ADENDO
SERPRO - TÉCNICO
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS - ROBERTO VASCONCELOS
NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA
tem que
inversa.
IP, se
REGRA DE TRÊS
haver
proporção
Existem dois tipos de regras de três:
• simples: apresenta apenas duas grandezas;
• composta: apresenta mais de duas grandezas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IMPORTANTE
R.1. 12 operários fazem um determinado trabalho em
24 dias. Se fossem 6 operários a mais, em quanto tempo o
trabalho ficaria pronto?
Solução:
Grandeza é uma palavra-chave que recebe um valor numérico o
qual muda ao longo do problema.
Para entendermos melhor o que é considerado grandeza,
veja os seguintes exemplos:
1) 10 operários em 20 dias constroem 30km de estrada.
Quantos km de estrada serão construídos por 15 operários
em 40 dias?
DIAS
20
40
KM
30
X
3 Grandezas (quantidade de
operários, dias e km)
2) 10 operários em 20 dias constroem 30km de estrada.
Quantos km constroem 10 operários em 40 dias?
OPER.
DIAS
KM
10
20
30
10
40
X
Obs.:
18x
= 12 ⋅ 24
12 ⋅ 24
x=
18
x = 16d
R.2. Um veículo faz um determinado percurso em 50
min. Quanto tempo ele gastaria para fazer esse mesmo percurso se utilizar uma velocidade 20% menor?
Solução:
2 Grandezas
(quantidade de dias e km)
Vel.
IP
Operários não são considerados grandezas no 2
exemplo, pois a razão entre 10 e 10 é igual a 1.
Sempre que a razão for unitária não consideramos
grandeza!
Min.
10
→
50
8
→
x
o
Classificação das Grandezas
Um par de grandezas é considerado:
DP, se
IP
Dias
→ 24
→ x
tem que haver proporção.
8x
= 10 ⋅ 50
10 ⋅ 50
x=
8
x = 62,5 min
IMPORTANTE
Todas as vezes que os valores de uma grandeza forem
relacionados através de um percentual adota-se um valor (no
caso, 10) para uma grandeza e obtém-se o outro valor (no caso,
8) aplicando-se a taxa que relaciona esses valores entre si.
1
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
OPER.
10
15
Oper.
12
18
R.3. Um operário faz um determinado trabalho em 12h.
Quanto tempo gastaria outro operário 50% mais eficiente,
para fazer o mesmo trabalho?
Solução:
IP
Efic.
10
15
→
→
Horas
12
x
15x
= 10 ⋅ 12
10 ⋅ 12
x=
15
x = 8h
Solução:
Dias
24
12
IP
Oper
21
x
Estrada
60%
40%
DP
21 12 60
=
⋅
X
24 40
21 1 3
=
⋅
X 2 2
Regra de três composta
Devemos organizar as grandezas e fazer a classificação de cada uma delas isoladamente com a grandeza que se
quer calcular, formando regras de três simples. Daí fazemos
a classificação (DP ou IP). Na hora em que formos montar a
proporção devemos conservar as DP e inverter as IP.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Para alimentar 15 vacas durante 11 dias são necessários 2200kg de milho. Retirando-se 7 vacas, em quanto
tempo serão consumidos 1280kg?
3
21
=
X
4
7
1
= ⇒ x = 280p
X
4
Resp.: como já se tem 21 operários e precisamos de
28, logo temos que contratar 7 operários.
R.3. 15 operários furam uma vala de 80m de comprimento em 10 dias trabalhando 8 horas por dia. Quantos dias
serão necessários para que 32 operários furem outra vala de
100m de comprimento, trabalhando 12 horas por dia e cuja
3
dificuldade seja
maior?
5
Solução:
Solução:
Vacas
15
18
Dias
11
x
IP
Milho
2200
1280
DP
ROBERTO VASCONCELOS
11 18 2200
=
⋅
X 15 1280
11 1 11
=
⋅
X 3 4
11 11
=
X
12
X = 12d
Operários
15
32
Comp. (m)
80
100
1P
DP
2
H/D
8
12
Dificuldade
5/5
8/5
1P
DP
10 32 80 12 5
=
⋅
⋅ ⋅
x 15 100 8 8
10 8
=
x
5
8x = 50
x=
50
1
d ⇒ x= 6 d
8
4
1
do dia corresponde nesse caso
4
a 3 horas de trabalho (já que 100% do dia de trabalho corresponde a 12 horas).
Logo, a nova turma vai gastar 6 dias mais 3 horas de
trabalho.
É bom lembrar que
R.2. Uma estrada vai ser construída em 36 dias, utilizando-se 21 operários. Decorridos 24 dias tinha-se construído
apenas 60% da obra. Qual o número de operários que devem
ser contratados para terminar a obra no tempo marcado?
Dias
10
X
a. 17h15min.
EXERCÍCIOS
b. 17h.
c. 17h30min.
REGRAS DE TRÊS SIMPLES
Determine, em cada caso, se a relação entre as grandezas é de proporção direta (DP) ou inversa (IP).
a. O número de operários trabalhando e a quantidade de peças que eles produzem durante um certo
tempo.
7.
Se um relógio atrasa 36 minutos por dia, quanto terá
atrasado ao longo de 3 horas?
8.
Em uma mistura com álcool e gasolina, foram utilizados 10,8 litros de álcool e 34,2 litros de gasolina.
Essa mistura contém:
b. O número de pedreiros trabalhando e o tempo que
levam para construir um muro.
c. A velocidade de um carro e o tempo que ele leva
para fazer um certo percurso.
a. 23% de álcool.
b. 24% de álcool.
d. A quantidade de comida e o n. de dias que um grupo de crianças pode ser alimentado, numa colônia
de férias.
e. A quantidade de comida e o número de crianças
que podem ser alimentadas com ela durante um
tempo numa colônia de férias.
f. O tamanho de um livro e o tempo necessário para
escrevê-lo.
g. O número de linhas por página e o total de páginas
de um livro.
h. A capacidade de um operário e o tempo necessário
para ele executar um serviço.
i. A dificuldade de um trabalho e o tempo necessário
para uma pessoa executá-lo.
j. A capacidade de um operário e a dificuldade de
uma tarefa.
k. O tempo necessário para fazer um trabalho e a capacidade dos operários envolvidos nesse trabalho.
2.
Se 5 metros de certo tecido custam R$ 30,00, quanto
custarão 33 metros do mesmo tecido? R$ 198,00
3.
Em 180 dias, 24 operários constroem uma casa. Quantos operários serão necessários para fazer uma casa
igual em 120 dias?
4.
Na fabricação de uma lata com capacidade de 350ml
gastam-se 14g de alumínio, enquanto na lata com capacidade de 500ml gastam-se 18g de alumínio. Considerando a estimativa de três bilhões de latas de alumínio de 350ml vendidas anualmente no Brasil, calcule a
quantidade de alumínio economizado se o mesmo volume do líquido fosse distribuído em latas de 500ml.
5.
100 gramas de ouro produzem 96 gramas de uma certa substância. Quantos gramas de ouro serão necessários para produzir 300 gramas dessa substância?
6.
Às 13h45min iniciei um trabalho. Às 16h45min já tinha
executado 3/4 desse trabalho. Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho às:
c. 25% de álcool.
d. 26% de álcool.
e. 28% de álcool.
9.
Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma
casa, quanto tempo levará para construí-la 10 pedreiros?
10. Um automóvel com a velocidade de 60 km/h faz o
percurso entre as cidades A e B, em 2 horas. Quanto
tempo levará se fizer o mesmo percurso a uma velocidade de 80 km/h?
11. Uma onça persegue uma lebre. Enquanto a onça
anda 20 metros, a lebre anda 14 metros. Se a distância inicial entre elas é de 30 metros, qual a distância
que a onça deverá percorrer até alcançar a lebre?
12. Dois carregadores levam caixas de um depósito para
uma loja. Um deles, o mais fraco e mais rápido, leva
3 caixas por vez e demora 2 minutos em cada viagem. O outro, mais forte e mais vagaroso, leva 7 caixas por vez e demora 5 minutos na viagem. Enquanto
o mais fraco leva 180 caixas, quantas caixas levam
o outro?
13. Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e
caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe
R$ 2,00 por caixa de uvas e R$ 2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se forem disponíveis 80
caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas
de maçãs ele deve transportar de forma a receber o
máximo possível pela carga transportada?
a. 80.
b. 75.
c. 70.
d. 65.
e. 60.
3
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
1.
d. 17h 45min.
14. Dois irmãos, Pedro e João, decidiram brincar de pega-pega. Como Pedro é mais velho, enquanto João
dá 6 passos, Pedro dá apenas 5. No entanto, 2 passos de Pedro equivalem à distância que João percorre com 3 passos. Para começar a brincadeira, João
dá 60 passos antes de Pedro começar a persegui-lo.
Depois de quantos passos Pedro alcança João?
a. 200 passos.
b. 120 passos.
c. 180 passos.
d. 150 passos.
15. José limpa o vestiário de um clube de futebol em 30
minutos, enquanto seu irmão, Jair, limpa o mesmo
vestiário em 45 minutos. Quanto tempo levará os dois
para limpar o vestiário juntos?
a. 15 minutos e 30 segundos
20. Um avicultor possui 600 galinhas e 4.500kg de ração,
que é suficiente para alimentá-las por 30 dias. Admitindo que ele tenha adquirido mais 400 galinhas e
1.500kg de ração, por quantos dias a alimentação de
que dispõe será suficiente para alimentar as aves?
21. Uma obra será executada por 13 operários (de mesma
capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias
com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra, 3 operários adoeceram e
a obra deverá ser concluída pelos operários restantes
no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser
a jornada diária de trabalho dos operários restantes
nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo
previsto?
a. 7h42.
b. 7h44.
b. 18 minutos.
c. 7h46.
c. 20 minutos.
d. 7h48.
d. 36 minutos.
e. 7h50.
e. 37 minutos e 30 segundos.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
16. Para alimentar 15 vacas leiteiras durante 11 dias são
necessários 2.200kg de milho. Retirando-se 7 vacas,
em quanto tempo serão consumidos 1.280kg de milho?
17. Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas
e cada linha com 60 letras. Quantas linhas teriam em
cada página, se cada linha tivesse 40 letras e o livro
tivesse 150 páginas?
18. Uma estrada vai ser construída em 36 dias, utilizando-se
21 operários. Decorridos 24 dias, constatou-se que
se tinha construído apenas 60% da obra. Nessas
condições, o número de novos operários que devem
ser contratados para terminar a obra na data fixada
será de:
a. 7.
ROBERTO VASCONCELOS
b. 9.
c. 10.
d. 11.
e. 12.
b. 19 queijos e
2
de queijo.
5
c. 10 queijos e
4
de queijo.
5
4
23. 24 operários fazem
2
de determinado serviço em 10
5
dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra
estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4
operários e o regime de trabalho diminuído de uma hora
por dia?
a. 8.
b. 11.
c. 12.
d. 21.
e. 18.
24. Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x minutos (onde x é um número natural dado). Em quanto
tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90 bananas?
a. 11 minutos.
19. Um fabricante de queijo gasta 60 litros de leite para fazer 18 queijos de 2,5kg cada um. Quantos queijos de 2kg
ele faz com 80 litros de leite?
a. 30 queijos.
d. 36 queijos.
22. Se 8 operários constroem, em 6 dias, um muro com
40 metros de comprimento, quantos operários serão
necessários para construir outro muro com 70 metros,
trabalhando 14 dias?
b. 18 minutos.
c. 16 minutos.
d. 13 minutos.
e. 15 minutos.
25. Uma fazenda dispõe de duas colheitadeiras: A e B.
Sabe-se que a colheitadeira B colhe o dobro do que
colhe a colheitadeira A e que, em 2 dias, a colheitadeira
A colhe 4 alqueires, trabalhando 8 horas por dia. Sob as
mesmas condições, é correto afirmar que a colheitadeira B, trabalhando 6 horas por dia, durante 3 dias, colhe:
a. 16,0 alqueires.
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
16. 21 dias
17. 90 linhas por página
b. 9,0 alqueires.
18. a
c. 4,5 alqueires.
19. a
d. 7,6 alqueires.
20. 24 dias
e. 12,0 alqueires.
21. d
26. Um tanque tem três torneiras. As duas primeiras o
enchem, sozinhas, respectivamente, em 4 horas e 6
horas. A terceira o esvazia em 3 horas. Quantas horas
serão necessárias para enchê-lo se as três torneiras
3
ficarem abertas e o tanque já estiver ocupado com
4
de sua capacidade?
22. 6 operários
23. d
24. b
25. b
26. b
PORCENTAGEM
a. 2h.
b. 3h.
PORCENTAGEM SIMPLES
c. 4h.
São os problemas que podem ser relacionados a uma
regra de três simples (Diretamente Proporcional), tal como:
d. 5h.
e. 6h30m.
GABARITO
REGRA DE TRÊS SIMPLES
N1
i1
N2­
i2­
1. a. DP
b. IP
c. IP
d. DP
e. DP
f. DP
g. IP
h. IP
i. DP
j. DP
k. IP
2. R$ 198,00
3. 36 Operários
4. 4,2 x 109 gramas de alumínio.
5. 312,5 gramas
6. a
7. 4min30seg.
8. b
9. 252 dias
10. 1 hora e 30 minutos
11. 100 metros
12. 168
13. d
14. a
15. b
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Em um concurso apenas 600 candidatos foram
aprovados. Determine o total de inscritos sabendo que a
taxa de reprovação foi de 85%.
Solução:
N1 i1
600 → 15%
⇒
N2 i2
x
→ 100%
15x
⇒
60000
x=
4000
R.2. Numa sala há 100 pessoas, das quais 99% são
mulheres. Quantas mulheres devem sair da sala de tal modo
que o número delas passe a representar 98% das pessoas
que permaneceram?
Solução:
N 1i 1
N 2i 2
⇒
1 pessoa → 2%
x
→ 98%
2x = 98 ⇒ x = 49
Tinham 99 mulheres, agora só tem 49, então: o número
de mulheres que saíram foi de 50 mulheres.
Obs.:
para determinarmos a taxa que um valor “a”, represente de um valor “b”, basta fazermos:
5
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
i=
a
b
→
Taxa
Unitária
a

=i  ⋅ 100  %
b

→
Taxa
Percentual
3
R.3. Determine a taxa percentual que a fração
repre5
4
senta da fração
.
8
Solução:
3

4

3 8

i =⋅
120%
 100  % ⇒ i =⋅
 4 5 ⋅ 100  % ⇒ i =


 5

8

R.4. Numa cidade, o litro de gasolina que custava R$
2,50 passou a custar R$ 2,60. Determine a taxa percentual
do aumento da gasolina.
a. 0,56
b. 0,08
c. 1,03
d. 0,173
Solução:
=
a. 0,56
56
= 56%
100
=
b. 0,08
8
= 8%
100
=
c. 1,03
103
= 103%
100
=
d. 0,173
17,3
= 17,3%
100
Solução:
PROPORÇÃO FALSA
Vi = R$ 2,50
Vf = R$ 2,60
Aumentou R$
0,10
 0,10

=i 
⋅ 100  %
 2,50

i=
100
%
2,50
i = 4%
R.5. Escreva as seguintes frações na forma de taxa
percentual:
a.
16
100
b.
1
4
c.
2
5
ROBERTO VASCONCELOS
Solução:
16
= 16%
a.
100
1
25
= = 25%
b.= 0,25
4
100
2
40
4
= 40%
c. = 0,=
5
100
R.6. Escreva cada número decimal a seguir na forma
de taxa percentual:
6
É uma técnica utilizada para resolver problemas de porcentagem onde duas ou mais grandezas estão relacionadas
entre si através de percentuais.
Consiste em adotarmos um valor falso para uma das
grandezas e a partir daí obtermos os valores (falsos) das
demais grandezas.
Ao final, faz-se uma regra de três simples conveniente
para ajustar os valores.
R.7. Considere 3 números de tal modo que o 1º seja 20%
maior que o 2º e o 3º seja 20% menor. Sabendo que a soma
dos três números é igual a 1.500, determine o 3º número.
Solução:
A + 20% B – 20% C
120
Valores Falsos
Valor Real
100
A+B+C
300
1500
80
C
80
X
Valores Falsos
Valor Real
300x = 1500 ⋅ 80
x= 5 ⋅ 8
x = 400
R.8. Antônio, Beatriz e Carlos são funcionários da
mesma empresa. Sabe-se que Antônio ganha 30% a mais
que a Beatriz e Carlos ganha 20% a menos que Antônio.
A diferença entre o salário de Carlos e de Beatriz é de R$
80,00. Determine o salário de Antônio.
Solução:
A + 20% B
130
a. não ganhou nem perdeu.
b. ganhou ou perdeu dependendo da ordem que sucederam as vitórias e derrotas.
c. perdeu R$ 27,00.
d. ganhou R$ 16,00.
e. perdeu R$ 21,00.
C
100
104
– 20%
C–B
4
80
Valores Falsos
Valor Real
A
130
X
Valores Falsos
Valor Real
4x
= 80 ⋅ 130
=
x 20 ⋅ 130
x = 2600
Solução:
(
)(
)
V f = R$ 27,00
Vi − V f
48 − 27 =
R$ 21,00
O resultado final indica que houve uma perda, pois o
valor final é menor que o valor inicial.
Vf = Valor final (depois das taxas)
Vi = Valor final (depois das taxas)
i1 ; i2... = Taxas unitárias (ex.: 3% = 0,03; 84% = 0,84)
R.1. Considere que em cada um dos dois últimos
anos a inflação tenha sido de 200%. Quanto custava há
dois anos um objeto que hoje custa R$ 450,00?
R.3. Em janeiro, Fernando ganhava um salário de R$
600,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi
aumentado em 10%, 15% e 8%, respectivamente. Quantos
reais Fernando passou a ganhar em abril?
Solução:
Sendo x o salário de Fernando no mês de abril, temos que:
Solução:
x= 600 ⋅ (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0,15 ) ⋅ (1 + 0,08 )
V f → R$ 450,00.
V i → é o que se quer saber.
i 1,i 2 → 200% =
2.
)(
V f = Vi ⋅ 1 ± i 1 ⋅ 1 ± i 2
x = 600 ⋅ 1,1⋅ 1,15 ⋅ 1,08
=
x 600 ⋅ 1,3662
x = 819,72
+ → inflação.
(
Se um conjunto de taxas for utilizado para reajustes sucessivos e esse mesmo conjunto for utilizado
para abatimentos sucessivos, temos:
V f < Vi
+ = Reajustes, inflação etc...
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
)
V=
48 ⋅ 0,5625
f
Obs.:
– = Abatimentos, deflação etc...
)(
)
450 = V i ⋅ (1 + 2 ) ⋅ (1 + 2 )
450 = V i ⋅ ( 3 ) ⋅ ( 3 )
450
= Vi ⋅ 9
V i = R$ 50,00
R.2. Paulo iniciou um jogo de cartas com R$ 48,00.
Arriscando, ganhar ou perder, a metade do que possuía no
momento em que aposta. Sabendo-se que ele apostou 4
vezes e perdeu exatamente 2, podemos afirmar que Paulo:
Portanto, o salário de Fernando, no mês de abril,
passou a ser de R$ 819,72.
Obs.:
Ao escrevermos x = 600 . 1,3662, estamos calculando 136,62% de 600. Como R$ 600,00 representa o
salário em janeiro (100%), verifica-se que o aumento total do salário de Fernando foi de (136,62% –
100%) = 36,62% e não de 33%.
OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
São os problemas que falam de lucro ou prejuízo na
venda de mercadorias.
7
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
(
V f = V i ⋅ 1 ± i 1 ⋅ 1 ± i 2 ...
)(
V f = 48 ⋅ (1 + 0,5 ) ⋅ (1 + 0,5 ) ⋅ (1 − 0,5 )
TAXAS SUCESSIVAS
São problemas que apresentam um conjunto de taxas
que incidem cumulativamente sobre certo valor.
)(
V f = Vi ⋅ 1 ± i 1 ⋅ 1 ± i 2 ⋅ 1 ± i 3 ⋅ 1 ± i 4
a.
b.
c.
d.
e.
V= C + L
 V = Venda

C = Custo
L = Lucro
3.
IMPORTANTE
31.
32.
29.
28.
30.
Se P é 30% de Q, Q é 20% de R, e S é 50% de R,
então
1) Existem dois tipos de lucro: lucro sobre o custo e lucro
sobre a venda.
2) Quando o problema não mencionar o tipo do lucro significa
que é lucro sobre o custo.
3) O prejuízo é considerado um lucro negativo.
a.
3
250
b.
3
25
c.
6
5
d.
4
3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Um objeto que custou R$ 210,00 foi vendido com
um lucro de 30% sobre o valor da venda. Por quanto foi
vendido?
P
é igual a:
S
Solução:
C = 210

L = 30% sobre V
 V = ?
V= C + L
V 210 + 0,3V
=
V − 0,3V =
210
0,7V = 210
4.
V = R$ 300,00
R.2. Um terreno que custou R$ 24.000 foi vendido com
um prejuízo de 20% sobre o valor de venda. Por quanto foi
vendido?
a. 80.
Solução:
C = 24000

P = 20% sobre V
 V = ?
b. 86.
c. 92.
V= C + L
V 24000 + ( −0,2V )
=
V + 0,2V =
24000
1,2V = 24000
d. 96.
5.
Um jogador de basquete acertou 16 cestas dos 40 arremessos que fez. Qual a taxa percentual das cestas
feitas por esse jogador?
6.
Em um concurso havia 15.000 homens e 10.000 mulheres. Sabe-se que 60% dos homens e 55% das mulheres foram aprovados. Do total de candidatos, quantos por cento foram reprovados?
7.
Joana e Marta vendem um perfume a domicílio. Joana
dá desconto de R$ 10,00 sobre o preço do perfume e
recebe de comissão 15% do preço de venda. Marta
vende o mesmo perfume com desconto de R$ 20,00 e
recebe 30% de comissão sobre o preço de venda. Se
as duas recebem o mesmo valor de comissão, qual o
preço do perfume?
V = R$ 20.000,00
EXERCÍCIOS
ROBERTO VASCONCELOS
1.
2.
Um comerciante vendeu três objetos que custaram,
respectivamente, quarenta reais, sessenta reais e oitenta reais. Ganhou com a venda do primeiro objeto
oito reais, com a venda do segundo nove reais e doze
reais com a venda do terceiro. O objeto que rendeu
maior percentual de lucro foi:
a. o primeiro objeto.
b. o segundo objeto.
c. os três objetos apresentaram o mesmo lucro.
d. o terceiro objeto.
Um feirante comprou 33 caixas de tomate e cada uma
custou R$ 20,00. Se na compra seguinte o preço de
cada caixa aumentou em 10%, o feirante, com a mesma quantia gasta na primeira vez, pôde comprar um
número de caixas igual a:
8
Um vendedor de frutas levava um carregamento de
caixas de laranjas para vender a seu cliente a R$ 8,40
cada caixa. Ao chegar para a venda percebeu que havia doze caixas com frutas impróprias para o consumo,
que foram descartadas, e as que sobraram foram vendidas por ele com acréscimo de 15% em seu preço.
Com isso, obteve o mesmo montante que conseguiria
caso não tivesse perdido as doze caixas e as tivesse
vendido a R$ 8,40. A quantidade de caixas de laranjas
vendidas foi de:
a. R$ 26,00.
b. R$ 27,00.
c. R$ 28,00.
d. R$ 29,00.
d. R$ 675,00.
e. R$ 645,50.
e. R$ 30,00.
9.
Uma mercadoria custava R$12,50 e teve um aumento,
passando a custar R$13,50. De quanto por cento foi o
aumento sobre o preço antigo?
Um pintor pintou 30% de um muro e outro pintou 60%
do que sobrou. A porcentagem do muro que falta pintar
é:
a. 10%
b. 15%
c. 23%
d. 28%
e. 33%
10. Uma raquete custa na loja A R$ 15,00 a mais que na
loja B. O proprietário da loja A, percebendo a diferença, lança uma promoção, oferecendo um desconto de
10% para que o preço da sua mercadoria se torne o
mesmo da loja B. Quanto custa a raquete na loja B?
11. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de
13
rapazes é
. A porcentagem de rapazes na festa é:
a. 44 % 12
b. 45 %
c. 40 %
d. 48 %
e. 46 %
12. Carlos recebeu R$ 240.000,00 pela venda de um imóvel.
Gastou metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em
fundos de investimentos de três instituições financeiras:
40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C.
Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$
144.000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais foram de +20%, −10% e +30%, respectivamente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em
um ano, Carlos aumentou o capital de R$ 240.000,00,
recebido inicialmente, em:
a. 80%
b. 36%
c. 20%
d. 18,50%
e. 17%
13. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de
40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço
deste aparelho elétrico sem este desconto.
14. Após um reajuste de 15%, o salário bruto de um empregado passou a ser R$ 862,50. Sabendo-se que, sobre o salário bruto incide, a todo tempo, um desconto
de 10% referente ao INSS, pode-se afirmar que o salário líquido deste empregado, antes do reajuste, era de:
a. R$ 800,00.
b. R$ 770,25.
c. R$ 750,00.
15.
Antônio e Ricardo são operários de certa empresa. Antônio
ganha 30% a mais que João, e Ricardo 10% a menos
que Antônio. A soma dos salários dos três, neste mês,
foi de R$ 4.858,00. Qual a quantia que coube a Antônio?
16. Um galão de dez litros está cheio de um combustível
resultante de uma mistura que tem 14% de álcool de
86% de gasolina; outro galão de vinte litros está cheio
com outra mistura que tem 20% de álcool e 80% de
gasolina. Despejando-se o conteúdo dos dois galões
em um só recipiente, obtém-se uma nova mistura cuja
porcentagem de gasolina é:
a. 75,0%
b. 77,0%
c. 79,0%
d. 81,0%
e. 82,0%
17. Considere a gasolina comum, usada no abastecimento
dos veículos automotores, contendo 25% de álcool e
75% de gasolina pura. Para encher um tanque vazio,
com capacidade de 45 litros, quantos litros de álcool e
de gasolina comum devem ser colocados, de modo a
obter-se uma mistura homogênea composta de 50%
de gasolina pura e de 50% de álcool?
18. Se a liga A contém 25% de ouro e 75% de prata e a liga
B contém 55% de ouro e 45% de prata, quantas gramas
da liga A se deve misturar com a da liga B de modo a
se obter 120g de uma liga com a mesma concentração
de ouro e prata?
19. Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18%
de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova
mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool
nessa nova mistura deve ser de:
a. 20%
b. 22%
c. 24%
d. 26%
e. 28%
20. Uma pera tem cerca de 90% de água e 10% de matéria
sólida. Um produtor coloca 100 quilogramas de pera para
desidratar até o ponto em que a água represente 60% da
massa total. Quantos litros de água serão evaporados?
(lembre-se: 1 litro de água tem massa de 1 quilograma).
a. 15 litros.
b. 80 litros.
c. 75 litros.
d. 45 litros.
21. Uma pilha de melancias tinha 500kg de massa, das
quais 99% era água e 1% era matéria sólida. Em um
dia muito quente, as melancias sofreram perda de
água por evaporação, de forma que a porcentagem de
água da massa total passou para 98%. Com base nessa
situação, escolha apenas uma das opções a seguir e
faça o que se pede, desprezando, para a marcação
na folha de respostas, a parte fracionária do resultado
9
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
8.
final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados.
a. Calcule a massa, em kg, correspondente à água da
pilha de melancias antes da evaporação.
b. Calcule a massa da matéria sólida da pilha de melancias, em kg, após a evaporação.
c. Calcule a massa total da pilha de melancias, em
kg, após a evaporação.
22. Uma pessoa investiu R$ 3.000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40% do total investido e no segundo mês ela recuperou 30% do que havia perdido.
a. Com quantos reais ela ficou após os dois meses?
b. Qual foi o seu prejuízo após os dois meses, em
porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?
c. aumentou exatamente 5 % nas duas lojas.
d. aumentou exatamente 2 % nas duas lojas.
e. diminuiu exatamente 1 % nas duas lojas.
28. Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte
quadro, quanto ao número de casos positivos:
• em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um
aumento de 10%; e
• em março, relativamente a fevereiro, houve uma
redução de 10%.
Em todo o período considerado, a variação foi de:
a. −1%.
b. 0,1%.
c. −0,1%.
d. 1%.
e. 0%.
23. O salário de Pedro era de x reais em janeiro. Em maio,
ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15%, em
novembro. Seu salário atual é R$ 2.208,00. Calcule o
salário de Pedro em janeiro.
24. Uma empresa aplica o chamado “golpe do desconto”
que consiste em marcar suas mercadorias por um preço e na venda conceder um desconto de 20%. Se o
lucro em cada mercadoria vendida por esta empresa é
de 30%, a mercadoria que custou para esta empresa
R$ 400,00 por quanto é marcada para ser vendida?
25. Certa loja compra um eletrodoméstico por R$ 1.200,00
e o vende dando ao freguês 10% de desconto sobre o
preço por ela estabelecido. Mesmo assim, a loja teve
um lucro de 20% sobre o preço de compra. Então, o
preço estabelecido pela loja para a venda desse eletrodoméstico, em reais, era:
a. 1440,00.
b. 1500,00.
c. 1600,00.
d. 1720,00.
26. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente a R$
27,00 o litro. Que quantidade de água deve adicionar à
aguardente para vender o litro a R$ 35,00 e ganhar o
equivalente a 30% do preço de compra?
a. 1 litro.
b. 2 litros.
c. 3 litros.
d. 4 litros.
e. 5 litros.
ROBERTO VASCONCELOS
27. Um produto, que foi colocado à venda pelo mesmo
preço nas lojas A e B, sofreu, durante três meses, as
seguintes variações acumulativas de preço:
Loja
1º Mês
2º Mês
3º Mês
A
Aumento de
20%
Aumento de
10%
Desconto de
25%
B
Desconto de
15%
Aumento de
20%
Sem reajuste
Dessa forma, após três meses, o preço do produto:
a. é maior na loja A.
b. é maior na loja B.
10
29. Na reprodução de uma figura, a primeira cópia obtida
reduziu em 30% a área desta figura. A seguir, esta cópia foi reproduzida com ampliação de 40%. A área da
figura obtida na segunda cópia, comparada com a área
da figura original, é:
a. 98% menor.
b. 90% maior.
c. exatamente igual.
d. 2% menor.
e. 10% maior.
30. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto
que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente
da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas
sem resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de
10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço
inicial desse terno era superior ao preço final em:
a. R$ 162,00.
b. R$ 132,45.
c. R$ 152,00.
d. R$ 71,28.
e. R$ 85,00.
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
a
e
b
a
40%
42%
e
8%
d
R$ 135,00
d
e
R$ 60,00
d
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
R$1.820,00
e
15 litros de álcool e 30 litros de gasolina
20 gramas
d
c
a. 495
b. 005
c. 495
a. R$ 2.160,00
b. 28%
R$1.600,00
R$ 650,00
c
a
b
a
d
c
JUROS SIMPLES
INTRODUÇÃO
Juro é o rendimento que se obtém pela aplicação de um
capital. No caso de juros simples a taxa contratada incide
sempre sobre o capital inicial, independente do período de
aplicação.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00, por 2
anos, obtendo rendimento de 10% e 20%, respectivamente
nesses dois anos, o juro obtido em cada ano será:
j1= 10% de1000=
10
⋅ 1000 ⇒ J1= 100
100
j2 = 20% de1000=
20
⋅ 1000 ⇒ J2 = 200
100
Lembre-se que no sistema de juros simples a taxa
incide sempre sobre o capital inicial. logo:
J1 = 10% de 1000 ⇒ J1 = 100
J2 = 20% de 1000 ⇒ J2 = 200
J3 = 30% de 1000 ⇒ J3 = 300
Portanto temos que JT = 100 + 200 + 300 ⇒ JT = 600.
Uma outra forma de encontrarmos esse valor para o juro total
(JT) era somarmos as taxas (10% + 20% + 30% = 60%) e aplicarmos esse índice sobre o capital inicial:
JT = 60% de 1000 ⇒ JT = 600
Veja que no cálculo do juro simples então basta
somarmos as taxas dos períodos considerados e aplicarmos sobre o capital inicial.
Quando a taxa do período for constante, poderemos
substituir a soma das taxas por um produto. Veja:
Vamos considerar que uma pessoa tenha aplicado R$
1000,00 durante 3 anos à uma taxa de 10% em cada ano,
isto é, 10% aa.
Assim o juro será dado por:
JT = (10% + 10% + 10%) de 1000
JT = 30% de 1000 ⇒ JT = 300 JT = 300
Repare que para encontrarmos a taxa de 30% bastaria
fazermos “3 × 10%”.
Num caso em que a aplicação fosse, digamos de 10% aa
durante 8 anos, então bastaria fazermos (para obtermos a
taxa total):
10%
+ 10% + 
10% + ... + 10%

= 8.10%= 80%
Observe que o rendimento do 1º ano (R$ 100,00) não
se juntou ao capital inicial (R$ 1000,00) para o juro do 2º
ano. Nesse caso, dizemos que o regime de aplicação do
capital é “juros simples”.
Existem 2 modos de se calcular o juro simples: um que
se baseia no prazo comercial (1 ano = 360 dias) e outro que
se baseia no prazo exato (ano com com 365 dias ou 366
dias). Nesse último caso é denominado de juros simples
exato, enquanto no primeiro caso é denominado de juros
simples comercial ou simplesmente juro simples.
Daí podemos adotar a seguinte regra para o cálculo do
juro simples com taxa constante:
Juro
do período) ⋅ (nº de períodos) ⋅ (Capitalinicial)
= (Taxa

 

 
J
i
n
c
ou ainda:
J = c ⋅i⋅n
JUROS COM TAXA CONSTANTE
onde:
Considere a seguinte situação hipotética:
Uma pessoa aplica R$ 1000 durante 3 anos com rendimentos anuais de 10%, 20% e 30%, respectivamente. Qual
o juro obtido nos 3 anos?
J → juro simples
c → capital aplicado
i → taxa do período (dia, mês, trimestre, etc)
n → nº de períodos (dias, meses, trimestres, etc)
11
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
8 vezes
Obs.:
A taxa (i) e o número de períodos (n) devem estar
sempre nas mesmas unidades.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine o juro simples das aplicações de R$
2500,00, durante 5 meses à taxa de z% am.
I – Solução:
c = 2500

=
= 0,02am
i 2%am

n
=
5me

J = ?
J=c.i.n
J = 2500 . 0,02 . 5
J = 250
R.2. Qual a taxa mensal que se deve aplicar um capital de
R$ 3000,00 para obtermos R$ 600,00 de juros simples
em 4 meses de aplicação?
I – Solução:
c = 3000
 =
J 600

n = 4 meses
i = ?
J=c.i.n
600 = 3000 . i . 4
600 = 12000 . i
600
i = 12000
i = 0,05
i = 5% am
R.3. Qual o tempo necessário para que um certo capital
aplicado a juros simples simples numa taxa de 8% aa
apresente 80% do seu próprio valor de rendimentoo?
ROBERTO VASCONCELOS
Solução:
c = x

=
=
x 0,8x
J 80%de

=
= 0,08aa
i 8%aa
n = ?

J=c.i.n
0,8x = x . 0,08 . n
=
n
0,8 80
=
0,08 8
n= 10 anos
12
R.4) Qual é o capital que aplicado a juros simples de 3%
am, durante 7 meses apresenta um juro de R$ 420,00?
Solução:
=
=
am 0,03 am
i 3%

n = 7meses

J = 420
c = ?
J=c.i.n
420 = c . 0,03 . 7
420 = c . 0,21
420 42000
=
c =
0,21
21
c = 2000
TAXAS DE JUROS
TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores
formam uma proporção com as suas unidades.
Exemplos: 10% as e 20% aa; 10% am e 30% at; etc.
Relação de proporcionalidade
iq
id im
is
it
is
ia
=
= =
=
=
=
1 30 60 90 120 180 360
onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
ib → taxa bimestral
i t → taxa trimestral
i q → taxa quadrimestral
i s → taxa semestral
i a → taxa anual
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre
o mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem o
mesmos juros.
No caso de juro simples duas taxas proporcionais são
equivalentes (e vice-versa).
Logo para encontrarmos uma taxa equivalente a outra
taxa dada, basta calcularmos a taxa proporcional.
Exemplos:
• 30% as e 60% aa (são proporcionais e equivalentes).
• 8% am e 24% at (são proporcionais e equivalentes).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa mensal equivalente a cada taxa
dada:
a. 10% ab
b. 18% aa
c. 12% as
d. 21% at
Solução:
MONTANTE (M)
Como a equivalência se dá por proporção, temos:
O montante é, por definição, o valor obtido pela soma do
capital investido com os juros recebidos ao longo da aplicação.
a.
i
im
= b
30
60
im 10%
=
1
2
im = 5%
b.
i
im
= a
30
360
im 18%
=
1
12
im = 1,5%
c.
i
im
= s
30
180
im 12%
=
1
6
im = 2%
d.
i
im
= t
30
90
im 21%
=
1
3
im = 7%
M= c + J
Se substituirmos “J” por “c . i . n”, teremos:
M=c+c.i.n
M = c ⋅ (1 + i ⋅ n)
onde:
M → montante
c → capital
i → taxa
n → nº de períodos
EXERCÍCIO RESOLVIDO
R.1. Determine o montante da aplicação de R$ 8000,00,
durante 3 meses à taxa de 36% aa.
Solução:
c = 8.000

=
=
aa 0,36 aa
i 36%

n = 3 meses
M = ?
R.2. Um capital de R$ 5000,00 foi aplicado a juros simples
de 24% aa, durante 8 meses. Determine o rendimento.
i
im
i
36%
⇒ im = 3%
= a = m=
1
12
30
360
Solução:
1
12
M = c . (1 + i . n)
M = 8000 (1 + 0,03 . 3)
c = 5000
i 24%
=
=
aa 0,24 aa


n = 8 meses
J = ?
M = 8000 . 1,09
M = 8.720
Vamos transformar a taxa:
i
i
im
24%
⇒ im = 2% am
= a ⇒ m=
1
12
30
360
Logo, teremos:
J=c·i·n
J = 5000 · 0,02 · 8
J = 800
1.
Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo
de três meses para pagar de volta este valor acrescido
de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa
só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo,
porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$
150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa
efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte
do empréstimo que utilizou em proveito próprio.
a. 12% ao trimestre
b. 14% ao trimestre
c. 15% ao trimestre
d. 16% ao trimestre
e. 18% ao trimestre
13
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
EXERCÍCIOS
Como a taxa e o tempo (nº de períodos) não estão nas
mesmas unidades temos que fazer uma transformação
prévia antes de utilizarmos a equação “J = c . i . n”.
Nesse caso, ou transformamos a taxa de 24% aa para
uma equivalente “ao mês” ou transformamos 8 meses
em um tempo equivalente “em ano”.
2.
Qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de
2,4% ao mês rende R$ 1 608,00 em 100 dias?
a. R$ 20 000,00.
b. R$ 20 100,00.
c. R$ 20 420,00.
d. R$ 22 000,00.
e. R$ 21 400,00.
3.
Um capital é aplicado a juros simples do dia 10 de
fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma
taxa de 24% ao ano. Nessas condições calcule o juro
simples exato ao fim do período, como porcentagem
do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda.
a. 4,70%
b. 4,75%
c. 4,80%
d. 4,88%
e. 4,93%
4.
Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$
6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente.
Obtenha o tempo necessário para que a soma desses
capitais produza juros; à mesma taxa, iguais à soma
dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus
respectivos prazos.
a. 6 meses
b. 6 meses e meio
c. 7 meses
d. 7 meses e dez dias
e. 7 meses e dezoito dias
5.
Três capitais nos valores de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00
e R$ 4.000,00 são aplicados respectivamente às taxas
de 5,5%, 4% e 4,5% ao mês, durante o mesmo número
de meses. Obtenha a taxa média mensal de aplicação
destes capitais.
a. 3,5%
b. 4%
c. 4,25%
d. 4,5%
e. 5%
6.
ROBERTO VASCONCELOS
7.
Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma
quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada?
a. 20% ao ano
b. 125% ao ano
c. 12,5% ao ano
d. 200% ao ano
e. 10% ao ano
Um capital de R$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu R$ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve
empregado?
a. 3 meses e 3 dias
b. 3 meses e 8 dias
c. 2 meses e 23 dias
d. 3 meses e 10 dias
e. 27 dias
14
8.
Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$
8.736,00?
a. R$ 9.800,00
b. R$ 9.760,66
c. R$ 9.600,00
d. R$ 10.308,48
e. R$ 9.522,24
9.
Qual a taxa necessária para que um capital, colocado
a juros simples, decuplique de valor em 7 anos
a. 50% a.a.
b. 128 4/7% a.a.
c. 142 6/7% a.a.
d. 1 2/7% a.m.
e. 12% a.m.
10. Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2
anos. Findo o prazo reaplicou o montante e mais R$
2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à
taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capitalização.
Admitindo-se que os juros das 3 aplicações somaram
R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação
era de R$
a. 11.200,00
b. 13.200,00
c. 13.500,00
d. 12.700,00
e. 12.400,00
GABARITO
1. e
6. c
2. b
7. d
3. c
8. c
4. c
9. b
5. d
10. b
JUROS COMPOSTOS
INTRODUÇÃO
No regime de juros compostos dizemos que os “juros são
cumulativos”. Isso significa que em cada período de aplicação
a taxa incide sobre o montante do final do período anterior.
Por exemplo, se uma pessoa aplicar R$ 1000,00 por 2
anos com taxas de 10% e 20%, respectivamente em cada
ano teremos:
• J1 = 10% de 1000 = J1 = 100
∴
M1 = 10100 + 100 = M1 = 1100
• J2 = 20% de 1100 = J2 = 220
∴
M2 = 1100 + 220 = M2 = 1320
Observe que o capital base para o cálculo do juro no 2º
ano foi o montante do final do 1º ano (M1 = 1100). Se fosse
juro simples, esse capital base seria sempre o capital inicial
(R$ 1000,00), não sofrendo assim o processo chamado de
“juros sobre juros” ou “juros capitalizados” ou simplesmente
juros compostos.
CÁLCULO DO MONTANTE
M = c.(i+i1 ) ⋅ (1 + i2 ) ⋅ ... ⋅ (1 + in )
Onde:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine o juro completo da aplicação de
R$ 5000,00, durante 2 anos à taxa de 30% aa.
Solução:
c = 5000
i 30%
=
=
aa 0,3 aa


n
=
2
anos

J = ?
M = c ⋅ (1 + i)n
=
M 5000 ⋅ (1 + 0,3)2
M → Montante
=
M 5000 ⋅ 1,69
c → Capital
i1;i2 ;...;in → Taxas unitárias de cada período.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
M = 8450 ∴ J = 8450 – 5000  J = 3450
R.2. Determine o juro composto da aplicação de
R$ 10000,00 durante 4 meses à taxa de 20% aa.
Solução:
R.1. Determine o montante e o juro composto da aplicação de R$ 1000,00 durante 3 anos, sabendo que as taxas
c = 10000
i 20%
anuais foram respectivamete de 10%, 15%, e 20%.
=
=
ab 0,2 ab


n
=
2bimestres(4
meses)

Solução:
J = ?
c = 10000,00
i 10%;
i2 15%;
i3 20%
=
=
1 =

M = ?
J = ?
M= c.(1 + i1 ) ⋅ (1 + i2 ) ⋅ (1 + i3 )
=
M 10000(1 + 0,10) ⋅ (1 + 0,15) ⋅ (1 + 0,20)
M= 10000 ⋅ 1,10 ⋅ 1,15 ⋅ 1,20
M = 15180
∴
=
J 15180 − 10000
IMPORTANTE
Em juros compostos NÃO
podemos transformar a taxa
de maneira proporcional.
Logo é mais conveniente
transformar o tempo em
bimestre
M = c ⋅ (1 + i)n
=
M 10000(1 + 0,2)2
M = 14400
∴
J = 14400 – 10000
J = 4400
TAXAS DE JUROS
Duas taxas são proporcionais quando os seus valores
formam uma proporção com as suas unidades.
CÁLCULO DO MONTANTE COM TAXA CONSTANTE
Quando a taxa for a mesma durante todos os períodos
de aplicação, teremos:
i1= i2= i3= ...= in= i
Logo:
M = c ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + i2 ) ⋅ (1 + i3 ) ⋅ ... ⋅ (n + in )
M = c ⋅ (1
+ i) ⋅ (1 + i)⋅
(1 + i) ⋅ ... ⋅ (1 +i)

" n " vezes
M = c ⋅ (1 + i)n
Exemplos:
a. 2% am e 24% aa
b. 5% as e 10% aa
c. 4% am e 12% at
Relação de proporcionalidade
id
i
=
i
i
i
i
i
im
= b = t = q = s = a
30
60
90
120
180
360
(é a mesma do juros simples)
Onde:
id → taxa diária
im → taxa mensal
15
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
TAXAS PROPORCIONAIS
J = 5180
ib → taxa bimestral
it → taxa trimestral
iq → taxa quadrimestral
is → taxa semestral
ia → taxa anual
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Determine a taxa semestral proporcional à taxa de
7% am.
Solução:
Devemos selecionar na relação de proporcionalidade
as taxas‑envolvidas no exercício. Neste caso as taxas
semestral (as) e mensal (am) pedida e dada, respectivamente.
Daí temos:
is
i
= m
180
30
is
7%
=
30
180
is
7%
=
6
1
No regime de juros simples, duas taxas proporcionais
também são equivalentes (e vice-versa).
No regime de juros compostos, taxas proporcionais são
diferentes de taxas equivalentes. Por exemplo, aplicar um
capital, por um determinado período, à taxa de 2% am é
diferente de aplicá-lo à taxa de 24% aa.
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA ENTRE TAXAS
(JUROS COMPOSTOS)
2
360
(1 + ia )1 =
(1 + iis)
=
(i + iq )3 =
(i + it )4 =
(i + ib )6 =
(1 + im )12 =
(1 + iid)
s
d
Onde:
ia → taxa anual (forma unitária)
is → taxa semestral (forma unitária)
iq → quadrimestral (forma unitária)
it → taxa trimestral (forma unitária)
ib → taxa bimestral (forma unitária)
im → taxa mensal (forma unitária)
id → taxa diária (forma unitária)
is = 42%
R.2. Determine a taxa anual proporcional à taxa de
4% ab.
Solução:
Da relação de proporcionalidade, temos:
ia
=
ib
360
60
ia
4%
=
6
1
ia = 24%
Solução:
Da relação de proporcianalidade, temos:
ROBERTO VASCONCELOS
=
R.1. Determine a taxa trimestral composta, equivalente
à taxa de 10% am.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
1
(1 + it ) 4 = (1 + im ) 12
ia
90
360
it
8%
=
1
4
it = 2%
1 + it =
1,331
it 1,331 − 1
=
it = 0,331
it = 33,1%
R.2. Determine a taxa anual composta, equivalente à
taxa de 5% as.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
(1 + 1a )1 =
(1 + 1s )2
TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre
o mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzirem juros
iguais.
16
3
1 + it = (1 + 0,1)3
R.3. Determine a taxa trimestral proporcional à taxa de
8% aa.
it
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 + ia = (1 + 0,05)2
1 + ia =
1,1025
ia = 0,1025
ia = 10,25%
R.3. Determine a taxa bimestral composta equivalente
à taxa de 44% aq.
Para transformarmos uma taxa nominal em efetiva basta
calcularmos a taxa proporcional ao período de capitalização.
Solução:
Da relação de equivalência, temos:
(1 + ib )6 =+
(1 iq ) 3
Exemplo:
1
(1 + ib )2 =(1 + iq )1
(1 + ib )2 = (1 + 0, 44)1
1 + ib =1, 44
1 + ib =
1,2
ib 1,2 − 1
=
ib = 0,2
ib = 20%
24% aa, capitalizados mensalmente corresponde a
uma taxa efetiva de 2% am. Veja que para obtermos a taxa
de 2% am buscamos na relação de proporção:
ia
i
= m
360
30
1
12
24% im
=
12
1
im = 2%
EXERCÍCIO RESOLVIDO
TAXA NOMINAL
Uma taxa é nominal quando a sua unidade é diferente
do período de capitalização. Ela não corresponde ao verdadeiro juro embutido numa operação financeira e por isso não
podemos efetuar cálculos financeiros envolvendo tal taxa.
Exemplos:
40% aa, capitalizados semestralmente
40% aa, capitalizados trimestralmente.
12% at, capitalizados mensalmente.
0,5% ad, capitalizados anualmente.
Obs.:
R.1. Dê a taxa efetiva em cada caso:
a. 8% ab, capitalizados mensalmente.
b. 60% aa, capitalizados mensalmente.
c. 30% as, capitalizados trimestralmente.
d. 15% am, capitalizados diariamente.
e. 4% aa, capitalizados anualmente.
f. 2% am, capitalizados mensalmente.
Solução:
a.
Entende-se por período de capitalização o tempo
necessário para que o juro seja incorporado ao
capital, formando assim um capital maior que servirá de base para o juro do período seguinte. Portanto, quando dizemos que a “capitalização é mensal”,
por exemplo, estamos indicando que mês a mês
incorporamos o juro ao capital.
2
Portanto a taxa efetiva é de 4% am.
b.
É aquela cuja unidade é igual ao período de capitalização. Ela corresponde ao verdadeiro juro embutido numa
operação financeira.
Quando um problema não mencionar o período de
capitalização da taxa, significa que ela já é efetiva,
ou seja, a capitalização ocorrerá na periodicidade
que a própria taxa indica.
Por exemplo, se for mencionado que “um capital é
aplicado a juros compostos, numa taxa de 5% am”. Desse
modo, a taxa de 5% am já é efetiva e significa que a capitalização é mensal.
1
im = 4%
TAXA EFETIVA
Obs.:
ib
i
= m
60 30
i
8%
= m
30
60
ia
i
= m
360 30
i
60%
= m
30
360
12
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
2
TRANSFORMAÇÃO DE TAXA NOMINAL EM TAXA EFETIVA
1
im = 5%
Portanto a taxa efetiva é de 5% am.
c.
is
i
= t
180 90
i
30%
= t
90
180
2
1
it = 15%
Portanto a taxa efetiva é de 15% at.
17
d.
im id
=
30 1
15% id
=
30
1
ir =
x ⋅ (1 + ia ) − x (1 + i)
x ⋅ (1 + ii )
x ⋅ (1 + ia ) − x (1 + ii ) 
x ⋅ (1 + ii )
1 + ia 1 + ii
=
ir
−
1 + ii 1 + ii
1 + 1a
=
ir
−1
1 + ii
ir =
id = 0,5%
Portanto a taxa efetiva é de 0,5% ad.
e. Como a taxa é de 4% aa, capitalizada anualmente,
ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao período de capitalização).
f. Como a taxa é de 2% am, capitalizada mensalmente, ela já é efetiva (a unidade da taxa é igual ao
período de capitalização).
TAXA REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO
1+ i
1 + ir = a
1 + ii
Lembrando que:
a−b a b
=
−
b
b b
IV
Da relação IV podemos tirar:
V − 1 + ia = (1 + ir ) ⋅ (1 + ii ) V
Onde:
Quando aplicamos um capital num mercado financeiro que sofre a ação de um processo inflancionário, a
taxa paga pelo banco é denominada de taxa aparente,
pois a inflação “absorve” uma parte do rendimento.
ia → taxa aparente (unitária)
ir → taxa real (unitária)
ii → taxa de inflação (unitária)
A taxa real (que mede o poder de compra do investidor) não é aquela paga pelo banco e sim, menor (considerando que haja inflação).
Consideremos que um capital “x” tenha sido aplicado
num banco hoje e que um objeto custe hoje também “x”.
Dentro de um certo período, o banco remunerou o capital
a uma taxa “ia” e o objeto foi reajustado (no mesmo prazo)
a uma taxa “ii” (taxa de inflação).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
R.1. Num determinado ano, a caderneta de poupança
remunerou os investidores em 43% e a inflação foi de 30%.
De quanto foi o ganho real dos poupadores?
Solução:
Logo teremos que:
Dos dados temos:
I − VF(CAP) =
x.(1 + ia )
I − VF(CAP) =
x.(1 + ia )
II − VF(OBJ) =
x.(1 + ii )
II − VF(OBJ) =
x.(1 + ii )
ia = 43% = 0,43
ii = 30% = 0,30
ir = ?
Onde:
Da relação IV, temos:
VF(CAP) → valor final do capital aplicado (ao final do prazo)
1
1+
+ iia
1+
+ ir
ir =
1
= a
1+
+ iiii
1
VF(OBJ) → valor final do objeto (ao final do prazo).
ROBERTO VASCONCELOS
Para sabermos o ganho real (ir) devemos verificar
qual a taxa que a diferença “VF(CAP) – VF(OBJ)” (que indica
a sobra do valor aplicado, adquirindo o Objeto no final do
período) representa sobre o valor final do objeto “VF(OBJ)”.
=
−1
1,1 −
1
=
iirr 1,1
iirr =
0,1
= 0,1
Logo:
ir =
VF(CAP) − VF(OBJ)
VF(OBJ)
Substituindo I e II em III, temos:
18
1
1+
+ 0,
0, 43
43
1+
+ iirr =
1
=
1+
+ 0,30
0,30
1
1,
1, 43
43
+ iirr =
=
1+
1
1,30
1,30
+ iirr =
=
1+
1,1
1
1,1
= 10%
10%
iirr =
III
Portanto, o ganho real foi de 10% no período.
Obs.:
A taxa real é sempre menor que a diferença entre a
taxa aparente e a de inflação.
4.
Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à
taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao
mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses.
Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que
as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21
144,02 ao fim do prazo.
a. R$ 25 000,00.
b. R$ 39 000,00.
c. R$ 31 000,00.
d. R$ 48 000,00.
e. R$ 50 000,00.
5.
Qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa
nominal de 48% ao ano com capitalização mensal?
a. 3,321% ao mês.
b. 24% ao semestre.
c. 26,532% ao semestre.
d. 10,773% ao trimestre.
e. 8,825% ao bimestre.
6.
Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o
montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para
reais).
a. R$ 625,00
b. R$ 630,00
c. R$ 636,00
d. R$ 650,00
e. R$ 676,00
7.
Obter a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 5%, a juros compostos, em porcentagem e com
aproximação de uma casa decimal.
a. 60,0%
b. 69,0%
c. 72,8%
d. 74,9%
e. 79,6%
8.
Um capital aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 36% ao ano, com capitalização mensal, atingiu
um montante de R$ 10.900,00, ao fim de um trimestre.
Desprezando os centavos, o capital aplicado foi de
a. R$ 9.800,00
b. R$ 9.889,00
c. R$ 9.919,00
d. R$ 9.975,00
e. R$ 10.000,00
9.
Qual a taxa efetiva, em porcentagem e aproximada em
uma casa decimal, de um financiamento à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal
a. 36,0% ao ano
b. 39,2% ao ano
c. 41,2% ao ano
d. 41,9% ao ano
e. 42,6% ao ano
Solução:
A expressão “10% com correção monetária...” indica
que essa taxa (de 10%) é a taxa real, em um problema. Logo,
temos:
ir = 10% = 0,10
ii = 20% = 0,20
ia = ?
Da relação V temos:
1 + ia = (1 + ir ) ⋅ (1 + ii )
1 + ia = (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0,2)
1 + ia = 1,1⋅ 1,2
1 + ia= 1,32 − 1
ia 1,32 − 1
=
ia = 0,32
ia = 32%
Portanto o banco deverá pagar 32% sobre o valor
investido.
EXERCÍCIOS
1.
Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por
um prazo de quinze meses, usando a convenção linear
para cálculo do montante.
a. 22,5%
b. 24%
c. 25%
d. 26,906%
e. 27,05%
2.
Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por
um capital unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.
a. 1,54
b. 1,7024
c. 2,7024
d. 54%
e. 70,24%
3.
A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.
a. 4%.
b. 5%.
c. 5,33%.
d. 6,5%.
e. 7%.
19
CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS
R.2. Um determinado contrato de investimento em um
banco consta que o banco deve pagar ao investidor num
certo período 10% com correção monetária igual a inflação
no referido período. Considerando que nesse prazo a inflação tenha sido de 20%, quanto o banco deverá pagar para
o investidor?
10. Um capital é aplicado a juros compostos durante dois
períodos e meio a uma taxa de 20% ao período. Calcule o montante em relação ao capital inicial, considerando a convenção linear para cálculo do montante.
a. 150%
b. 157,74%
c. 158,4%
d. 160%
e. 162%
GABARITO
1.e
2.b
3. a
4.e
5. c
ROBERTO VASCONCELOS
20
6.a
7. e
8.d
9. e
10. c