8a . LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I
Turma: 1o . perı́odo de Licenciatura em Matemática
Profa . Andréa Cardoso
Data: 27/06/2014
1. Para cada uma das funções reais, esboce o gráfico, estude o sinal, dê a imagem, encontre
o eixo de simetria e o vértice, classificando-o como ponto de máximo ou mı́nimo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
f (x) = x2 − 3x + 2
f (x) = −x2 + 2x − 1
f (x) = 3x − x2
f (x) = −x2 − 2x + 1
f (x) = x2 − 5
f (x) = x2 + 8x + 9
f (x) = 9 − x2
5
(h) f (x) = 3(x − )(x − 8)
3
√
√
(i) f (x) = −(x − 7)(x + 7)
2
x
se x ≥ 0
(j) f (x) =
2
−x se x < 0
2
x se x ≥ 0
(k) f (x) =
2 se x < 0
2. Como o vértice de cada uma das parábolas gráfico das funções quadráticas acima está
relacionado com as raı́zes da equação f (x) = 0?
3. Suponha que o gráfico de uma função quadrática intercepte
Encontre as coordenadas do vértice do gráfico desta função.

 −x − 1
4. Determine o conjunto imagem da função f (x) = −x2 + 1

−x − 1
o eixo x em (−2, 0) e (8, 0).
se
x ≤ −1
se −1 < x < 1 .
se
x≥1
5. Obtenha as funções, dados seus gráficos, nos seguintes casos:
6. Se o gráfico da função f (x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0), calcule a + b + c.
7. Seja a função f (x) = 3x2 − bx + c, em que f (2) = 10 e f (−1) = 3. Calcule b, c e o valor
da expressão f (3) + 2f (1).
8. Calcule o valor de m em f (x) = 3x2 − mx + 18 para que
(a) a função tenha dois zeros.
(b) um dos zeros da função seja 2.
9. Seja a função f : R → B dada pela expressão f (x) = −3x2 + 7x + 6. Determinar B para
que f seja sobrejetora e dizer se ela é bijetora.
10. Considere a função f : A → B, dada por f (x) = x2 −4x+7 com A = [a, ∞) e B = [1, ∞).
(a) Qual é o menor valor possı́vel para a de modo que f seja injetora?
(b) Nas condições do item (a), a função é sobrejetora? Por quê?
11. O proprietário de uma barbearia verificou que, quando o preço do corte de cabelo era
$ 20,00, o número de clientes era 100 por semana. Verificou também que, quando o preço
passava para $ 15,00, o número de clientes dobrava.
(a) Obtenha a função de demanda admitindo seu gráfico linear.
(b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
12. Em um cinema, verificou-se que o número de freqüentadores (x) por sessão relacionava-se
com o preço de ingresso (p) por meio da relação p = 15 − 0, 015x.
(a) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares
for 600?
(b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita, se o total de lugares
for 400?
13. Uma viodeolocadora aluga 200 DVD´s por dia, se o aluguel diário por unidade for $ 4,00.
Para cada $ 1,00 de acréscimo no preço, há uma queda de demanda de 50 unidades.
(a) Qual a função de demanda diária de DVD´s, admitindo seu gráfico linear?
(b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?
14. O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é Cme(x) =
a função receita é de R = 200x − 2x2 .
2000
x
+ 20 + x, e
(a) Obtenha a função lucro.
(b) Obtenha a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro.
15. Uma companhia de avião freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes
condições especificadas no contrato de fretamento:
i) Cada passageiro pagará R$ 600,00 se todos os 50 lugares forem vendidos.
ii) Cada passageiro pagará um adicional de R$ 30,00 por lugar não vendido.
Quantos lugares a companhia deverá vender para obter um lucro máximo?
16. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em
função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = −20t + 200t.
(a) Qual a altura máxima atingida pela bala?
(b) Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
17. Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular.
(a) Quais as dimensões do curral para que a área cercada seja máxima?
(b) Suponha que o fazendeiro decida construir o curral com aproveitamento da parede
de um celeiro, de modo a cercar apenas três lados. Se x é o comprimento de um
lado perpendicular à parede do celeiro, ache a área cercada como função de x. Qual
o valor de x para que a área cercada seja máxima? Qual o valor da área máxima?
18. (ENEM) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral,
essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem
o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem.
Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de
pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k.x.(P − x),
onde k é uma constante positiva caracterı́stica do boato. Considerando o modelo descrito,
se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá
quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
(a) 11.000
19. O
(b) 22.000
(c) 33.000
(d) 38.000
(e) 44.000
gráfico
da
função
1
1 2
x +
x
f (x)
=
−
200
5
representado na figura abaixo,
descreve a trajetória de um
projétil, lançado a partir da
origem. Sabendo-se que x e
y são dados em quilômetros,
calcule a altura máxima H e o
alcance A do projétil.
20. Um jogador de futebol se encontra a uma
distância de 20 metros da trave do gol adversário, quando chuta uma bola que vai bater exatamente sobre essa trave, de altura 2
metros. Se a equação da trajetória da bola
em relação ao sistema de coordenadas indicado na figura é y = ax2 +(1 − 2a)x, obtenha
a altura máxima atingida pela bola.
21. A temperatura t de uma estufa (em graus Celsius) é determinada, em função da hora h
do dia, pela expressão t = −h2 + 22h?85. Responda:
(a) Em quais horários a temperatura é 0o C?
(b) Em que perı́odo(s) do dia a temperatura é positiva? E negativa?
(c) Em que perı́odo(s) do dia a temperatura é crescente? E decrescente?
(d) Em que horário a temperatura é máxima? Qual é a temperatura máxima?
22. Uma ponte suspensa é construı́da com seu cabo pendurado, na forma de uma parábola,
entre duas torres verticais. As torres estão distantes 400 metros e se erguem 100 metros
acima da rodovia horizontal, enquanto o ponto central do cabo está a 10 metros acima
da rodovia. Introduza um sistema de coordenadas.
(a) Encontre a equação da parábola no sistema de coordenadas.
(b) Calcule a altura acima da rodovia de um ponto 50 metros distante do centro da
ponte.
23. Resolva em R.
(a) x2 − 2x − 3 ≤ 0
(i)
−x2 − 3x − 4
>0
x2 + 2x
(j)
x2 − 3x + 2
≤0
x2 − 4
(k)
−x2 + 4x + 5
>0
x2 + 2x + 6
(b) x2 ≤ x
(c) x2 − 10x + 9 ≥ 0
(d) −x2 + 2x − 1 < 0
(e) (3x2 − 2x + 1)(x − 3) > 0
(f) (x2 + 1)(−3x + 2) > 0
(g) (2x2 − 4x − 6)(x2 − 7x + 10) ≤ 0
2
2
(h) (x + x)(x + 5x + 6) > 0
x2 − x − 1
(l) √
≥0
x2 − 3x
24. Classifique as sentenças em V(verdadeira) ou F(falsa)? Justifique sua resposta.
(a) ( ) A função f (x) = b é bijetora.
(b) ( ) A função f (x) = ax + b é bijetora, para a 6= 0.
∆
(c) ( ) Se a > 0 e CD(f ) = − , ∞ então a função f (x) = ax2 +bx+c é sobrejetora.
4a
∆
(d) ( ) Se a < 0 e CD(f ) = − , ∞ então a função f (x) = ax2 +bx+c é sobrejetora.
4a
(e) ( ) Se a = 0 então a função f (x) = ax2 + bx + c é sobrejetora.
(f) ( ) A função f (x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0 é injetora.
(g) ( ) A função quadrática (m2 − 4)x2 − (m + 2)x − 1 está definida quando m 6= 4.
(h) ( ) Para x < 0, f (x) = −x2 + 4x é positiva.
(i) ( ) Se a função f (x) = x2 + bx + c, com b e c númeroos reais, tem duas raı́zes
distintas pertencentes no intervalo [−2, 3] então 4 < b < 6.
(j) ( ) Se a é um número real positivo, então o gráfico da função f (x) = a(x2 + 2x)
com x ∈ R, é simétrico em relação à reta x = 1.
BOM TRABALHO!!!
Data da provinha: 10/07/2014