Probabilidades
Introdução
IESDE Brasil S.A.
De acordo com um estudo realizado pelo IBGE (Instituto Brasileiro de Ge­
ografia e Estatística), a quantidade de mulheres no Brasil é maior que a de
homens. As informações de 2007 destacam que existem 95,3 homens para
cada grupo de 100 mulheres.
Os dados expostos nesse levantamento têm consequências sociais rela­
cionadas ao trabalho, à família, à educação e a muitos outros temas impor­
tantes.
Evidentemente, essa “desproporção” de mulheres em relação à quantida­
de de homens varia de acordo com a região. Segundo estudiosos em de­
mografia, a quantidade de homens é maior no interior dos estados, onde as
atividades ligadas à agricultura são mais exploradas. Já nos grandes centros
urbanos, a mortalidade masculina, tanto infantil quanto adulta, é maior do
que a feminina, principal razão pela qual a quantidade de mulheres é maior
nessas áreas.
Observe uma interessante tabela que apresenta a quantidade de homens
para cada grupo de 100 mulheres em algumas grandes cidades brasileiras
no ano de 2007:
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Probabilidades
Curitiba
Porto Alegre
Belo Horizonte
São Paulo
Salvador
Fortaleza
Belém
Rio de Janeiro
Recife
95,3
93,3
93,1
91,0
90,7
89,1
89,1
88,5
87,8
Fonte: IBGE
Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100
mulheres (IBGE)
Fonte: IBGE
Com o auxílio dessa tabela é possível calcular o percentual de homens em
Recife, por exemplo. Em outras palavras, ao se escolher uma pessoa ao acaso
em Recife, a tabela permite calcular a probabilidade de essa pessoa ser um
homem.
As probabilidades são designadas por eventos. Entre as informações an­
teriores, alguns eventos seriam “uma mulher em Recife” ou “um homem em
Porto Alegre”. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode
ser expressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcen­
tagem, por um número de 0% a 100%.
A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois
a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento im­
possível ocorrer é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Barry
White reaparecer e cantar a música “You’re the first, the last, my everything”
é 0 ou 0%.
A figura a seguir apresenta algumas designações possíveis de eventos e
suas correspondentes probabilidades:
248
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Probabilidades
certo
1 a 100%
provável
chances iguais
0,5 a 50%
improvável
impossível
0 a 0%
Antes de definir o conceito de probabilidade, fique atento às próximas ideias
relacionadas à probabilidade.
Espaço amostral e evento aleatório
Dado um experimento, o conjunto formado por todos os seus resultados
possíveis é denominado espaço amostral. Denotando por S o espaço amos­
tral no lançamento de um dado, temos que:
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6 }
Quando realizamos um experimento, geralmente estamos em busca de
alguns resultados de nosso interesse. Esses resultados constituem o que de­
nominamos evento. Mais formalmente, evento é qualquer subconjunto do
espaço amostral.
Por exemplo, o evento A formado pelos resultados pares do dado é o sub­
conjunto A = {2; 4; 6} contido em S. Outros exemplos de eventos no lança­
mento de um dado seriam B = {1; 3; 5}, correspondendo aos números ímpa­
res; C = {1}, aos números menores que 2, ou D= {3;6}, aos números múltiplos
de 3.
Dessa forma, enquanto que espaço amostral é o conjunto formado por
todos os resultados possíveis de um experimento, evento é qualquer sub­
249
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Probabilidades
conjunto do espaço amostral.
Como podemos calcular a probabilidade de o resultado do lançamento
de um dado comum ser par, por exemplo?
A probabilidade de o resultado ser par é obtida dividindo o número de
elementos do evento A (apenas os pares) pelo número de elementos do
espaço amostral (todos os números), ou seja:
n (A) 3 1
= = = 0,50 = 50%
p(A) =
n (S) 6 2
Como se observa, o conceito de probabilidade baseia-se em uma opera­
ção de divisão.
Probabilidade de um evento
A probabilidade de ocorrer um evento A, contido em um espaço amostral
S, é o número real dado por:
n (A)
p(A) =
n (S)
ou
número de resultados favoráveis
p(A) =
número de resultados possíveis
Exemplo 1:
Considerando um experimento aleatório que consiste no lançamento de
duas moedas, qual a probabilidade de as duas moedas apresentarem faces
iguais?
O espaço amostral do experimento, conjunto formado por todos os resul­
tados possíveis do experimento, é dado por:
S = {(Ca, Ca); (Ca, Co); (Co, Ca); (Co, Co)}
O evento A formado pelos resultados que apresentam duas faces iguais
é dado por:
A = {(Ca, Ca); (Co, Co)}
Logo, a probabilidade de se obter duas faces iguais no lançamento de
250
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Probabilidades
duas moedas comuns é igual a:
2 1
p(A) = = = 0,50 = 50%
4 2
Exemplo 2:
Considere novamente a tabela e responda:
Curitiba
95,3
Porto Alegre
93,3
Belo Horizonte
93,1
São Paulo
91,0
Salvador
90,7
Fortaleza
89,1
Belém
89,1
Rio de janeiro
88,5
Recife
87,8
Fonte: IBGE
Homem x Mulher: quantidade de homens para cada grupo de 100
mulheres (IBGE)
a) Escolhida uma pessoa ao acaso em Recife, calcule a probabilidade de
ser um homem.
Em Recife existem 87,8 homens para cada grupo de 100 mulheres.
Então, devido à proporção, pode-se considerar a quantidade de elemen­
tos do espaço amostral como sendo a soma 87,8 + 100 = 187,8. Dessa forma,
a probabilidade de se obter um homem, na escolha de uma pessoa ao acaso,
é igual a:
número de homens em Recife 87,8
=
0,468 = 46,8%
p(homem em Recife) =
número de pessoas em Recife 187,8
Conclusão: os dados indicam que 46,8% das pessoas de Recife são do
sexo masculino.
b) Qual é o percentual de mulheres em Curitiba?
Em Curitiba existem 95,3 homens para cada grupo de 100 mulheres.
Logo, o percentual de mulheres em Curitiba é igual a:
número de mulheres em Curitiba 100
=
0,512 = 51,2%
p(mulher em Curitiba) =
número de pessoas em Curitiba 195,3
251
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Probabilidades
Exemplo 3:
Existem 4 200 estudantes em um colégio. O gráfico de setores a seguir
apresenta a distribuição das preferências de profissões entre os alunos. Se
um aluno desse colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de pre­
ferir Direito?
630
1764
Medicina
Direito
840
Engenharia
Outros
966
A probabilidade de escolher ao acaso um aluno que prefere o curso de
Direito, denotada por P(D), é dada por:
número de alunos que preferem Direito
p(D) =
número total de alunos do colégio
966
23
=
= 0,23 = 23%
p(D) =
4 200 100
Portanto, 23% dos alunos do colégio preferem o curso de Direito.
Exemplo 4:
Considere um baralho comum, composto de 52 cartas, sendo 13 delas de
espadas ( ).
Thinkstock.
a) Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a proba­
bilidade de ser uma carta de espadas?
252
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Probabilidades
Todas as cartas têm a mesma probabilidade de serem escolhidas. Logo, a
probabilidade de a carta retirada ser de espadas é dada por:
número de cartas de espada
p(espadas) =
número de cartas do baralho
13 1
= = 0,25 = 25%
p(espadas) =
52 4
b) E qual a probabilidade de não ser de espadas?
Se, das 52 cartas, 13 são de espadas, então as 39 restantes não são de
espadas. Assim, a probabilidade de a carta não ser uma figura é P(não de
39
espadas) =
.
52
No exemplo anterior, observe que:
13 39 52
+
=
= 1.
52 52 52
Isso ocorre sempre que dois eventos são complementares.
P(espadas) + P(não de espadas) =
Exemplo 5:
Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis
devem ser colocadas no saco, de modo que a probabilidade de retirarmos do
mesmo, aleatoriamente, uma bola azul seja 2/3?
O saco contém 20 bolas no total, todas não azuis. Se acrescentarmos x
bolas azuis, o saco ficará com (20 + x) bolas no total. Se na retirada a pro­
babilidade de ocorrer uma bola azul deve ser 2/3, então x deve satisfazer a
equação:
P(Azul) =
ou
2
3
x
2
=
20 + x 3
Resolvendo, temos:
3x = 40 + 2x
x = 40
Logo, devem ser colocadas 40 bolas azuis.
253
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Probabilidades
Exemplo 6:
Observe o hexágono regular representado na figura:
Escolhendo-se aleatoriamente três vértices do hexágono anterior, qual a
probabilidade de ser formado um triângulo equilátero?
O total de maneiras de escolhermos três vértices do hexágono é C63 = 20
Para que seja formado um triângulo equilátero, temos as duas possibili­
dades representadas a seguir:
Assim, a probabilidade do triângulo formado ser equilátero é igual a
2
1
P=
=
= 0,10 = 10%
20 10
Eventos complementares
Se A é um evento qualquer, designamos o evento complementar de A
por A.
Dois eventos A e A são complementares em relação ao mesmo espaço
amostral S, quando A A = e A A = S.
Para ilustrar, observe no diagrama os eventos A e A de um espaço amos­
tral S:
254
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Probabilidades
S
A
A
Considere um espaço amostral S, finito e não vazio, e um evento A
S.
Sendo n(A) o número de resultados do evento A, podemos escrever
n(A) + n(A) = n(S) dividindo todos os termos por n(S):
n(A) n(A) n(S)
+
=
n(S) n(S) n(S)
Substituindo as probabilidades correspondentes, temos:
P(A) + P(A) = 1
Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares é
sempre igual a 1.
Observação:
Se os eventos A e A são complementares, então A é complementar de A
e, analogamente, A é complementar de A. Assim, a relação anterior permi­
te calcular a probabilidade de um deles, conhecendo-se a probabilidade do
outro.
Exemplo 1:
Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara é o
dobro de ocorrer coroa. Lançando essa moeda uma única vez, qual a proba­
bilidade de ocorrer cara?
Considere que a probabilidade de ocorrer coroa seja x, P(Co) = x. Dessa
forma, a probabilidade de ocorrer cara será 2x, ou seja, P(Ca) = 2x. Como os
dois eventos são complementares, podemos escrever:
P(Ca) + P(Co) = 1
2x + x = 1
3x = 1
255
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Probabilidades
x = 1/3
Logo, a probabilidade de ocorrer cara é 1/3 0,3333 = 33,33%.
Exemplo 2:
Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos alunos é apresentada
no gráfico:
6
5
4
3
2
1
0
16
17
18
19
20
21
No eixo horizontal são apresentadas as idades dos alunos e no eixo verti­
cal o número de alunos correspondente a cada idade.
Com base nos dados do gráfico, determine:
a) O número total de alunos do curso.
O número total de alunos do curso pode ser obtido somando a quantida­
de de alunos em cada categoria de idade. Assim, o número total de alunos
é igual a:
4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20 alunos
b) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser de,
no mínimo, 18 anos?
Ter no mínimo 18 anos é ter 18, 19, 20 ou 21 anos. Existem 3 + 1 + 2 + 5 = 11
alunos com no mínimo 18 anos. Logo, a probabilidade de um aluno escolhi­
do ao acaso ter no mínimo 18 anos é igual a:
P = 11/20 = 0,55 = 55%.
c) Escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade de sua idade ser 17
anos ou menos?
Os alunos que têm 17 anos ou menos são os que têm 17 ou 16 anos. Exis­
256
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Probabilidades
tem 9 alunos com 17 anos ou menos. Portanto, a probabilidade de um aluno
escolhido ao acaso ter 17 anos ou menos é igual a:
P = 9/20 = 0,45 = 45%
Pode-se observar que os eventos “ter no mínimo 18 anos” e “ter 17 anos
ou menos” são complementares e, por isso, a soma das probabilidades resul­
ta 100% (55% + 45%).
Probabilidade da união de eventos
Um baralho comum é constituído por 52 cartas distintas:
Ace
2
3
4
5
6
7
8
9
T
Jack
Queen
King
Clubs
Dia­
monds:
Hearts:
Spades:
Das 52 cartas, 12 são figuras:
{K , K , K , K , Q , Q , Q , Q , J , J , J , J }
As 40 cartas restantes não são figuras. Suponha que uma carta seja esco­
lhida ao acaso de um baralho completo. Considere os seguintes eventos:
• A: a carta é uma figura
• A: a carta não é uma figura
A probabilidade de a carta escolhida ser uma figura é igual a:
12
p(A) =
52
A probabilidade de a carta escolhida não ser uma figura é:
257
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Probabilidades
40
52
Observe que os eventos são complementares:
12 40 52
+
+
=1
p(A) + p(A) =
52 52 52
Exemplo:
p(A) =
Num colégio existem 1 500 alunos, sendo que exatamente 600 encon­
tram-se no Ensino Médio. Os demais são alunos do Ensino Fundamental. Se
um aluno do colégio é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ser do
Ensino Médio? E qual a probabilidade de ser do Ensino Fundamental? O que
podemos dizer sobre esses eventos?
Existem 1 500 alunos, sendo 600 do Ensino Médio e 900 do Ensino Fun­
damental. Logo, a probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Médio
é igual a:
600
= 0,40
p(Médio) =
1 500
A probabilidade de o aluno escolhido ser do Ensino Fundamental é igual a:
900
= 0,60
p(Fundamental) =
1 500
Os eventos são complementares e, portanto, verificam a condição:
p(Médio) + p(Fundamental) = 0,40 + 0,60 = 1
Retornando ao cálculo de probabilidades com o auxílio de um baralho,
vamos considerar a seguinte situação:
Retirando uma carta ao acaso de um baralho comum, qual a probabilida­
de de ser uma figura ou uma carta de copas?
Um baralho possui 12 figuras e 13 cartas de copas entre suas 52 cartas.
Como estamos interessados nas figuras ou nas cartas de copas – podendo
ser ambas – começaremos adicionando as probabilidades correspondentes:
12 13
+
p(figura) + p(copas) =
52 52
Entretanto, existem 3 cartas que são simultaneamente figuras e de copas:
258
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Probabilidades
12 figuras
K
K
Q
J
13 de Copas
K
Q
A
2
Q
K
3
4
J
Q
5
6
J
7
8
9
10
J
3 figuras de copas
Portanto, não encontraremos a resposta simplesmente adicionando as
probabilidades. Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as
figuras quanto entre as de copas, é preciso subtrair a probabilidade de a carta
retirada ser uma figura de copas.
A probabilidade de a carta ser uma figura de copas é igual a:
3
p(figura de copas) =
52
Logo, a probabilidade de a carta ser uma figura ou de copas é:
12 13 3
+
–
p(figura de copas) =
52 52 52
12 + 13 – 3 22
=
p(figura de copas) =
52
52
O resultado mostra que, das 52 cartas do baralho, exatamente 22 delas
são figuras ou de copas, pois 22 = 12 + 13 – 3
Esse exemplo ilustrou o cálculo da probabilidade da união de dois
eventos:
Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral A, a probabilida­
de do evento A B é igual à probabilidade do evento A, adicionada à proba­
bilidade do evento B, subtraída da probabilidade do evento A B:
p(A
B) = p(A) + p(B) – p(A
B)
259
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Probabilidades
Podemos provar a validade dessa relação para quaisquer eventos A e B de
um mesmo espaço amostral S. Da teoria dos conjuntos, podemos escrever:
n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A
B)
Dividindo todos os termos por n(S), temos:
n(A B) n(A) n(B) n(A B)
=
+
–
n(S)
n(S) n(S)
n(S)
Substituindo as probabilidades correspondentes, temos:
p(A
B) = p(A) + p(B) – p(A
B)
De forma equivalente, podemos também utilizar algumas palavras con­
venientes em substituição das operações entre conjuntos:
p(A ou B) = p(A) + p(B) – p(A e B)
Nesse caso é conveniente lembrar que “A ou B” significa a ocorrência de
pelo menos um dos eventos, ou seja, ocorrer A, ocorrer B ou ocorrer ambos.
Exemplo:
Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Se retirarmos uma
bola aleatoriamente dessa urna, qual a probabilidade dela conter um número
múltiplo de 2 ou de 5?
Evento A: múltiplos de 2
A = {2; 4; 6; ...; 100}
50 múltiplos de 2
Evento B: múltiplos de 5
B = {5; 10; 15; ...; 100}
20 múltiplos de 5
Evento A
B: múltiplos de 10 (2 e 5)
B = {10; 20; ...; 100}
A
Probabilidade de A
10 múltiplos de 10
B:
B) = p(A) + p(B) – p(A B)
50
20 10
60
+
–
=
= 0,60 = 60%
p(A B) =
100 100 100 100
A probabilidade da união de dois eventos pode ser simplificada nos casos
em que os eventos não apresentam elementos comuns.
p(A
260
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Probabilidades
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é impossível ocorrerem
simultaneamente. Isto é, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, se
A B= .
S
A
B
No lançamento de um dado comum, por exemplo, os eventos A: “o número
observado é maior que 4” e B: “o número observado é menor que 3” são mutu­
amente exclusivos:
A = {5; 6} e B = {1; 2}
A
B=
Observe que dois eventos mutuamente exclusivos não apresentam resul­
tados comuns. Dessa forma, se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusi­
vos, a probabilidade de ocorrer A e B é igual a zero, ou seja:
p(A
B) = 0
Consequentemente, a probabilidade de A
babilidades de A e B:
p(A
B resume-se à soma das pro­
B) = p(A) + p(B)
Se dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos, a probabilidade de
A B é igual à soma da probabilidade do evento A com a do evento B:
p(A
B) = p(A) + p(B)
Exemplo 1:
Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho, qual a proba­
bilidade de ser um rei ou uma dama?
261
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Probabilidades
Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente reis e damas.
Os eventos “ser um rei” e “ser uma dama” são, portanto, mutuamente exclusi­
vos. Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho, a probabili­
dade de a carta retirada ser um rei ou uma dama é a soma das probabilidades
individuais de cada evento:
p(rei ou dama) = p(rei) + p(dama)
4
4
+
52 52
8
2
+
15,38%
p(rei ou dama) =
52 13
Logo, a probabilidade é aproximadamente igual a 15,38%.
p(rei ou dama) =
Exemplo 2:
A tabela apresenta os resultados de uma pesquisa, realizada em um co­
légio, quanto à preferência dos alunos na modalidade de esporte praticado.
Cada aluno escolheu um único esporte.
Esporte
Atletismo
Basquete
Futebol
Natação
Vôlei
Total
Quantidade de alunos
15
30
65
25
35
170
Escolhendo ao acaso um aluno que tenha participado da pesquisa,
responda:
a) Qual a probabilidade de preferir futebol?
A probabilidade de preferir futebol é igual a:
65 13
=
0,3824 = 38,24%
170 34
b) Qual a probabilidade de preferir atletismo ou vôlei?
p(futebol) =
A probabilidade de preferir atletismo ou vôlei é igual a:
p(atletismo ou vôlei) = p(atletismo) + p(vôlei)
262
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Probabilidades
p(atletismo ou vôlei) =
15
35
50
+
=
0,2941 = 29,41%
170 170 170
Exemplo 3:
Em um colégio, uma pesquisa tinha por objetivo saber quantos alunos
estavam matriculados em algum curso de idiomas. Essa pesquisa revelou
que 250 alunos estudavam espanhol, 430 estudavam inglês, 50 estudavam
espanhol e inglês, e 170 não estudavam idioma algum. Escolhendo aleato­
riamente um aluno que participou da pesquisa, qual a probabilidade de que
ele estude somente um dos idiomas?
Observe o diagrama a seguir:
inglês
espanhol
nenhum
380
50
200
170
Escolhendo ao acaso um aluno que participou da pesquisa, a probabili­
dade de que ele estude somente um dos idiomas é igual a:
p=
380 + 200
580 29
=
= = 0,725 = 72,5%
380 + 50 + 200 + 170 800 40
Probabilidade da intersecção de eventos
Uma das mais importantes relações da teoria das probabilidades é a pro­
babilidade da intersecção de eventos. Tanto problemas relacionados a acon­
tecimentos sucessivos quanto a simultâneos podem ser resolvidos com o
auxílio dessa ferramenta.
Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de
ocorrer A e B, indicada por p(A B), é igual à probabilidade de A multiplicada
pela probabilidade de B, dada a ocorrência de A:
p(A
B) = p(A) . p(B/A)
Observação:
Observe que p(A B) = p(B
p(A B) da seguinte maneira:
A). Assim, podemos também expressar
263
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Probabilidades
p(A
B) = p(B) . p(A/B)
Exemplo 1:
Considere um baralho comum composto por 52 cartas. Ao retirarmos uma
carta ao acaso desse baralho, qual a probabilidade de ser um rei de copas?
O baralho possui apenas um rei de copas (K ). Logo, a probabilidade é
dada por:
1
52
A probabilidade da intersecção de eventos pode ser utilizada para calcular
a probabilidade de obtermos um rei de copas. Para tanto, bastaria considerar­
mos que o rei de copas é uma carta que simultaneamente é “rei” e é “de copas”.
Observe:
p(rei de copas) =
p(rei de copas) = p(rei e copas)
p(rei de copas) = p (R e C)
Desmembrando a probabilidade da intersecção num produto, temos:
p(rei de copas) = p(R) . p(C/R)
A probabilidade de uma carta escolhida ao acaso ser um rei é igual a:
4
52
Existem 4 reis no baralho sendo que, destes, apenas um é de copas. Logo,
a probabilidade de a carta escolhida ser de copas, sabendo-se que é um rei,
é igual a:
p(R) =
1
4
Assim, podemos escrever:
p(C/R) =
4 1
.
52 4
1
p(rei de copas) =
52
O resultado mostra que podemos calcular a probabilidade desmembran­
do o evento simultâneo “rei de copas” em dois outros.
p(rei de copas) =
264
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Probabilidades
Exemplo 2:
Considere uma urna composta por 10 bolas, sendo 3 azuis e 7 brancas. Se
duas bolas forem retiradas ao acaso, sucessivamente e sem reposição, qual a
probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca?
Há na urna 10 bolas, sendo 3 azuis. Logo, a probabilidade de a primeira ser
3
azul é p(A1) = . Após a retirada da primeira bola azul, restam 9 bolas, sendo 7
10
delas brancas. Assim, a probabilidade de a segunda ser branca, dado que a pri­
7
meira foi azul, é p(B2 / A1) = .
9
Portanto, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é
dada por:
p(A1 B2) = p(A1) . p(B2 / A1)
3 7
.
10 9
7
0,2333 = 23,33%
p(A1 B2) =
30
Nesse exemplo podemos perceber que a relação da probabilidade de in­
tersecção de eventos também pode ser utilizada na resolução de problemas
relacionados a eventos sucessivos.
p(A1 B2) =
Exemplo 3:
Uma urna tem 5 bolas, sendo 3 amarelas e 2 brancas. Duas bolas são reti­
radas, aleatoriamente e sem reposição, dessa urna. Qual a probabilidade de
que ambas sejam amarelas?
p(A1 e A2) = p(A1) . p(A2 /A1)
p(A1 e A2) =
3 2
6
3
. = = = 0,30 = 30%
5 4 20 10
Exemplo 4:
O corpo docente de uma escola é formado por 4 professores de Matemá­
tica e 16 professores de outras disciplinas. Três professores serão escolhidos
ao acaso para acompanhar os alunos em uma viagem. Qual a probabilidade
de que seja escolhido exatamente um professor de Matemática?
Sendo “M” um professor de Matemática e “O” um professor de outra disci­
plina, vamos calcular a probabilidade de ocorrer o resultado MOO.
265
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Probabilidades
p(M e O e O) =
4 16 15
. .
20 19 18
Devemos agora considerar que se o sorteio se desse em outra ordem
também teríamos um professor de Matemática e dois de outras disciplinas,
ou seja, os resultados OMO e OOM também são válidos. Logo, a probabilida­
de calculada inicialmente deve ser multiplicada por 3:
p(1M e 2O) =
4 16 15
8
. . .3=
20 19 18
19
Probabilidade condicional
Considere uma pesquisa realizada com 50 estudantes de um colégio sobre
a preferência de estudo entre os cursos de Administração e Economia.
Os resultados da pesquisa encontram-se na próxima tabela:
Curso
Administração
Economia
Total
Masculino
10
5
15
Feminino
20
15
35
Total
30
20
50
Sexo
Interpretando adequadamente as informações da tabela, vamos relacio­
ná-las com o cálculo de probabilidades por meio do próximo exemplo.
Exemplo:
Escolhendo ao acaso um estudante da pesquisa, responda:
a) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino?
Sendo p(M) a probabilidade de o estudante ser do sexo masculino, p(M e A)
de o estudante ser do sexo masculino e preferir administração, e p(A/M) de
o estudante preferir administração, sabendo-se que é do sexo masculino,
temos:
15
ou p(M) = 0,30 = 30%
50
O resultado indica que 30% dos alunos são do sexo masculino.
p(M) =
b) Qual a probabilidade de ser do sexo masculino e preferir administração?
266
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Probabilidades
10
ou p (M A) = 0,20 = 20%
50
O resultado indica que 20% dos alunos são do sexo masculino e preferem
administração.
p(M e A) =
c) Sabendo-se que é do sexo masculino, qual a probabilidade de preferir
administração?
10
2
ou p (A / M) =
0,6667 = 66,67%
15
3
O resultado indica que, dos alunos do sexo masculino, 66,67% destes são
do sexo masculino.
p(A / M) =
d) O que se pode concluir dividindo o resultado do item (b) pelo do item (a)?
Vamos dividir os resultados mencionados:
10
p (M A)
10 50 10
50
=
.
=
= p(A / M)
=
15
p (M)
50 15 15
50
O quociente da divisão de p(M A) por p(M) é a resposta do item (c). Tal
relação sugere que podemos obter o valor de uma probabilidade condicio­
nal, p(A/M), dividindo a probabilidade de intersecção, p(M A), pela proba­
bilidade da condição, p(M). Quando representamos uma probabilidade por
p(A/B), estamos nos referindo à probabilidade do evento A na certeza da
ocorrência do evento B. Assim, nesse caso, o evento B é certo, enquanto o
evento A é incerto.
A probabilidade do evento A, dada a ocorrência do evento possível B, re­
presentada por p(A/B), é igual à probabilidade do evento A B dividida pela
probabilidade do evento B:
p(A / B) =
p (A B)
, p(B) 0
p (B)
É importante destacar que o cálculo de uma probabilidade condicional
é derivado de um raciocínio simples. Isto é, na probabilidade condicional
p(A/B), a condição é a ocorrência certa de B. Logo, o espaço amostral do
experimento é reduzido apenas ao evento B, que passa a ser denominador
do quociente, ou seja, p(B) é denominador. Se essa condição é certa, natu­
ralmente deve ocorrer no numerador. Portanto, o evento incerto, A, deve
ocorrer simultaneamente ao B. Assim, o numerador é p(A B). Isso explica a
fórmula da probabilidade condicional.
267
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Probabilidades
Em geral, p(A/B) não é igual a p(B/A). Isso ocorre porque, apesar de ambas
as probabilidades condicionais apresentarem o mesmo numerador, cada
uma delas tem um denominador diferente, já a condição considerada não é
a mesma. Observe:
p (A B)
, p(A) 0
p (A)
Exemplo 1:
p(B / A) =
Um pescador sai diariamente para pescar, com probabilidade de 30% em
dias de chuva e de 80% nos demais dias. Se onde ele mora a probabilidade
de chuva num dia qualquer é de 40%, então:
a) Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar amanhã?
Sendo:
p(P) a probabilidade de pesca em um dia qualquer;
p(C/P) a probabilidade de chuva em um dia de pescaria;
p(C) = 40% a probabilidade de ocorrer chuva num dia qualquer;
p(C) = 60% a probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer;
p(P/C) = 30% a probabilidade de pesca em um dia de chuva;
p(P/C) = 80% a probabilidade de pesca em um dia de não chuva, temos:
p(P) = p(C
P) + p(C
P)
p(P) = p(C) . p(P / C) + p(C) . p(P / C)
p(P) = 40% . 30% + 60% . 80%
40 30
60 80
.
+
.
100 100 100 100
12
48
60
+
=
= 60%
p(P) =
100 100 100
b) Qual é a probabilidade de chuva em um dia de pescaria?
p(P) =
p(C P)
p(P)
12%
12
1
=
= = 0,20 = 20%
p(C / P) =
60%
60
5
p(C / P) =
268
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Probabilidades
O resultado indica que, das vezes em que o pescador vai pescar, em 20%
delas chove.
Exemplo 2:
Dois dados não viciados foram lançados.
a) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas
para cima tenha sido igual a 7?
O espaço amostral do experimento é o conjunto S dado por:
(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6)
(2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6)
(3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6)
S=
(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6)
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6)
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6)
Existem 6 pares ordenados que fornecem soma 7.
Assim, a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas
para cima tenha sido 7 é igual a:
6
1
=
36 6
b) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas
para cima tenha sido igual a 5?
p(Soma 7) =
Existem 4 pares ordenados que fornecem soma 5. Assim, a probabilidade
de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido 5 é igual
a:
4
1
=
36 9
c) Qual a probabilidade de que a soma dos números das faces voltadas
para cima tenha sido igual a 7, sabendo que não foi igual a 5?
p(Soma 5) =
Se sabemos que a soma não foi igual a 5, desconsideramos, do espaço
amostral, os pares ordenados (1; 4), (2; 3), (3; 2) e (4; 1). Logo, a probabilidade
de que a soma dos números das faces voltadas para cima tenha sido igual a
7, sabendo que não foi igual a 5, é igual a:
p(Soma 7 / não 5) =
6
6
3
=
=
36 – 4 32 16
269
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Probabilidades
Thinkstock.
Distribuição binomial de probabilidades
Um esportista dispara flechas em um alvo. Suponha que, em uma tentati­
va qualquer, ele tenha 80% de chance de acertar o alvo na região destacada,
independentemente de outro disparo. Se ele realiza cinco disparos, qual a
probabilidade de acertar exatamente dois deles?
Em cinco disparos, ele deve acertar 2 e errar 3, logo, sendo p(A) = 80% a
probabilidade de ele acertar o alvo e p(E) = 20% a probabilidade de ele não
acertar, temos:
p(2 Acertos) = p(A) . p(A) . p(E) . p(E) . p(E)
p(2 Acertos) = 80% . 80% . 20% . 20% . 20%
p(2 Acertos) = (0,80)2 . (0,20)3
Entretanto, se os dois acertos e os três erros ocorressem em outra ordem,
também teríamos o resultado pretendido. Logo, é preciso ainda escolher 2
acertos entre os 5 disparos. Isso pode ser feito de C52 maneiras.
Logo, a probabilidade de apenas 2 acertos em 5 disparos é dada por:
p(2 Acertos) = C52 . (0,80)2 . (0,20)3
5.4
. 0,64 . 0,008
2.1
p(2 Acertos) = 10 . 0,64 . 0,008
p(2 Acertos) =
p(2 Acertos) = 0,0512 = 5,12%
270
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Probabilidades
A probabilidade de ele, em 5 disparos, acertar exatamente 2 deles é
5,12%.
Esse exemplo ilustrou uma situação em que utilizamos a ideia de proba­
bilidade binomial.
Considere um experimento aleatório que será realizado n vezes e com as
seguintes características:
cada resultado do experimento pode ser classificado em apenas uma
de duas categorias: sucesso ou fracasso;
os eventos são independentes;
p é a probabilidade de um sucesso e (1 – p) é a de um fracasso.
Nessas condições, a probabilidade de ocorrer um número k de sucessos é
dada por:
p(k sucessos) = Cnk . pk . (1 – p)n–k; k = 0, 1, 2, ..., n
As probabilidades destacadas na fórmula anterior constituem-se, em
termos, de um binômio de Newton. Por isso a denominação binomial.
Exemplo 1:
Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ob­
termos 2 caras e 4 coroas?
Vamos inicialmente calcular a probabilidade de obtermos cara nas duas
primeiras vezes e coroa nas outras quatro vezes:
1 1 1 1 1 1 1
. . . . . =
2 2 2 2 2 2 64
No entanto, observe que poderíamos obter duas caras e quatro coroas
em outra ordem. O total de maneiras de escolher as duas posições em que
as caras irão aparecer é C62 = 15.
p (CaCaCoCoCoCo) =
Assim, devemos multiplicar a primeira probabilidade obtida por 15, ou
seja:
p (2Ca e 4Co) =
1
15
. 15 =
64
64
271
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Probabilidades
Portanto, a probabilidade de obtermos 2 caras e 4 coroas em 6 lançamen­
tos de uma moeda comum é 15/64.
Exemplo 2:
Um aluno não estudou para uma prova de Matemática e, por isso, não
sabia resolver questão alguma de uma prova composta por 10 questões com
5 alternativas cada uma, onde apenas uma era correta. Se esse aluno res­
pondeu todas as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha
acertado exatamente 4 questões da prova?
1
A probabilidade de o aluno acertar uma questão “no chute” é . Conse­
5
4
quentemente, a probabilidade de ele errar é . Assim, a probabilidade de o
5
aluno ter acertado exatamente 4 questões da prova é igual a:
4
6
1 4
1
4096
172032
4
p(4 acertos) = C10
.
.
= 210 .
0,088 = 8,8%
.
=
5 5
625 15625 1953125
Exemplo 3:
Um casal pretende ter 5 filhos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo
menos 4 meninas?
A probabilidade de que nasçam pelo menos 4 meninas é igual à soma das
probabilidades de nascer 4 ou 5 meninas.
Probabilidade de nascer exatamente 4 meninas em 5 crianças:
4
1
1 1
5
.
=
p(4 meninas) = C54 .
2 2 32
Probabilidade de nascer 5 meninas em 5 crianças:
5
0
1 1
1
.
=
p(5 meninas) = C55 .
2 2 32
Portanto, a probabilidade do nascimento de 4 ou 5 meninas em 5 crian­
ças é dada por:
6 3
p(4 meninas ou 5 meninas) =
.
= 0,1875 = 18,75%
32 16
Exemplo 4:
Suponha que, no trajeto de carro do colégio até sua casa, a probabilidade
de um semáforo estar aberto (luz verde) seja igual 1/3. Considere também
que existam um total de 4 semáforos não sincronizados nesse trajeto.
272
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Probabilidades
a) Qual a probabilidade de que exatamente dois semáforos estejam
abertos?
A probabilidade de o semáforo estar é 1/3 e a de não estar aberto é 2/3,
logo:
12 22
.
p(2 abertos) = C42 .
3 3
4 . 3 1 4 24
p(2 abertos) =
0,2963 = 29,63%
. . =
2 . 1 9 9 81
b) Qual a probabilidade de que exatamente três semáforos não estejam
abertos?
Se exatamente três não estiverem abertos, apenas um estará aberto, então:
1
1 23
.
p(1 aberto) = C41 .
3 3
1 8 32
p(1 aberto) = 4 . . =
0,3951 = 39,51%
3 27 81
c) Qual a probabilidade de que exatamente k semáforo(s), k = 0, 1, 2, 3, 4,
esteja(m) aberto(s)?
1 k 2 4–k
.
, k = 0, 1, 2, 3, 4
p(k abertos) = C4k .
3 3
Ampliando seus conhecimentos
O próximo texto foi extraído do livro Matemática, Cadê Você?: Sobre Números, Personagens, Problemas e Curiosidades.
Pesquisa com pergunta proibida
(PAENZA, 2009, p. 156-158)
Esse exemplo mostra uma maneira sutil de evitar um problema. Suponha­
mos que alguém queira pesquisar um grupo de pessoas sobre um tema críti­
co, delicado. Digamos, por exemplo, que se queira averiguar a porcentagem
de jovens que consumiram alguma droga durante o Ensino Médio.
É possível que a maioria se sentisse incomodada se tivesse que responder
sim. Naturalmente, isso destruiria o valor de verdade da pesquisa.
Como fazer então para “contornar” o obstáculo do pudor ou incômodo que
a pergunta gera?
273
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Probabilidades
No exemplo, o entrevistador quer perguntar a cada aluno se ele consumiu
alguma droga durante o Ensino Médio e diz a ele que o método que vão usar
é o seguinte:
O jovem entrará numa “cabine cega”, como se fosse votar, e se disporá a
jogar uma moeda. Ninguém está vendo o que ele faz. Só lhe pedem que res­
peite as regras:
1) se saiu cara, ele deve responder “sim” (seja qual for a resposta verdadeira);
2) se saiu coroa, deve responder a verdade.
De qualquer forma, a única testemunha do que o jogador faz ou diz é ele
mesmo.
Com esse método, esperam-se pelo menos 50% de respostas positivas (que
são as que provêm da “estimativa” de que saiu cara na metade das vezes). Em
contrapartida, quando alguém diz que não, é porque a resposta verdadeira é
não. Ou seja, esse jovem não se drogou. Entretanto, suponhamos que haja 70%
das respostas positivas (disseram que sim). Isso não quer dizer algo? Ou seja, não
é tentador dizer que com esses dados seria possível tirar alguma conclusão?
Como sempre, convido-o a pensar um pouco sozinho. E, depois, continue
com o raciocínio. Qualquer que seja o número de respostas positivas, era
esperado de antemão que houvesse (ao menos) 50% delas. E isso acontece
porque se supõe que, como a moeda não está viciada, deveria sair cara na
metade das vezes. Com esse dado somente, sabe-se que, ao sair da cabine,
a metade dos participantes deve dizer que sim. Mas, ao mesmo tempo, há
outros 20% de respostas que são afirmativas e NÃO provêm do fato de que a
moeda deu cara. Como interpretar esse dado?
O fato é que isso está dizendo que, das vezes em que saiu coroa (que é
a outra metade das vezes), 20% dos alunos disseram sim, que se drogaram.
Como consequência, poderíamos inferir (e o convido a pensar comigo) que
pelo menos 40% dos alunos foram consumidores de alguma droga. Por quê?
Porque, dos 50% restantes, 20% (nada menos!) responderam que sim. E, justa­
mente, 20% desses 50% significam 40% das pessoas.
Esse sistema evita “marcar” quem responde sim e expô-lo a uma situação
embaraçosa. Por outro lado, mantém viva a possibilidade de pesquisar o que
se pretende.
274
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Probabilidades
Atividades de aplicação
1. As colunas a seguir relacionam designações de eventos com probabi­
lidades de ocorrência dos eventos. Associe as colunas corretamente:
I.
Muita chance de ocorrer
( ) 0,5
II.
Evento certo
( )0
III. Pouca chance de ocorrer
( ) 0,93
IV. Chances iguais
( ) 0,08
V. Evento impossível
( )1
2. Considere o lançamento de duas moedas distintas. Descreva o espaço
amostral S do experimento e o evento A formado pelos resultados que
apresentam duas caras. Logo após, calcule a probabilidade de ocorrer
o evento A.
3. Paulo está rifando uma bicicleta em sua escola. A rifa é constituída de
100 diferentes números. Se você compra quatro desses números, que
probabilidade tem de ganhar a bicicleta?
4. Sorteando um número natural não nulo de 1 a 100, qual a probabilida­
de de ele ser um:
a) número par?
b) número divisível por 3?
c) número cujo algarismo das unidades é 7?
d) número primo?
5. Em uma caixa encontram-se 30 bolas numeradas de 1 a 30. Ao se reti­
rar uma bola ao acaso da caixa, calcule:
a) a probabilidade de o número da bola retirada ser par.
b) a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo de 5.
c) a probabilidade de o número da bola ser par ou múltiplo de 5.
6. Em uma escola foi feita uma pesquisa com os alunos do terceiro ano
do Ensino Médio sobre o hábito de leitura de duas revistas A e B. Dos
275
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Probabilidades
250 alunos consultados, 112 afirmaram ler a revista A, 77 a revista B e
22 as duas revistas. Se um aluno do terceiro ano dessa escola é escolhi­
do ao acaso, calcule:
a) a probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas.
b) a probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas.
c) a probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B.
7. Em uma universidade, os alunos que ingressaram no início desse ano
estão divididos em três áreas, de acordo com a tabela a seguir:
Área
Masculino
Feminino
Tecnologia
845
335
Biológica
590
855
Humanística
410
465
Se escolhermos ao acaso um aluno dessa universidade, calcule a pro­
babilidade de que ele seja do sexo masculino ou da área biológica.
8. Em uma caixa encontram-se 5 bolas verdes, 3 bolas pretas e 2 bolas
azuis. Se retirarmos, aleatoriamente e sem reposição, duas bolas dessa
caixa, calcule a probabilidade de:
a) as duas bolas serem verdes.
b) a primeira bola ser preta e a segunda azul.
c) as duas bolas serem da mesma cor.
9. Uma amostra de um lote de peças contém 5 peças defeituosas e 15
peças perfeitas. Retirando-se, sem reposição, três peças do lote, calcu­
le a probabilidade de que:
a) as três peças sejam defeituosas.
b) pelo menos uma peça seja defeituosa.
c) exatamente uma peça seja defeituosa.
276
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Probabilidades
10.Dois jogadores, Lucas e João, lançam um dado. Lucas vencerá o jogo
se o número da face voltada para cima do seu dado for maior do que
ou igual ao número da face voltada para cima do dado de João. Calcu­
le a probabilidade de que Lucas vença o jogo.
11.Ana disse para Bruno: “Vou lançar um dado sem que você veja. Se você
acertar, em uma única tentativa, o número da face voltada para cima,
lhe dou R$10,00”. Suponha que Ana, após lançar o dado, informe a Bru­
no que o número da face voltada para cima é ímpar. Qual a probabili­
dade de que Bruno ganhe os R$10,00?
12.Em uma universidade, a eleição para reitor reunirá dois candidatos A
e B. Na última pesquisa, realizada com um grupo de 500 alunos, foi
fornecida a seguinte tabela:
Candidato
Masculino
Feminino
Total
A
120
135
255
B
150
58
208
Branco/nulo
23
14
37
Total
293
207
500
Escolhendo aleatoriamente um aluno da universidade que participou
da pesquisa, calcule:
a) a probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar
no candidato A.
b) a probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a inten­
ção de votar no candidato A.
c) a probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­
do que é do sexo masculino.
13.Um dado “honesto” é lançado 10 vezes. Qual a probabilidade de a face
voltada para cima exibir um número primo exatamente 4 vezes.
14.A probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 80%. Ao realizar
5 disparos, qual a probabilidade de que ele acerte o alvo exatamente
3 vezes?
277
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Probabilidades
Referências
ASIMOV, Isaac. Cronologia das Ciências e das Descobertas. Rio de Janeiro: Civi­
lização Brasileira.
BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática – contexto e aplicações. São Paulo: Ática. 472
p. v. 2. Edição reformulada.
DEVLIN, Keith. O Gene da Matemática – o talento para lidar com números e a
evolução do pensamento matemático. Rio de Janeiro: Record, 2004.
GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron
Books, 1997.
_____. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da
Matemática. São Paulo: Livraria de Física, 2006.
GAZETA DO POVO, 25 set. 2008. Vida e Cidadania, p. 7.
HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. 3. ed. Porto Alegre: Globo, 1952.
IEZZI, Gelson et al. Matemática – ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual,
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LIMA, Elon L. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro:
Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática).
LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
_____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2001. v. 2.
_____. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2001. v. 3.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
PAENZA, Adrian. Matemática, Cadê Você?: sobre números, personagens, proble­
mas e curiosidades. Tradução de: LEMOS, Maria Alzira Brum. Rio de Janeiro: Civili­
zação Brasileira, 2009. 285 p.
278
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Probabilidades
SINGH, Simon. O Último Teorema de Fermat. Rio de Janeiro: Record, 2002.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
_____. Os Números Governam o Mundo: folclore da Matemática. 3. ed. Rio de
Janeiro: Ediouro, 1999. 398 p.
279
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Probabilidades
Gabarito
1. A associação correta é I-0,93; II-1; III-0,08; IV-0,5, V-0
2. Lançando duas moedas o espaço amostral é S = {(Ca,Ca); (Ca,Co);
(Co,Ca); (Co,Co)}, no qual “Ca” representa face cara e “Co” coroa, e o
evento A formado por duas caras é A = {(Ca,Ca)). Logo, a probabilidade
teórica é P(A) = 1/4 = 0,25 = 25%.
3. A probabilidade de Paulo vir a ser sorteado é P = 4/100 = 0,04 = 4%.
4. Existem 100 números naturais possíveis de serem sorteados, sendo
que 50 deles são pares (2, 4, 6, ..., 100); 33 deles são múltiplos de 3 (3,
6, 9, ..., 99); 10 deles têm o algarismo das unidades igual a 7 (7, 17, 27,
..., 97) e 25 deles são primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97). Logo, as probabilidades são
dadas por:
a) P(par) = 50/100 = 0,50 = 50%
b) P(múltiplo de 3) = 33/100 = 0,33 = 33%
c) P(unidade igual a 7) = 10/100 = 0,10 = 10%
d) (primo) = 25/100 = 0,25 = 25%
5.
a) Na caixa temos 15 bolas com números pares. Logo, a probabilidade
15 1
=
= 0,5 = 50%.
de o número da bola retirada ser par é
30 2
b) Na caixa temos 6 bolas com números múltiplos de 5.
Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser múltiplo
6
1
=
= 0,2 = 20%.
de 5 é igual a
30 5
c) Observe que na caixa temos 3 bolas com números pares e múlti­
plos de 5.
Assim, a probabilidade de o número da bola retirada ser par ou
15 6
3 18 3
+
–
=
=
= 0,6 = 60%.
múltiplo de 5 é igual a:
30 30 30 30 5
280
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Probabilidades
6. Observe os diagramas a seguir:
A
B
112 - 22 = 90
22
77 - 22 = 55
Nenhuma
83
a) A probabilidade de ele ser leitor de apenas uma das revistas é
90 + 55 145 29
=
= .
250
250 50
83
.
250
c) A probabilidade de ele ser leitor da revista A ou da revista B é
b) A probabilidade de ele não ler qualquer uma das revistas é
90 + 22 + 55 167
=
.
250
250
7. O total de alunos é igual a 845 + 590 + 410 + 335 + 855 + 465 = 3 500.
Sendo p(M ou B) a probabilidade do aluno ser do sexo masculino ou
da área biológica, temos:
p(M ou B) =
845 + 590 + 410 590 + 855 590 2700 27
+
–
=
= .
3500
3500
3500 3500 35
8.
a) Sendo p(V1 e V2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser
verde e a segunda também, temos:
5 4
2
. = .
10 9
9
b) Sendo p(P1 e A2) a probabilidade de a primeira bola retirada ser
preta e a segunda azul, temos:
p(V1 e V2) =
3 2
1
. = .
10 9 15
c) As duas bolas podem ser verdes, pretas ou azuis. Assim, temos:
p(P1 e A2) =
p(V1 e V2) + p(P1 e P2) + p(A1 e A2) =
5 4 3 2 2 1 28 14
. + . + . = = .
10 9 10 9 10 9 90 45
281
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Probabilidades
9.
a) Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que as três peças sejam
defeituosas, temos:
5 4 3
1
. . =
20 19 18 114
b) Podemos, inicialmente, calcular a probabilidade de que nenhuma
peça seja defeituosa.
p(D1 e D2 e D3) =
Sendo p(D1 e D2 e D3) a probabilidade de que nenhuma peça seja
defeituosa, temos:
p(D1 e D2 e D3) =
15 14 13 91
.
. =
20 19 18 228
Assim, a probabilidade de que pelo menos uma das peças seja de­
feituosa é igual a:
91 137
=
228 228
c) Sendo p(1D e 2D) a probabilidade de que uma peça seja defeituo­
sa e duas peças sejam perfeitas, temos:
P=1–
5 15 14
35
. . .3=
20 19 18
76
10.Para que Lucas vença a partida, deverá obter em seu dado um número
maior do que ou igual ao número do dado de João. Logo, sendo p(LV)
a probabilidade de Lucas vencer o jogo, temos:
p(1D e 2D) =
1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 21
p(LV) = . + . + . + . + . + . =
=
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
36
36
11.O espaço amostral do experimento é o conjunto {1; 3; 5}, pois sabemos
que o número da face voltada para cima é ímpar. Logo, em uma única
1
tentativa, a probabilidade de que Bruno ganhe os R$10,00 é .
3
A partir da informação de que o resultado é ímpar, a escolha deve re­
cair entre um de três números (1, 3 ou 5). Por isso, a probabilidade
inicial igual a 1/6 passa a ser 1/3 com a informação de que o número é
ímpar.
282
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Probabilidades
12.
a) A probabilidade de ser do sexo masculino e ter a intenção de votar
no candidato A é igual a:
120 6
=
P=
500 25
b) A probabilidade de ser do sexo feminino, sabendo que tem a in­
tenção de votar no candidato A é igual a:
135 9
=
255 17
c) A probabilidade de ter a intenção de votar no candidato B, saben­
do que é do sexo masculino é igual a:
P=
150
293
13.O número de maneiras de escolher as 4 vezes que um número primo
4
= 210. A probabilidade de que o número da face
irá aparecer é C10
voltada para cima seja primo é igual a:
P=
3 1
P (primo) = =
6 2
Consequentemente, a probabilidade de que o número não seja primo
também é igual a:
1
2
Portanto, a probabilidade de obtermos um número primo exatamente
4 vezes é igual a:
14 16
1 10
1
210
105
4
.
.
= 210 .
= 210 .
P (4 vezes) = C10
=
=
2 2
2
1024 1024 512
P (não primo) =
14.A probabilidade de o atirador acertar o alvo exatamente 3 vezes é igual
a:
43 12
64 1
640
.
= 10 .
. =
P (3 vezes) = C53 . (0,8)3 . (0,2)2 = 10 .
5 5
125 25 3125
283
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