sopa
 Canja
Prato:
 Arroz
de
Entrada
A
S
frango
 Bife grelhado
 Lampreia
Sobremesa:
 Fruta da época
 Pudim
B
L
A
C
12 refeições
diferentes!
Prato
B
L
Sobremesa
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
Refeição
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,F )
( S,L,P )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
Cálculo de Probabilidades
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de
comer arroz ou fruta?
8 2
P
Entrada
Prato
A
S
B
L
A
C
B
L
Sobremesa
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
Refeição
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,F )
( S,L,P )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12

3
Qual é a probabilidade
de não comer
Lampreia nem Pudim?
4 1
P

12 3
Como determinar a probabilidade de um
acontecimento a partir da experiência

Lançamento de um dado perfeito 100
vezes
Frequência absoluta ou
efectivo de um
acontecimento é o
número de vezes que
esse acontecimento se
verifica
Frequência absoluta ou
efectivo




E se o número de efectivos aumentar?
Vamos investigar o que se passa:
* lançando o dado perfeito um maior nº de vezes.
* comparando os resultados obtidos
Frequência relativa de um
acontecimento é o
quociente entre a frequência
absoluta e o nº total de
observações.
Lei dos grandes números
Esta experiência entre outras confirmam
a LEI DOS GRANDES NÚMEROS:
 Para um grande nº de experiências a
frequência relativa de um
acontecimento A é um valor aproximado
da sua probabilidade: p(A)= Frequência
relativa de A
Conclusão



Se numa experiência aleatória os resultados
se prevêem equiprováveis, podes determinar
a probabilidade de um acontecimento:
Previamente (antes de realizar a experiência),
aplicando a Lei de Laplace.
Empiricamente (realizando a experiência),
aplicando a Lei dos Grandes Números.