Estatística Aplicada à Qualidade
Aula 17
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Aula 17: Fatorial
Objetivo: Os fatoriais são importantes em análise combinatória, eles demonstram os
possíveis resultados dos arranjos de n objetos distintos numa sequência.
Fatorial – distribuição binomial
Chama-se fatorial de um número natural n > 1 e se indica por n! ao produto
dos n fatores decrescentes de n até 1.
(
)(
)(
)
Exemplos:
Calcule:
a) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
b) 4! = 4 . 3 . 2 . 1
= 24
c) 3!2! = (3 . 2 . 1) . (2 . 1) = 12
d) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 60
2!
2.1
e) 8! = 8 . 7 . 6 . 5! = 336
5!
5!
Observação:
1. Por definição 0! = 1 e 1! = 1
2. No exemplo e, “esticamos” o maior até chegar ao menor, então
simplificamos.
Números binomiais
Chama-se número binomial de classe x do número n, em que n e x são
números naturais e x ≤ n, a expressão:
( )
(
)
o “n” é o numerador e o “x” o denominador do número binomial.
Exemplos:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Distribuição binomial
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um
dos quais é considerado como sucesso e o outro insucesso. Esse fenômeno pode
ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As
provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve
afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade de
o sucesso (p) e a probabilidade do insucesso (q = 1 - p) irão se manter constantes.
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x
sucessos em n tentativas. Nessas condições x é uma variável aleatória discreta que
segue uma distribuição binomial. Assim teremos:
( )
( )
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.
n = número de vezes que o experimento aleatório é repetido.
x = número de sucessos em n tentativas.
p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.
q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova
= insucesso.
( )
(
)
Variância: S2 = n.p.q
Desvio padrão: S =
s2
Exemplos
1) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 provas.
n = 5; x = 3; p = ½; q = 1 - (½) = ½
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)
( )
2) Uma empresa produz 10% de peças defeituosas. As peças são embaladas
em caixas que contém 12 peças. Calcule a probabilidade de um cliente comprar uma
caixa contendo:
a) Nenhuma peça defeituosa.
b) Uma peça defeituosa.
Ao examinar uma peça, podemos encontrar uma peça defeituosa, o que
chamaremos de D, ou sem defeito, que chamaremos de S.
A chance de peça defeituosa é 10%, portanto, P(D) = 0,1.
A chance de peça sem defeito será: P(S) = 1,0 - 0,10 = 0,9
n = 12 repetições
a)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
b)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
3) Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou
que 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20
títulos da carteira, determine a probabilidade que no máximo dois sejam pagos com
atraso.
Sem Atraso (AS)  P(SA) = 0,8
Com Atraso (CA)  P(CA) = 0,2
n = 20 repetições independentes de E.
Considerando como sucesso CA, estamos interessados na ocorrência de 0, 1
ou 2 sucessos.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
( )
)
(
( )
(
)
)
(
(
)
)
(
)
Vamos aplicar o que aprendemos, qual será a probabilidade de acertarmos
um exercício?
REFERÊNCIAS
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. São Paulo: Saraiva , 2009.