Professor Sandro – Geometria Espacial
SEMIEXTENSIVO 2015
1. (G1 - ifsc 2015) Um galão de vinho de formato
cilíndrico tem raio da base igual a 2 m e altura 3 m.
Se 40% do seu volume está ocupado por vinho, é
CORRETO afirmar que a quantidade de vinho
existente no galão é:
Sabendo-se que o volume da bola é 2304 πcm3 ,
então a área da superfície de cada faixa é de:
a) 20πcm2 b) 24πcm2 c) 28πcm2
d) 27πcm2 e) 25πcm2
Dados: π  3,14
V  π  R2  h
a) 3.768 litros. b) 37.680 litros. c) 18.840 litros.
d) 1.507 litros. e) 15.072 litros.
2. (Uemg 2015) Um reservatório de água, de formato
cônico, com raio da tampa circular igual a 8 metros e
altura igual a 9 metros, será substituído por outro de
forma cúbica, de aresta igual a 10 metros.
Estando o reservatório cônico completamente cheio,
ao se transferir a água para o reservatório cúbico, a
altura do nível atingida pela água será de (considere
π 3)
a) 5,76 m. b) 4, 43 m. c) 6,38 m. d) 8,74 m.
5. (Unicamp 2015) Um cilindro circular reto, com raio
da base e altura iguais a R, tem a mesma área de
superfície total que uma esfera de raio
a) 2R. b) 3R. c) 2R. d) R.
6. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto.
Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura
for duplicada, o volume do cilindro
a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%.
c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%.
7. As figuras mostram um cilindro reto A, de raio da
base r, altura h e volume VA , e um cilindro reto B,
de raio da base 2r, altura 2h e volume VB , cujas
superfícies laterais são retângulos, de áreas S A e
SB .
3. (Ifsc 2015) A respeito de um cone com geratriz de
1,5m e raio da base de 0,9 m, um aluno fez as
seguintes afirmações:
I. É um sólido de revolução proveniente de um
triângulo retângulo cujo eixo de revolução é um
cateto de 0,9 m.
II. O cone em questão pode ser inscrito num cilindro
de raio da base com 0,9m e seção meridiana com
1,08m2 .
III. O volume do cone é 0,324 πm3 .
Assim, dentre as alternativas abaixo, assinale a soma
da(s) afirmações CORRETA(S).
01) A afirmação III é verdadeira.
02) A afirmação II é verdadeira.
04) Todas afirmações são verdadeiras.
08) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.
16) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
32) Somente as afirmações I e III são verdadeiras.
4. (Udesc 2015) Uma bola esférica é composta por
24 faixas iguais, como indica a figura.
Nesse caso, é correto afirmar que
respectivamente,
1
1
1
a)
e
b)
e
4
2
8
1
1
1
d)
e
e)
e
2
2
2
1
6
1
4
c)
SA
V
e A valem,
SB
VB
1
1
e
4
6
8. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a
melhoria da circulação em grandes cidades e em
rodovias é a construção de túneis. A realização
dessas obras envolve muita ciência e tecnologia.
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Um túnel em formato semicircular, destinado ao
transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a
figura a seguir.
a) 45. b) 48. c) 72. d) 90. e) 99.
10. Um cone reto com raio da base medindo 10 cm e
altura de 12 cm será seccionado por um plano
paralelo à base, de forma que os sólidos resultantes
da secção tenham o mesmo volume.A altura do cone
resultante da secção deve, em cm, ser
a) 6. b) 8. c) 6 2 . d) 63 2 . e) 63 4 .
Qual é o volume, em m 3 , no interior desse túnel?
a) 4.800 π . b) 7.200 π . c) 14.400 π .
d) 28.800 π . e) 57.600 π .
11. (Unifor 2014) Uma bola de basquete em forma
esférica não passa pelo aro da cesta cuja borda é
circular. Se o raio do aro mede 60 cm e a distância
entre o centro do aro e o centro da bola é igual a
80 cm, o raio da bola é de:
a) 90 cm. b) 100 cm. c) 120 cm.
d) 140 cm.
9. (Enem PPL 2014) Para fazer um pião, brinquedo
muito apreciado pelas crianças, um artesão utilizará o
torno mecânico para trabalhar num pedaço de
madeira em formato de cilindro reto, cujas medidas do
diâmetro e da altura estão ilustradas na Figura 1. A
parte de cima desse pião será uma semiesfera, e a
parte de baixo, um cone com altura 4 cm, conforme
Figura 2. O vértice do cone deverá coincidir com o
centro da base do cilindro.
e) 160 cm.
12. Considere um cilindro reto de altura 32 e raio da
base 3, e uma esfera com volume igual ao do cilindro.
Com essas condições, o raio da esfera é
a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. e) 12.
13. Considere que uma laranja tem a forma de uma
esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos
exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo
mede:
a)
43 π
cm2
3
b)
43 π
cm2
9
d)
42 π
cm2
9
e) 43 π cm2
c)
42 π
cm2
3
14. (Enem PPL 2013) Um fabricante de bebidas,
numa jogada de marketing, quer lançar no mercado
novas embalagens de latas de alumínio para os seus
refrigerantes. As atuais latas de 350 mL devem ser
substituídas por uma nova embalagem com metade
desse volume, conforme mostra a figura:
O artesão deseja fazer um pião com a maior altura
que esse pedaço de madeira possa proporcionar e de
modo a minimizar a quantidade de madeira a ser
descartada.
Dados:
4
O volume de uma esfera de raio r é  π  r 3 ;
3
O volume do cilindro de altura h e área da base S é
S  h;
O volume do cone de altura h e área da base S é
1
 S  h;
3
Por simplicidade, aproxime π para 3.
A quantidade de madeira descartada, em centímetros
cúbicos, é
De acordo com os dados anteriores, qual a relação
entre o raio r’ da embalagem de 175 mL e o raio r da
embalagem de 350 mL?
r
a) r '  r b) r ' 
c) r '  r d) r '  2r e) r '  3 2
2
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15. (Uern 2013) Uma esfera e um cilindro possuem
volumes e raios iguais. O raio da esfera ao cubo é
igual ao triplo do quadrado do raio do cilindro. A altura
do cilindro, em unidades, é
a) 2. b) 3. c) 4. d) 8.
Lista 2
1. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos
de formatura confecciona canudos de diplomas a
partir de folhas de papel quadradas. Para que todos
os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada
em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em
centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas
em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão
no meio do diploma, bem ajustado, para que não
ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.
Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do
papel enrolado, finalizando a confecção do diploma.
Considere que a espessura da folha de papel original
seja desprezível.
Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de
papel usado na confecção do diploma?
a) πd b) 2 πd c) 4 πd d) 5 πd e) 10 πd
a)
b)
c)
d)
e)
4. (Enem 2013) Num parque aquático existe uma
piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de
3
1 m de profundidade e volume igual a 12m , cuja base
tem um raio R e centro O. Deseja-se construir uma
ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também
na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará
no fundo e com centro da base coincidindo com o
centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio
da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a
construção dessa ilha, o espaço destinado à água na
3
piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m .
2. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz
medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um
cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do
cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas
pílulas são moldadas por uma máquina programada
para que os cilindros tenham sempre 10mm de
comprimento, adequando o raio de acordo com o
volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm
de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir
esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e,
por consequência, seu volume. Isso exige a
reprogramação da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos,
após a reprogramação da máquina, será igual a
a) 168. b) 304. c) 306. d) 378. e) 514.
3. (Enem 2014) Um sinalizador de trânsito tem o
formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa
ser revestido externamente com adesivo fluorescente,
desde sua base (base do cone) até a metade de sua
altura, para sinalização noturna. O responsável pela
colocação do adesivo precisa fazer o corte do material
de maneira que a forma do adesivo corresponda
exatamente à parte da superfície lateral a ser
revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da
ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de
a) 1,6. b) 1,7. c) 2,0. d) 3,0. e) 3,8.
5. (Enem 2012) Maria quer inovar em sua loja de
embalagens e decidiu vender caixas com diferentes
formatos. Nas imagens apresentadas estão as
planificações dessas caixas.
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c)
Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá
a partir dessas planificações?
a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
c) Cone, tronco de pirâmide e prisma.
d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
6. (Enem 2012) O globo da morte é uma atração
muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie
de jaula em forma de uma superfície esférica feita de
aço, onde motoqueiros andam com suas motos por
dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um
globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra
um globo da morte.
d)
e)
7. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para
atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas
costumam usar água com açúcar, por exemplo, para
atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na
hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma
parte de açúcar para cinco partes de água. Além
disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas
a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se
for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso
de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico
da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso
pode até matá-la.
Pretende-se encher completamente um copo com a
mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato
cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm
de diâmetro. A quantidade de água que deve ser
utilizada na mistura é cerca de (utilize   3 )
a)20 mL. b) 24 mL. c) 100 mL. d) 120 mL. e) 600 mL.
8. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo
de sombrinha muito usado em países orientais.
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde
está colocado o globo da morte e o segmento AB
passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao
plano do chão. Suponha que há um foco de luz
direcionado para o chão colocado no ponto B e que
um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera,
percorrendo uma circunferência que passa pelos
pontos A e B.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano
do chão é melhor representada por
a)
Esta figura é uma representação de uma superfície de
revolução chamada de
a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro.
d) tronco de cone. e) cone.
9. (Enem 2010) Dona Maria, diarista na casa da
família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte
pessoas que se encontram numa reunião na sala.
Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira
cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
b)
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Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista
deseja colocar a quantidade mínima de água na
leiteira para encher os vinte copinhos pela metade.
Para que isso ocorra, Dona Maria deverá
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um
volume 10 vezes maior que o volume do copo.
4
 π  r 3  2304π  r  12cm.
3
Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual a
1
1
 π  r 2   π  122  24π cm2 .
6
6
Resposta
[D]
da
questão
5:
Seja r o raio da esfera. Tem-se que
4π  r 2  2π  R  (R  R)  r  R.
Resposta
[A]
Gabarito:
Resposta
[E]
da
questão
1:
Quantidade
de
vinho:
40
2
3
 π  2  3  0,48  3,14  15,072m  15072L
100
Resposta
[A]
da
questão
2:
da
questão
6:
Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da
base e a altura do cilindro. Logo, como V  π  r 2  h,
segue-se que a variação percentual pedida é dada por
2
r
π     2h  π  r 2  h
2
 100%  50%,
π  r2  h
O volume de água no reservatório cônico é igual a
isto é, houve uma redução de 50% no volume do
cilindro.
1
   82  9  576 m3 .
3
Resposta
[A]
Portanto, a altura h atingida no reservatório cúbico
será
SA
2π  r  h
1


SB 2π  2r  2h 4
102  h  576  h  5,76 m.
Resposta
01.
da
questão
3:
[I] Falsa, pois o cone é obtido pela rotação de um
triângulo retângulo em torno do cateto de 1,2m.
[II] Falsa. A área da secção meridiana do cilindro é
dada por 1,2  1,8  2,16.
1
[III] Verdadeira. V   π.(0,9)2  1,2  0,324π.
3
Resposta
[B]
da
questão
4:
Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da
questão
7:
questão
8:
VA
π  r2  h
1


2
VB π   2r   2h 8
Resposta
[B]
da
O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m.
Volume do túnel: V 
Resposta
[E]
Portanto, apenas a afirmação [01] está correta.
da
π  62
 400  7200πm3
2
da
questão
9:
A quantidade de madeira descartada corresponde ao
volume do cilindro subtraído dos volumes da
semiesfera e do cone. Portanto, o resultado é
esfera é 2304 π cm3 , temos
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2
2
1 4
1
6
6
π     7    π  (7  4)3   π     4  189  54  36
2
2 3
3
2
 99cm3 .
Resposta
[E]
da
questão
3
4  π r
 288  r 3  216  r  6
3
Resposta
[A]
da
questão
13:
10:
360° : 12° = 30°
V(maior)  x 

V(menor)  12 
A área total de cada gomo é a soma das áreas de um
fuso esférico como as áreas de dois semicírculos.
3
30  4 π  42
π  42
 2
360
2
16 π
A
 16 π
3
1 x3

2 123
A
123
2
12
x3
x
3
A
2
3
x6 4
Resposta
[B]
Resposta da questão 14: [C]
da
questão
11:
Volume do primeiro cilindro: V1  π  r 2  h
Volume do segundo cilindro: V2  π   r '  
2
Queremos calcular a hipotenusa do triângulo retângulo
cujos catetos medem 60cm e 80 cm. Ora, mas esse
triângulo é semelhante ao triângulo retângulo
pitagórico de lados 3cm, 4cm e 5 cm. Portanto,
segue que o resultado pedido é 100 cm.
Resposta
[B]
64 π 43 π

cm2 .
3
3
da
questão
Volume do cilindro: VC  π  32  32  288
Volume da esfera de raio r: Ve 
Fazendo Ve  VC , temos:
4  π  r3
3
12:
h
2
Fazendo V2  V1 / 2, temos:
π  r '  
2
h π  r2  h

 r'  r
2
2
Resposta da questão 15: [C]
Sabendo que o cilindro e a esfera possuem volumes
iguais e raios iguais, temos
π  r2  h 
4
4
 π  r 3  h   r,
3
3
com h sendo a altura do cilindro.
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Além disso, como o raio da esfera ao cubo é igual ao
triplo do quadrado do raio do cilindro, vem
12  3r 2  4  r 2 
8
3
 0  r  1,63,
0r 
r 3  3  r 2  r 2  (r  3)  0  r  3 u.c.
Portanto, h 
4
 3  4 u.c.
3
ou seja, a medida do raio máximo da ilha de lazer, em
metros, é um número que está mais próximo de 1,6.
Gabarito: lista 1
Resposta
[D]
da
8
3
questão
1:
Resposta
[A]
da
questão
5:
O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do
comprimento da base do cilindro, ou seja, 5 πd.
De acordo com as planificações, Maria poderá obter,
da esquerda para a direita, um cilindro, um prisma de
base pentagonal e uma pirâmide triangular.
Resposta
[E]
Resposta
[E]
da
questão
2:
O volume de uma pílula de raio r, em milímetros
4
cúbicos, é dado por π  r 2  10   π  r 3  2r 2 (15  2r).
3
Portanto,
2
o
resultado
pedido
é
igual
da
questão
6:
O plano que contém o trajeto do motociclista é
perpendicular ao plano do chão, portanto a projeção
ortogonal do trajeto do motociclista no plano do chão é
um segmento de reta.
a
2  5  (15  2  5)  2  4  (15  2  4)  1250  736  514mm3 .
Resposta
[E]
2
da
questão
3:
Lembrando que a superfície lateral de um cone é
obtida a partir de um setor circular, segue-se que o
objetivo do responsável pelo adesivo será alcançado
se ele fizer o corte indicado na figura abaixo.
Resposta
[C]
da
questão
7:
Supondo que o volume de açúcar e o volume de água
somem o volume do copo.
De acordo com o texto, temos:
Volume de água = 5x
Volume de água = x
Resposta
[A]
da
questão
4:
Queremos calcular r, de modo que 12  π  r 2  1  4.
Portanto, considerando 3 como o valor aproximado
de π, temos
Volume do copo = π.22.10  3.22.10  120cm3
Então x + 5x = 120  6x  120  x  20cm3
Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100
3
cm = 100 mL.
Resposta
[E]
da
questão
8:
A expressão superfície de revolução garante que a
figura represente a superfície lateral de um cone.
Resposta
da
questão
9:
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[A]
Volume do copinho =  .2 .4 = 16  cm
2
3
Volume de 20 copinhos pela metade =
= 160  cm
2
3
Volume da leiteira =  .4 .20 = 320  cm
3
1
2
20. 16  cm
2
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