Capítulo 3
Derivadas de funções complexas
3.1. Introdução
O primeiro estudo sistemático das funções complexas e das suas aplicações a
problemas de análise, hidrodinâmica e cartografia deve-se a L. Euler, em 1776-77.
Contudo, funções deste tipo tinham sido anteriormente consideradas por outros
matemáticos, com destaque para J. d’Alembert1 que utilizou funções complexas em
1752, no âmbito do estudo do movimento de fluidos. Euler obteve, então, condições
necessárias para a diferenciabilidade de uma função complexa, embora não as tenha
explorado completamente. Estas condições resultam da forma especial das funções
lineares complexas, dado que a diferenciabilidade de uma função num ponto corresponde
a poder ser aproximada por uma função linear numa vizinhança desse ponto.
Por volta de 1825, A.L. Cauchy2 deu um sentido preciso à noção de derivada de
uma função, tornando rigorosa a noção de limite da sua razão incremental, na sequência
de uma ideia de d’Alembert cerca de 1752. Cauchy deu passos decisivos no estudo das
funções complexas com base nas condições necessárias de diferenciabilidade obtidas por
Euler, mas só com o trabalho de B. Riemann3, em 1851, é que estas condições são
plenamente exploradas. Ficaram conhecidas por “condições de Cauchy-Riemann”.
Podem ser expressas por equações que relacionam as derivadas parciais das partes real e
imaginária da função. Estabelecem que a diferenciabilidade de funções complexas
1 Jean le Rond d’Alembert (1717-1783).
2 Augustin Louis Cauchy (1789-1857).
3 Bernhard Riemann (1826-1866).
23
24
Derivadas de funções complexas
implica fortes restrições de interligação das suas partes real e imaginária, ausentes na
diferenciabilidade de funções de ℝ 2 em ℝ 2 .
As transformações lineares definidas pelas derivadas de funções complexas
diferenciáveis num conjunto aberto correspondem a relações geométricas de semelhança
do domínio para o contradomínio, isto é, transformações que preservam ângulos entre
rectas e expandem (ou contraem) comprimentos uniformemente em todo o espaço. Como
as derivadas de uma função definem transformações lineares que são boas aproximações
locais da função, as propriedades referidas tendem a ser satisfeitas pela função, no limite
quando se tende para um ponto de diferenciabilidade. Euler chamava-lhes
“transformações infinitesimamente semelhantes” para traduzir a ideia de, na vizinhança
de cada ponto, tenderem a definir transformações de semelhança no sentido da geometria
elementar (triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais e lados
correspondentes proporcionais com a mesma constante de proporcionalidade). Estas
transformações foram consideradas nos trabalhos de Euler de 1777 sobre cartas
geográficas da Rússia, de cuja elaboração foi encarregado pela Academia das Ciências de
S. Petersburgo. Na verdade, um aspecto essencial para o uso prático de mapas é que o
“traçado de rumos” definindo um ângulo de direcção de percurso com uma direcção de
referência (por exemplo, com o Norte magnético ou celeste) possa ser feito marcando o
mesmo ângulo numa carta plana, o que exige a preservação de ângulos na construção de
mapas planos da superfície do globo terrestre e, portanto, a propriedade de
corresponderem a “transformações infinitesimamente semelhantes”. A designação
“transformações conformes”, utilizada para transformações do plano com as
propriedades geométricas referidas, foi introduzida apenas em 1789 por S. Schubert,
académico de S. Petersburgo.
3.2.
Diferenciabilidade e derivadas de funções complexas
Seja f :   ℂ uma função definida num conjunto aberto não-vazio   ℂ. Dizse que f é diferenciável num ponto z 0   se existe o limite da razão incremental de
f entre z   e z 0 quando z  z 0 :
f ( z )  f ( z0 )
.
f ( z0 )  lim
z  z0
z  z0
A f ( z0 ) chama-se a derivada de f em z 0 . Se f é diferenciável em todos os pontos do
conjunto aberto que contém um conjunto não-vazio S   , diz-se que f é holomorfa
em S . O conjunto de todas as funções holomorfas em S designa-se por H (S ) . Chamase função inteira a uma função que é holomorfa em ℂ , isto é, o conjunto das funções
inteiras é H ( ℂ) .
(3.1) Exemplos:
1. A função complexa f ( z ) | z | 2 só é diferenciável no ponto z  0 . Na verdade, com
h  r e i  , r  0,  ℝ , obtém-se
3.3. Transformações conformes
25
f ( z  h)  f ( z ) ( z  h)( z  h )  z z z h  h z  h h


 z e  2 i   z  r e i  .
h
h
h
Como lim ( z e 2 i   z  r e i  )  z e 2 i   z , verifica-se que para z  0 este limite4 varia
r 0
com  , pelo que lim ( f ( z  h)  f ( z )) / h não existe, e para z  0 o limite existe e é
h0
zero. Portanto a derivada de f só existe no ponto z  0 e, neste caso, é nula.
2. As funções complexas constantes f ( z )  c são holomorfas em ℂ e têm derivada nula
em todos os pontos. Na verdade,
f ( z  h)  f ( z )
cc
f ( z )  lim
 lim
0 .
h 0
h 0
h
h
3. A função identidade f ( z )  z é holomorfa em ℂ e tem derivada f ( z )  1 em todos
os pontos. Na verdade,
f ( z  h)  f ( z )
( z  h)  z
lim
 lim
 lim 1  1 .
h 0
h

0
h 0
h
h
4. As funções potência de expoente inteiro positivo, f ( z )  z n , com n  ℕ, são
holomorfas em ℂ e têm derivada f ´(z )  n z n1 em todos os pontos. Na verdade, da
fórmula binomial de Newton5 obtém-se
n(n  1) 2 n  2
n h z n 1 
h z    n h n 1 z  h n
n
n
f ( z  h )  f ( z ) ( z  h)  z
2


h
h
h
e, portanto,
f ( z  h)  f ( z )
n(n  1) n2


f ( z )  lim
 lim  n z n1 
h z    n h n2 z  h n 1   n z n 1 .
h0
h

0
h
2


As derivadas nos exemplos anteriores foram calculadas directamente a partir da
definição, como limites de razões incrementais. Contudo, da definição de derivada de
funções complexas resultam propriedades de diferenciação de operações de funções
análogas às da diferenciação de funções reais e que se estabelecem de forma idêntica. Na
verdade, as somas, produtos e quocientes (com denominadores não nulos) de funções
complexas diferenciáveis num ponto são diferenciáveis nesse ponto e as composições de
funções complexas diferenciáveis em pontos correspondentes são diferenciáveis. As
regras de derivação associadas são:

f
f g  fg 
  
, ( f  g )  ( f   g ) g .
( f  g )  f   g ,
( fg )  f g  fg ,
g2
g
Portanto, as somas, produtos, quocientes (com denominadores que não se anulam) e
composições de funções holomorfas são funções holomorfas. Mais precisamente, com
S  ℂ , se f , g  H (S ) tem-se ( f  g ), ( fg )  H (S ) e ( f / g )  H (S \ g 1 {0}) ; se
4 O limite indicado é a derivada direccional da correspondente função em ℝ 2 no ponto ( x, y )  z
segundo o vector (cos  , sin  ) .
5 Isaac Newton (1642-1727).
26
Derivadas de funções complexas
g  H (S ), f  H ( g (S )) tem-se ( f  g )  H (S ) . Em particular, o conjunto das funções
holomorfas num conjunto S  ℂ é um espaço linear complexo com a soma e a
multiplicação por escalares complexos usuais.
(3.2) Exemplos
1. As funções polinomiais P( z )  k 0 ak z k são funções inteiras, visto que são somas
de produtos de constantes por potências de expoentes inteiros não negativos, as quais são
funções inteiras. As regras de derivação de operações de funções dão
n 1
P( z )  k 0 (k  1)ak 1 z k . Assim, a derivada de uma função polinomial de grau n é
uma função polinomial de grau n  1 .
n
2. As funções racionais P( z ) / Q( z ) , onde P, Q são funções polinomiais e Q não é o
polinómio zero, são holomorfas no seu domínio, isto é, no conjunto de pontos onde o
denominador Q(z ) não é zero, dado que são quocientes de funções inteiras. As derivadas
de funções racionais podem ser calculadas pela regra de derivação do quociente de
funções e a fórmula de derivação de polinómios do exemplo anterior.
Note-se que a função definida por
 f ( z )  f ( z 0 )  f ( z 0 ) ( z  z 0 )
, se z  z 0

(3.3)
E ( z, z 0 )  
z  z0

, se z  z 0
0
satisfaz lim E ( z, z 0 )  0 . Por outro lado, a função Tz0 : ℂ  ℂ, com Tz0 ( z )  f ( z0 ) z , é
z  z0
uma transformação linear no espaço linear complexo ℂ. Assim, dada a correspondência
entre pontos de ℂ e de ℝ 2 , a diferenciabilidade de uma função complexa f  (u, v) num
ponto z 0  ( x0 , y0 )  ℂ corresponde à diferenciabilidade da função (u, v) , definida em
pontos do espaço linear real ℝ 2 e com valores neste espaço, no ponto ( x0 , y 0 ) , com
derivada dada por uma transformação linear em ℝ 2 que corresponde a uma
transformação linear no espaço linear complexo ℂ. Designando ( A, B)  f ( z0 ) , pode-se
escrever a transformação linear Tz0 na forma
Tz0 ( x, y)  ( A  i B).( x  i y)  ( Ax  By )  i ( Bx  Ay )  ( Ax  By, Bx  Ay ) .
A representação matricial da correspondente transformação linear em ℝ 2 , na base
canónica, coincide com a matriz Jacobiana da função (u, v) no ponto ( x0 , y 0 ) e é

 A  B 
B A   

 

u
x
v
x
u
y
v
y


 .


Portanto, há consistência com a observação em Álgebra Linear das representações
matriciais das transformações lineares em ℝ 2 que correspondem a transformações
lineares complexas em ℂ serem, na base canónica de ℝ 2 , as matrizes 2  2 de
3.3. Transformações conformes
27
componentes reais com as duas componentes na diagonal principal iguais e as outras
duas componentes simétricas uma da outra.
Ficou provado o resultado seguinte.
(3.4) Teorema (equações de Cauchy-Riemann): Se f : S  ℂ , com S  ℂ , é
diferenciável num ponto z 0  S e f  (u, v) , então no ponto ( x0 , y0 )  z 0 verifica-se
u v
u
v
,
.


x y
y
x
Além disso, a derivada f  é dada por cada uma das fórmulas seguintes:
f
v
u def f
u
u
u
v def f
v
v
, f
, f
, f
.
i
i
i
i

i
y
y
y
x
y
x
x
x
y
x
É claro que as equações de Cauchy-Riemann estabelecem fortes restrições de
interligação das partes real e imaginária de funções complexas diferenciáveis, mas
também estabelecem restrições às próprias partes real e imaginária, o que é concretizado
com casos particulares nos exemplos seguintes.
(3.5) Exemplos:
1. Seja f  (u, v) uma função complexa holomorfa numa região   ℂ, cuja parte real é
u( x, y)  x 2  xy  y 2 . A equação de Cauchy-Riemann v / y  u / x é, neste caso,
v / y( x, y)  2 x  y . Primitivando em ordem a y obtém-se v( x, y)  2 xy  y 2 / 2  K ( x) ,
onde a constante de primitivação em ordem a y se representa por K (x) dado que pode
depender de x . A outra equação de Cauchy-Riemann, u / y  v / x , também tem de
ser satisfeita, o que equivale a  x  2 y  2 y  K ( x) e, portanto, a K ( x)   x , ou
seja, K ( x)   x 2 / 2 +c, onde c é uma constante real. Assim, uma função holomorfa
numa região com a parte real dada tem necessariamente de ter parte imaginária da forma
v( x, y)   x 2 / 2  2 xy  y 2 / 2  c , onde c é uma constante real.
2. Seja f  (u, v) uma função complexa definida num conjunto aberto   ℂ, cuja parte
real é u( x, y)  x 2  y 2 . Procedendo de forma análoga obtém-se v / y( x, y)  2 x ,
v( x, y)  2 xy  K ( x) , 2 y  2 y  K ( x) , o que é impossível. Portanto, não há funções
complexas holomorfas com parte real u( x, y)  x 2  y 2 .
A diferenciabilidade de uma função complexa num ponto corresponde aos
acréscimos dos valores da função numa vizinhança do ponto em relação ao valor nesse
ponto serem bem aproximados por uma função linear complexa, no sentido dos erros de
aproximação convergirem para zero quando os pontos no domínio convergem para o
ponto considerado. Geometricamente, esta situação corresponde ao gráfico da função em
ℝ 2 associada à função complexa admitir um plano tangente (não vertical) no ponto
correspondente ao ponto considerado. Esta tangência a um plano não vertical (gráfico de
28
Derivadas de funções complexas
uma função contínua em ℝ 2 ) implica que a função seja contínua no ponto de
diferenciabilidade.
(3.6) Teorema: Se   ℂ é um conjunto aberto e f :   ℂ é diferenciável num ponto
z 0   , então f é contínua em z 0 .
Dem. Com E ( z, z0 ) definida para z numa vizinhança de z 0 pela fórmula (3.3), tem-se
f ( z)  f ( z0 )  f ( z0 ) ( z  z0 )  E ( z, z0 ) . Como lim E ( z, z 0 )  0 , é lim f ( z )  f ( z0 )  0 ,
z  z0
z  z0
pelo que f é contínua em z 0 .
Q.E.D.
As equações de Cauchy-Riemann num ponto são necessárias para a
diferenciabilidade nesse ponto. O exemplo seguinte mostra que não são suficientes.
(3.7) Exemplo: Considera-se a função complexa f ( z )  | xy | , onde ( x, y)  z . Com
(u, v)  f , verifica-se u( x,0)  0 , u(0, y)  0 e v( x, y)  0 , pelo que (u / x)(0,0)  0 ,
(u / y)(0,0)  0 , (v / x)  0 , (u / y)  0 . Portanto, as equações de Cauchy-Riemann
são satisfeitas no ponto zero. Por outro lado, com h  r e i  , r  0,  ℝ , tem-se
f (h)  f (0) r | (cos  )(sin  ) |
| sin 2 |  i 


e .
i
h
re
2
Os valores desta função variam com  , por exemplo, o valor da função é zero para
  0 , e é (1/2,-1/2) para    / 4 . Portanto, lim ( f (h)  f (0)) / h não existe. Segueh 0
se que f não é diferenciável no ponto zero, mas as equações de Cauchy-Riemann
verificam-se nesse ponto.
Sabe-se do estudo de funções em ℝ 2 que uma condição suficiente para a
diferenciabilidade de uma função num conjunto aberto não-vazio é que as duas
componentes reais da função sejam C 1 nesse conjunto, isto é, as suas derivadas parciais
existam e sejam contínuas no conjunto. Esta propriedade permite estabelecer condições
em que as equações de Cauchy-Riemann são necessárias e suficientes para
diferenciabilidade de uma função complexa.
(3.8) Teorema: Seja   ℝ 2 um conjunto aberto não-vazio e u,v :   ℝ funções C 1 .
Então a função complexa f  (u, v) é holomorfa em  se e só se as equações de
Cauchy-Riemann se verificam em  .
Dem. Nas condições dadas, a função ( x, y)  (u( x, y), v( x, y)) em ℝ 2 é diferenciável em
 . A derivada é uma transformação linear em ℝ 2 que corresponde a uma transformação
linear no espaço linear complexo ℂ se e só se a sua matriz Jacobiana, na base canónica
de ℝ 2 , tem as componentes na diagonal principal iguais e as outras duas componentes
simétricas, ou seja, se e só se são satisfeitas as equações de Cauchy-Riemann.
Q.E.D.
3.3. Transformações conformes
29
(3.9) Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares
Em certos casos é útil considerar as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas
polares. As relações entre coordenadas cartesianas x, y e coordenadas polares r , são
x  r cos , y  r sin  . A transformação de coordenadas no domínio de funções
u( x, y), v( x, y) pode ser expressa na forma
u( x, y)  u(r cos , r sin  )  U (r, )
v( x, y)  v(r cos , r sin  )  V (r, ) .
,
Com a regra de derivação da função composta, obtém-se
u  cos   r sin  
U   u
 U


 r
y  
    x


 V
V   v
v  



   x
y   sin  r cos  
 r
As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são
pelo que
u
v def

 A
x
y
,
v
u def

 B,
x
y
 r ( A sin   B cos  )
U   A cos   B sin 
 U


 r
   

 V
V  



   A sin   B cos 
 r
r ( A cos   B sin  ) 
e, portanto, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são
V
U
U
V
(3.10)
,
.
r
 r

r

r
(3.11) Exemplos
1. Considera-se a função complexa f ( z )  e z . Com f  (u, v) e z  ( x, y) , verifica-se
e z  e x (cos y  i sin y) , pelo que u( x, y)  e x cos y e v( x, y)  e x sin y . Tem-se
u
v
u
v
 e x cos y ,
 e x sin y ,
 e x cos y .
 e x sin y ,
x
y
x
y
Estas funções são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em ℂ.
Conclui-se do teorema (3.8) que e z é uma função inteira. A sua derivada é
u
v
(e z ) 
 i  e x cos y  i e x sin y  e z .
x
x
Portanto, tal como no caso real, a derivada da exponencial é ela própria.
2. As funções complexas coseno e seno foram definidas por
ei z  e  i z
ei z  e  i z
cos z 
sin z 
,
.
2
2i
Como somas, produtos e composições de funções inteiras são inteiras, conclui-se que as
funções complexas coseno e seno também são funções inteiras. As suas derivadas são


 ei z  ei z  ie i z  ie i z
 ei z  e i z  ie i z  ie i z
 
 
(cos z )  
  sin z , (sin z )  
 cos z .
2
2
2i
2i




30
Derivadas de funções complexas
Portanto, tal como para as correspondentes funções reais, a derivada do coseno complexo
é o simétrico do seno e a derivada do seno complexo é o coseno.
A tangente complexa é tan z  (sin z) /(cos z) . Como é um quociente de funções inteiras,
esta função é holomorfa no seu domínio, isto é, no conjunto onde o denominador não se
anula, ℂ\ {z  ℂ : z   / 2   k , k  ℤ}. A derivada é
cos 2 z  sin 2 z
1
.
(tan z ) 

2
cos z
cos 2 z
Também neste caso, permanece válida a fórmula da derivação da tangente real.
3. De forma análoga, conclui-se que as funções complexas coseno hiperbólico e seno
hiperbólico são funções inteiras e que as suas derivadas são (cosh z)  sinh z ,
(sinh z)  cosh z . A tangente hiperbólica é holomorfa no seu domínio. A sua derivada é
(tanh z )  1/ cosh 2 z .
4. Como se viu na secção 2.6, o logaritmo complexo pode ser definido por escolhas em
infinitos valores, mas podem considerar-se funções dadas por cada ramo do logaritmo
ln z , por exemplo, ln | z |  i ( Arg z  2k ) , com k  ℤ fixo. Cada um destes ramos do
logaritmo complexo está definido em ℂ\{0} e é descontínuo no semieixo real negativo,
com a parte imaginária a aproximar-se de (2k  1) quando os pontos do domínio se
aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo superior (Im z  0 ) e de (2k  1)
quando os pontos do domínio se aproximam deste semieixo pelo semiplano complexo
inferior (Im z  0 ) . As partes real e imaginária de cada um destes ramos são, em
coordenadas polares r , com r e i   z e    (2k  1) , (2k  1)  , respectivamente
U (r, )  ln r e V (r , )   . Verifica-se U / r  1 / r , U /   0 e V / r  0 ,
V /   1 . Estas funções são contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
em coordenadas polares no conjunto (r, )   0,    (2k  1) , (2k  1)  , o qual
corresponde em coordenadas cartesianas a ℂ\ {(x,0)  ℂ : x  0 } . É claro que a
continuidade de U (r, ),V (r , ) no conjunto indicado implica a continuidade das partes
real e imaginária u( x, y), v( x, y) de cada ramo do logaritmo considerado no conjunto
ℂ\ {(x,0)  ℂ : x  0 } . Conclui-se do teorema (3.8) que cada uma destas funções
logaritmo é holomorfa no conjunto referido. A sua derivada pode ser facilmente
calculada pela regra de derivação da função composta, derivando e ln z  z . Obtém-se
e ln z (ln z )  1 e, portanto, (ln z )  1 / z , o que generaliza a fórmula análoga para a
derivada da função real logaritmo.
5. As potências complexas de base complexa foram definidas na secção 2.7 por
z  z w  e w ln z , para z  ℂ \ {0} e w  ℂ \ ℚ. Para z  ℝ  , z w pode ser escolhido de
infinitos valores, tal como ln z , e, para z  ℝ  , convencionou-se tomar para ln z o
logaritmo real, o que dá uma única possibilidade para os valores de z w que corresponde
ao valor principal do logaritmo complexo. Cada um dos ramos do logaritmo complexo
ln z acima considerados corresponde a um ramo da potência complexa z  z w , o qual é
uma função complexa definida em ℂ\ {(x,0)  ℂ : x  0 } , tal como o correspondente ramo
de ln z . A fórmula acima dá cada ramo de z  z w como composição de funções
3.3. Transformações conformes
31
holomorfas, pelo que também é uma função holomorfa no seu domínio. A derivada de
cada ramo f de z  z w , nos pontos de ℂ\ {(x,0)  ℂ : x  0 } , calcula-se facilmente pelas
regras da derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se


w
f (z )  z w   e w ln z   e w ln z  w z w1 ,
z
o que generaliza a fórmula análoga para a derivada da função real potência definida para
bases positivas.
Para z  ℂ \ {0} e w  ℚ, com w  p / q em termos mínimos, p  ℤ, q  ℕ \ {1} ,
temos z p / q  z w  e w ln z , pelo que as conclusões anteriores também se aplicam neste
caso. A situação de potências inteiras positivas, w  ℕ foi considerada no exemplo
(3.1.4), dando a mesma fórmula de derivação, e para potências inteiras negativas  w  ℕ
obtém-se ( z w )  (1 / z  w )  1 /( z  w ) 2 ( z  w )  (w) z  w1 / z 2 w  w z w1 , também em
concordância com a fórmula de derivação anterior.
6. As exponenciais complexas de base complexa foram definidas na secção 2.7 por
w  z w  e w ln z , para z, w ℂ, com z  0 . Considerando a função potência complexa
f (w)  z w definida em ℂ por um dos ramos do logaritmo, de acordo com a fórmula
acima, verifica-se que esta função é uma composição de funções inteiras e, portanto,
também é uma função inteira. A sua derivada calcula-se facilmente pelas regras da
derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se


f (w)  z w  e w ln z  e w ln z ln z  (ln z ) z w ,
o que generaliza a fórmula análoga para a derivada das exponenciais reais de bases
positivas.
  

7. Na secção 2.8 obteve-se a relação arccos z  i ln( z  z 2  1)  i ln( z  i 1  z 2 ) .
Para definir uma função correspondente a um ramo desta relação há que escolher o sinal,
escolher um ramo da raiz quadrada que aparece na última parcela da expressão e um
ramo do logaritmo. Podemos escolher o valor principal do logaritmo, o ramo da raiz
quadrada definido no plano sem o semieixo real negativo e que assume valores de parte
imaginária positiva e o sinal negativo na expressão acima. Para que 1  z 2 não esteja no
semieixo real negativo, temos de excluir do domínio os números reais z da união de
intervalos  ,1 1, . Se z  i 1  z 2 pertence ao semieixo real negativo,
atendendo a que z  i 1  z 2 é o seu recíproco, também este pertence ao semieixo real
negativo e a sua soma 2 z é um número real negativo. Como já se excluiu o intervalo
 ,1, resta verificar que para z   1,0 é 1  z 2  0 e z  i 1  z 2 não é real, para
concluir que podemos considerar a função arccos z  i ln( z  i 1  z 2 ) definida na
região   ℂ \   ,1    1,  , considerando o valor principal do logaritmo (ver
Figura 2.20). É de notar que esta função dá para números reais z   1,1 o valor da
função real usual arccos que tem contradomínio 0,  . A função fica definida por
composições, produtos e somas de funções holomorfas, pelo que é uma função
holomorfa em  . A derivada desta função arccos z calcula-se facilmente pela regra de
derivação de operações entre funções diferenciáveis, obtendo-se
32
Derivadas de funções complexas

i z 
i
1  z2  i z
1
1 
 
.

2
2
2
2
z  i 1 z 
1 z  z  i 1 z
1 z
1  z2
Para arcsin z   / 2  arccos z pode-se tomar o ramo de arccos z acima
considerado. Como se trata de uma diferença de funções holomorfas em  , conclui-se
que também é holomorfa em  . A sderivada obtém-se aplicando as regras de derivação:
1

.
(arcsin z )   / 2  arccos z  
1  z2
(arccos z ) 
i
O resultado seguinte dá algumas condições simples que implicam que uma função
holomorfa numa região seja constante em toda essa região. Ilustram, mais uma vez, que a
existência de derivada de uma função complexa numa região impõe restrições fortes de
interligação entre as suas partes real e imaginária, e os seus módulo e argumento.
(3.12) Teorema: Seja f uma função holomorfa numa região   ℂ . Se a derivada de
f é nula em  , então f é constante em  . O mesmo acontece se é constante em 
qualquer das funções seguintes: a parte real, a parte imaginária, o módulo ou o
argumento de f .
Dem. Se a derivada de f  (u, v) é nula, então u / x, u / y, v / x, v / y são todas
nulas em  . Segue-se que as funções u e v são constantes em todos os segmentos de
recta contidos em  e paralelos aos eixos coordenados. Como  é um conjunto aberto
e conexo, qualquer par dos seus pontos pode ser ligado por uma linha poligonal contida
em  cujos segmentos são paralelos a um dos eixos coordenados. Conclui-se que tanto
u como v são constantes em  e, portanto, o mesmo acontece a f .
Se u (ou v ) é constante em  , então é f   u / x  i u / y  0 (ou
f   v / y  i v / x  0 ) , pelo que f é constante em  .
Se | f | é constante em  , então u 2  v 2 também é constante em  . Derivando
esta expressão em ordem a x e em ordem a y , e aplicando as equações de CauchyRiemann a esta última equação obtém-se
u
v
v
u
u
v
u
v 0 , u
0 .
v
 0 , u v
x
x
x
x
y
y
O sistema de duas equações constituído pela primeira e a última destas equações é
equivalente à equação matricial
 u 
u v   x 
 v  u   u   0

 
 x 
2
O determinante da primeira matriz é  (u  v 2 ) . Se u 2  v 2 se anula num ponto, como é
constante em  anula-se em toda esta região e f é igual a zero em  . Se u 2  v 2 não
se anula em  , então a primeira matriz na equação matricial acima é não-singular em
todos os pontos de  e, em consequência, u / x  u / y  0 em  , o que implica
f   u / x  i u / y  0 em  , pelo que f é constante em  .
3.3. Transformações conformes
33
Se o argumento de f é constante em  , então ou v é nula em  e
f   v / y  i v / x  0 em  implica que f é constante em  , ou existe uma
constante c ℝ tal que u  cv em  . Neste último caso, a parte real da função
(1  ic ) f  (1  ic )(u  iv ) é u  cv =0 em  , pelo que (1  ic ) f  0 . Como (1  ic )  0 ,
resulta que f é igual a zero em  .
Q.E.D.
A consequência seguinte das equações de Cauchy-Riemann é muito útil para a
representação geométrica de funções holomorfas (podia já ter sido observada no caso
particular do exemplo (2.1)). Mais uma vez, verifica-se que a diferenciabilidade de uma
função complexa num conjunto aberto impõe fortes restrições de interligação entre as
suas partes real e imaginária, neste caso com uma expressão geométrica muito simples.
(3.13) Teorema: Se f  (u, v)  H () , então as curvas de nível de u e de v
intersectam-se ortogonalmente (ver Figura 3.1).
Dem. Das equações de Cauchy-Riemann resulta que o produto interno dos gradiantes de
u e de v satisfaz
 u u   v v  u v u v u v v u
u  v   ,    ,  



 0.
 x y   x y  x x y y x x x x
Portanto u e v são ortogonais, o que é equivalente à ortogonalidade das curvas de
nível de u e de v .
Q.E.D.
34
Derivadas de funções complexas
Figura 3.1: Intersecção ortogonal das curvas de nível das partes real (traço grosso) e imaginária (traço fino) de funções holomorfas (exemplos: z 2 , 1 / z , e z , tan z , ln z , arccos z )
3.3.
Transformações conformes
Para analisar a forma como transformações definidas num plano deformam o
espaço, é útil observar o seu efeito em curvas contidas nos domínios das transformações.
As noções de curva e de caminho em subconjuntos de ℂ são análogas às
correspondentes noções em subconjuntos de ℝ 2 . Em particular, um caminho em   ℂ
é uma função contínua definida num intervalo limitado e fechado de números reais com
valores em  . Chama-se curva  * em  ao contradomínio de um caminho  em  .
Um caminho regular é um caminho C 1 cuja derivada nunca se anula. Para um caminho
regular  : a, b  ℂ, a derivada  (t )  0 é um vector tangente à curva  * no ponto
 (t ) , para todo t  a, b .








Figura 3.2: Transformação de curvas por uma função holomorfa
Seja   ℂ um conjunto aberto, f  H () e  : a, b   um caminho regular.
Então   f   também é um caminho. A curva correspondente é a imagem pela função
f da curva representada pelo caminho  (Figura 3.2). Da regra de derivação da função
composta obtém-se  (t )  f  (t )  (t ) , para t  a, b . Portanto, sendo f C 1 ,  é um
caminho regular se e só se f ( z )  0 , para z   * . Além disso,
arg  (t )  arg f  (t )  arg  (t ) , para t  a, b com f  (t )  0 .
Assim, se f ( z 0 )  0 o ângulo entre as tangentes dirigidas  (t 0 ) e  (t 0 ) ,
respectivamente, ao caminho  em z 0   (t 0 ) e ao caminho  em w0  f ( z 0 ) , é igual
a arg f ( z 0 ) . Portanto, caminhos regulares que formam um ângulo  em z 0 são
3.3. Transformações conformes
35
transformados pela função f em caminhos que formam o mesmo ângulo  em w0
(Figura 3.3). Também se tem
| f ( z)  f ( z0 ) |
lim
 | f ( z 0 ) | ,
z  z0
| z  z0 |
pelo que pequenos segmentos de recta com origem em z 0 são, no limite quando z  z 0 ,
contraídos ou expandidos na razão | f ( z 0 ) | . Assim, a mudança de escala em z 0
resultante da transformação f é independente da direcção (Figura 3.3). Quando uma
função satisfaz estas duas propriedades diz-se que é uma transformação conforme.
As observações anteriores ilustram que as funções holomorfas satisfazem restrições
geométricas muito fortes, o que já se tinha notado quando se observou que as curvas de
nível das partes real e imaginária de uma função holomorfa se intersectam
ortogonalmente.






Figura 3.3: Preservação de ângulos e mudança de escala em cada ponto
independente da direcção sob transformações definidas por funções holomorfas
É claro que os dois tipos de conformidade em z 0   , para uma função
f :   ℂ, implicam que f ( z 0 ) existe: o seu módulo é a razão de contracção ou
expansão de pequenos segmentos com origem em z 0 , e o seu argumento é, para cada
caminho regular  que passa por z 0 , a diferença entre os argumentos das tangentes
dirigidas do caminho   f   em w0  f ( z 0 ) e do caminho  em z 0 .
Na verdade, como se vê no resultado seguinte, sob a hipótese adicional de
existência e continuidade das derivadas parciais f / x, f / y , com ( x, y)  z numa
vizinhança de z 0 , o primeiro tipo de conformidade por si só já implica a existência de
f ( z 0 ) . Por outro lado, sob a mesma hipótese, o segundo tipo de conformidade implica a
existência de f ( z 0 ) ou da derivada ( f )( z 0 ) da conjugada de f .
(3.14) Teorema: Seja Br ( z 0 )  ℂ um círculo aberto centrado num ponto z 0  ℂ e
f : Br ( z 0 )  ℂ uma função tal que nos pontos z  ( x, y )  Br ( z0 ) as derivadas
f / x, f / y existem e são contínuas. Então:
1) A condição de conformidade de preservação dos ângulos entre caminhos regulares
em z 0 é equivalente à existência de derivada de f em z 0 diferente de zero.
2) A condição de conformidade de uma razão de expansão (ou contracção) constante de
pequenos segmentos de recta com origem em z 0 , no limite quando os comprimentos dos
36
Derivadas de funções complexas
segmentos tendem para zero, é equivalente à existência de derivada de f , ou da sua
conjugada, em z 0 diferente de zero (no último caso f preserva os valores absolutos de
ângulos entre caminhos regulares que se intersectam em z 0 mas inverte os seus
sentidos).
Dem. Já se sabe que a existência de derivada de f em z 0 diferente de zero implica a
validade das duas condições de conformidade. Como os valores absolutos de complexos
conjugados são iguais e os ângulos definidos por complexos conjugados não nulos são
iguais em valor absoluto mas de sentidos contrários, a existência de derivada de f em
z 0 diferente de zero implica a validade das duas condições de conformidade, tendo em
consideração que a preservação de ângulos é com inversão de sentidos.
Do teorema (3.8) sabe-se que, nas condições da hipótese do presente teorema, a
existência de derivada de f (ou f ) em z 0 é equivalente à validade das equações de
Cauchy-Riemann de f (ou f ) em z 0 , pelo que basta mostrar que, separadamente, cada
uma das condições de conformidade implica a validade das equações de CauchyRiemann em z 0 e a não anulação da derivada de f (ou f ) em z 0 .
Observe-se que para um caminho regular z : a, b   , com z (t 0 )  z 0 ,
( x(t ), y(t ))  z(t ) e w(t )  f ( z(t )) , é x  ( z   z ) / 2 , y   ( z   z ) /( 2i)  i ( z   z ) / 2 ,
f
f
1  f
f 
1  f
f 
w 
x 
y     i  z     i  z  ,
x
y
2  x
y 
2  x
y 
onde as derivadas parciais de f são calculadas em z 0 e as derivadas de x, y, z, w são
calculadas em t 0 .
Se os ângulos entre caminhos regulares em z 0 são preservados por f , então
(3.15)
w

z
1  f
f  1  f
f  z 
  i     i 
2  x
y  2  x
y  z 
deve ser diferente de zero e ter argumento independente de z  . Quando z  percorre todos
os possíveis valores complexos, o quociente z  / z  percorre a circunferência do plano
complexo de raio 1 e centro na origem, pelo que os valores de (3.15) percorrem a
circunferência com centro em (f / x  i f / y) / 2 e raio (f / x  i f / y) / 2 . Ora a
única situação em que o argumento permanece constante corresponde ao raio ser nulo,
isto é, a f / x  i f / y . Com (u, v)  f , esta equação equivale a u / x  v / y e
v / x  u / y que são as equações de Cauchy-Riemann. Portanto, neste caso, f é
diferenciável em z 0 . Como a expressão (3.15) tem de ser diferente de zero, o seu
segundo termo é zero e f / x  i f / y , resulta que a expressão (3.15) é igual a
f / x e, das fórmulas para a derivada de f no teorema (3.4), concluiu-se
f ( z 0 )  f / x  0 .
Por outro lado, se pequenos segmentos de recta com origem em z 0 são, no limite
quando os seus comprimentos tendem para zero, expandidos (ou contraídos) numa razão
constante, segue-se que | w | / | z  | é diferente de zero e independente de z  , pelo que o
valor absoluto de (3.15) tem de permanecer constante quando z  percorre todos os
possíveis valores complexos. Como os valores de (3.15) percorrem uma circunferência,
3.3. Transformações conformes
37
os seus módulos só permanecem constantes se o raio da circunferência é nulo ou o centro
está na origem. Como se viu acima, a primeira situação implica a validade das equações
de Cauchy-Riemann e, portanto, a diferenciabilidade de f em z 0 . Por seu lado, a
segunda situação corresponde a f / x  i f / y , ou seja a  f / x  i  f / y , o que
implica a validade das equações de Cauchy-Riemann da conjugada de f e, portanto, a
sua diferenciabilidade em z 0 . O facto de ( f )( z 0 )   f / x   f / x  0 prova-se de
forma idêntica ao caso anterior.
Q.E.D.
(3.16) Exemplos:
As funções holomorfas que foram consideradas em secções anteriores fornecem
exemplos de transformações conformes. Em seguida, consideram-se três exemplos
específicos mais detalhadamente.
1. A transformação exponencial
Considera-se a função exponencial f ( z)  e z  e x (cos y  i sin y) , com ( x, y)  z .
Como a exponencial é uma função periódica de período i 2 , cada faixa horizontal do
plano complexo com largura 2 é transformada em todo o contradomínio da
exponencial, isto é, em ℂ \ {0} .
2
/
/
2
Figura 3.4: Transformação do plano definida pela exponencial complexa
As rectas verticais x  a são transformadas em circunferências de centro na
origem e raio e a (Figura 3.4). Em particular, o eixo imaginário é transformado na
circunferência de raio 1, as rectas verticais do semiplano direito são transformadas em
circunferências de raio maior do que 1 e as rectas verticais do semiplano esquerdo são
transformadas em circunferências de raio menor do que 1.
Por outro lado, as rectas horizontais y  b são transformadas em semirectas com
extremidade na origem, mas não a contendo, que fazem o ângulo b com o semieixo real
positivo (Figura 3.4).
38
Derivadas de funções complexas
/
/
Figura 3.5: Transformação de um rectângulo definida pela exponencial complexa
Uma vez que as rectas horizontais são ortogonais às rectas verticais, as suas
imagens têm de ser curvas ortogonais, pois (e z )  e z  0 para todo z  ℂ, o que é
confirmado pelo facto das semirectas que passam pela origem serem ortogonais às
circunferências de centro na origem.
Em particular, a função exponencial transforma rectângulos de altura inferior a 2
em sectores de coroas circulares, definindo uma correspondência biunívoca entre os dois
conjuntos (Figura 3.5). Por outro lado, rectângulos de altura superior a 2 são
transformados em coroas circulares, não sendo injectiva a correspondência definida entre
os dois conjuntos.
2. Transformações de Möbius
Chama-se transformação de Möbius6 a uma função da forma
f ( z) 
az  b
,
cz  d
com a, b, c, d ℂ e ad  bc  0 (o exemplo (2.2) é o caso particular com a  0,
b  c  1, d  1 ). Veremos num dos capítulos finais que estas transformações
desempenham um papel fundamental no esclarecimento da diversidade possível das
transformações conformes.
Note-se que
f ( z ) 
a(cz  d )  c(az  b)
ad  bc
,

2
(cz  d )
(cz  d ) 2
desde que cz  d  0 . Assim, se c  0 a derivada existe e é diferente de zero em
ℂ \ {d / c} ; se c  0 a derivada existe e é diferente de zero em ℂ. Portanto, as
6 August Ferdinand Möbius (1790-1868). As transformações de Möbius também são conhecidas por
transformações homográficas, transformações lineares fraccionárias ou transformações bilineares
fraccionárias.
3.3. Transformações conformes
39
transformações de Möbius com c  0 são conformes em ℂ, e com c  0 são conformes
em ℂ \ {d / c} .
Começa-se por observar que f é invertível e a sua inversa satisfaz
dw  b
,
 cw  a
com da  (b)(c)  ad  bc  0 , pelo que a inversa de uma transformação de Möbius
também é uma transformação de Möbius.
f 1 ( w) 
Um caso particular especialmente simples de
a  d  0, b  c  1 , nomeadamente a função recíproco
analisar
obtém-se
com
1
,
z
cujo domínio e contradomínio são iguais a ℂ \ {0} . Note-se que R(iz )  iz , pelo que
conhecendo a imagem de um certo conjunto de pontos S , a imagem da rotação de
ângulo  / 2 deste conjunto é o resultado da rotação de ângulo   / 2 da imagem do
conjunto S . Vamos ver como esta função transforma rectas e circunferências. As rectas e
as circunferências têm equações cartesianas que, com ( x, y)  z , podem ser escritas
(3.17)
A x 2  y 2  Bx  Cy  D  0 .
R( z ) 


Obtêm-se rectas para A  0, B  0 e A  0, C  0 . Por outro lado, com A  0 ,
completando quadrados de somas, pode-se escrever a equação anterior na forma
B  
C 
B 2  C 2  4 AD

,
x
 y
 
2A  
2A 
4 A2

2
2
pelo que (3.17) representa circunferências para A  0, B 2  C 2  4 AD  0 , e estas têm
raio B 2  C 2  4 AD / | 2 A | e centro em ( B /( 2 A),C /( 2 A)) .
Com as substituições
zz
zz
1
w w
ww
,
, y
, w   u  iv, u 2  v 2  ww , u 
, v
2
2i
z
2
2i
a equação (3.17) transforma-se sucessivamente em
x 2  y 2  zz , x 
A zz  B
A
1
B 1 1  C  1 1 
       D  0,
ww 2  w w  2i  w w 
AB
(3.18)
zz
zz
C
 D  0,
2
2i

w w
ww
C
 D ww  0 ,
2
2i

D u 2  v 2  Bu  Cv  A  0 .
Ora, se (3.17) representa uma recta é A  0, B  0 e A  0, C  0 e, portanto, (3.18)
representa uma recta que passa na origem se D  0 , e uma circunferência que passa na
origem se D  0 . Se (3.17) representa uma circunferência, então A  0 e
40
Derivadas de funções complexas
B 2  C 2  4 AD  0 , pelo que (3.18) representa uma recta que não passa na origem se
D  0 , e uma circunferência se D  0 .
Em particular, rectas verticais x   D (da forma (3.18) com A  C  0, B  1 )
transformam-se na recta u  0 se D  0 , ou em circunferências D( u 2  v 2 )  u  0 se
D  0 . Por analogia com (3.17), estas circunferências têm raio 1 / | 2D | e centro em
(1 /( 2D),0) (Figura 3.6).
/(
)
/
Figura 3.6: Transformação de uma recta vertical pela transformação de Möbius z  1 / z
Da análise anterior conclui-se que uma grelha de rectas verticais e rectas
horizontais é transformada pela função R( z )  1 / z numa grelha constituída por
circunferências tangentes aos eixos coordenados na origem intersectando-se
ortogonalmente e pelos próprios eixos coordenados (Figura 3.7).
Figura 3.7: Transformação do plano definida por uma transformação de Möbius
Para analisar o caso geral, note-se que se c  0 então
az  b bc  ad 1
a

 .
cz  d
c
cz  d c
Assim, em geral, uma transformação de Möbius w  f (z ) resulta da composição de três
transformações A1 , R, A2 , na forma w  ( A2  R  A1 )( z ) , onde
f ( z) 
A1 : z  z1  cz  d (homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação)
3.3. Transformações conformes
41
1
z1
A2 : z 2  w   z 2  (homotetia e rotação centradas na origem seguidas de translação),
R : z1  z 2 
onde   (bc  ad ) / c e   a / c . A1 e A2 são funções afins e R é a função recíproco
considerada anteriormente. Por outro lado, se c  0 , f ( z)  (a / d ) z  b é uma função
afim, pelo que corresponde a uma homotetia e rotação seguidas de uma translação.
3. Transformação de Joukovski
A transformação de Joukovski7 é a função
1
1
z   .
2
z
O seu domínio é ℂ \ {0} . Trata-se de uma função racional e, portanto, é holomorfa no seu
domínio. A derivada desta função é
1
1
J ( z )  1  2  ,
2 z 
pelo que se anula nos pontos  1 e  1 , e apenas nestes pontos (  1 são pontos fixos da
transformação pois J (1)  1 ). Assim, a transformação de Joukovski é uma
transformação conforme na região ℂ \ {1,0,1} . Note-se que J (1 / z )  J ( z ) , pelo que a
imagem de um ponto z  0 coincide com a do seu recíproco.
J ( z) 
Se z  e i é f ( z )  (e i  e i ) / 2  cos  . Portanto, a circunferência de raio 1 e
centro na origem é transformada no segmento de recta no eixo real entre os números  1
e  1 (Figura 3.9). Pares conjugados de pontos da circunferência são transformados num
mesmo ponto do intervalo  1,1 , igual à parte real dos pontos considerados.
Para identificar a imagem da circunferência de raio r  1 , toma-se z  rei e
calcula-se
1  i e i  1  1 
i  1
i
   r   cos    r   sin  ,
(3.19) X  iY  f r e   r e 
2
r  2
r
2
r


pelo que
X2
Y2
1 .
2
2
1
1
1 1
r  
r  
4
r
4
r
Portanto, a circunferência de raio r  1 e centro na origem é transformada na elipse de
semieixos (r  1 / r ) / 2 e | r  1 / r | / 2 ao longo do eixo real e do eixo imaginário,
respectivamente. Os gráficos das funções (r  1 / r ) / 2 e | r  1 / r | / 2 em função de r  0
são como esboçados na Figura 3.8. Segue-se que toda a região exterior à circunferência
de raio 1 e centro na origem é transformada no complementar em ℂ do segmento de
recta no eixo real de extremos nos números  1 e  1 , o mesmo acontecendo com o
7 Nicolai Joukovski (1847-1921).

42
Derivadas de funções complexas
complementar da origem na região limitada pela circunferência de raio 1 e centro na
origem.
Figura 3.8: Gráficos das funções (r  1 / r ) / 2 e | r  1 / r | / 2
Por outro lado, de (3.19) obtém-se também, para  tal que cos   0 e sin   0 ,
X2
Y2

1 ,
cos 2  sin 2 
pelo que as rectas de declive com valor absoluto igual a | sin  | / | cos  | que passam na
origem são transformadas na hipérbole de semieixos | sin  | , | cos  | ao longo do eixo
real e do eixo imaginário, respectivamente (ver Figura 3.9). Estas hipérboles são
ortogonais às elipses acima consideradas, uma vez que são imagens de curvas ortogonais
por uma transformação conforme.
Conclui-se também que o eixo real (excluindo o zero) é transformado na união das
semirectas que se obtêm retirando ao eixo real o segmento de recta com extremos nos
números  1 e  1 , enquanto que cada semieixo imaginário é transformado em todo o
eixo imaginário (ver Figura 3.9), com os conjuntos {iy : y  1} e {iy :  1  y  0} a
serem transformados no semieixo imaginário negativo e os conjuntos {iy : 0  y  1} e
{iy : y  1} a serem transformados no semieixo imaginário positivo.
3.3. Transformações conformes
43
Figura 3.9: Transformação de Joukovski
Com w  f (z ) , obtém-se
w  1 z  (1 / z )  2 z 2  2 z  1  z  1 



 .
w  1 z  (1 / z )  2 z 2  2 z  1  z  1 
2
Como w  (w  1) /( w  1) é uma transformação de Möbius cuja inversa é
  (  1) /(1   ) , a transformação de Joukovski w  J (z ) resulta da composição de
três transformações, w  (M 1  Q  M )( z ) , onde
z 1
z 1
2
, Q : z1  z 2  z1  , M 1 : z 2  w  2
.
M : z  z1 
z2  1
z 1
M e M 1 são transformações de Möbius e Q é a função potência de expoente 2 .
Verifica-se M  H ( ℂ \ {1}) , Q  H ( ℂ ) e M 1  H ( ℂ \ {1}) . Como estas transformações
são conformes preservam os ângulos entre curvas regulares em todos os pontos dos seus
domínios. A transformação Q duplica os argumentos em relação ao ponto z1  0 , o qual
corresponde ao ponto do domínio z  M 1 (0)  1. Com a função recíproco R( z )  1 / z ,
obtém-se que a transformação de Joukovski também é a composição w  ( R  M  Q  M 1 )( z) .
A função R é uma transformação de Möbius holomorfa em ℂ \ {0} e conforme no seu
domínio. Assim, as transformações R, M , M 1 preservam os ângulos entre curvas
regulares em todos os pontos dos seus domínios, e a transformação Q duplica os
argumentos em relação ao ponto z1  0 , o qual corresponde, neste caso, ao ponto do
domínio z  (M 1 ) 1 (0)  M (0)  1 . Portanto, a transformação de Joukovski duplica tanto
os argumentos em relação ao ponto z  1 , como em relação ao ponto z  1 .
44
Derivadas de funções complexas
Figura 3.10: Transformação de Joukovski da região delimitada por duas
circunferências tangentes em  1 , com uma delas a passas no ponto  1 .
Qualquer circunferência S que passe nos pontos  1 e  1 d o plano complexo
tem centro num ponto ia do eixo imaginário e raio 1  a 2 , com a  1 . A imagem do
arco de S que está no semiplano complexo inferior pela transformação R( z )  1 / z é um
arco de circunferência que passa nos pontos  1 e  1 e pertence ao semiplano complexo
superior, ou seja, é o arco da circunferência S pertencente ao semiplano complexo
superior. Como J  R  J , é claro que a imagem do arco de S no semiplano complexo
inferior coincide com a imagem do arco de S no semiplano complexo superior. Pode-se
verificar que esta imagem é um arco de uma circunferência C que passa nos pontos  1
e  1 . Designando por   0 o ângulo da tangente a S no ponto  1 com a semirecta
com origem neste ponto contida no semieixo real positivo (Figura 3.10), obtém-se que a
transformação de Joukovski J é uma função bijectiva conforme do interior do círculo
delimitado por S para o conjunto U  ℂ \ C e que o arco de circunferência C faz um
ângulo 2 com a semirecta de origem neste ponto contida no semieixo real positivo.
Conclui-se, também, que J é uma função bijectiva conforme do exterior desse círculo
para U . Observa-se, ainda, que a transformação de Joukovski transforma a região
delimitada pela circunferência S e por uma outra qualquer circunferência tangente a S
no ponto  1 numa região semelhante ao perfil clássico da asa de um avião planador,
como é ilustrado na Figura 3.10.
Os exemplos anteriores mostram que as propriedades de conformidade podem ser
úteis para obter o traçado das imagens de certas curvas do plano complexo que resultam
da aplicação de uma dada função holomorfa. Pode-se assim conseguir uma ideia
geométrica da forma como essa função deforma regiões do plano complexo.
Além disso, o estudo de transformações conformes tem grande interesse tanto de
um ponto de vista estritamente matemático como para aplicações em diversas outras
áreas. Por exemplo, as transformações de Möbius foram usadas em electrotecnia no
estudo de variações de impedância de circuitos quando certos componentes do circuito
são alterados, e a transformação de Joukovski foi usada em 1906 para calcular a força de
sustentação de um perfil de asa de avião e constituiu a base do primeiro método de
cálculo da aerodinâmica de asas de aviões.
3.3. Transformações conformes
45
Este último exemplo é um caso particular de uma situação de interesse mais geral
que ocorre na resolução de certas equações diferenciais parciais, nomeadamente no
âmbito da hidrodinâmica, aerodinâmica, elasticidade e electroestática. Em certos casos
de interesse prático é possível resolver com relativa facilidade uma dada equação
diferencial numa região adequada, como por exemplo num rectângulo ou num círculo, e
usando transformações conformes apropriadas, obter soluções da equação diferencial
noutras regiões por simples mudanças de variáveis.
Exercícios
3 .1 . De t e r m in e o co n ju n t o o n d e a fu n çã o co m p le xa d a d a é h o lo m o r fa :
a ) f ( x, y )  x 2  y 2  2 xy  i 2 y( x  1) b ) f ( x, y)  e y ( c o sx  i s i nx) c) f ( x, y )  x 2 y 2  i 2 x 2 y 2 .
3 .2 . De t e r m in e o s p o lin ó m io s d e d u a s v a r iá v e is e m q u e t o d o s o s t e r m o s sã o d e
g r a u 4 e n ã o e n v o lv e m m o n ó m io s p r o p o r cio n a is a x 2 y 2 q u e a d icio n a d o s à
p a r t e r e a l e à p a r t e im a g in á r ia d a fu n çã o e m 3 .1 .c) d ã o u m a fu n çã o in t e ir a .
3 .3 . De t e r m in e a fu n çã o h o lo m o r fa f  (u, v) t a l q u e v( x  iy)  3x 2  y 3 , x, y  ℝ, e
f (0)  1 .
3 .4 . Se ja   ℂ a b e r t o . Pr o v e : f  H () se e só se g  H () co m g ( z )  f ( z ) .
3 .5 . De fin a u m a fu n çã o n u m a r e g iã o a p r o p r ia d a q u e se ja a so m a d e u m a r a iz
q u a d r a d a d e 1  z co m u m a r a iz q u a d r a d a d e 1  z , co m z co m p le xo ,
p r o cu r a n d o u m a r e g iã o t ã o g r a n d e q u a n t o p o ssív e l. De t e r m in e o co n ju n t o
o n d e a fu n çã o é h o lo m o r fa .
3 .6 . Re so lv a o e xe r cício a n t e r io r , m a s p a r a u m a co m p o siçã o d e d o is lo g a r it m o s
co m p le xo s.
3 .7 . Se ja   ℂ u m a r e g iã o e f  H () t a l q u e | f 2  1 | 1 e m  . Mo st r e q u e Re f  0 o u
Re f  0 e m  .
3 .8 . Diz -se q u e u m a fu n çã o d e v a lo r e s r e a is u é h arm ó n ica n u m co n ju n t o a b e r t o
  ℂ se sa t isfa z a e q u ação d e Lap lace e m ca d a p o n t o ( x, y)   , ist o é , se
u   2u / x 2   2u / y 2  0 .
a ) De t e r m in e a s fu n çõ e s p o lin o m ia is d e d u a s v a r iá v e is r e a is e m q u e t o d o s o s
t e r m o s t ê m g r a u 3 q u e sã o fu n çõ e s h a r m ó n ica s e m ℂ.
b ) Pr o v e : u é h ar m ó n ica e m  se e só se v( z )  u( z ) é h ar m ó n ica e m  .
c)
Pr o v e : A s p ar t e s r e al e im ag in ár ia d e u m a f u n ção h o lo m o r f a co m d e r iv ad a
co n t ín u a n u m co n ju n t o ab e r t o são h ar m ó n icas n e sse co n ju n t o .
3 .9 . Mo st r e q u e se z1 , z2 , , zn  ℂ n e st ã o sit u a d o s d o mn e sm o la d o d e u m a r e ct a q u e
p a ssa n a o r ig e m , e n t ã o k 1 zk  0 , e q u e se k 1 zk1  0 e n t ã o o s p o n t o s n ã o
p o d e m e st a r sit u a d o s d o m e sm o la d o d e u m a r e ct a q u e p a ssa n a o r ig e m .
3 .1 0 . Pr o v e : T o d o s o s z e r o s d a d e r iv ad a d e u m a f u n ção p o lin o m ial
P( z )   nk1 ( z  zk ) p e r t e n ce m ao e n v ó lu cr o co n v e xo d o s z e r o s d e ssa f u n ção
p o lin o m ial, i.e ., a o m e n o r co n ju n t o co n v e xo 8 q u e o s co n t é m ( n e st e ca so é u m
p o líg o n o co n v e xo e m q u e o s v é r t ice s sã o ze r o s d a fu n çã o p o lin o m ia l
co n sid e r a d a ) .
3 .1 1 . Pr o v e q u e z  z n ã o é u m a t r a n sfo r m a çã o d e Mö b iu s.
3 .1 2 . De t e r m in e u m a t r a n sfo r m a çã o d e Mö b iu s q u e t r a n sfo r m a o s p o n t o s 0, i,  i ,
r e sp e ct iv a m e n t e , n o s p o n t o s 1,  1, 0 .
3 .1 3 . De t e r m in e u m a t r a n sfo r m a çã o co n fo r m e q u e t r a n sfo r m a a in t e r se cçã o d o s
cír cu lo s d o p la n o co m p le xo | z | 1 e | z  1 | 1 n o cír cu lo | z | 1 .
3 .1 4 . De t e r m in e u m a t r a n sfo r m a çã o co n fo r m e q u e t r a n sfo r m a a r e g iã o e n t r e a s
cir cu n fe r ê n cia s d o p la n o co m p le xo | z | 1 e | z  1 / 2 | 1 / 2 n o se m ip la n o Im z  0 .
3 .1 5 . Mo st r e q u e u m a t r a n sfo r m a çã o d e Mö b iu s t e m 0 e  co m o ú n ico s p o n t o s
fixo s se e só se é u m a e xp a n sã o u n ifo r m e . Mo st r e q u e u m a t r a n sfo r m a çã o d e
Mö b iu s t e m  co m o ú n ico p o n t o fixo se e só se é u m a t r a n sla çã o .
3 .1 6 . Se ja T u m a t r a n sfo r m a çã o d e Mö b iu s d ife r e n t e d a id e n t id a d e . Pr o v e : Um a
t r an sf o r m ação d e M ö b iu s S co m u t a co m T se t e m o s m e sm o s p o n t o s f ix o s d e
T.
Diz -se q u e S  ℂ é u m c o n ju n to c o n v e xo se t o d o s o s se gm e n t o s d e
e xt r e m id a d e s e m S e st ã o t o t a lm e n t e c o n t id o s e m S .
8
r ect a
co m
46
Derivadas de funções complexas
3 .1 7 . Id e n t ifiq u e a s t r a n sfo r m a çõ e s d e Mö b iu s co r r e sp o n d e n t e s a r o t a çõ e s d a
su p e r fície e sfé r ica d e Rie m a n n ( e xe r cício 1 .1 6 ) e m t o r n o d e d iâ m e t r o s.
3 .1 8 . Pr o v e : Par a cad a p ar o r d e n ad o d e t e r n o s ( z1 , z2 , z3 ) e (w1 , w2 , w3 ) d e p o n t o s
d ist in t o s d e ℂ e x ist e u m a e só u m a t r an sf o r m ação d e M ö b iu s q u e t r an sf o r m a
cad a z k e m wk , p ar a k  1,2,3 .
( Su ge st ão : Co m e c e p o r m o st r ar q u e p ar a c ad a t e r n o ( z1 , z2 , z3 ) e x ist e u m a e só u m a
t r an sf o r m aç ão d e M ö b iu s q u e t r an sf o r m a c ad a u m d e st e s p o n t o s n o s p o n t o s 0,1,  ,
r e sp e c t iv am e n t e ) .
3 .1 9 . Diz -se q u e z, z*  ℂ sã o p o n to s sim é trico s e m re lação a u m a circu n fe rê n cia C
se sã o co lin e a r e s co m o ce n t r o d e C e o p r o d u t o d a s su a s d ist â n cia s a o
ce n t r o d e C é ig u a l a o q u a d r a d o d o r a io d e C . Ch a m a -se sim e tria e m re lação
a C à fu n çã o q u e t r a n sfo r m a ca d a p o n t o z n o se u sim é t r ico z * e m r e la çã o a
u m a cir cu n fe r ê n cia C .
a ) Pr o v e : z, z*  ℂ são p o n t o s sim é t r ico s e m r e lação a u m a cir cu n f e r ê n cia C se
e só se t o d a a cir cu n f e r ê n cia q u e p assa p e lo s d o is p o n t o s é o r t o g o n al a C .
b ) Mo st r e q u e é v á lid a a se g u in t e co n st r u çã o g e o m é t r ica sim p le s: o sim é t r ico
z * d e u m p o n t o z n o in t e r io r d o cír cu lo d e lim it a d o p o r C e m r e la çã o a C é
a in t e r se cçã o d a r e ct a r q u e p a ssa p o r z e p e lo ce n t r o d e C co m a t a n g e n t e
a C n o p o n t o d e in t e r se cçã o d e C co m a r e ct a p e r p e n d icu la r a r q u e p a ssa
p o r z ( Fig u r a 3 .1 1 ) ; v ice v e r sa , o sim é t r ico z d e u m p o n t o z * n o e xt e r io r d o
cír cu lo d e lim it a d o p o r C e m r e la çã o a C é a in t e r se cçã o d a r e ct a r q u e p a ssa
p o r z * e p e lo ce n t r o d e C co m a su a p e r p e n d icu la r q u e p a ssa n o p o n t o d e
t a n g ê n cia a C d e u m a r e ct a q u e p a ssa p o r z * ; o sim é t r ico d e ca d a p o n t o d e
C é e le p r ó p r io .
c) Pr o v e : T o d a a t r an sf o r m ação d e M ö b iu s t r an sf o r m a p o n t o s sim é t r ico s e m
r e lação a u m a cir cu n f e r ê n cia o u a u m a r e ct a e m p o n t o s sim é t r ico s e m r e lação
à im ag e m d a cir cu n f e r ê n cia o u r e ct a ( p r o p r ie d ad e d e co n se r v ação d a
sim e t r ia) .
C
z
r
z*
Fig u r a 3 .1 1 : De t e r m in a çã o g e o m é t r ica d e p o n t o s sim é t r ico s e m r e la çã o a u m a
cir cu n fe r ê n cia
Exe rcício s co m ap licaçõ e s a h id ro d in âm ica, e le ctro e stática e p ro p ag ação d e calo r
e m e q u ilíb rio
3 .2 0 . Co n sid e r a -se u m e sco a m e n t o h id r o d in â m ico p la n o e st a cio n á r io . Ist o sig n ifica
q u e o ca m p o d e v e lo cid a d e s (u, v) d o flu id o n ã o v a r ia co m o t e m p o , e st á
d e fin id o n u m a r e g iã o   ℂ e é co n st a n t e e m p o n t o s n u m a m e sm a
p e r p e n d icu la r a o p la n o co m p le xo . Su p õ e -se q u e o ca m p o d e v e lo cid a d e s é C 1
e é lam e lar o u irro tacio n al, ist o é , rot (u, v,0)  (0,0, v / x  u / y)  0 , e so le n o id al,
ist o é , div (u, v,0)  u / x  v / y  0 . A p r im e ir a co n d içã o co r r e sp o n d e à
cir cu la çã o d o ca m p o d e v e lo cid a d e s e m ca m in h o s fe ch a d o s q u e d e lim it a m
su b co n ju n t o s d e  se r ze r o ( n ã o h á v ó r t ice s t o t a lm e n t e co n t id o s e m  ) e a
se g u n d a co n d içã o co r r e sp o n d e a u m p r in cíp io d e co n se r v a çã o ( h á
co n se r v a çã o d e m a ssa e o flu id o é in co m p r e ssív e l) . Se  é sim p le sm e n t e
co n e xa e xist e m ca m p o s e sca la r e s p o te n ciais  e  t a is q u e (u, v)   e
(v, u)   . Ch a m a -se p o te n cial d o cam p o d e v e lo cid ad e s à fu n çã o  . Nu m a
cu r v a d e n ív e l  ( x, y)  c d e  , o n d e u   / y  0 , fica d e fin id a im p licit a m e n t e y
e m fu n çã o d e x d e t a l fo r m a q u e ( / x)  ( / y)( dy / dx)  0 , p e lo q u e
(dx / dt, dy / dt )  ((dx / dt ) / u)(u, v) e , p o r t a n t o , a cu r v a d e n ív e l é u m a lin h a d e
co rre n te o u lin h a d e flu xo , r a zã o p e la q u a l se ch a m a a  fu n ção d e co rre n te
o u fu n ção d e flu xo . Ch a m a -se p o te n cial co m p le xo d o ca m p o d e v e lo cid a d e s à
fu n çã o co m p le xa f  ( , ) .
Um c am p o e le c t r o e st át ic o n u m c o n ju n t o se m c ar gas e lé c t r ic as t am b é m é ir r o t ac io n al
e so le n o id al, p e lo q u e a c ad a sit u aç ão q u e se c o n sid e r e d e u m e sc o am e n t o
h id r o d in âm ic o p lan o e st ac io n ár io c o m c am p o d e v e lo c id ad e s ir r o t ac io n al e
3.3. Transformações conformes
47
so le n o id al c o r r e sp o n d e u m a sit u aç ão an álo ga e m e le c t r o e st át ic a p lan a n u m c o n ju n t o
se m c ar gas e lé c t r ic as e v ic e -v e r sa.
A sit u aç ão é an álo ga e m p r o p agaç ão d o c alo r e m e q u ilíb r io , su b st it u in d o o p o t e n c ial
d o c am p o d e v e lo c id ad e s p o r t e m p e r at u r a e as lin h as d e f lu x o d o f lu id o p o r lin h as d e
f lu x o d e c alo r .
a ) Mo st r e : Um a f u n ção co m p le x a f d e f in id a e C 1 e m  é o p o t e n cial
co m p le x o d e u m cam p o ir r o t acio n al e so le n o id al se e só se f  H () .
b ) De t e r m in e o p o t e n cia l co m p le xo , a s lin h a s d e co r r e n t e e a v e lo cid a d e d e
u m e sco a m e n t o p la n o d e p r o fu n d id a d e in fin it a so b r e u m le it o p la n o co m u m
o b st á cu lo v e r t ica l d e a lt u r a h p e r p e n d icu la r a o le it o e v e lo cid a d e n o in fin it o
p e r p e n d icu la r a o p la n o d o o b st á cu lo e co m m a g n it u d e 1 ( Fig u r a 3 .1 2 ) .
Est e p o t e n c ial t am b é m d e t e r m in a o c am p o e lé c t r ic o n a m e sm a r e gião q u an d o a
f r o n t e ir a é u m iso lad o r e lé c t r ic o p e r f e it o e a in t e n sid ad e d o c am p o e lé c t r ic o n o
in f in it o é p e r p e n d ic u lar ao p lan o d a b ar r a c o n d u t o r a n a v e r t ic al e t e m m agn it u d e 1 .
N e st e c aso , o p o t e n c ial  é o sim é t r ic o d o p o t e n c ial e lé c t r ic o e as lin h as d e c o r r e n t e
são as lin h as d e f lu x o d o c am p o e lé c t r ic o . Po r o u t r o lad o , o c am p o e lé c t r ic o n a
m e sm a r e gião c o m in t e n sid ad e n o in f in it o igu al a 1 , m as e m q u e a f r o n t e ir a é u m
c o n d u t o r p e r f e it o , t e m p o t e n c ial p r o p o r c io n al à f u n ç ão d e c o r r e n t e  e as lin h as d e
f lu x o d o c o r r e sp o n d e n t e c am p o e lé c t r ic o são as lin h as d e n ív e l d o p o t e n c ial  d o
c am p o d e v e lo c id ad e s.
( Su ge st ão : Co n sid e r e o e sc o am e n t o n o se m ip lan o su p e r io r c o m p le x o e o o b st ác u lo
c o m o u m se gm e n t o d e v e r t ic al n o e ix o im agin ár io d e c o m p r im e n t o h a p ar t ir d a
o r ige m . De t e r m in e u m a t r an sf o r m aç ão c o n f o r m e d o d o m ín io n o se m ip lan o su p e r io r .
M o st r e q u e as lin h as d e f lu x o sat isf az e m y   0 (1  h 2 /(x 2   02 ))1/ 2 ) .
Im
= constante
= constante
h
Re
Fig u r a 3 .1 2 : Esco a m e n t o so b r e u m le it o p l a n o co m u m o b st á cu lo v e r t ica l
f ( z )  arccos z co m o p o t e n cia l co m p le xo ( v e r e xe r cício a n t e r io r )
e m e le ct r o e st á t ica , m o st r e q u e a s lin h a s e q u ip o t e n cia is e a s lin h a s d e
co r r e n t e sã o a s r e p r e se n t a d a s n a Fig u r a 3 .1 3 e d e scr e v a co m o e st e p o t e n c ia l
p e r m it e o b t e r ca d a u m d o s ca m p o s e lé ct r ico s se g u in t e s:
1 . Ext e r io r a u m co n d u t o r cilín d r ico d e se cçã o o r t o g o n a l e líp t ica ca r r e g a d o ,
in clu siv a m e n t e n o ca so lim it e d e u m a fit a co n d u t o r a ;
2 . En t r e d u a s su p e r fície s co n d u t o r a s cilín d r ica s co m se cçõ e s o r t o g o n a is
e líp t ica s co n fo ca is, o u e n t r e u m a d e st a s su p e r fície s e a fit a co n d u t o r a d e
se cçã o ig u a l a o se g m e n t o e n t r e o s fo co s;
3 . En t r e fo lh a s co n e xa s d e d u a s su p e r fície s co n d u t o r a s cilín d r ica s co m
se cçõ e s o r t o g o n a is h ip e r b ó lica s co n fo ca is, o u e n t r e u m a d e st a s e u m
se m ip la n o co n d u t o r co m a r e st a a p a ssa r p e lo fo co e p e r t e n ce n t e a o p la n o
d e sim e t r ia d a su p e r fície cilín d r ica ;
4 . En t r e d o is se m ip la n o s co n d u t o r e s co m p la n a r e s d e a r e st a s se p a r a d a s
p a r a le la s;
5 . En t r e u m p la n o e u m se m ip la n o o r t o g o n a l d e a r e st a p a r a le la a o p la n o e
n ã o o in t e r se ct a n d o .
3 .2 1 . Co n sid e r e
Im
i
Re
Fig u r a 3 .1 3 : Lin h a s d e n ív e l d a s p a r t e s r e a l e im a g in á r ia d e f ( z )  arccos z
48
Derivadas de funções complexas