Modelo Binomial
1º semestre de 2009- Gabarito 2
Distribuição Binomial – ME323
Exercício 01 Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande
indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este
percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 4
moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
Seja X o número de moradores que têm alergia.
p: probabilidade de um indivíduo, selecionado ao acaso, ter alergia; p=0,2.
X ~b (13; 0,20),
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 13 e p =
0,20, com função de probabilidade dada por:
⎛n⎞
P(X=k) = ⎜ ⎟ p k (1-p) n-k , k=0, 1, ..., n
⎝k⎠
Assim, a probabilidade de que pelo menos 4 moradores tenham alergia é dada por:
P(X ≥ 4) = P(X=4) + P(X=5) + … + P(X=13) = 0,1535 + 0,0694 + … + 0,0000 = 0,2526
ou
P(X ≥ 4) = 1 - P(X≤3) = 1 – (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3))= 0,2526
Exercício 02
Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar
vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que:
(a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
Seja X o número de alunos que fizeram cursinho
p: probabilidade de um aluno, selecionado ao acaso, ter feito cursinho; p = 0,75.
X ~b (16; 0,75),
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n = 16 e p =
0,75.
Assim, a probabilidade de que pelo menos 12 tenham feito cursinho é dada por:
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Distribuição Binomial – ME323
P(X ≥ 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15) + P(X=16) = 0,2252+0,2079+0,1336+
+0,0535+0,0100= 0,6302
(b) No máximo 13 tenham feito cursinho?
Utilizando a função de distribuição apresentada no item (a) temos,
P(X ≤ 13) = P(X=0) + P(X =1) + … + P(X=13) = 0,0000 + … + 0,2079 = 0,8029
ou
P(X ≤ 13) = 1 - P(X ≥ 14) = 1 – (P(X =14) + P(X =15) + P(X =16) = 0,8029
(c) (0,5) Exatamente 12 tenham feito cursinho?
Utilizando a função de probabilidade apresentada no item (a) temos,
P(X =12) = 0,2252
(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de
alunos que fizeram cursinho? E a variância?
Y: número de alunos que fizeram cursinho entre os 80 selecionados
Y~B(80; 0,75)
O número esperado de alunos que fizeram cursinho é dado por:
μ = E(X) = n*p = 80 * 0,75 = 60
A variância é dada por:
σ2 = Var(x) = n * p * (1-p) = 15
Exercício 03
Admita que, respectivamente, 90% e 80% dos indivíduos das populações A e B sejam
alfabetizados. Se 12 pessoas da população A e 10 da população B forem selecionadas
ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos uma não seja alfabetizada? Que
suposições você fez para responder a esta questão?
Considere,
D: as 12 pessoas selecionadas da popualção A são alfabetizadas.
E: as 10 pessoas selecionadas da popualção B são alfabetizadas.
F: pelo menos uma pessoa entre as 22 selecionadas não é alfabetizada.
P(F) = 1 – P(Fc) = 1 – P(D ∩ E) = 1 – P(D)*P(E)
eventos independentes
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Distribuição Binomial – ME323
Cálculo da probabilidade de D:
Seja X: número de pessoas alfabetizadas entre as 12 selecionadas da população A.
X~b(12; 0,9)
⎛12 ⎞
P(D) = P ( X = 12) = ⎜⎜ ⎟⎟0,9012 (1 − 0,90)12−12 = 0,912 = 0,2824
⎝12 ⎠
Cálculo da probabilidade de E:
Seja Y: número de pessoas alfabetizadas entre as 10 selecionadas da população B.
Y~b(10; 0,8)
⎛10 ⎞
P(E)= P (Y = 10) = ⎜⎜ ⎟⎟0,8010 (1 − 0,80)10−10 = 0,810 = 0,1074
⎝10 ⎠
Portanto,
P(que pelo menos uma pessoa não seja alfabetizada) = P(F) =1 – (0,2824*0,1074) = 0,9697.
Para responder esta questão supões-se que:
a) As duas populações são bem grandes;
b) Os processos de seleção de pessoas das populações A e B são independentes
Exercício 04
Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. Após alguns
meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,02 e, nesse caso, ela
tem probabilidade 0,5 de ser recuperável. O custo de cada muda produzida é R$ 1,20,
que será acrescido de mais R$ 0,50 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são
descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 3,50, encontre a distribuição da
variável aleatória “lucro por muda produzida”.
Seja L: lucro por muda produzida
⎧3,50 − 1, 20 = 2,30 , muda sem ataque
⎪
L = ⎨3,50 − 1, 70 = 1,80 , muda atacada e recuperada
⎪0 − 1, 20 = −1, 20
muda atacada e descartada
⎩
O diagrama de árvores (ou árvore de probabilidades), será
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Distribuição Binomial – ME323
0,50
R
P(L=1,80) = 0,02*0,50 = 0,01
0,50
D
P(L=-1,20) = 0,02*0,50 = 0,01
A
0,02
0,98
P(L=2,30) = 0,98
S
Assim, a distribuição da variável aleatória “lucro por muda produzida” é dada por:
l
P(L=l)
-1,20
0,01
1,80
0,01
2,30
0,98
(a) Qual é o lucro médio por muda produzida?
O lucro médio por muda produzida é dado por:
E(L)= -1,20*P(L=l-1,20) + 1,80*P(L=l1,80) + 2,30*P(L=l2,30) = -1,20*0,01+1,80*0,01+2,30*
0,98 = = 2,26
Assim, o lucro médio por muda produzida é de R$2,26.
(b) Em uma plantação de 10000 mudas, qual é o lucro esperado?
10000*E(L) = 10000 * 2,26 = 22600
Assim, em uma plantação de 10000 mudas , o lucro esperado é R$22600,00
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(c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos
45 sejam aproveitáveis?
Seja X o número de mudas aproveitáveis.
p: probabilidade de uma muda, selecionada ao acaso, ser aproveitável; p=0,99
X ~b (50;0,99),
ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros n=50 e
p=0,99.
Assim, a probabilidade de que pelo menos 45 sejam aproveitáveis é dada por:
P(X≥45) = P(X=45) + P(X=46) + P(X=47) + P(X=48) + P(X=49) + P(X=50) =
=0,0001 + 0,0015 + 0,0122 + 0,0756 + 0,3056 + 0,6050 ≅1 ≅ 100%
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