LISTA DE EXERCÍCIOS PARA RECUPERAÇÃO DE MATEMÁTICA
PROFESSOR MOABI
LISTA DE CILINDROS - 2011
1. A altura de um cilindro reto vale 6cm e o raio da base mede 2cm. Determine a área total e o volume do cilindro.
2. O volume de um cilindro equilátero vale 54 cm3 . Determine o raio da base e a área total desse cilindro.
3. A secção meridiana de um cilindro equilátero tem perímetro igual a 16cm. Determine a área lateral, a área total e o
volume do cilindro.
4. A figura mostra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto.
Determine seu volume.
5. (FEI SP) Um cilindro reto tem volume igual a 32m3 . Sabendo que a medida de sua altura é o dobro da medida de seu
raio, podemos afirmar que o seu raio mede:
b) 2 2 m
a) 2 m
c) 16 m
d) 23 2 m
e) 4 m
6. (FATEC) Sabe-se que um cilindro de revolução de raio igual a 10 cm, quando cortado por um plano paralelo ao eixo, a
uma distância de 6 cm desse eixo, apresenta uma secção retangular equivalente à base. O volume desse cilindro, em
centímetros cúbicos, é:
a) 1250
b) 12502
c) 6,252
d) 625
e) 6252
7. (UFG GO) Uma empresa de engenharia fabrica blocos na forma de um prisma, cuja base é um octógono regular de lado
20 cm e altura 1 m. Para fabricar esses blocos, a empresa utiliza um molde na forma de
um cilindro circular reto, cujo raio da base e a altura medem 1 m, conforme a figura.
Calcule o volume do material necessário para fabricar o molde para esses blocos. Use:
tg67º,50  2,41e   3,14.
8. (FGV) Em certa loja, as panelas são anunciadas de acordo com sua capacidade. Uma panela dessa loja, com a etiqueta
"4 litros", tem 20cm de diâmetro. A altura dessa panela é aproximadamente:
a) 7cm
b) 9cm
c) 11cm
d) 13cm
e) 15cm.
9. (UFOP MG) Um recipiente cilíndrico, com graduação, na altura, em centímetros, está cheio de água até a marca 30.
Imerge-se nele uma pedra, elevando-se o nível da água para 40. O raio da base do recipiente mede 8cm e a densidade da
pedra é 2 kg/L (quilogramas por litro). Considerando   3,1, a massa da pedra, em quilogramas, está mais próxima de:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
10. (FGV) Inclinando-se em 45º um copo cilíndrico reto de altura 15 cm e raio da base
3,6 cm, derrama-se parte do líquido que completava totalmente o copo, conforme indica a
figura. Admitindo-se que o copo tenha sido inclinado com movimento suave em relação à
situação inicial, a menor quantidade de líquido derramada corresponde a um percentual
do líquido contido inicialmente no copo de:
a) 48%
b) 36%
c) 28%
d) 24%
e) 18%
11. (UFU-MG) Um “caminhão pipa” transporta álcool em um tanque de formato
cilíndrico com 2 metros de diâmetro e 12 metros de comprimento. Sabendo-se que
a altura do nível do álcool é de 1,5 metros, conforme esboçado na figura
determine o volume, em litros, do álcool existente no tanque.
12. (UEG GO) Uma caixa d’água com capacidade para 1.000 litros tem a forma de um cilindro circular reto de raio da
base r e altura h. Aumentando o raio da base em 10% e diminuindo a altura também em 10%, quantos litros caberão nessa
nova caixa d’água?
LISTA DE CILINDROS - 2012
1) (UEMG) O diâmetro da base de um cilindro reto tem 10cm. Sabendo que a altura do cilindro é 12cm, o seu volume é:
a) 120 πcm³
c) 1440πcm³
b) 300πcm³
d) 1200πcm³
2. Qual é a altura de um cilindro reto de 12,56cm² de área da base sendo a área lateral o dobro da área da base?
Use π = 3,14.
3. Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro.
4. Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem 10m de diâmetro e 15m de
profundidade?
5. Calcular a área lateral de um cilindro equilátero sendo 289cm² a área de sua secção meridiana.
6. Determinar o raio da base de um cilindro equilátero sabendo-se que a área lateral excede de 4πcm² a área da secção
meridiana.
7. Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é
colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20πcm. Que altura havia alcançado a água
no pluviômetro sabendo que no recipiente alcançou 180 mm?
8. (UNIFOR) Um combustível líquido ocupa uma altura de 8 m em um reservatório cilíndrico. Por motivos técnicos,
deseja-se transferir o combustível para outro reservatório, também cilíndrico, com raio igual a 2,5 vezes o do primeiro. A
altura ocupada pelo combustível nesse segundo reservatório, em metros é:
a) 1,08
b) 1,28
c) 1,75
d) 2,18
e) 2,66
9. (UNIFOR) Pretende-se construir uma caixa d’água, com a forma de um cilindro reto, cujo diâmetro da base mede 3 m.
Se essa caixa deve comportar no máximo 16740 litros d’água, quantos metros ela deverá ter de altura? (Use: π3,1).
a) 2,75
b) 2,40
c) 2,25
d) 1,80
e) 1,75
10. (UFRN) Um depósito cheio de combustível tem a forma de um cilindro circular reto. O combustível deve ser
transportado por um único caminhão distribuidor. O tanque transportador tem igualmente a forma de um cilindro circular
reto, cujo diâmetro da base mede 1/5 do diâmetro da base do depósito e cuja altura mede 3/5 da altura do depósito.
O número mínimo de viagens do caminhão para o esvaziamento completo do depósito é:
a) 41
b) 42
c) 40
d) 43
11. (UFJF) Aumentando-se o raio de um cilindro em 4 cm e mantendo-se sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual
à área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1 cm, então o seu raio mede, em cm:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
12. Qual a massa de mercúrio, em quilogramas, necessária para encher completamente um vaso cilíndrico de raio interno 6
cm e altura 18 cm, se a densidade do mercúrio é 13,6 g/cm³?
13. Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma
cilíndrica de um certo remédio, contornando-o
até as extremidades se encontrarem, sem haver
superposição. Sabendo-se que o volume do
recipiente (desprezando-se a sua espessura) é
192 cm³, pode-se afirmar que a área do rótulo,
em cm², é igual a
a) 96
b) 80
c) 76
d) 72
e) 70
14) Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente
vazio, com raio da base também igual a 3 cm.
Após o gelo derreter completamente, determine a altura do nível da água no copo. Considere  = 3.
LISTA DE ESFERAS - GABARITO
(Fonte: Colégio Estadual Augusto Meyer – RS)
1) Uma esfera tem raio 15 cm. Calcule:
a) Seu volume
b) Sua área
c) A área da secção feita a 9 cm do centro
Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:
a)
4R3 4 (15)3 4 (3375)
V


 4 (1125)  4500cm3
3
3
3
b)
A  4R 2  4 (15) 2  4 (225)  900cm2
c)
r 2  (15) 2  (9) 2  225  81  144  r  144  12cm
Asecção   .r 2   .(12) 2  144 .cm2
2) Calcule o volume da esfera circunscrita a um cone eqüilátero cujo raio da base mede
3 3 m.
Solução. O apótema do triângulo eqüilátero coincide corresponde a um terço da altura, pois vale a
distância do baricentro do triângulo à base. Como o triângulo é eqüilátero, o lado vale o dobro do raio
do cone. Aplicando as fórmula do triângulo eqüilátero e esfera, temos:
 
  

l3  2r  2 3 3  6 3cm

2
l3 3 6 3 3 (6)(3)



 9cm  R 2  (3) 2  3 3  R  36  6cm
h 
2
2
2

h
9

ap    3cm

3 3

4R 3 4 (6) 3 4 (216)
Vesfera 


 4 (72)  288 .cm3
3
3
3
 
3) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 12cm e ângulo central de 60º.
Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma
das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo
máximo. Aplicando as fórmulas, temos:
a)
Vcunha 
4R3 . 4 (12)3 .(60º ) 4 (12)3 4 (1728)



 4 (96)  384cm3
3(360º )
3(360º )
18
18
b)

4R 2 . 4 (12) 2 .(60º ) 4 (12) 2 4 (144)



 4 (24)  96cm2
 A fuso 

360º
360º
6
6

2
2
2
A
 círculo   .R   (12)  144cm
 Acunha  96cm2  144cm2  240cm2


4) Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule:
a) O volume dessa esfera
b) A área da superfície esférica
c) A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte
Solução. A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:
a)
4R3 4 (9)3 4 (729)
V


 4 (243)  972cm3
3
3
3
b)
A  4R 2  4 (9) 2  4 (81)  324cm2
r 2  (9) 2  (6) 2  81  36  45  r  45  3 5cm
c)
 
2
Asecção   .r 2   . 3 5  45 .cm2
5) Calcule a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a 144  m .
2
Solução. Utilizando as fórmulas correspondentes, temos:
 A  4R 2
144
 4R 2  144  R 2 
 36  R  36  6m

4
 A  144
4R 3 4 (6) 3 4 (216)
V


 4 (72)  288cm3
3
3
3
6) Seccionando-se uma esfera por um plano que dista 3m do seu centro, obtém - se uma secção de área
72 m2 ,determine o volume dessa esfera.
Solução. Aplicando as fórmulas de área e relação de Pitágoras no triângulo formado
pelos raios da secção e da esfera, temos;
 Asecção  r 2
 r 2  72  r 2  72  r  72  6 2m

 A  72
 
R 2  32  6 2  9  72  81  R  81  9m
2
V
4R 3 4 (9) 3 4 (729)


 4 (243)  972cm3
3
3
3
7) Considerando uma esfera cuja superfície tenha área 676  m . A que distância do seu centro deve-se traçar
2
um plano de corte para que a secção assim determinada tenha área de 25  m ?
R: 12 m
2
Solução. Com as áreas informadas calculamos os respectivos raios da esfera e secção.
 Aesfera  4R 2
676
 4R 2  676  R 2 
 R  169  13m

4
 A  676
 Asecção  r 2
 r 2  25  r 2  25  r  25  5m

 A  25
d 2  R2  r 2  (13) 2  (5) 2  169  25  d  144  12m
8) Calcule o volume e a área total de uma cunha esférica de raio 9cm e ângulo central de 20º.
Solução. A figura ilustra a situação. Observe que a área total da cunha envolve a área do fuso e a soma
das áreas de duas semicircunferências máximas que corresponde a um círculo máximo. Aplicando as
fórmulas, temos:
a)
Vcunha 
4R3 . 4 (9)3 .(20º ) 4 (9)3 4 (729)



 4 (13,5)  54cm3
3(360º )
3(360º )
54
54
b)

4R 2 . 4 (9) 2 .(20º ) 4 (9) 2 4 (81)
A




 4 (4,5)  18cm2
 fuso

360º
360º
18
18

2
2
2
A
 círculo   .R   (9)  81cm
 Acunha  18cm2  81cm2  99cm2


2
9) Calcule o volume da esfera inscrita num cubo cuja área total é 216 cm .
Solução. Observando que o raio da esfera mede a metade da aresta do cubo, temos:
 Acubo  6a 2
216
 6a 2  216  a 2 
 36  a  36  6cm

6
 Acubo  216
 a 6
r  2  2  3cm
4 (3) 3 4 (27)
 Vesfera 

 36cm3

3
3
3
4R
V
 esfera  3
10) Calcule a área de uma esfera circunscrita a um cubo cujo perímetro de suas arestas é 24
3 cm.
Solução. Lembrando que a esfera circunscrita passa pelos oito vértices do cubo, seu diâmetro possui
a mesma medida da diagonal do cubo. Aplicando as fórmulas, temos:
24 3
2Pcubo  12a
 12a  24 3  a 
 2 3cm

12
2Pcubo  24 3
  
d cubo  a 3  2 3 3  6cm
4R 3
4 (3) 3 4 (27)


V


V


 36cm3

esfera
esfera
d cubo 6
3
3
3
  3cm
resfera 
2
2

11) Calcule o volume de uma esfera inscrita num cone eqüilátero cujo volume é
72 3  cm3 .
Solução. A altura do cone é a altura do triângulo eqüilátero. O raio da esfera inscrita no cone coincide
com o apótema do triângulo eqüilátero. A geratriz do cone eqüilátero (lado do triângulo) vale o
diâmetro da base do cone. Utilizando estas informações, temos:

l 3 3 2R 3

R 3
h 
R 3 3

2
2

 72 3  R 3  216  R  3 216  6cm

2
3
3
V  R R 3  R 3
cone

3
3

h 6 3
3
 2 3cm
r  ap  
4 2 3
4 24 3
3
3
 Vesfera 

 32 3 .cm3

3
3
3
4 .r
V
 esfera  3
 
 


12) Uma esfera de raio 11cm é seccionada por um plano distante 5cm do seu centro. Calcular as distâncias
polares.
Solução. Há duas distâncias polares. São as hipotenusas dos triângulos
retângulos formados pela secção. Repare que os catetos dos triângulos são
6 e 16, respectivamente. Temos:
r 2  112  52  121 25  96  R  96  4 6cm
   36  96  132  2 33cm
16  4 6   256  96  352  4 22cm
dp  6 2  4 6
dp' 
2
2
2
13) Uma esfera é seccionada por um plano distante 8 cm de seu centro. Calcule as distâncias polares,
sabendo-se que o raio da esfera é 10cm.
Solução. Aplicando as fórmulas, temos:
r 2  102  82  100  64  36  R  36  6cm
dp  22  62  4  36  40  2 10cm
dp' 
182  62
 324  36  360  6 10cm
14) Calcule a área da esfera circunscrita ao cone reto de raio 6 cm e altura 18 cm.
R:
400 cm2
Solução. Observe que o centro da esfera não coincide com o centro do
cone. O triângulo é isósceles e não eqüilátero. Calculamos o raio da esfera
pela relação de Pitágoras indicada na figura.
R 2  62  18  R2  R 2  36  324  36R  R 2  R 
360
 10
36
Aesfera  4R 2  4 (10) 2  400cm2
15) Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície?
Solução. Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações,
temos:

4R 3
V 
raio  R  
3
 A  4R 2

 

4 2R3 4 8R 3 84R 3


 8.V
V ' 
raio  2R  
3
3
3
 A'  4 2R2  4 4R 2  4 4R 2  4.A

  

Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.
LISTA DE ESFERAS - 2011 - GABARITO
1. Determine o volume de uma esfera cuja superfície tem área de 324cm2 .
Solução. Utilizando a fórmula da área e do volume, temos:
A esf era  4r 2
324
 4r 2  324  r 2 
 r 2  81  r  81  9cm

4
.
A esf era  324
Vesf era 
4 3 4
4(729)
r  (9)3 
 4(243)  972cm3
3
3
3
2. Uma bola de borracha, com 13 cm de raio, flutua sobre a água de uma piscina, afundando 1cm na mesma.
Determine o raio da circunferência definida na superfície da água.
Solução. A ilustração, fora de proporção, mostra a situação. O raio pedido é o da secção determinada
pelo plano da água que divide a esfera nas partes
submersas e emersas. A vista frontal mostra um triângulo
retângulo de hipotenusa 13 e cateto 12.
Logo, r  132  122  169  144  25  5cm .
3. Um reservatório tem a forma de um hemisfério. Se para pintar o piso gastaram-se 15 galões de tinta,
quantos galões são necessários para pintar o restante da superfície interna?
Solução. A superfície total do reservatório é formada pela semi-esfera interna e o piso, que é uma
2
circunferência de mesmo raio. Logo a área da semi-esfera vale 2пr , isto é, o dobro da área do piso:


(15) 2.r 2
.r 2
2.r 2

x
 30 galões .
15 galões
x
.r 2
4. Um plano secciona uma esfera, determinando um círculo de 16cm2 de área. Determine o raio da esfera,
sabendo que o plano dista 3 cm do centro da esfera.
Solução. O raio da secção é determinado pela área indicada:
2

A secção  .r
 .r 2  16  r  16  4cm .

A

16


 secção
O raio da esfera é determinado pela relação de Pitágoras:
R2  (3)2  r 2  R2  (3)2  (4)2  R  9  16  5cm .
5. (FGV) Um observador colocado no centro de uma esfera de raio 5 m vê o arco AB sob um ângulo α de
72º, como mostra a figura. Calcule a área do fuso esférico determinado por α.
Solução. A área é calculada pela regra de três em relação à área de toda a esfera:


2
360º  4.r 2
(72) 4.r 2
4.5
4.25 100
 A f uso 



 20 m2 .

360
5
5
5
72
º

A
f uso

6. (UNAERP-SP) Determine o volume de uma cunha esférica, fabricada a partir de uma esfera de 6m de
diâmetro e um ângulo diedro de 36º.
Solução. O volume é calculado pela regra de três em relação ao volume de toda a esfera:
 4.r 3 

(36)

4.r 3
3  4.33 2.27 54
360º 




 3,6 m3 .
3  Vcunha 

360
30
15
15
36º  V
cunha

7. (UFPE) Um triângulo eqüilátero tem lado 18
o raio da maior esfera contida neste prisma.
3 cm e é a base de um prisma reto de altura 48 cm. Calcule
Solução. A maior esfera tocará as faces laterais cujas distâncias serão as alturas do triângulo
equilátero. A figura ilustra a vista frontal e superior. O raio será
o apótema do triângulo.
l 3
18 3 3 18(3)
h
ap   2 

 9cm .
3
3
6
6


OBS: O diâmetro será de 18cm, menor que a altura do prisma (48cm). Logo, caberá nas duas direções.
8. (UFOP) Um cilíndrico circular reto e uma esfera, são construídos de tal forma que a altura h e o raio r do
cilindro são, respectivamente, 4 e 1 do raio R da esfera. Qual soma dos volumes desses sólidos?
3
3
Solução. Expressando o raio e altura do cilindro em função do raio e altura da esfera, temos:
 R
r
2

4R 3
 3
 R   4R  4R 3
 Vcilindro  .r 2 .h  .  .
; Vesf era 


27
3 .
3  3 
h  4R

3

4R 3 4R 3 4R 3  36R 3 40R 3
Soma :



27
3
27
27
9. (UFU-MG) Bóias de sinalização marítima são construídas de acordo com a figura abaixo, em que um cone
de raio da base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r. Aumentando-se r em 50%, o
volume da bóia fica multiplicado por que fração?
Solução. O volume inicial da bóia é a soma dos volumes do hemisfério e do cone.

1  4r 3  4R 3 2r 3


Vhemisfério  .
2  3 
6
3
2r 3 r 3 3r 3

 Vbóia 


 r 3

2
2
3
.
3
3
3
r .h r .(r ) r

Vcone 



3
3
3

3
 
27 27
 3r 
3
r'  r  50%.r  1,5.r  V' bóia  1,5r      r 3 .
 .Vbóia
2
8
8
 
10. (UFJF-MG) Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular como
mostra a figura. A medida do raio do hemisfério é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3m. Se a
altura do reservatório é h = 6m, calcule a capacidade máxima de água comportada por
esse reservatório.
Solução. A capacidade do reservatório será a soma dos volumes do hemisfério e do
cilindro. As medidas estão ilustradas na figura.

1  4r 3  4R 3 2(3) 3
 
V

.

 18m3
 hemisfério
2
3
6
3
 Vreservatório  18m3  27m3  45m3 .




2
2
3
Vcilindro  r .h  (3) .(3)  27m
11. (UEG GO) Dona Maria fez um único “brigadeirão” em forma de esfera para seus 8 netos. Para que cada
um ficasse com a mesma quantidade de doce, resolveu fazer a divisão em 8 brigadeiros pequenos, todos
também em forma de esferas. Que fração do raio do “brigadeirão” deverá ser o raio da esfera de cada um dos
8 brigadeiros?
Solução. Considerando “v” o volume dos brigadeiros pequenos com raio “r” e, “V” e “R” os
respectivos volume e raio do “brigadeirão”, temos:
 4r 3  4R3 32r 3
4R3
R3 32  R 
R
R
 
 8

 4R3  32r 3  3 
    8   3 8  R  2r  r 
3
3
3
3
4

r
r
2
r




3
V  8v 
.
3
12. (FUVEST) Um cálice com a forma de cone contém V cm de uma bebida. Uma cereja de forma esférica
com diâmetro de 2cm é colocada dentro do cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas laterais do
cálice e o líquido recobre exatamente a cereja a uma altura de 4cm a partir do vértice do cone, determinar o
valor de V.
Solução. Seja V’ o volume do cálice com a cereja. Isto é: V’ = V + V(cereja). O volume V’ é calculado
encontrando o raio “x” do círculo do líquido sobre a cereja. Observando a semelhança dos triângulos,
temos:
i) 3 2  12  y 2  y 2  9  1  y  8  2 2
ii)
y 1
2 2 1
2
2
2
 
 x
x
.
 2
4 x
4
x
2
2 2
 
2
.x 2 .h . 2 .(4) 4(2) 8
iii) V' 



3
3
3
3
3
3
4.r
4.(1)
4
ii) Vcereja 


3
3
3
8 4 4
V  V'Vcereja 


cm3
3
3
3
.
LISTA DE PIRÂMIDES - GABARITO
1 – Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a
área total.
Solução. Observando os elementos na figura, temos:
i) Volume: V pirâm ide 
Ab .h 62 .4 (36).4


 (12).(4)  48m3
3
3
3
g  32  4 2  9  16  5m
 Ab  (6) 2  36m 2
 At  Ab  Al  36  60  96m 2

 (6).(5) 
2


A

4
.

4
15

60
m


 l
 2 

ii) Área total: 
2 – Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema
5cm e apótema da base 2cm.
Solução. Se o apótema da base mede 2cm, então a aresta da base mede 4cm. Observando os elementos na
figura, temos:
h  52  2 2  21cm
 Ab  (4) 2  16cm2
 At  Ab  Al  16  40  56cm2

 (4).(5) 
2
 Al  4. 2   410  40cm



i) Áreas: 
ii) Volume: V 
Ab .h 16.( 21) 16 21 3


cm
3
3
3
3 – Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base 288 3m e apótema 13m.
Solução. A área da base é o sêxtuplo da área de um triângulo eqüilátero com lado de mesma medida da
aresta do hexágono. Temos:

l2 3 
2

 Ab  6.
  6. l 3   288 3  l 2  (4).(288)  l  192  8 3m
4



 4 
6



 Ab  288 3
O apótema do hexágono é a altura do triângulo eqüilátero. A altura da pirâmide
é calculada com a relação de Pitágoras no triângulo retângulo de hipotenusa
13m.
 

 l 3  8 3 3 (8)(3)

 12m
A .h 288 3 .(5)
a p   2  
2
2
V  b 
 96 3 .(5)  480 3m3



3
3

h  132  122  169  144  25  5m




4 – Uma pirâmide triangular regular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da
pirâmide.
Solução. A base é um triângulo eqüilátero cujo apótema mede a terça parte da altura (o centro da
circunferência circunscrita é o baricentro do triângulo). Temos:
a p  4

l 3
24 24 3
l 

.
 8 3cm

1  l 3   4 
6
a

3
3
3
p

3  2 

 
 8 3 2 3
l2 3 
.(5)

.h 




4
4 
 64(3) 3 
A .h

.(5)  16 3 (5)  80 3cm3
O volume vale: V  b  

 

3
3
3
12




5 – Considere uma pirâmide quadrangular regular inscrita em um cubo de 2cm de aresta. Calcule:
a) a área lateral da pirâmide; b) a área total da pirâmide;
c) a razão entre o volume da pirâmide e do cubo;
d) a razão entre as áreas totais da pirâmide e do cubo.
Solução. Observando a figura e seus elementos, temos:
a)
h  2cm
2
2
a  1cm  g  2  1  5cm
 p
 (2).( 5 ) 
  4 5cm2
Al  4.

 2 
 Ab  (2) 2  4cm2
 At  4 1  5 cm2
b) 
2
 Al  4 5cm


8
Ab .h 4
. 2 8 3

V pirâm ide 3 8 1 1

 cm
V pirâm ide 

  .  d)
3
3
3
c) 
Vcubo
8 3 8 3
V  (2).(2).(2)  8cm3
 cubo
A(total) pirâm ide 4 1  5 1  5


A(total) cubo
6
6.(2) 2

 

6 – Um prisma de base pentagonal possui 360m3 de volume. Qual o volume de uma pirâmide com mesma base
e mesma altura?
V prism a  360m3
360m3


 120m3
Solução. O volume do prisma é o triplo do volume da pirâmide: 
V prism a
3
V pirâm ide 
3

7- Numa pirâmide regular de base triangular, a aresta da base mede 2 3cm e a altura mede 4cm. Calcule o
apótema da base, o apótema da pirâmide e a aresta lateral.
Solução. O apótema da base é a medida da distância do baricentro do triângulo até a aresta.
Vale a terça parte da altura do triângulo eqüilátero.
a  2 3
h  4

1  2 3 3 

a


1
cm
 g  16  1  17cm
i) 
ii)



1 l 3
p
3  2 
g  4 2  12
a p  3  2 



2
iii) L  g 
 3
2

 17   3
2
2
 17  3  20  2 5cm
8 – Uma pirâmide e um prisma têm a mesma base. A altura da pirâmide vale o sêxtuplo da altura do prisma.
Sendo V1 o volume da pirâmide e V2 o volume do prisma, mostre que V1 = 2V2.
Solução. Expressando as medidas indicadas e estabelecendo as relações, temos:
Ab .(6h)

A .(6h)
V pirâm ide  V1 
 2 Ab .h  2V1
3  V1  b

3
V prism a  V2  Ab .h

9 – A base de uma pirâmide regular de altura 3r é um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio r.
Calcule o volume dessa pirâmide.
Solução. O lado do hexágono inscrito possui a mesma medida do raio. A área é o sêxtuplo da área do
triângulo eqüilátero.
 r2 3 

l2 3 
 r2 3 


3
.
  3.

 Ab  6.
 2 .(3r ) 3r 3 3





 4 
 2  V  


3
2
Ab .(h)

V pirâm ide  3
10 – Calcule o volume de uma pirâmide triangular regular de aresta lateral igual a 13cm e cuja base está inscrita
num círculo de área 25 .cm2 .
Solução. O triângulo inscrito é eqüilátero, pois a pirâmide é regular. A altura H da pirâmide intersecta a
base no baricentro do triângulo distante 2/3 da altura “h” em relação ao vértice. Calculando os elementos
da pirâmide, temos:
 Acircunf  r 2
 r 2  25  r  25  5cm

 Acircunf  25
i) a  r 3  5 3cm
2h 2  15 


a 3 5 3 3 15  x  3  3 . 2   5cm


h 
2
2
2

 
L2  H 2  x 2
 H  169  25  144  12cm

H  132  52
2
ii) 
a 2 3 5 3 3 75 3
 Ab 



4
4
4
H  12

 
 75 3 

.(12)
Ab .H  4 
75 3


.(12)  75 3cm3
ii) V 
3
3
12
11 – (VUNESP) As arestas do prisma triangular reto mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida.
Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que o
tetraedro MBQR tenha volume igual a
1
do volume do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter
3
BM igual a:
a)
3
AB
4
b)
2
AB
3
c)
3
AB
5
d)
1
AB
3
1
AB
6
e)
Solução. Todas as arestas possuem medida AB que também é a medida da altura
do prisma. Calculando os volumes do prisma e tetraedro, temos:
AB
 A .h 
2
i) V prism a
b
3
4
AB
.AB 
4
3
 
3
    
2
2
Ab .h 1  AB 3 
MB . AB 3
 .
. MB 
ii) Vtetraedro 
3
3 
4 
12
AB

3
iii) Vsólido  V p  Vt
4
3
MB. AB

2
12
  
iii)
1
MB . AB
Vtetraedro  .VSólido 
3
12
2
3
3
 
3
  
3 AB 3 MB . AB


12
12
  

2
3
AB 33.AB  MB

2
12
2
1  AB 3 3.AB  MB 
3.AB  MB
 .

  MB 
3 
12
3

 3.MB  3.AB  MB  4.MB  3.AB  MB 
3.AB
4
12 – (VUNESP) A figura a seguir mostra uma pirâmide regular de base quadrada cuja altura tem a mesma
medida que as arestas da base. Pelo ponto médio M da altura OQ, traça-se o segmento MN perpendicular à
aresta OA. Se “a” expressa a medida de MN, determine o volume da pirâmide em função de “a”.
Solução. Os triângulos ONM e OAQ são semelhantes. Temos:
AQ 
y 2  diagonal


2
2


2

y 2
2
2
2
2

 OA  OQ  AQ  y  
 2 


  OA  y 3  y 6

2
2

2
y 2 3y 2
2

 OA  y 
2
2

y
NM OM
a
y 2 2 ay 6
4a 6


 2 

y
 2a 3
4
2
AQ OA
y 2 y 6
2 2
2
2
     
 


3
 
A .h y 2 . y y 3 2a 3
8a 3 3 3



 8a 3 3
O volume da pirâmide vale: V  b 
3
3
3
3
3
13 – (VUNESP) Na figura, os planos  e  são perpendiculares e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A,
B, C, e D com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o ponto de interseção das diagonais do
quadrado. Seja Q, em , o ponto sobre o qual cairia P se o plano  girasse de 90° em torno de r, no sentido
indicado na figura, até coincidir com . Se AB = 2 3cm , calcule o volume do tetraedro APDQ.
Solução. O segmento AD é aresta e possui a mesma medida de AB. Os segmentos AP e PD medem a
metade da diagonal do quadrado e APD é retângulo e isósceles. A altura “h”
do tetraedro vale a metade do lado do quadrado. Temos:
 
     


DP . AP
6. 6
a 2 2 3 2

3

 6  A ADP 
 AP 

2
2
2
2


A ADP .h 3. 3
h  a  2 3  3
V


 3cm3
tetraedro


3
3
2
2

 
14 – (VUNESP) A figura representa uma pirâmide com vértice num ponto E. A base é um retângulo ABCD e a
face EAB é um triângulo retângulo com o ângulo reto no vértice A. A pirâmide apresenta-se cortada por um
plano paralelo à base, na altura H. Esse plano divide a pirâmide em dois sólidos: uma pirâmide EA'B'C'D' e um
tronco de pirâmide de altura H. Sabendo-se que H = 4cm, AB = 6cm, BC =
3cm e a altura h = AE = 6cm, determine:
a) o volume da pirâmide EA'B'C'D';
Solução. Considerando h’ a altura da pirâmide menor EA’B’C’D’ temos
que h’ = h – H = 6 – 4 = 2cm. Aplicando a propriedade da razão entre as
áreas, temos:
A( A'B'C 'D') h'2
A( A'B'C 'D') 22
(18).(4)
 2 
 2  A( A'B'C 'D') 
 2cm2
i)
A( ABCD)
(6)(3)
36
h
6
ii) V( EA'B'C 'D') 
A( A'B'C 'D') .h' (2).(2) 4 3

 cm
3
3
3
b) o volume do tronco de pirâmide.
Solução. O volume do tronco é a diferença entre os volumes das pirâmides maior e menor.
A( ABCD) .h (6.3).(6)


 36cm3
V( EABCD) 
4 108  4 104 3
3
3
 VTronco  V( EABCD)  V( EA'B'C 'D')  36  

cm

A
.
h
'
3
3
3
(
2
).(
2
)
4
(
A
'
B
'
C
'
D
'
)
V

 cm3
 ( EA'B'C 'D') 
3
3
3
15 – (UNICAMP) Dado um cubo de aresta L, qual é o volume do octaedro cujos vértices são os centros das
faces do cubo?
Solução. O volume do octaedro é o dobro do volume da pirâmide quadrangular regular de aresta da base
“a”.
 L2  L 2
 L  L
a        2  
2
2 2
4
  L 2 2  L  

 .  


2   2    L3  L3
 A .h 
  2  
V  2 b   2 
3
  12  6
 3  




2
2
16 – (UNICAMP) A figura mostrada é um cubo cuja aresta mede 2cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1
Solução. A aresta AD1 é a altura da pirâmide.
(2).(2)
 2cm2
2
A( ABC) .h (2).(2) 4 3


 cm
3
3
3
A( ABC) 
V( ABCD1 )
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1.
Solução. O volume da pirâmide de base BCD1 e altura “d” possui o mesmo valor da pirâmide ABCD1. O
lado D1C do triângulo é a diagonal do quadrado. Temos:
D1C  2 2cm
A( BCD1 ) 

V( ABCD1 )

V
 ( ABCD1 )
( D1C).(BC) (2 2 ).(2)

 2 2cm2
2
2
A( BCD1 ) .d ' (2 2 ).(d )


(2 2 ).(d ) 4
4
2
3
3

 d 

 2cm
3
3
4
2 2
2

3
17 – (FUVEST) A base de uma pirâmide regular é um quadrado
ABCD de lado 6cm e diagonais AC e BD. A distância de seu
vértice E ao plano que contém a base é 4cm.
a) Determine o volume do tetraedro ABDE.
Solução. A figura sombreada possui área da base metade da área do quadrado. Seu volume vale:
(6).(6)
 18cm2
2
A
.h (18).(4)
 ( ABC) 
 24cm3
3
3
A( ABD) 
V( ABDE)
b) Determine a distância do ponto B ao plano que contém a face ADE.
Solução. A face ADE possui base 6 (lado do quadrado) e altura “g”, apótema da pirâmide. A distância
“d” pedida é a altura da pirâmide com base ADE e mesmo volume que ABDE.
g  32  4 2  25  5cm
(6).(5) 30
A( ADE) 

 15cm2
2
2
V( ABDE)  24
(15).(d )
72

 24  d 
 4,8cm

A( ADE) .d 

3
15
V( ADEB) 
3

18 – (FUVEST) Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de altura 8m e base
quadrada de lado 6m. Apoiada na base encontra-se uma pirâmide sólida reta de altura 8m e base quadrada com
lado 6m. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da
base (h8). Determine o volume da água para um valor arbitrário de h, O  h  8.
Solução. Supondo que a caixa está cheia até uma altura “h”, observamos que o
volume de água é a diferença entre o volume total da caixa e o da parte vazia
fora da pirâmide. Temos:
Vágua = volume abaixo do plano em vermelho fora do tronco.
VT = volume exterior à pirâmide maior.
VVazio = volume acima do plano em vermelho fora da pirâmide menor.
VG = volume da pirâmide maior.
VM = volume da pirâmide menor.
(6.6.8)

3
VT  V paralelepípedo  VG  (6.6.8)  3  288  96  192m

3
VM (8  h) 3
VM (8  h) 3
8h
 V  83  96  83  VM   8  .(96)


 G

3
3
3
V  6.6.(8  h)  8  h .(96)  36(8  h)  8  h .(96)  288  36h  38  h
 vazio
512
16
83

3
3
V  V  V  192  288  36h  38  h    38  h  36h  96m3

 

vazio
 água T
16   16



19 – (FUVEST) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de
AB e CD, respectivamente. Então, o valor de EF é:
Solução. No tetraedro regular todas as faces são triângulos eqüiláteros. O segmento
FB é a altura da face BCD. O segmento EB vale a metade da aresta do tetraedro.

a 3
FB  h 
2  EF 
Temos: 
EB  a
2

2
2
2
 a 3   a 2

     3a  a  a 2
 2   2
4
4
2


20 – (FUVEST) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que
ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado L e que E é o ponto médio do segmento AB. Se a medida do
ângulo VÊC é 60°, então o volume da pirâmide é:
Solução. A área da base será a do triângulo eqüilátero ABC. A altura “g” da face AVB é a do triângulo
eqüilátero. Os elmentos H, g e x da pirâmide serão calculados pelas razões trigonométricas.

g  L 3

2

 L 3 1 L 3
x
.  
  cos 60º  x  
 2
g
2
4




 H  tg 60º  H   L 3 . 3  3L
 4 
x
4



 
 L2 3   3L 


 4 . 4  3L3 3 L3 3

V  


3
48
16
LISTA DE PIRÂMIDES – 2011 - GABARITO
1. Determine a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 2m.
Solução. O tetraedro regular é uma pirâmide cujas faces são todos triângulos eqüiláteros. A altura será
calculada pela relação g 2 = h2 + m2, onde “g” é o apótema da pirâmide (no caso altura no triângulo
equilátero da face), “m” é o apótema da base (também triângulo equilátero).
 l2 3  2
2
2

 4   l 3  (2) 3  4 3 m .


i) A Total  4
g
ii)
 
l 3 2 3
1  l 3  1
3

 3; m  .
 . 3 

2
2
3 2  3
3
 
2
.
 3
  3  3  24  2 6
h  g m 
3  

9
9
3
 3 
 l 2 3  (2)2 3. 2 6 

.h 
 3  8 18 8.3 2 2 2
 A .h 



V   base    4


m3


3
3
12
36
36
3






2
2
2
2. Uma pirâmide regular triangular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da
pirâmide.
Solução. A pirâmide triangular regular possui como base um triângulo equilátero.

1  l 3  l 3
Apótema da base (m)  .
l 3
24 24 3


.
 8 3 cm
3

 2  6  6  4 l 
3
3 3

Apótema da base (m)  4
.
l 3 
2

.h 
A
.
h


  8 3 3.5  (64)(3)(5) 3  (64)(5) 3  (16)(5) 3  80 3 m3
V   base    4
12
12
4
 3   3 


2
 
3. Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base, a área
lateral e o volume da pirâmide.
Solução. A pirâmide hexagonal regular possui como base um hexágono regular que é
formado por seis triângulos eqüiláteros cujos lados possuem a mesma medida do
lado do hexágono. O apótema da base (m) é a altura de um dos triângulos eqüiláteros
de lado 3m.
 l2 3   (3)2 3  27 3 2
 

 4   3 2   2 m .

 

i) A base  6
2
3 3 
  16  27  91  91
g  4  

2
4
4
2 .


  91  9 91 2
 b.g 
 
A lateral  6   3(3).
m

2
 2 
  2 
2
ii)
iii)
 27 3


.(4) 
A
.
h


  18 3 m3 .
V   base    2


3
 3 




4. Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm,
sabendo que a aresta da base mede 12cm.
Solução. O apótema da base vale a metade da medida da aresta. Logo, m = 6cm.
 b.g 
. 10  240 cm2 .
  212
2
 
i) A lateral  4
g  10; m  6
ii) h  (10) 2  (6) 2  100  36  64  8 cm
.
 A .h   l 2 .h   (12) 2 .(8)  (144).(8)
  
 
V   base   
 (48)(8)  384 m3
3
3
 3   3  

5. Calcule o volume da pirâmide quadrangular na qual todas as arestas valem 2cm.
Solução. Se todas as arestas medem 2cm, então a base é um quadrado e as faces são triângulos
eqüiláteros. Logo, o apótema da base (m) mede a metade da aresta e o apótema da pirâmide (g) é a altura
de um triângulo equilátero de lado 2cm.
g
h
l 3 2 3

 3; m  1
2
2
 3
2
 (1)2  3  16  2
 A .h   l 2 .h   (2)2 .( 2 )  4 2
3
 
V   base   
  3 cm
3
 3   3  

.
6. Calcule o volume da pirâmide triangular regular de aresta lateral 13cm e cuja base está inscrita num círculo
de área 25cm .
Solução. A base é um triângulo equilátero. A altura da pirâmide pode ser calculada pela
relação 132 = r2 + h2. O raio será calculado de acordo com a área indicada.
.r 2  25  r  25  5 cm; l  r 3  l  5 3 cm
132  (5)2
h
 169  25  144  12 cm
 
 l2 3   
2

   5 3 3 .(12) 
.
h
 A .h 

  
 5 3
V   base    4


3
12


 3 

 



 
2
3  75 3 cm3
7. (UFG) A figura abaixo representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base quadrada, na qual foi
construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela a base. Se os lados da base e da plataforma medem,
respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em metros, é:
a) 75
b) 90
c) 120
d) 135
e) 145
Solução. A base da plataforma determina duas pirâmides semelhantes. Os lados
das bases e as alturas são proporcionais entre si.
l h
10
x
 

 18x  600  10x  18x  10x  600 
L H 18 60  x
.
600
x
 75m
8
A altura da torre será a soma (x + 60) = 75 + 60 = 135m.
8. (UFPE) Uma pirâmide regular com base quadrada ABCD e vértice V têm o angulo AVB medindo 45º,
segundo a ilustração abaixo. Qual o cosseno do angulo formado pelas arestas opostas VA e VC?
a)
2 1
3 1
b)
2
2
c)
d)
3
2
e)
1
2
Solução. As arestas laterais medem todas “l” e as arestas da base, “a”. O ângulo
pedido AVC está oposto ao lado AC que é a diagonal da base ABCD. A face
AVB possui lado “a” oposto ao ângulo de 45º. Aplicando a lei dos cossenos nesta
a 2  l 2  l 2  2(l).(l). cos 45º
 2
face, temos: 2
.
  a 2  2l 2  2.l 2  l 2 2  2
a  2l 2  2l 2 .

 2 




a  l 2 2  2  l. 2  2




A diagonal da face será: d  a 2  l. 2 2  2 .
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AVC em relação ao lado “d”, temos:



2

d2  l 2  l 2  2(l).(l). cosAVC   l. 2 2  2   2l 2  2l 2 . cosAVC  2l 2 2  2  2l 2  2l 2 . cosAVC 


.
2l 2 1  2
 2l 2  2l 2 2  2l 2 . cosAVC  2l 2 1  2  2l 2 . cosAVC  cosAVC 
  1 2
2
 2l
Logo, cosAVC  2  1



 

9. (UNIVASF) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área
lateral medindo 144 2 cm2 . O volume dessa pirâmide, em cm3, é:
a) 72 2
b) 288
c) 576 2
d) 864
e) 2304
Solução. Se o lado da base é o dobro da altura, o apótema da base medirá m = h. Utilizando as
informações e calculando “g”, temos:
g2  h 2  h 2  g  2h 2  h 2



 b.g 
.
144
A lateral  4 2   2 (2h).(h 2 )
 4 2.h 2  144 2  h 2 
 h  36  6
 

4
A
 lateral  144 2
 A .h   l 2 .h   (12) 2 .(6) 
  (144)(2)  288
  
V   base   
3
 3   3  

10. (UFPE) Qual o volume de um tronco de pirâmide sabendo que suas bases são quadrados de lados 4cm e
6cm situados em planos paralelos cuja distância e 3cm?
Solução1. Utilizando a fórmula:
B : área da base maior; b : área da base menor
V

 

.
h. B  B.b  b 3. 36  (36).(16)  16

 36  (6)(4)  16  76cm3
3
3
Solução2. Calculando a altura da pirâmide retirada:
4
x
12

 6x  12  4x  6x  4x  12  x 
 6 cm
6 3x
2

(4) 2 .(6)
 32cm3
V(menor) 
3
 VTronco  108  32  76cm3

2
(
6
)
.(
9
)
V(maior) 
 108cm3

3
11. (ITA) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura 10m. A que distancia do vértice devemos cortá-la
por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide
original?
a) 2 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
e) 8 m
Solução. Considere “v” o volume da pirâmide menor (acima do plano de corte) e “V” o volume da
pirâmide inteira. Pela relação de proporcionalidade, temos:
 v  h 3
3
  
v h
h 3 1
h 1
 V  10 

  


  2h  10  h  5m

8v  10 
10
8
10 2
V

v  8  V  8v
12. (FUVEST) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4cm e BC = 3cm. As áreas
dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 cm e 2 37 cm. Calcule o volume da pirâmide.
Solução. As áreas laterais de ABE e CDE são diferentes. Logo os
respectivos apótemas também o são. Considerando g1 e g2 os
respectivos apótemas de CDE e ABE. Temos:
(4).g1

A(CDE) 
2  2g1  2 37  g1  37

A(CDE)  2 37
.

(4).g2

A( ABE) 
2  2g2  4 10  g2  2 10

A( ABE)  4 10

A altura da pirâmide não intercepta a base em seu centro. Considerando “x” e “3-x” as distâncias
respectivas da interseção da altura com a base até os lados AB e CD, temos:
 
 
2
g12  h2  (3  x)2  37  h2  9  6x  x2 37  h2  9  6x  x2 28  h2  6x  x2  (1)





2
2
2
2
2
g22  h2  ( x)2
40  h  x
40  h  x
 2 10  h2  ( x)2
12
.
 40  28  6x  x 
 2.
6
Logo, 40  h2  (2)2  h2  40  4  h  36  6.
O volume será então: V   Abase.h    (4)(3).(6)   24cm3
3
 3  

LISTA DE EXERCÍCIOS - CILINDROS 01) O diâmetro da base de um cilindro reto é 12 cm e a altura é 5 cm. Calcule sua área total.
02) Quantos litros comportam, aproximadamente, uma caixa-d’água cilíndrica com 2m de diâmetro e
70 cm de altura?
03) Um reservatório para álcool tem a forma de um cilindro reto com 16m de altura e 8m de
diâmetro da base. Qual a capacidade, em litros, do reservatório?
04) Determine o volume do cilindro inscrito num cubo de aresta 2 cm.
2cm
1cm
2cm
05) Deseja-se construir uma caixa-d’água em forma de cilindro reto, de 1,6m de raio e cuja
capacidade seja de 20000 litros. Qual deve ser aproximadamente a altura dessa caixa-d’água?
06) Calcule a área lateral e a área total de um cilindro equilátero de 20m de raio.
07) Um cilindro eqüilátero tem 54 cm3 de volume. Calcule a sua área lateral.
08) Calcule o volume da parte colorida do sólido.
20 cm
6 cm
10 cm
09) O tonel representado ao lado está ocupado em 60% de sua capacidade. Qual a quantidade de
água nele contida, em litros?
60
cm

10) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 6
e 12 cm de altura. Quantos ml de cerveja cabem nessa lata?
50 cm
cm de diâmetro
11) Calcule a área lateral de um cilindro reto, sendo 12 m2 sua área total e o raio, 1 da altura.
5
12) Um retângulo de 1m e 2m de dimensões gira em torno do seu menor lado. Determine o volume
do sólido gerado.
13) Qual é o volume de um cilindro de revolução de raio da base r = 4,0 dm e altura 7,5 dm?
14) Sabendo que a seção meridiana de um cilindro é um quadrado de 36 cm2 de área, calcule a área
lateral do cilindro e o volume.
15) Se a área da seção meridiana de um cilindro equilátero é 100 cm2, qual é o volume, em cm3,
deste sólido?
16) Qual a capacidade, em mililitros, de uma lata em forma de cilindro reto, com 10 cm de diâmetro
da base e 20 cm de altura?
17) A altura de um cilindro é 5/3 do raio da base. Determine a área da base desse cilindro, sendo
64 cm2 sua área lateral.
18) Determine a área total de um cilindro, sabendo que a área lateral é igual a 80 cm2 e a sua seção
meridiana é um quadrado.
19) Um cilindro circular reto tem raio igual a 3 cm e altura 3cm. Determine o volume.
20) Qual a altura do cilindro, sendo r = 150m e 900 m2 sua área lateral?
21) Determine o raio de um círculo cuja área é igual à área lateral de um cilindro equilátero de raio
r.
22) A área lateral de um cilindro de revolução de 10 cm de raio é igual a área da base. Calcule a
altura do cilindro.
23) O raio da base de um cilindro circular reto mede 3 cm e a altura 3 cm. Determine a área lateral
desse cilindro.
24) Um cilindro tem 2,7 cm de altura e 0,4 cm de raio da base. Calcule a diferença entre a área
lateral e a área da base.
25) Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determinar a
superfície total do depósito.
26) Calcular a medida do raio da base de um cilindro sabendo que sua área lateral mede 300 cm2 e
a geratriz 40 cm.
27) Determinar a medida da geratriz de um cilindro sendo 250 cm2 a medida de sua área lateral e
10 cm o raio de sua base.
28) Calcular a área total de um cilindro que tem 24 cm de diâmetro da base e 38 cm de altura.
29) Determine a área lateral e o volume de um cilindro de altura 10 cm, sabendo que a área total
excede de 50 cm2 sua área lateral.
30) Quantos metros cúbicos de terra foram escavados para a construção de um poço que tem 10m
de diâmetro e 15m de profundidade?
31) Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm de profundidade. Quantos litros de
água pode conter?
32) O raio interior de uma torre circular é de 120 cm, a espessura 50 cm e o volume do material
utilizado na construção é 145 m3. Qual é a altura da torre?
33) Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro depois de
um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20
cm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro sabendo que no recipiente alcançou 180 mm?
34) Calcular a área lateral, área total e volume de um cilindro reto de 5 cm de raio sabendo que a
secção meridiana é equivalente à base.
35) O que ocorre com o volume de um cilindro quando o diâmetro da base dobra? E quando
quadruplica? E quando fica reduzido à metade?
36) Determinar o volume de um cilindro reto, sabendo que a área de sua base é igual à sua área
lateral, e a altura igual a 12m.
37) Qual a relação entre as alturas de um cilindro de revolução e uma pirâmide equivalente se as
bases também são equivalentes?
38) Determinar a altura de um cilindro reto de raio da base r, sabendo que é equivalente a um
paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c.
39) Determine a área lateral de um cilindro reto sendo S a área de sua secção meridiana.
40) Determine a razão entre a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro.
41) Determinar o volume de um cilindro reto de raio r, sabendo que sua área total é igual à área de
um circulo de raio 5r.
42) A área total de um cilindro de raio r e altura h é o triplo da área lateral de um outro cilindro de
raio h e altura r. Calcular r em função de h.
43) Um cilindro reto tem 16 cm2 de área de base e 60 cm2 de área lateral. Determine a medida de
sua altura.
44) Cada um dos raios das bases de dois cilindros é, respectivamente, a altura do outro. Sabendo
que a razão entre os raios dos dois cilindros é K, estabelecer a razão entre as áreas totais desses
dois cilindros.
45) Calcular a área lateral de um cilindro de revolução, conhecendo seu volume V e seu raio da base
r.
46) Determinar a área lateral, a área total e o volume de um cilindro equilátero de altura h.
47) Determinar o volume de um cilindro equilátero em função de sua área total At.
48) Num cilindro com água colocamos uma pedra. Determinar o volume dessa pedra, se em virtude
de sua imersão total a água elevou-se de 35 cm, sendo 50 cm o raio da base do cilindro.
49) O desenvolvimento de uma superfície cilíndrica de revolução, é um retângulo de 4 cm de altura
e 7 cm de diagonal. Calcule a área lateral do cilindro.
LISTA DE PIRÂMIDES - 2011
1. Determine a área total e o volume de um tetraedro regular cuja aresta mede 2m.
2. Uma pirâmide regular triangular tem 5cm de altura e o apótema da base mede 4cm. Calcule o volume da
pirâmide.
3. Uma pirâmide hexagonal regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 3m. Calcule a área da base, a área
lateral e o volume da pirâmide.
4. Determine a área lateral e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cujo apótema mede 10cm,
sabendo que a aresta da base mede 12cm.
5. Calcule o volume da pirâmide quadrangular na qual todas as arestas valem 2cm.
6. Calcule o volume da pirâmide triangular regular de aresta lateral 13cm e cuja base está inscrita num círculo
de área 25cm .
7. (UFG) A figura abaixo representa uma torre, na forma de uma pirâmide regular de base
quadrada, na qual foi construída uma plataforma, a 60 metros de altura, paralela a base. Se os
lados da base e da plataforma medem, respectivamente, 18 e 10 metros, a altura da torre, em
metros, é:
a) 75
b) 90
c) 120
d) 135
e) 145
8. (UFPE) Uma pirâmide regular com base quadrada ABCD e vértice V têm o angulo
AVB medindo 45º, segundo a ilustração abaixo. Qual o cosseno do angulo formado pelas
arestas opostas VA e VC?
a)
2 1
b)
3 1
c)
2
2
d)
3
2
e)
1
2
9. (UNIVASF) Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área
lateral medindo 144 2 cm2 . O volume dessa pirâmide, em cm3, é:
a) 72 2
b) 288
c) 576 2
d) 864
e) 2304
10. (UFPE) Qual o volume de um tronco de pirâmide sabendo que suas bases são quadrados de lados 4cm e
6cm situados em planos paralelos cuja distância e 3cm?
11. (ITA) Seja uma pirâmide de base hexagonal e altura 10m. A que distancia do vértice devemos cortá-la
por um plano paralelo a base de forma que o volume da pirâmide obtida seja 1/8 do volume da pirâmide
original?
a) 2 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 6 m
12. (FUVEST) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4cm
e BC = 3cm. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 10 cm e
2 37 cm. Calcule o volume da pirâmide.
e) 8 m