INTEGRAL DEFINIDA
Nice Maria Americano da Costa
A NOÇÃO DE SOMAS INTEGRAIS
A ferramenta da integral definida que estudaremos envolve um dos conceitos
mais fundamentais da Análise Matemática. Ela surge a partir da noção de somas
integrais.
Nosso ponto de partida é o cálculo de áreas sob curvas de funções.
Suponhamos que é dada uma função f(x), contínua no intervalo [a,b], mostrada
no gráfico. Desejamos calcular a área delimitada por esta curva no intervalo.
M
Aproximadamente, poderíamos dividir o
intervalo [a,b] em pequenos segmentos
e construirmos retângulos sob a curva e
somar as suas áreas.
a  x0 , x1 ,
m
x2 ,....xn  b
x0  x1  x2 ....  xn
X0=a
x1
x2
x3
Xn-1
Xn=b
x1  x0  x1 , x2  x1  x2 ....
Sejam, em cada pequeno intervalo [xi, xi+1], mi e Mi o menor valor e o
maior valor da função no intervalo. Então
Mi
mi xi
mi
M i xi
xi
Correspondem à área do retângulo menor, neste intervalo, e à área do
retângulo maior no mesmo intervalo, respectivamente. Construamos então
duas somas dessas áreas:
sn  m1x1  m1x1  m2x2 ...  mnxn
Sn  M1x1  M1x1  M 2x2 ...  M nxn
*
Essas somas são chamadas de somas integrais inferior e superior, respectivamente.
Temos ainda que vale:
sn  Sn
m(b  a)
Note que
representa a área do retângulo construído com o menor valor da função, em
todo o intervalo [a,b].
e que
M (b  a)
representa a área do retângulo construído com o maior valor da função, em
todo o intervalo [a,b].
M
m
X0=a x1
x2 x3
Xn-1
Xn=b
Vemos que
sn  m(b  a)
Sn  M (b  a)
Podemos escrever então:
m(b  a)  sn  Sn  M (b  a)
Ou seja: a área construída com o retângulo formado pelo tamanho do intervalo e
o maior valor da função é maior que a soma integral superior, que, por sua vez, é
maior que a soma integral inferior, que, por sua vez, é maior que área construída
com o retângulo formado pelo menor valor da função e o tamanho do intervalo.
A INTEGRAL DEFINIDA
Mas sob a curva a área é delimitada pela própria curva, pelo eixo x e pelas retas
x=a e x=b. Se considerarmos cada pequeno intervalo nos quais subdividimos o
intervalo inteiro, a área sob este pequeno pedaço da curva será igualmente
delimitada pela curva, o eixo x e as retas x=xi e x=xi+1.
X0=a
Xn=b
Xi
xi+1
Tomemos agora um ponto intermediário,x=i em cada subintervalo [xi,xi+1] e
construamos a área do retângulo formado por f(i ) e pelo tamanho do
subintervalo, xi.
f (i )xi
Somemos essas áreas assim formadas:
Sint  f (1 )x1  f (2 )x2  f (3 )x3...  f ( n )xn
n
Sint   f (i )xi
i 1
Sint é a soma integral da função f(x) no intervalo [a,b]. Como mi  f(i)Mi, teremos:
mi xi  f (i )xi  Mi xi
Somando sobre todos os subintervalos, teremos finalmente
n
n
n
 m x   f ( )x   M x
i 1
i
i
i 1
sn  Sint  Sn
i
i
i 1
i
i
Se agora, calculamos o limite de Sint, quando o maior xi→0 e esse limite existe,
dizemos que esse limite é a integral definida de f(x)
b
n
lim
max xi 0
 f ( )x   f ( x)dx
i 1
i
i
a
Vemos então que a integral definida de uma função num intervalo [a,b]
corresponde à área sob a curva, da figura trapezoidal curvilínea, compreendida
entre o eixo x e as retas x=a e x=b
X0=a
Xn=b
Na expressão simbólica da integral definida
b
 f ( x )dx
a
a é o limite inferior da integração, b o limite superior da integração, o intervalo
[a,b] é o intervalo de integração e x é a variável de integração
Se f(x) é contínua sobre um intervalo [a,b] ela é integrável neste intervalo.
A integral definida de f(x) depende dos limites de integração mas não da
variável de integração. Podemos então escrever, de forma indiferente:
b
b
b
a
a
a
 f ( x)dx   f (t )dt   f ( z)dz
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
1.Trocando os limites de integração, a integral muda de sinal:
b
a
a
b
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx
Exemplo:
 cos xdx   cos xdx
2.Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração;
b
b
a
a
 cf ( x)dx  c  f ( x)dx
Demonstração:
b
 cf ( x)dx 
a
n
lim
max xi 0
 cf ( x )x
i 1
i
i
 c lim
max xi 0
n
 f ( x )x
i 1
i
i
b
 c  f ( x)dx
a
3.A integral definida da soma de duas funções é igual à soma das integrais
definidas das mesmas funções
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Demonstração:
b
 ( f ( x)  g ( x))dx 
a
n
lim
max xi 0
  f ( x )  g ( x ) x
i 1
i
ii
i
 lim
max xi 0
n
 f ( x )x 
i 1
i
i
b
b
a
a
lim g ( xii )xi   f ( xi )dx   g ( xii )dx
max xi 0
4.Se no intervalo [a,b], as funções f(x) e (x) satisfazem à condição f(x) 
(x), então, tem-se
b
b
a
a
 ( f ( x)dx    ( x)dx
Demonstração:
b
 ( ( x)  f ( x))dx 
a
n
lim
max xi 0
Se
 ( x)  f ( x)
entao,  ( x)  f ( x)  0
  ( x )  f ( x ) x
ii
i 1
i
e
Temos, então
b
 ( ( x)  f ( x))dx  0
a
b
b
a
a
  ( x)dx   f ( x)dx
i
xi  0
5.Sendo m e M, respectivamente, o menor e o maior valor da função no
intervalo [a,b], então, tem-se
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
Demonstração:
Por hipótese, no intervalo [a,b], tem-se
*
m  f ( x)  M
Pela propriedade anterior
b
b
b
a
a
a
 mdx   f ( x)dx   Mdx
b
m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a)
a
Teorema da Média. A função f(x) seno continua no intervalo [a,b], existe um
ponto , tal que se tem:
b
 f ( x)dx  f ( )(b  a)
a
Demonstração:
Considerando que, respectivamente, m e M são o menor valor e o maior
valor de f(x) no intervalo, teremos:
b
1
m
f ( x)dx  M
(b  a) a
Considerando que o resultado da integral é um número, designemos esse
por . Temos então
b
m M
com
1
f ( x)dx  

(b  a ) a
Como a função é contínua no intervalo, haverá um valor de f(x) igual ; isto é,
um ponto , ab, tal que f()=  (o valor médio da função no intervalo).
b
 f ( x)dx   (b  a)  f ( )(b  a)
a
Propriedade 6. a,b e c sendo três números arbitrários, ter-se-á:
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
a
c
b
x
INTEGRAL DEFINIDA: Fórmula de Newton-Leibniz
b
Considerando que, para a integral  f ( x ) dx , o limite de integração inferior seja fixo,a.
a
Variemos o limite superior, b, e calculemos, sucessivas integrais de f(x). Os
resultados, portanto dependerão de b. Podemos então trocar a variável de
integração por t. Então
x
 f (t )dt   ( x)
a
(x) é portanto igual à área subtendida
pelo trecho da curva entre a e x, o eixo t e
as retas t=a e t=x.
a
x
t
x
Teorema. Sendo f(x) uma função contínua e se colocamos  f (t )dt   ( x) então
( x)  f ( x)
a
Demonstração:
x x
x
Se
 ( x )   f (t ) dt
então
 ( x  x ) 
a
x

f (t )dt   f (t )dt 
a
a
x x

f (t )dt
x
   ( x  x)   ( x)
x
   f (t ) dt 
a
x x
x

f (t ) dt   f (t ) dt 
x
a
x x
 

f (t )dt
x
Aplicando o teorema da média,temos
  f ( )x

 f ( )
x

lim
 lim f ( )  f ( x)
x 0 x
x 0

lim
 ( x)
x 0 x
( x)  f ( x)
x x

x
f (t ) dt
Teorema Fundamental . Se F(x) é uma primitiva de f(x) então
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Demonstração:
Seja F(x) uma primitiva de f(x). Pelo teorema anterior, (x) é também uma primitiva
x
de f(x). Mas,
 ( x )   f (t ) dt
a
Além disso, duas primitivas de uma mesma função diferem por uma constante.
Então:
x
 f (t )dt  F ( x)  C
a
Determinemos C, calculando a integral para x=a:
a
 f (t )dt  F (a )  C
a
Mas
a
 f (t )dt  0
a
0  F (a)  C
C   F (a )
x
 f (t )dt  F ( x)  F (a)
a
Coloquemos então x=b
b
 f (t )dt  F (b)  F (a)
a
Esta é a fórmula de Newton Leibniz
b

a
f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)
b
a
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA PELA DEFINIÇÃO
b
b
n
 f ( x)dx   cxdx  lim  c x
a
a
x0
i
1
ba
x 
n
f(b)
i
 lim Sint
n
1  a
 2  a  x
 3  a  2 x
...
f(a)
 n  a  (n  1)x
x1
a
x2 x3
b
Sint  c1x1  c 2 x2  ...c n xn
Sint  cax  c(a  2x)x  ...  c(a  (n  1)x)x
Sint  c(na  (x  2x  ...  (n  1)x)x
Sint  c(na  (1  2  ...  (n  1))x)x
Mas,
1  2  3  ....(n  1) 
n(n  1)
2
Sint  c(na  (1  2  ...  ( n  1))x)x
Sint  c(na 
n(n  1)
x)x
2
mas
x 
ba
n
n(n  1) b  a b  a
)
Sint  c(na 
n
n
2
n(n  1) b  a
)(b  a )
Sint  c(a 
n
2
b2  a 2
(b  a )(b  a )
n(n  1) b  a
c
)(b  a )  c
lim c(a 
n
2
2
n
2
pois
n 1
1
lim
n n
b
b
a
a
 f ( x)dx   kdx
b
n
 kdx  k lim  x
a
i
x0
 k (b  a)
1
k
n
lim  xi  b  a
n
x1
a
x2 x3
b
1
b
Exemplos usando fórmula Newton-Leiniz

f ( x)dx  F (b)  F (a)  F ( x)
a
b
 kxdx 
a
1 2
kx
2
b
a


 2senxdx  2cox
1
k b 2  a 2 
2

0
 2 cos   cos 0  4
0
2
 2senxdx  2cox
2
0
 2 cos 2  cos 0  0
0
2
x
x
e
dx

e

2
0
 e 2  e0  e 2  1
0
b
n
x
 dx 
a
1 n1
x
n 1
b
a

1
bn1  a n1  (n  1)
n 1
b
à
Teorema (Mudança de variável) . Seja dada a integral
b
 f ( x )dx
a
onde f(x) é contínua no intervalo [a,b]. Introduzamos a variável t, por x   (t )
Se
 ( )  a
 ( )  b
e, ainda, se (t) ´(t) são contínuas no intervalo [ ], e também f[(t)] é
definida e contínua no intervalo [ ], então
b

 f ( x)dx   f [ (t )](t )dt
a
Demonstração: se F(x) é uma primitiva de f(x), podemos escrever:
 f ( x)dx  F ( x)  C
 f [ (t )](t )dt  F[ (t )]  C
Da primeira podemos escrever
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Da segunda podemos escrever

 f [ (t )](t )dt  F[ ( )]  F[ ( )]  F (b)  F (a)
b

 f ( x)dx   f [ (t )](t )dt
a
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sabemos que
(uv)  uv  vu
Integrando entre x=a e x=b, teremos
b
b
b
a
a
a
 (uv)dx   uvdx   vudx
Mas,
 (uv)dx   d (uv)  uv  C
(uv)dx  d (uv) , udx  du, vdx  dv e
Então
b
 (uv)dx  uv
b
a
a
uv
b
à
b
b
a
a
  udv   vdu
b
b
a
a
b
udv

uv
a   vdu

EXTENSÃO DA NOÇÃO DE INTEGRAL
Integrais com limites de integração infinitos
b
f ( x ) dx
Definição. Se o limite lim
b  
a
existe, ele será representado por
b
 f ( x)dx


a
a
f ( x ) dx
a
b
e diz-se que a integral converge.

Por definição, então

a
b


b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
b
a
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
a
a

Calcule
x
e
 dx
0
b
b
0
0


x
x
b
0
b
e
dx


e


e

e

1

e

lim 1  e b   1
b 