Cálculo 1
1.3 - Propriedades dos Limites
Elano Diniz
Operação com limites
Propriedades

P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
lim x  a
xa
Exemplos:
lim x  3
lim x  e
lim x  
3
lim
x

5
3
x 3
x 
x e
x 5
lim x  0,3
x  0 ,3
Operação com limites

P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
lim K  K
xa
Exemplos:
lim4  4
x 3
lim  
x 2
lim e  e
x 2
lim
x  
3
5 3 5
Operação com limites

P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
x a
Exemplo:
lim( x  3x  5)  lim x  lim 3x  lim 5 
2
2
x 2
x 2
x 2
x 2
lim x  3 lim x  lim 5  2  3.2  5  15
2
x 2
2
x 2
x 2
Operação com limites

P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
x a
xa
Exemplo:
lim(2 x  x)  lim 2 x  lim x
2
2
x 2
x 2
x 2
2 lim x  lim x  2.2  2  6
2
x 2
2
x 2
Operação com limites

P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
xa
xa
xa
Exemplo:
lim( x 2 )  lim x.x  lim x. lim x  3.3  9
x 3
x 3
x 3
x 3
Operação com limites

P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
f ( x)
 f ( x)  lim
x a
lim

x a g ( x) 
g ( x)

 lim
x a
Exemplo:
( x  5)
35
1
 x  5  lim
x 3
lim 3



3
x 3 x  7 
( x  7) 27  7 10

 lim
x 3
Operação com limites

P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
lim( f ( x))  (lim f ( x))
n
xa
n
x a
Exemplo:
lim(2 x  x )  (lim(2 x  x ))  3  81
3 4
x 1
3
x 1
4
4
Operação com limites

P8 - O limite da raiz de uma função n f ( x), é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
lim n f ( x)  n lim f ( x)
x a
x a
Exemplo:
lim x 4  4 x  1  lim ( x 4  4 x  1)  (2) 4  4(2)  1  5
x2
x2
Cálculo 1 - Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites

Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
lim f ( x)  L e lim g ( x)  M ,
x a
xa

Regra da soma(subtração):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
xa

xa
xa
Regra do Produto:
lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)  L.M
xa

xa
xa
Regra da multiplicação por escalar:
lim c. f ( x)  c . lim f ( x)  c.L
xa

xa
Regra do quociente:
f ( x) L
f ( x) lim
lim
 x a

x a g ( x)
lim g ( x) M
x a

Regra da potência:
lim f ( x)  (lim f ( x))  L
n
x a

n
n
x a
Regra da raíz
lim n f ( x)  n lim f ( x)  n L
x a
x a
se lim f ( x)  L  0, n é impar.
xa

Regra do logaritmo:
lim logc ( f ( x))  logc (lim f ( x))
xa
xa
 logc L se lim f ( x)  0
xa

Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
lim sen f ( x)  sen( lim f ( x))  sen L
xa

xa
Regra da exponencial:
lim c
xa
f ( x)
c
lim f ( x )
xa
c
L
Cálculo 1 - Limites
Limite de uma função polinomial
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
lim P ( x )  P (c )
x c
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
P( x)  an x  an1 x
então
n
n1
 ... a0
lim P( x)  P(c)  an c  an 1c
n
x c
n 1
 ... a0
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
lim 3x  4 x  x  x  2 
5
4
2
x  2
3  (2)  4  (2)  (2)  (2)  2 
5
4
2
3  (32)  4  16  4  2  2 
 96  64  4  2  2  32
Cálculo 1 - Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se
P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c)  0 ,
então
P ( x)
P (c )
lim

x c Q ( x )
Q (c )
Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
x  4 x  3 (1)  4(1)  3 0
lim

 0
2
2
x 1
6
x 5
(1)  5
3
2
3
2
Cálculo 1 - Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
lim
x 1
x2  x  2
0

2
0
x x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma
fração mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
x 2  x  2 ( x  1)(x  2) x  2
Se x  1


2
x x
x( x  1)
x
Cálculo 1 - Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores
quando x  1 por substituição:
lim
x  x2

2
x x
lim
x  2 1 2

3
x
1
2
x 1
x 1
lim
x 1
( x  2)( x  1)
x( x  1)
Cálculo 1 - Limites
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o
entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
x + ∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
x 4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
x 4