UNIDADE 4
Modelos de portefólio
Carlos Arriaga
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Economia Bancária e Financeira - Unidade4
05-11-2015
Questões desta unidade
Como se determina o retorno de um activo?
Como e porquê o ajustamento com os dividendos distribuídos?
Que estatística para análise da relação de dois ou mais activos?
O que é um portefólio eficiente?
Como obter um portefólio a partir de activos positivamente ou
negativamente correlacionados?
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05-11-2015
• Retorno da acção em tempo discreto
retorno A = (Pt / P t-1) -1
• Com dividendos
retorno A = (Pt+ div / P t-1) -1
Retorno da acção
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05-11-2015
• Retorno da acção em tempo contínuo
Retorno A = ln (Pt / P t-1)
• Com dividendos
retorno A = ln (Pt+ div / P t-1)
Retorno da acção
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05-11-2015
• cov (rA, rB) = 1 / M ∑ [rAt – E(rA)]. [rAt – E(rA)]
• Ω AB (correlação) = Cov (rA, rB) /σAσB
• E (rp) = γ E (rA) + (1- γ) E(rB)
• Var (rp) = γ2 σA2 + (1- γ)2 σB2 +2 γ (1- γ) cov (rA, rB)
Estatística para análise de
portefólio
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• E(Rp)
•
portfolio eficiente
• E(rm)
•
x
y
porfolios possiveis e não eficientes
•
•
σ (p)
Portfolio eficiente e não eficiente
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• Min ∑∑ xi xj σij
• Sa
• ∑xi ri = µ = E (rp)
• ∑xi = 1
Portfólios eficientes
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• Z = ax + (1-a) y = [ ax1 + (1-a)y1
ax2 + (1-a)y2
…..
axn + (1-a)yn ]
• P = ax + (1-a) y
• E(rp) = aE (rx) + (1-a) E (ry)
• σ2p = a2 σ2x + (1-a) σ2y + 2a (1-a) cov (x,y)
Portfólios eficientes
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• Suponha que um portfolio é constituido pela
proporção a do portfolio x e (1-a) do portfolio
y
• E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry)
• σp= √ a2 σ2x + (1-a) σ2y +2a(1-a) cov(x,y)
Cálculo da fronteira eficiente
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• R-rf = Sz
• Mi = Zi / ∑Zi
• E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line
• σp= √ a2 σ2rf + (1-a) σ2M +2a(1-a) cov(rf,M)=
•
= (1-a) σM
CML Capital market Line
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• E(Rp)
•
Portfolio de mercado
• E(rm)
•
x
y
porfolios possiveis e não eficientes
• rf
•
•
Capital market line
σ (p)
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• E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf]
• Βx = Cov (x, M) / σ2M
SML com activo sem risco
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Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
1. Um dos activos é um activo sem risco (rf) e
o outro ra
Logo σ (rf) = 0 (risco nulo de rf)
Rp = (1-x) rf + xra = rf+ (ra-rf)x
σ (p) = x σ (a) x = σ (p)/ σ (a)
Relação linear entre a rentabilidade esperada do
portefólio e o seu risco:
Rp = rf + ((ra-rf)/ σ (a))* σ (p)
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Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
2. O DECLIVE DA RECTA
(ra-rf)/ σ (a) DESIGNA-SE POR RÁCIO
DE SHARPE do activo a.
Significa a rentabilidade excedente do activo a sobre a
rentabilidade do activo sem risco dado o risco do activo
a. Logo, se o investidor tiver de escolher entre vários
activos, ele deverá escolher entre aqueles que tiver o
racio de sharpe mais elevado pois o rácio já traduz a
relação entre a rentabilidade esperada e o risco.
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• 1. Dois activos com risco e perfeitamente
correlacionados positivamente
• O coeficiente de correlação (Ρa,b) = +1
• A variância é um quadrado perfeito e o risco do
portefólio é igual à média ponderada dos riscos de
cada activo:
• Rp = xara + xbrb
• σ (p) = xa σ (a) + xb σ (b)
• Rp = ra + (rb-ra)/ σ (b)- σ (a) * (σ (p) - σ (a))
Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
COM RISCO
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• 1 (cont) : Constituição de um portefólio sem risco a partir de dois
activos positivamente correlacionados
• Xa = σ (b)/(σ (b)- σ (a))
Xb = - σ (a)/(σ (b)- σ (a))
• O portefólio sem risco é obtido comprando o activo de risco mais
baixo e vendendo a descoberto o título de risco mais elevado. Se o
mercado estiver em equilíbrio e sem possibilidade de arbitragem a
rentabilidade deste portefólio deverá ser igual à taxa sem risco (rf).
Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
COM RISCO
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• 2. Dois activos com risco e perfeitamente correlacionados
negativamente
• O coeficiente de correlação (Ρa,b) = -1
• A variância é um quadrado perfeito mas o risco do
portefólio deve distinguir duas raizes distintas:
• σ (p) = -xa σ (a) + xb σ (b) e σ (p) = xa σ (a) - xb σ (b)
Rp = ra + (rb-ra)/ σ (a)+σ (b) * (σ (p) - σ (a)) para xa> σ (b) /(σ (a)+ σ (b))
• Rp = rb + (ra-rb)/ σ (a)+σ (b) * (σ (p) - σ (b)) para xa< σ (b) /(σ (a)+ σ (b))
•
Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
COM RISCO
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• E
• X1 = σ (b)/(σ (a)+ σ (b))
(a)+ σ (b))
x2=σ (a)/(σ
• Correspondendo este portefólio a um portefólio
sem risco
Rentabilidade e risco de um portefólio de 2 activos
COM RISCO
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• Faz mais sentido uma medida em termos
contínuos do que em termos discretos.
• O portefólio eficiente situa-se na fronteira de
eficiência ou na combinação linear de um
portefólio de fronteira com o activo sem risco
• Pode-se obter portefólios diferentes de acordo
com o seu grau de correlação: positiva ou
negativa
CONCLUSÃO
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