Ensino Superior
Cálculo 3
4. Derivadas Parciais
Amintas Paiva Afonso
Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma
que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se
tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá
acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em
relação a x é
Significado matemático
1) Derivada parcial em x:
f x ( x, y )  lim x 0
f ( x  x, y )  f ( x, y )
x
2) Derivada parcial em y:
f y ( x, y )  limy 0
f ( x, y  y )  f ( x, y )
y
Nomenclatura
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em
relação a x escreve-se:
f
f x ( x, y ) 
 Dx
x
A Técnica de Derivadas Parciais
A Técnica de Derivadas Parciais
Derivadas Parciais de Funções de
Várias Variáveis
Ex.5
A Técnica de Derivadas Parciais
Exercícios propostos
Exemplos
1) Se f ( x, y, z)  3x 2 y 2 z 3  4 x 2 y 2 z  6xy 3 ,
determine f1 ( x, y, z) e f 3 ( x, y, z)
Derivada em relação a x
Derivada em relação a z
2 3
3 2
2 4
2
f1 ( x, y, z)  6xy z  8x y z  6 y
f 3 ( x, y, z)  9x y z
2
 4x y
2
3
Exemplos
1) Se f ( x, y, z)  tg( x 2 z)  cot g (4 y 2 z 2 )  sen(5zxy 3 ),
determine f3 ( x, y, z) e f 2 ( x, y, z)
Derivada em relação a z
Derivada em relação a y
f3 ( x, y, z)  sec ( x z)  cos ec (4 y z )4 y 2z  cos(5zxy )5xy
2
2
2
2 2
2
3
f 2 ( x, y, z)   cos ec 2 (4 y 2 z 2 )8 yz 2  cos(5zxy 3 )15zxy 2
3
Diferencial Total de uma função de
2 ou mais variáveis
Diferencial Total de uma função de
2 ou mais variáveis
Derivada Total
1) Se f ( x, y, z)  sen(2x 2 y)  tg( x3 z 2 )  cot( y 3 z 3 ),
determine f1 ( x, y, z)  f 2 ( x, y, z)  f 3 ( x, y, z).
f1 ( x, y, z)  cos(2x 2 y)4xy  sec 2 (4x3 z 2 )3x 2 z 2
f 2 ( x, y, z)  cos(2x 2 y)2x 2  cos ec 2 (5 y 3 z 3 )3 y 2 z 3
f 3 ( x, y, z)  sec2 ( x3 z 2 )2x3 z  cos ec 2 ( y 3 z 3 )3 y 3 z 2
A derivada total é a soma das derivadas parciais.
Exercícios
1) Se f ( x, y)  xy  x , achar f x , f y , f xy , f yx
2
3
2) Se f ( x, y, z )  xy  2 x  x. y.z,
2
achar f x , f y , f z
2
Tabela de Derivadas
Tabela de Derivadas
Interpretação Geométrica da Derivada Parcial
Significado geométrico
Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta
que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z
e x, de abscissa yo. A reta pertence a este plano.
Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta
que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z
e y, de ordenada xo. A reta pertence a este plano.
Significado geométrico
Significado geométrico
Eixo vertical no
plano y = yo
A curva z = f (x, y0)
no plano y = yo
Reta tangente
Eixo horizontal no plano y = yo
Significado geométrico
Eixo vertical no
plano x = xo
Reta tangente
A curva z = f (x, y0)
no plano x = xo
Eixo horizontal no
plano x = xo
Significado geométrico
Esta reta tangente tem
coeficiente angular f (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)
no plano x = xo
Esta reta tangente tem
coeficiente angular f (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)
no plano y = yo