Exercícios de Logaritmos (Gabarito)
Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/LogaritmoExercicios.aspx
1) Calcule: Log5 625 + Log 100 - Log3 27?
Vamos calcular cada um dos logaritmos separadamente.
O Log5 625 é o expoente da potência de base 5 que resulta em 625:
Podemos resolver a equação exponencial decompondo 625 em fatores primos:
Ou seja, 625 = 54, o que nos leva ao valor de x:
Pudemos calcular o valor de x desta forma, pois a a base 5 é positiva e diferente de 1. Se você não se
lembra disto, convém consultar o tema equação exponencial para recordar esta matéria.
Então 4 é o Log5 625:
O Log 100 é o expoente da potência de base 10 que resulta em 100:
O valor de x agora é óbvio.
Como sabemos, uma potência de dez com expoente natural resulta em um número começando pelo
algarismo 1seguido de tantos zeros quanto indicado por este expoente.
Sabendo-se disto, se o número 100 possui 2 zeros após o 1, é porque o expoente da potência de base dez
é igual a dois (102 = 100), isto é, x = 2.
Então 2 é o Log 100:
Por último, o Log3 27 é igual a 3, pois este é o expoente ao qual devemos elevar a base também 3 para
obtermos 27:
Se você tem dúvidas quanto a isto, também pode decompor o número 27 em fatores primos como
fizemos com oLog5 625.
Realizando as substituições na expressão original temos:
Log5 625 + Log 100 - Log3 27 = 3.
2) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual é o Log7 70?
Para a solução deste problema vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto.
Utilizaremos esta propriedade, pois através dela podemos montar uma outra expressão com dois logaritmos
conhecidos. Um é o Log7 10, obtido do enunciado e o outro é o Log7 7 que como sabemos é igual a 1.
É sabido que 70 é o produto de 7 por 10. Então temos que:
Através da propriedade do logaritmo de um produto podemos assim expressar o Log7 70:
O Log7 7 = 1 pois:
Conforme o enunciado, o Log7 10 = 1,1833, então substituindo tais valores na expressão, temos:
Log7 70 = 2,1833.
3) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974?
Novamente, para solucionarmos este problema vamos recorrer a uma das propriedades dos logaritmos.
O Log3 45 é fornecido pelo enunciado. Precisamos de algum outro logaritmo fácil de calcular, que nos
permita doLog3 45 chegar ao Log3 5.
Uma forma de partindo de 45 chegarmos a 5, é dividirmos 45 por 9.
Como podemos facilmente calcular o Log3 9, vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um quociente
para solucionarmos esta questão.
A partir do explicado acima podemos escrever que:
Então, recorrendo à propriedade do logaritmo de um quociente temos:
O
, visto que 3 elevado ao quadrado é igual a 9:
Portanto, ao substituirmos os valores conhecidos chegamos ao resultado desejado:
Log3 5 = 1,464974.
4) -1,494850 é um logaritmo decimal na forma negativa. Qual é a sua forma preparada?
Obtemos a característica subtraindo 1 da parte inteira (-1), resultando em -2 e a escrevemos utilizando o
traço sobre a mesma, sem o sinal de negativo:
A mantissa obtemos subtraindo de 1 o número formado por "0," seguido da parte decimal 494850:
Logo a mantissa é igual a 505150.
Já que a característica é igual a 2 e a mantissa é igual a 505150, o logaritmo decimal na forma preparada é
igual a2,505150.
Na forma preparada o logaritmo decimal é 2,505150.
5) Qual é a forma negativa do logaritmo decimal 1,511883?
Vamos realizar a conversão separando o número em duas partes.
A primeira parte é obtida somando-se 1 à característica 1 (-1):
Para a segunda parte subtraímos o 0,511883, referente à mantissa precedida de "0,", de 1:
Concluindo subtraímos as partes obtidas:
A forma negativa deste logaritmo decimal é -0,488117.
6) O logaritmo decimal de 0,2 é igual a -0,698970 na sua forma negativa. Qual é o logaritmo
decimal de 200?
Já que Log 0,2 está na sua forma negativa, devemos primeiramente obter a sua mantissa, visto que ela não
é a parte decimal do logaritmo informado.
Já vimos que isto sempre acontece quando o logaritmando é maior que 0 e menor que 1 e no caso deste
exercício o logaritmando é igual a 0,2.
Para a obtenção da mantissa do Log 0,2, simplesmente vamos subtrair 0,698970. Estamos considerando
apenas os algarismos da parte decimal (698970) do logaritmo informado no enunciado, acrescentando o
"0," na frente:
Portanto a mantissa do Log 0,2 é igual a 301030.
Visto que os logaritmos decimais de dois números que diferem entre si somente pela posição da vírgula,
possuem a mesma mantissa, então ambos os logaritmos decimais de 0,2 e 200 possuem a
mantissa 301030. O que difere neles é a característica.
Para obtermos a característica do Log 200, basta subtrairmos 1 do número de algarismos da parte inteira
de 200:
Com característica igual a 2 e mantissa igual a 301030, o logaritmo decimal de 200 é igual a 2,301030.
Log 200 = 2,301030.
7) Utilizando a tábua de logaritmos calcule a raiz quadrada de 961.
Atribuindo à variável x a raiz quadrada de 961, podemos escrever a seguinte equação:
Recorrendo a logaritmos chegamos a esta equação equivalente:
Agora vamos recorrer à propriedade dos logaritmos que diz que para qualquer valor de M natural, diferente
de zero, o logaritmo da raiz
de N, também na base b:
na base b é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo
Aplicando a propriedade temos:
Chegamos então à seguinte equação:
Recorrendo à tábua de logaritmos vamos obter o log 961.
Para isto vamos começar procurando pela mantissa do log 9,61 que se encontra no cruzamento da
linha 96 com a coluna 1, que é 982723.
Na linha 96 se encontram as mantissas dos números de três algarismos de 9,61 a 9,69, ou
de 961 a 969 se você preferir.
A mantissa do log 961 é igual a 982723, já a sua característica é igual a 2, visto que este é o número de
algarismos da sua parte inteira reduzida em uma unidade:
Portanto, o log 961 = 2,982723.
Desconsiderando-se os erros de arredondamento, 2,982723 é o expoente ao qual 10 deve ser elevado para
obtermos961:
Voltando à equação temos:
Note que o resultado foi arredondado em seis casas decimais, pois esté o número de algarismos que
estamos utilizando nas mantissas da tábua de logaritmos.
Temos então à seguinte equação:
Já vimos que os logaritmos decimais com característica igual a 1 são de números maiores, ou iguais
a 10 e menores que 100.
Então a raiz quadrada de 961 encontra-se entre os números 10 e 100, mas que número será este?
Procuremos pela mantissa 491362 na tábua de logaritmos.
Ela é encontrada na linha 31, coluna 0.
Isto quer dizer que números como 0,31; 3,1; 31 e 310, dentre outros, que diferemm entre si apenas pela
posição da vírgula, possuem a mesma mantissa 491362.
Destes números relacionados, apenas o número 31 situa-se entre os números 10 e 100, portanto 31 é a
raiz quadrada de 961.
Apenas para que você tenha noção disto, este procedimento todo se resume a isto:
A raiz quadrada de 961 é 31.
8) A diferença entre dois números positivos é 4207,5 e a diferença entre os logaritmos
decimais destes dois números é igual a 2. Que números são estes?
Vamos chamar de M o número maior e de N o número menor.
O enunciado diz que:
Isto quer dizer que ambos os logaritmos possuem a mesma mantissa e sendo assim eles diferem entre si
apenas pela posição da vírgula, significando que se dividirmos o número maior pelo número menor o
resultado será igual a 102:
Através do enunciado também sabemos que:
Podemos então montar o seguinte sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas:
Vamos isolar a variável M da segunda equação:
Agora vamos substituir a variável M da primeira equação:
Substituindo o valor da variável N da primeira equação:
Os números são 4250 e 42,5.
9) Calcule o Log24 6 sabendo que o Log27 6 = x que o Log27 4 = y.
Para a resolução deste problema vamos partir do princípio que:
Esta é a propriedade que nos permite realizar a mudança de base de um logaritmo.
Recorrendo a ela temos:
Como o Log27 6 = x, podemos realizar tal substituição na equação. Além disto iremos aproveitar para
escrever o logaritmando 24, no denominador da fração, como o produto de 6 por 4:
Agora vamos recorrer à propriedade do logaritmo de um produto:
Já que o Log27 6 = x e o Log27 4 = y, vamos realizar estas substituições na equação:
Portanto:
.
10) Se o Log60 3 = x que o Log60 6 = y, qual é o Log18 2?
O objetivo desta questão é escrevermos o Log18 2 em função de x e y.
Para alcançarmos tal objetivo faremos algumas operações para que partindo do Log18 2, passemos
pelos Log60 3 e deLog60 6.
Para começar vamos passar o Log18 2 para a base 60.
Para isto vamos recorrer à propriedade da mudança de base de um logaritmo:
Então para a = 2, b = 18 e c = 60, temos:
O logaritmando 2, no numerador da fração pode ser escrito como a razão de 6 para 3, assim como o
logaritmando 18, no denominador da fração pode ser escrito como produto de 6 por 3. O motivo disto é nos
direcionarmos aos logaritmos no enunciado:
No numerador vamos aplicar a propriedade do logaritmo de um quociente e no denominador a propriedade
do logaritmo de um produto, quando aí sim, iremos obter os logaritmos no enunciado:
Pronto,
agora
chegamos
a
um
o Log60 6 por x e y respectivamente:
.
ponto
no
qual
só
precisamos
trocar
o Log60 3 e