UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
Circuito
Elétrico
Circuito
Térmico
i
R1
R2
T∞1
h1 T
1
R3
T2
q
L
T∞2
h2
V
i
Rel
T
q
RT
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
Elétrico
U
i
Rel
Térmico
T
q
RT
T
q A
L
L
Rcond 
A
Convecção
q  h A T
Radiação
q  hr A T
1
Rconv 
hA
1
Rrad 
hr A
Condução
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.1. Analogia com Circuito Elétrico
Para parede plana com convecção em ambos os lados,
tem-se:
(T1  T 2 )
q
RT
T∞1
h1 T
1
T2
q
L
T∞2
h2
(T1  T 2 )
q
Rconv1  Rcond  Rconv2
(T1  T 2 )
q
1
L
1


h1A  A h 2 A
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.2. Paredes Compostas em Série
Rconv1
T∞1
h1
Rcond1
●
Rcond2
1
Rcond3
2
Rconv2
3
T1
q
T2
L1
●
●
L2
T3
●T4
L3
T∞2
h2
(T1  T 2 )
q
L3
1
L1
L2
1




h1A 1 A  2 A  3 A h 2 A
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.3. Paredes Compostas em Série-paralelo
Rcond2
Rconv1
Rcond1
Rcond4
Rconv2
Rcond3
T∞1
h1
1
2
4
T1●
●T2
q
3
L1
L2
T∞2
h2
L3
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.3. Paredes Compostas em Série-paralelo
q
T1  T2 
Rconv1  Rcond1  Rcond2,3  Rcond4  Rconv2
onde
L1
R cond1 
1 A1
1
R conv1 
h1A1
L4
R cond4 
 4 A4
1
R conv2 
h2A2
1
1
1


L
L2
R cond2,3
2
2 A2 3 A3
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
1. (3.5 do Incropera) As paredes de uma geladeira são
tipicamente construídas com uma camada de isolante
entre dois painéis de folhas de metal. Considere uma
parede feita com isolante de fibra de vidro, com
condutividade térmica ki=0,046 W/(mK) e espessura
Li=50mm, e painéis de aço, cada um com condutividade
térmica kp=60W/(mK) e espessura Lp=3mm. Com a
parede separando ar refrigerado a T,i=4oC do ar
ambiente a T,e=25oC determine o ganho de calor por
unidade de área superficial. Os coeficientes associados
à convecção natural nas superfícies interna e externa
podem ser aproximados por hi=he=5W/(m2K).
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
3. (3.9 do Incropera) A parede composta de um forno
possui três materiais, dois dos quais com condutividade
térmica, kA=20W/(mK) e kc=50W/(mK), e espessura
LA=0,30m e LC=0,15m conhecidas. O terceiro material, B
que se encontra entre os materiais A e C possui
espessura LB=0,15m conhecida, mas sua condutividade
térmica kB é desconhecida. Sob condições de operação
em regime estacionário, medidas revelam uma
temperatura na superfície externa do forno de Ts,e=20oC,
uma temperatura na superfície interna de Ts,i=600oC e
uma temperatura do ar no interior do forno de T=800oC.
O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo
igual a 25W/(m2K). Qual é o valor de kB?
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.4. Resistência Térmica de Contato
T
x
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.1.4. Resistência Térmica de Contato
 Ocorre principalmente devido a efeitos de rugosidade
 Para sólidos com  maior que o do fluido interfacial
- Rc diminui com o aumento da pressão de contato
- Rc diminui com a redução da rugosidade das superfícies
- Em paredes compostas representa uma resistência adicional
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2. Sistemas Radiais
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem geração
de calor, em regime estacionário, com  constante
d  dT 
r
0


dr  dr 
Fluido frio
T2, h2
r1
L
r2
Fluido quente
T1, h1
Ts2
Ts1
Condição de contorno
para r  r1  T  Ts1
para r  r2  T  Ts2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Integrando a 1a vez

d  dT
r
dr  dr

 dr 


0dr
dT
r
 C1  0
dr

Dividindo por r e integrando a 2a vez

dT
dr 
dr

C1
dr  0
r

T  C1 lnr  C2  0
T  C1 lnr  C2 (3.1)
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Aplicando as condições de contorno em
T  C1 lnr  C2
para r  r1  Ts1  C1 lnr1  C2
(3.2)
para r  r2  Ts2  C1 lnr2  C2
(3.3)
de (3.2)
C2  C1 lnr1  Ts1
(3.4) em (3.3)
(3.4)
Ts2  C1 lnr2  C1 lnr1  Ts1
 r1 
Ts2  Ts1 (3.5)
Ts2  C1 ln    Ts1  C1 
ln  r1 / r2 
 r2 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
(3.5) em (3.4)
Ts2  Ts1
C2  
lnr1  Ts1
ln  r1 / r2 
Substituindo as expressões de C1 e C2 em
(3.6)
T  C1 lnr  C2
Ts2  Ts1
Ts2  Ts1
T
lnr 
lnr1  Ts1
ln  r1 / r2 
ln  r1 / r2 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Rearranjando a equação
Ts2  Ts1
Ts2  Ts1
T
lnr 
lnr1  Ts1
ln  r1 / r2 
ln  r1 / r2 
Ts1  Ts2
Ts1  Ts2
T
lnr 
lnr1  Ts1
ln  r1 / r2 
ln  r1 / r2 
Ts1  Ts2
T
 lnr  lnr1   Ts1
ln  r1 / r2 
Ts1  Ts2
T
ln  r / r1   Ts1
ln  r1 / r2 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Aplicando a distribuição de temperatura encontrada na
Lei de Fourier, resulta:

dT
d  Ts1  Ts2
q   A
  A 
ln  r / r1   Ts1 
dr
dr  ln  r1 / r2 

 2  r L Ts1  Ts2
q
r
ln  r1 / r2 
ou
Ts1  Ts2
q  2  L
ln  r2 / r1 
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Fazendo analogia com circuito elétrico
Elétrico
V
i
Rel
Térmico
Ts1  Ts2
Para o cilindro q  2  L
ln  r2 / r1 
logo
RT 
ln  r2 / r1 
2  L
T
q
RT
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
3.2.1. Cilindro oco, sistema unidimensional, sem
geração de calor, em regime estacionário
Para uma parede cilíndrica composta
T1, h1
1 2
r1 r2
r3
T2, h2
(T1  T 2 )
q
ln  r2 / r1  ln  r3 / r2 
1
1



2r1Lh1
2L1
2L 2
2r3Lh 2
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
2. Um tubo de aço com 5cm de diâmetro interno e 7,6 cm
de diâmetro externo, tendo k=15W/(moC), está recoberto
por uma camada isolante de espessura t=2cm e
k=0,2W/(moC). Um gás, aquecido a Ta=330oC,
ha=400W/(m2oC), flui no interior do tubo. A superfície
externa do isolante está exposta ao ar mais frio a
Tb=30oC com hb=60W/(m2oC).
Calcule a perda de calor do tubo para o ar ao longo de
H=10m do tubo.
Calcule as quedas de temperatura resultantes das
resistências térmicas do fluxo de gás quente, do tubo de
aço, da camada isolante e do ar externo.
CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DE
CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Exercícios:
4- O sistema de aquecimento a ser utilizado em um submarino está sendo
projetado para oferecer uma temperatura confortável mínima de 20oC no interior
do equipamento. O submarino pode ser modelado como um tubo de seção
circular, com 9m de diâmetro interno e 60 metros de comprimento. O coeficiente
combinado (radiação e convecção) de transferência de calor na parte interna vale
aproximadamente 14W/(m2K), enquanto na parte externa o valor varia entre
6W/(m2K) e 850W/(m2K) (correspondente ao submarino parado e em velocidade
máxima). A temperatura da água do mar varia de 1oC a 13oC. As paredes do
submarino são constituídas de (de dentro para fora): uma camada de alumínio de
6,3mm de espessura, uma camada de isolamento em fibra de vidro com 25mm de
espessura e uma camada de aço inoxidável com 19mm de espessura. Para o aço,
=8055kg/m3, cp=480J/(kgK), k=15,1W/(moC). Para a fibra de vidro =200kg/m3,
cp=670J/(kgK), k=0,035W/(moC). Para o alumínio =2702kg/m3, cp=903J/(kgK),
k=237W/(moC).
(a) Mostrar esquematicamente o circuito térmico equivalente, indicando como é
determinada cada resistência;
(b) Determinar a capacidade mínima da unidade de aquecimento para atender a
temperatura de conforto;
(c) Determinar o coeficiente global de transferência de calor, baseado na
superfície interna do submarino, na situação mais crítica de operação.