Velocidade Angular e Aceleração Angular
Rotação com Aceleração Angular Constante
Relações entre Cinemática Linear e Cinemática Angular
Energia no Movimento de Rotação
Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos
Aquino Lauri Espíndola 1
1 Departmento de Física
Instituto de Ciências Exatas - ICEx,
Universidade Federal Fluminense
Volta Redonda, RJ
27.213-250
1 de dezembro de 2010
Aquino Espíndola
Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos
Velocidade Angular e Aceleração Angular
Rotação com Aceleração Angular Constante
Relações entre Cinemática Linear e Cinemática Angular
Energia no Movimento de Rotação
Conteúdo
1
Velocidade Angular e Aceleração Angular
Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
2
Rotação com Aceleração Angular Constante
3
Relações entre Cinemática Linear e Cinemática Angular
Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
4
Energia no Movimento de Rotação
Aquino Espíndola
Capítulo 9 - Rotação de Corpos Rígidos
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Rotação com Aceleração Angular Constante
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Energia no Movimento de Rotação
Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
Eixo Fixo: eixo que permanece em repouso em relação a
um referencial inercial.
O eixo passa através do ponto O
⊥ ao plano do quadro.
A linha OP permanece fixa no
corpo e gira com ele.
O ângulo θ descreve a posição
da rotação.
θ será coordenada da rotação.
A coordenada θ pode ser (+) ou
(−).
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Energia no Movimento de Rotação
Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
O ângulo θ é medido em radianos, não em graus.
r , raio de circunferência.
s, comprimento do arco de
circunferência.
Se o ângulo for 1 rad ⇒ s = r .
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Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
O valor de θ em radianos é:
θ=
s
r
ou
s = r θ.
O comprimento de uma
circunferência é 2πr .
Existem 2π radianos em uma
revolução completa.
1 rad =
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360◦
= 57, 3◦
2π
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Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
O movimento de rotação pode ser descrito em termos da
taxa de variação do ângulo θ.
Em t1 , OP faz um ângulo θ1 .
Em t2 , OP faz um ângulo θ2 .
Definimo a velocidade angular
média:
ωm =
θ2 − θ1
∆θ
=
.
t2 − t1
∆t
A rotação ocorre em torno do
eixo z.
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Energia no Movimento de Rotação
Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
A velocidade angular instantânea:.
dθ
∆θ
=
ω = lim
dt
∆t→0 ∆t
A velocidade angular ω pode ser (+) ou (−).
Rotação no sentido
anti-horário (+):
∆θ > 0 ⇒
ωm =
∆θ
∆t
Rotação no sentido
horário (−):
>0
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∆θ < 0 ⇒
ωm =
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∆θ
∆t
<0
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Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular
Unidade de velocidade angular: rad/s.
Outras unidades:
Revolução por minuto: rev/min ou rpm.
1 rev = 2π.
Conversões úteis:
1 rev/s = 2π rad /s
1 rev/min = 1 rpm =
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2π
rad /s
60
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Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Velocidade Angular como Vetor
Translação: vx é o componente x do vetor ~v .
Rotação: ω é o componente do vetor velocidade ω
~ ao
longo do eixo.
Qual o sentido de ~
ω?
Encurvar os dedos da mão
direita no sentido da
rotação.
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Sentidos de ~ω :
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Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Se a velocidade angular varia, o corpo possui aceleração
angular.
Em t1 , o corpo possui ω1 .
Em t2 , o corpo possui ω2 .
A aceleração angular média:
αm =
∆ω
ω2 − ω1
=
t2 − t1
∆t
A aceleração angular instantânea:
dω
∆ω
=
dt
∆t→0 ∆t
α = lim
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Velocidade Angular
Velocidade Angular como um Vetor
Aceleração Angular
Aceleração Angular como um Vetor
Aceleração Angular como Vetor
Translação: ax é o componente x do vetor ~a.
Rotação: α é o componente do vetor aceleração α
~ ao
longo do eixo.
α
~ e ~ω no mesmo sentido:
a rotação é acelerada.
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α
~ e~
ω em sentidos opostos:
a rotação é retardada.
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Rotação com α = cte
Em t = 0, o corpo possui velocidade angular ω0 .
Em um t qualquer, a velocidade angular será ω.
Assim, neste intervalo de tempo:
α=
ω − ω0
t −0
ou
Somente para α = cte
ω = ω0 + αt
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(1)
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Energia no Movimento de Rotação
Rotação com α = cte
Outra equação já conhecida:
ωm =
ω0 + ω
.
2
(2)
θ − θ0
.
t −0
(3)
Também sabemos que:
ωm =
Igualando as Equações (2) e (3) e multiplicando-as por t:
Somente para α = cte
θ − θ0 =
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1
(ω0 + ω) .
2
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(4)
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Energia no Movimento de Rotação
Rotação com α = cte
Substituindo a Eq. (1) na Eq. (4):
Somente para α = cte
1
θ = θ0 + ω0 t + αt 2 .
2
(5)
Relacionando as grandezas translacionais com as
grandezas rotacionais:
Somente para α = cte
ω 2 = ω02 + 2α∆θ .
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(6)
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Energia no Movimento de Rotação
Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Relação Grandezas de Translação e Rotação
Movimento Retílineo
com Aceleração Constante
Rotação
com Aceleração Constante
a = constante
α = constante
v = v0 + at
ω = ω0 + αt
x = x0 + v0 t + 12 at 2
θ = θ0 + ω0 t + 21 αt 2
v 2 = v02 + 2a∆x
ω 2 = ω02 + 2α∆θ
x − x0 = 12 (v + v0 )t
θ − θ0 = 12 (ω + ω0 )t
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Energia no Movimento de Rotação
Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Cinemática Linear e Angular
Como achar a velocidade linear e a aceleração
um dado ponto em um corpo girando?
Cada partícula se move em uma trajetória circular.
O círculo fica sobre um plano ⊥ ao eixo.
O círculo possui centro no eixo.
A velocidade da partícula é diretamente proporcional a
velocidade angular.
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Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Velocidade Linear na Rotação
Relação entre ângulo e comprimento
de arco: s = r θ.
Derivando a equação acima em relação
ao tempo:
ds = r dθ .
dt dt |ds/dt| é a taxa de variação do
comprimento de arco.
|d θ/dt| é a taxa de variação ângulo.
Portanto:
v = rω .
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Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Aceleração Linear na Rotação
Uma partícula girando:
aceleração centrípeta ou radial, arad ,
aceleração tangencial, atg .
atg é paralela a v, portanto, altera o módulo de v.
Sabemos que atg = dv/dt.
Derivando a expressão v = ωr :
atg =
dω
dv
=r
= rα
dt
dt
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Energia no Movimento de Rotação
Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Aceleração Linear na Rotação
Uma partícula girando:
aceleração centrípeta ou radial, arad ,
aceleração tangencial, atg .
arad aponta em direção ao centro e modifica direção de v.
Sabemos que arad = v 2 /r .
Sabemos que v = ωr , então:
arad =
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v2
= ω2r
r
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Aceleração Linear na Rotação de Um Corpo Rígido
Aceleração Linear na Rotação
Atenção:
Usar grandezas angulares somente em radianos!!!
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Energia no Movimento de Rotação
Energia no Movimento de Rotação
Um corpo rígido é constituído por:
grande número de partículas com massas m1 , m2 , . . .,
partículas estãoà distância do centro r1 , r2 , . . .,
a i−ésima partícula: mi e ri .
Quando um corpo rígido gira:
a i−ésima partícula tem velocidade vi = ri ω;
onde ω é a velocidade angular do corpo.
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Energia no Movimento de Rotação
Energia no Movimento de Rotação
A energia cinética da i−ésima partícula:
1
1
mi vi2 = mi ri2 ω 2 .
2
2
A energia cinética total do corpo é:
K =
1
1X
1
m1 r12 ω 2 + m2 r22 ω 2 + . . . =
mi ri2 ω 2
2
2
2
i
Colocando em evidência o termo ω 2 /2:
!
1 X
1
2
2
2
2
m1 r1 + m2 r2 + . . . ω =
mi ri ω 2
K =
2
2
i
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Relações entre Cinemática Linear e Cinemática Angular
Energia no Movimento de Rotação
Energia no Movimento de Rotação
A grandeza entre parênteses é denominada momento de
inércia, I
Momento de Inércia em Relação a um Eixo
X
I = m1 r12 + m2 r22 + . . . =
mi ri2
i
A energia cinética de rotação da por:
!
1 X
2
mi ri ω 2
K =
2
i
Pode ser reescrita como:
K =
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1 2
Iω
2
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Momento de Inércia
Massa próxima ao eixo.
Massa distante do eixo.
Menor momento de inércia.
Maior momento de inércia.
Fácil fazer girar.
Difícil fazer girar.
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Energia no Movimento de Rotação
Momento de Inércia: Exemplos
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