Capítulo 9 – Rotação de corpos rígidos
Definição de corpo rígido (CR):
um sistema de partículas especial, cuja estrutura é rígida, isto é,
cuja forma não muda, para o qual duas partes sempre
estão igualmente distantes
Neste capítulo vamos analisar apenas o movimento de rotação do
CR em torno de um eixo fixo.
9.1 – Velocidade angular e aceleração angular
Vamos considerar a rotação de um CR em torno do eixo z
z
Qual variável descreve o movimento de
rotação?
1. Escolhe-se um ponto de referência
arbitrário (P) no CR
P

x
y
2. A projeção da posição de P no plano
xy faz um ângulo θ com o eixo x
3. A coordenada angular θ (medida em
radianos) descreve completamente a
orientação do CR
Lembrando do ângulo em radianos (rad):
s

r

r
s
Velocidade angular média: se o CR gira de θ1 a θ2 entre os instantes
t1 e t2, então
mz 
 2  1
t 2  t1


t
(o índice z indica rotação em torno do eixo z)
Velocidade angular instantânea:
 d
 z  lim

t  0 t
dt
Note a analogia com
a cinemática em 1D:
x 
vx   z
Note que todos os pontos do CR têm a mesma velocidade angular,
mas podem ter diferentes velocidades escalares. Exemplo: rotação
da Terra
A e B têm a mesma velocidade
angular, mas têm velocidades
escalares diferentes
Velocidade angular como vetor: direção ao longo do eixo de rotação
e sentido dado pela regra da mão direita
z
Note que esta convenção é
consistente com o sinal da
derivada:
d
z 
dt

x
y
Mas e a coordenada angular θ, é também um vetor?
Não podemos associar um vetor ao deslocamento
angular, pois vetores devem obedecer às regras da
soma vetorial, o que não acontece neste caso.
   
Por exemplo, a soma vetorial é comutativa (A B  B  A ),
mas duas rotações sucessivas feitas em ordens diferentes
dão resultados diferentes!
1 xˆ   2 yˆ   2 yˆ  1 xˆ
(a menos que os ângulos de rotação sejam infinitesimais)
Aceleração angular média: se a velocidade angular varia de ω1z a ω2z
entre os instantes t1 e t2, então
 mz 
2 z  1z
t 2  t1

 z
t
 z d z

Aceleração angular instantânea:  z  lim
t  0 t
dt
Continuando a analogia com a cinemática em 1D:
x 
d
Aceleração angular também é um vetor:  
dt
vx   z

Aceleração e velocidade
angulares no mesmo
sentido: rotação
acelerada

ax   z
Aceleração e velocidade
angulares em sentidos
opostos: rotação
retardada
9.2 – Rotação com aceleração angular constante
Usando a analogia com a cinemática em 1D, obtemos:
Movimento retilíneo com
aceleração constante
Rotação em torno de um eixo
fixo com aceleração angular
constante
v x  v0 x  a x t
 z  constant e
 z  0 z   z t
1 2
x  x0  v0 x t  a x t
2
v x2  v02x  2a x  x  x0 
1
   0  0 z t   z t 2
2
 z2  02z  2 z    0 
1
x  x0  v x  v0 x t
2
  0 
a x  constante
Exemplo: Y&F 9.3
1
 z  0 z t
2
9.3 – Relação entre cinemática linear e cinemática
angular
Lembrando que:
s
   s  r
r
Derivando: ds  d r  ds  d r
dt
Onde:
dt
dt
dt

r
 v  r
ds
 v (velocidade escalar)
dt
d
  (velocidade angular escalar)
dt
s
dv d

r  atg  r
Derivando mais uma vez: v  r 
dt
dt
Onde:
dv
 atg (component
e tangencial da aceleracao)
dt
d
  (t axade variacaoda velocidade angular escalar)
dt
(Note que:
   z , mas    z
)
Finalmente, lembramos que:
arad
v2

  2 r (aceleração centrípeta)
r
9.4 – Energia no movimento de rotação
Considere um CR em rotação com velocidade
angular ω
A energia cinética do CR será a soma das
energias cinéticas de todas as partículas que
compõem o CR:
1
K   mi vi2
i 2
Sabemos que vi  ri
(todas as partículas têm a mesma vel. ang.)
1
1 2
2 2
Assim: K    mi ri   I
2
2 i

Onde definimos o momento de inércia
do CR em relação ao eixo de rotação:
I   mi ri 2
i
Unidades S.I.:
kg.m2
Notem uma nova analogia entre o movimento linear de translação
de uma partícula e a rotação de um CR em torno de um eixo fixo:
1 2
mv (translação)
2
1
K  I 2 (rotação)
2
K
Momento de inércia:
• Define a inércia para o movimento de rotação (inércia rotacional)
• Não depende apenas da massa do CR, mas também de como ela
está distribuída (dois objetos de mesma massa podem ter momentos
de inércia diferentes)
• Não é uma propriedade intrínseca do CR, mas depende da escolha
do eixo de rotação
Exemplo: sistema com 2 massas m de dimensões desprezíveis
(partículas) unidas por uma haste fina de comprimento l e massa
desprezível
Eixo 2
Eixo 1
m
l
m
Eixo 3
2
2
2
l
 l  ml
Eixo 1: I1  m   m  
2
 2
 2
2




I

m
0

m
l

ml
Eixo 2: 2
2
Eixo 3:
2
I3  m0  m0  0
2
2
Momentos de inércia de distribuições contínuas de massa:
I   mi ri2   r 2 dm   r 2  dV
i
Exemplo: Y&F 9.9
Energia potencial gravitacional para um corpo com massa
distribuída:
y
Ycm
yi
M

g
c.m.
mi
U   mi gyi  g  mi yi  gMYcm
i
i
Como se toda a massa estivesse concentrada na posição do c.m.
9.5 – Teorema dos eixos paralelos
Vamos relacionar os momentos de
inércia Icm (em relação a um eixo que
passa pelo c.m.) e IP (em relação a um
eixo que passa por um ponto P qualquer,
paralelo ao eixo que passa pelo c.m.)
y
yi
M
a
P
c.m.
mi
b
xi

I cm   mi ri2   mi xi2  yi2
x

i
I P   mi xi  a    yi  b
2
2
i

I P   mi xi2  2axi  a 2  yi2  2byi  b2
i


i



I P   mi xi2  yi2  2a mi xi  2b mi yi  a 2  b2
i
i
i

I P  I cm  2aMXcm  2bMYcm  M a2  b2

 m
i
i


y
I P  I cm  2aMXcm  2bMYcm  M a2  b2
yi
M
a
d
P
c.m.
0
mi
b
0
I P  I cm  Md 2
xi
x
Teorema dos eixos paralelos
Vamos verificar que funciona
para uma haste fina:
I cm 
2
I extremidade
1
ML2
12
ML2 ML2 1 2
 L
 I cm  M   

 ML
12
4
3
2

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