ESTUDO DA VARIAÇÃO DE
FUNÇÕES
Nice Maria Americano da Costa
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTE
USO DA DERIVADA PARA INSPECIONAR CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO
Teorema 1. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é crescente neste
intervalo, então sua derivada não será negativa neste intervalo; i. e. f´(x)>0.
2. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além
disso, f´(x)>0 para a<x<b, então f(x) é uma função crescente em [a,b],
Demonstração
Se f(x) é crescente, considerando um ponto x=x1, teremos, para x1+Dx,
que, conforme pode ser visto na figura
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
para Dx  0
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
para Dx  0
f(X1+Dx)
f(X1)
f(X1+Dx)
ou
Df  0
Df  0
para Dx  0
para Dx  0
X1+Dx
X1
x+Dx
Entretanto, a relação
Df
0
Dx
Por conseqüência,
tanto para
Dx  0, como para Dx  0
Df
 f ( x1 )  0
lim
Dx 0 Dx
Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero
X1
Para demonstrar a segunda parte do teorema, basta que apliquemos o teorema de Lagrange,
num intervalo entre dois pontos x1 e x2. De acordo com ele teremos
f ( x2 )  f ( x1 )   x2  x1  f ( ) com x1    x2
mas, por hipotese,
f ( )  0
assim como
 x2  x1   0
pois x2  x1
logo
f ( x2 )  f ( x1 )  0
ou
f ( x2 )  f ( x1 )
Teorema 2. Se a função f(x), derivável no intervalo [a,b], é decrescente neste
intervalo, então sua derivada não será positiva neste intervalo; i. e. f´(x)0.
2. Se a função f(x) é contínua no intervalo [a,b], derivável em (a,b) e se, além
disso, f´(x)<0 para a<x<b, então f(x) é uma função decrescente em [a,b],
Demonstração
Se f(x) é decrescente, considerando um ponto x=x1, teremos, para x1+Dx,
que, conforme pode ser visto na figura
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
para Dx  0
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
para Dx  0
ou
Df  0
Df  0
f(X1+Dx)
f(X1)
para Dx  0
para Dx  0
f(X1+Dx)
X1+Dx
X1
x+Dx
Entretanto, a relação
Df
0
Dx
Por conseqüência,
tanto para
Dx  0, como para Dx  0
Df
 f ( x1 )  0
lim
Dx 0 Dx
Isto quer dizer então, que as tangentes à curva f(x) formam ângulos maiores ou iguais azero
EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO: MÁXIMOS E MINIMOS
Definição 1 (Máximo). Diz-se que a função f(x) admite um máximo em um ponto
x=x1, se o valor da função em x1, f(x1), é maior que aqueles valores da função em
todos pontos de uma vizinhança de x1.
Então, pela definição f(x1+Dx)< f(x1), seja, Dx positivo ou negativo. Em outras
palavras, Df<0, sempre.
Definição 2 (Mínimo). Diz-se que a função f(x) admite um mínimo em um ponto
x=x1, se o valor da função em x1, f(x1), é menor que aqueles valores da função em
todos pontos de uma vizinhança de x1.
Então, pela definição f(x1+Dx)< f(x1), seja, Dx positivo ou negativo. Em outras
palavras, Df>0, sempre.
Não confundir máximo/mínimo com o maior/menor valor da função num
intervalo.
X1+DX
X1+DX
X1+DX
x1
x1
X1+DX
Teorema 1(Condição necessária para existência de máximo). Se a função f(x),
derivável no intervalo [a,b], tem um máximo ou um mínimo no ponto x=x1, então
a derivada de f(x) é nula em x=x1, i.e. f´(x1)=0
Demonstração
Se f(x) tem um máximo em x=x1, então Df<0, conforme foi visto antes.
Assim,
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
Df

 0 para Dx  0
Dx
Dx
e
f ( x1  Dx)  f ( x1 )
Df

 0 para Dx  0
Dx
Dx
e pelo que teremos
Df
 f ( x1 )  0
lim
Dx 0 Dx
e
Df
 f ( x1 )  0
lim
Dx 0 Dx
como f ( x1 ) e um valor, chegamos a uma incongruencia. Entao, temos que ter
f ( x1 )  0
Note que a condição é necessária, mas não suficiente. Porque pode haver
um ponto no intervalo, no qual a derivada é nula,mas o ponto não é nem
um máximo nem um mínimo. Isso pode ser constatado para o caso de
alguma funções, como mostrado abaixo: Em x=0, f´(0)=0
f ( x)  x3
f ( x)  x
2 3
3 2
f ( x)  (1  x )
Os pontos onde uma função atinge seus extremos, máximos ou mínimos, são
chamados pontos críticos da função, assim como os pontos de
descontinuidade.
Teorema . Seja f(x) uma função contínua em um intervalo contendo um ponto
crítico x1 e derivável em todos os pontos desse intervalo, salvo
excepcionalmente no ponto crítico. Se a derivada de f(x) muda de sinal + para -,
quando se passa pelo ponto crítico x1, da esquerda para a direita, então a
função admite um máximo em x1. Se, por outro lado, a derivada muda de sinal
de – para +, quando se passa pelo ponto crítico x1, da esquerda para a direita,
então a função tem um mínimo em x1.
Analiticamente, esses teoremas expressam que existe um máximo em x1 se
f ( x)  0
f ( x)  0
para
x  x1
para
x  x1
E existe um mínimo em x1, se
f ( x)  0
f ( x)  0
para
x  x1
para
x  x1
X1+DX
X1+DX
x1
X1
X1+DX
X1+DX
A demonstração deste teorema é feita com a aplicação do Teorema de Lagrange num intervalo compreendido entre um ponto x
e o ponto x1.
MÁXIMO
MÍNIMO
f´(x1)=0
f´(x1)=0
X1+DX
X1+DX
x1
X1+DX
x1
X1+DX
MÁXIMOS E MÍNIMOS
X1
X2
X3
X4
Teorema. Seja f´(x)=0; então a função tem um máximo em x=x1, se a segunda
derivada em x1 for negativa, i.e., f´´(x1)<0 e, um mínimo, se ela for positiva
f´´(x1)>0
Demonstração
f ( x1 )  lim
Pela definição de derivada, f´´(x1) é dada por
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
Dx 0
Se em x1 f´(x1)=0, para Dx <0, sendo f´´(x1)<0, teremos pela relação acima:
f ( x)  lim
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
consequentemente, teremos que ter
f ( xx1  Dx)  0
Dx 0
 lim
f ( xx1  Dx)  0
Dx
Dx 0
0
Se em x1 f´(x1)=0, para Dx >0, sendo f´´(x1)<0, teremos pela relação acima:
f ( x)  lim
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
consequentemente, teremos que ter
f ( xx1  Dx)  0
Dx 0
 lim
Dx 0
f ( xx1  Dx)  0
Dx
0
Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a
direita, em torno de x=x1, a derivada f´(x) passa de >0 para <0, o que ,pelo
teorema anterior, garante que, em x=x1, a função admite um máximo.
Para demonstrarmos a segunda parte do teorema, que se f´´(x1)>0, f(x) admite
um mínimo, basta que usemos argumentos similares aos usados antes.
Pela definição de derivada, f´´(x1) é dada por
f ( x1 )  lim
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
Dx 0
Se em x1 f´(x1)=0, para Dx <0, sendo f´´(x1)>0, teremos pela relação acima:
f ( x)  lim
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
consequentemente, teremos que ter
f ( xx1  Dx)  0
Dx 0
 lim
Dx 0
f ( xx1  Dx)  0
Dx
0
Se em x1 f´(x1)=0, para Dx >0, sendo f´´(x1)>0, teremos pela relação acima:
f ( x)  lim
f ( xx1  Dx)  f ( xx1 )
Dx
consequentemente, teremos que ter
f ( xx1  Dx)  0
Dx 0
 lim
Dx 0
f ( xx1  Dx)  0
Dx
0
Dos resultados anteriores concluímos que, ao passarmos da esquerda para a
direita, em torno de x=x1, a derivada f´(x) passa de <0 para >0, o que ,pelo
teorema anterior, garante que, em x=x1, a função admite um mínimo.