Fundamentos Matemáticos
Conjuntos, Contagem, Funções
Cláudio Tadeu Cristino1
1 Universidade
Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil
Primeiro Semestre, 2013
C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE)
Fundamentos
2013
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Conjuntos
Noção (Intuição)
Um conjunto é uma reunião não ordenada de objetos. Denotaremos
um conjunto por letras de nosso alfabeto maiúsculas: A, B, . . ., e às
vezes por letras Gregas ( ), também maiúsculas. O principal conjunto
neste curso será denotado por Ω (=omega maiúsculo).
Definição (Elementos)
Os objetos de um conjunto são chamados elementos, ou membros desse
conjunto. O conjunto é dito conter (ou não) os elementos, enquanto os
elementos são ditos pertencerem (ou não) aos conjuntos. Geralmente,
denotamos elementos de um conjunto por letras minúsculas e
escrevemos a ∈ A, ou A ∋ a, para denotar que o elemento a pertence
ao conjunto A, e b ∈
/ A, ou A ∋
/ b, para dizer que b não pertence ao
conjunto A.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Definição (Subconjuntos)
Um subconjunto B de um conjunto A é um conjunto, tal que todo
elemento de B também pertencem a A. Escrevemos B ⊂ A, ou A ⊃ B
para denotar que B é um subconjunto de A. Também dizemos: “B
está contido em A”.
Se denotamos por A o conjunto
cujos elementos estão representados na figura ao lado, temos que
B = {mesa, f (x), pearsing} é um
subconjunto de A, ou seja, B ⊂ A.
Também podemos escrever, x ∈ A,
ou A ∋ cânula.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Exemplos e padrões
Dentre os mais importantes conjuntos a serem considerados nesse curso
estão os conjuntos numéricos, ou seja, conjuntos cujos elementos são
números. Vamos apresentá-los:
O conjunto dos números naturais, N = {1, 2, 3, . . .} .
O conjunto dos números inteiros, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
O conjunto dos números racionais
p
Q=
: p, q ∈ Z, p 6= 0 .
q
O conjunto dos números reais, R que são todo os números da reta
contı́nua.
É fácil ver que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Mais exemplos e notações
Temos ainda:
Z+ = {0, 1, 2, . . .}, conjunto do números inteiros não negativos.
∅ = { }, conjunto vazio, que é o conjunto sem nenhum elemento.
Note que ∅ é subconjunto de qualquer conjunto (mesmo os não
numéricos).
O = {n ∈ Z : n é divisı́vel por 2}, ou seja o subconjunto de Z dos
números pares.
Denomina-se conjunto unitário ou singleton ao conjunto com um
único elemento, p.ex., {2}.
Conjuntos que tenham elementos repetidos não serão
considerados, p.ex., {1, 1, 1, 2, 4, 7, 7} = {1, 2, 4, 7}.
Denominaremos por conjunto universo ao (macro)conjunto que
contem todos os outros conjuntos considerados
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Com visto acima, podemos representar graficamente um conjunto
através de um diagrama que nada mais é que um “cerdado”
delimitando os elementos de um conjunto. Este desenho nos ajuda a
visualizar várias propriedades e relações entre conjuntos. Este desenho
é chamado diagrama de Venn de um conjunto.
Na figura ao lado, temos que:
B ⊂ A,
ω ∈ A,
ω∈
/ B.
Ω é o conjunto universo.
...
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Propriedades de Conjuntos
Definição (Cardinalidade de um conjunto)
Se o número de elementos de um conjunto é finito, tal quantidade é
chamada a cardinalidade do conjunto e é uma importante
caracterı́stica. Denotamos a cardinalidade de A por: |A|, ou #A, ou
N (A). Quanto o número de elementos de um conjunto é infinito,
dizemos que o conjunto é infinito.
Por exemplo,
|∅| = 0;
|{ω}| = 1 (singleton);
|{n ∈ Z+ : n ≤ 10}| = 11;
|N| = ∞.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Conjuntos de conjuntos
Definição
Seja A um conjunto. Denominamos o conjunto de todos os
subconjunto de A por power set de A.
Exemplo
Seja A = {1, 2, 3}. O power set de A, neste caso, é:
A = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
Esquematicamente,
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Podemos definir algumas operações sobre conjuntos. As principais
delas são:
União: A ∪ B = {ω : ω ∈ A OU ω ∈ B};
Interseção: A ∩ B = {ω : ω ∈ A E ω ∈ B};
Diferença: A − B = {ω : ω ∈ A e NÃO ω ∈ B}.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Seja Ω um conjunto universo fixo. Seja A um conjunto contido em Ω.
Definição
O complementar de A (em Ω) é o conjunto formado por todo elemento
de Ω que não está em A, ou seja,
Ac = {e ∈ Ω : e ∈
/ A} = Ω − A.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Algumas definições e resultados
Proposição
Se A ⊂ B e |B| é finita, então |A| ≤ |B|
Definição
Conjuntos que têm interseção vazia são ditos disjuntos.
Proposição
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Observação
Obviamente, |A| + |Ac | = |Ω|, pois A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac = Ω.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Identidades de Conjuntos
A∪∅=A e A∩Ω=A
A∩∅=∅ e A∪Ω=Ω
A∩A =A e A∪A=A
(Ac )c = A
A∪B =B∪A e A∩B =B∩A
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) e
A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(A ∪ B)c = Ac ∪ B c e (A ∩ B)c = Ac ∩ B c
A ∪ (A ∩ B) = A e A ∩ (A ∪ B) = A
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Fundamentos
leis de identidade
leis de dominação
leis idempotente
lei da complementação
leis de comutatividade
leis de associatividade
leis de distributividade
leis de De Morgan
leis de absorção
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
Produto Cartesiano
Definição
Sejam A e B dois conjuntos. Denomina-se produto cartesiano entre A e
B ao conjunto formado pelos pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e
b ∈ B. Em notação matemática:
A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Veremos que os produtos cartesianos são importantes representações de
caracterı́sticas mútuas de um indivı́duo, p.ex., (altura, peso) do animal
k; (quantidade de nutrientes, quantidade de fibras) na ração j.
Obviamente, podemos estender a noção de produto cartesiano de dois
conjuntos para o n-produto cartesiano, entre n conjuntos:
A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : aj ∈ Aj , j = 1, . . . , n}.
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Conjuntos. Subconjuntos. Cardinalidade.
O Plano Cartesiano
Um importante produto cartesiano é obtido fazendo R × R. Este
conjunto também denotado por R2 é chamado plano cartesiano e
representará um “ambiente” para as considerações “geométricas” que
serão feitas.
Figura: O plano cartesiano, R2 .
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Princı́pios de Contagem
Princı́pios de Contagem
Seja A um conjunto com n elementos e B um conjunto com m
elementos. Quantos elementos tem A × B?
Proposição
Se |A| = n e |B| = m e os elementos de A puderem ser tomados
independentemente dos elementos de B, então |A × B| = n · m.
Exemplo
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Princı́pios de Contagem
Estendendo o Princı́pio da Contagem
Obviamente,
Proposição
Sejam A1 , . . . , Ak conjuntos com |Aj | = nj , j = 1, 2, . . . , k tais que os
elementos de Aj podem ser escolhidos de maneira independente de
todos os outros conjuntos. Então,
|A1 × A2 × · · · × Ak | = n1 · n2 · · · · · nk .
Observação
A caracterı́stica de independência solicitada nos duas últimas
proposições serão melhor investigadas durante esse curso.
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Princı́pios de Contagem
Relações entre Conjuntos
Dentre as relações que podemos definir entre dois conjuntos, estão as
funções. Uma função é uma relação ou lei que associa dois conjuntos.
Formalmente,
Definição
Uma função entre dois conjuntos A e B é um par ordenado (a, b) tal
que a ∈ A, b ∈ B e não existe outro par com a primeira entrada igual a
a. Dizemos que A é o domı́nio da função e B o contradomı́nio. Se
denotarmos por f para a função escrevemos em geral b = f (a). O
conjunto de todos os b’s tais que existam a’s e f (a) = b é denominado
imagem de f . Esquematicamente,
f:
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A
a
−→
7−→
B
b = f (a)
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Princı́pios de Contagem
Exemplos
Exemplo
Seja G =‘conjunto de gatos’, e defina a função
ϕ(gatoi ) = mãe do gatoi .
É fácil verificar que esta relação é uma função entre o conjunto G e ele
mesmo, ou seja, ϕ : G → G.
Exemplo
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e f (a) = 16 para a ∈ A, ou seja, f atribui a
qualquer elemento de A o valor constante 16 ,
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Princı́pios de Contagem
Os exemplos mais comuns e usuais de funções são aqueles para os quais
os conjuntos domı́nio e imagem são numéricos:
Exemplo
f : R → R, f (x) = x (função identidade).
g : R → R, g(x) = 2x − 1 (função de 1o grau ou linear).
h : R → R,


0,
se x < −1;


x+1
h(x) =
, se − 1 ≤ x ≤ 1;

2


1,
se x > 1.
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Princı́pios de Contagem
Gráficos de funções
Para representarmos uma função que toma valores numéricos em
valores numéricos é comum utilizar-se de gráficos. Formalmente, um
gráfico é uma representação dos pares ordenado definidos por uma
função como pontos de R2 , chamado plano cartesiano (veja figura a
seguir).
Figura: O gráfico de uma função, G(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x)}.
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Princı́pios de Contagem
Exemplo
O número de animais atendidos no Hospital Veterinário Universitário
no mês passado foi registrado na Tabela 1 abaixo.
Tabela: Número de atendimentos no Hospital Veterinário Universitário no
mês passado (fictı́cio).
Dia
No atend.
Dia
No atend.
Dia
No atend.
1
25
11
20
21
14
2
15
12
28
22
10
3
10
13
29
23
14
4
13
14
21
24
24
5
22
15
12
25
29
6
29
16
10
26
26
7
27
17
17
27
17
8
18
18
26
28
10
9
10
19
29
29
12
10
11
20
24
30
21
Note que a interpretação dos dados fornecidos é difı́cil, mas se
organizarmos esses dados em um gráfico, talvez tenhamos maior
eficiência na análise.
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Princı́pios de Contagem
Figura: Gráfico do número de atendimentos no HVU. Note que há uma
“sazonalidade” no maior ou menor número de atendimentos. Por exemplo, se
o dia 1 foi um domingo, vemos que o maior atendimento se dá no final de
semana.
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A Reta
A reta
Um reta no plano é um conjunto de pontos que satisfazem a uma
propriedade fundamental: sua taxa de crescimento (ou decrescimento)
se mantém constante para todos os pontos. Esta taxa pode ser
interpretada como a inclinação que a reta tem relativamente ao eixo
horizontal.
Na Figura ao lado, a curva vermelha cresce com a mesma taxa, ou
seja, quando x cresce, y cresce numa
mesma taxa. Já para a reta verde,
quando x cresce, y decresce numa
taxa constante.
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A Reta
Exemplo
Uma das práticas do médico veterinário é a medicação de animais que
têm os mais diferentes portes. Suponha que um medicamento seja
ministrado a um animal cuja dose é proporcional ao peso desse animal.
Por exemplo, são ministrados 2 mg de medicamento para cada
quilograma de peso do animal. Veja a tabela abaixo,
Peso animal (kg)
Dose Med. (mg)
1
2
2
4
3
6
5
10
10
20
15
30
Assim, podemos escrever mais genericamente:
d =2·p
d = dose medicamento (mg); p = peso do animal (kg). Note que
quando p = 0, d = 0 (óbvio!). Observe também que podemos dizer:
quando o peso do animal aumenta de 1 kg, a dose do animal aumenta
de 2 mg.
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A Reta
Determinando a equação de uma reta
Várias relações entre duas variáveis se dá de maneira proporcional, ou
linear. Neste caso, a função que relaciona as duas variáveis é a equação
de uma reta. Para se determinar tal equação podemos considerar 2
casos:
1
Quando é dada um ponto de partida da função e a taxa de
crescimento (decrescimento) da função (último exemplo, temos que
quando p = 0, d = 0, esse é o ponto de partida, e a taxa de
2 mg/kg, foi dada).
2
Quando são dados dois pontos por onde a reta deve
“passar”(exemplo a seguir).
Antes de passarmos a um exemplo concreto para o segundo caso,
vamos formalizar como proceder nesta situação.
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A Reta
Retas passando por dois pontos
Dados dois pontos conhecidos
(x0 , y0 ) e (x1 , y1 ) e um ponto
genérico (x, y), e como a taxa de
crescimento da reta deve se manter
constante, temos que:
y − y0
y1 − y0
=
.
x − x0
x1 − x0
(3.1)
Isso implica que:
y1 − y0
y=
(x − x0 ) + y0
x1 − x0
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A Reta
Retas passando por dois pontos - Cont.
A última equação da pagina anterior pode ser escrita como
y = αx + β,
y1 − y0
y1 − y0
em que α =
e β = y0 −
x0 . O número α é chamado
x1 − x0
x1 − x0
coeficiente angular da reta e β o intercepto vertical (o ponto onde a
reta “corta” o eixo vertical, ou seja, para x = 0, y = β).
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A Reta
Exemplo
Segundo Costa et al.1 a análise da quantidade de proteı́na bruta na
forragem estudada segue uma relação linear que (por simplicidade) foi
dada pelos seguintes dados:
Idade da Planta (x)
Proteı́na Bruta (y)
x0 = 1
y0 = 15, 2366
x1 = 50
y1 = 6, 7155
Qual é a equação que relaciona as duas variáveis?
1
COSTA, N.L. et al. Produtividade e composição quı́mica da forragem
de Paspalum secans (Hitchc. & Chase) em diferentes idades de corte.
PUBVET, Londrina: 4(34), 2010. Disponı́vel em
http://www.alice.cnptia.embrapa.br/bitstream/doc/879749/1/PubVetCosta939.pdf
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A Reta
Exemplo - Cont.
Para escrevermos a relação na forma padrão y = αx + β usaremos o
que se desenvolveu na Eq. (3.1):
y1 − y0
6, 7155 − 15, 2366
=
= −0, 1739.
x1 − x0
50 − 1
y1 − y0
6, 7155 − 15, 2366
β = y0 −
x0 = 15, 2366 −
× 1 = 15, 4105.
x1 − x0
50 − 1
α=
Logo,
y = −0, 1739x + 15, 4105
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A Reta
Exemplo - Cont.
Figura: Gráfico da função que relaciona a quantidade de proteı́na bruta em
g/kg de massa seca versus tempo em meses para Paspalum secans, segundo
Costa et al. (op. cit.).
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Polinômios e Funções Polinomiais
Polinômios e Funções Polinomiais
Dizemos que uma função é polinomial se ela é escrita da seguinte forma
y = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ,
em que os aj ’s são números reais e an 6= 0. Neste caso dizemos que a
função tem grau n. Por exemplo, a função
y = −x3 + 2x2 − x + 8
é uma função polinomial de grau 3. Podemos listar alguns casos
especiais:
n = 0, y = a0 (constante).
n = 1, y = a1 x + a0 (função linear).
n = 2, y = a2 x2 + a1 x + a0 (função quadrática).
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Polinômios e Funções Polinomiais
Funções polinomiais (exemplos gráficos)
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A Parábola
A função y = ax2 + bx + c: parábola
A função polinomial de grau 2 é também chamada parábola (na
verdade, seu gráfico é assim conhecido). Está é uma importante função
e apresentamos algumas de suas propriedades.
Concavidade
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A Parábola
Definição
A raiz de uma função é o valor para o qual tal função se anula, ou seja,
se f é uma função e x0 é um valor do domı́nio de f tal que f (x0 ) = 0
então x0 é uma raiz da função.
Para a função y = ax2 + bx + c, duas possı́veis raı́zes dadas por:
√
√
−b− b2 − 4ac
−b+ b2 − 4ac
x1 =
x2 =
2a
2a
As equações acima são chamadas fórmulas de Bhaskara para as raı́zes
da parábola. Note que a depender dos valores de b2 − 4ac, teremos
implicações diferentes para o gráfico da função (veja Figura no próximo
eslaide).
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A Parábola
Propriedades y = ax2 + bx + c
Raı́zes(em todos os casos, são representadas duas parabolas conforme
sua concavidade)
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Outras Funções
Funções Racionais
Definição
Dizemos que uma função é racional se pode ser escrita da forma:
f (x) =
p(x)
,
q(x)
(6.1)
em que p e q são polinômios.
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Outras Funções
Exemplo
Suponha que
x2 − 2x + 4
.
x3 − 2x
as raı́zes de f são os valores para os quais o numerador seja igual a
zero, ou seja, x2 − 2x + 4 = 0, que não possui raı́zes reais. O domı́nio é
dado para todos os valores de x tais que o denominador não se anule,
ou seja, x3 − 2x 6= 0, e,
√
x3 − 2x 6= 0 ⇔ x(x2 − 2) 6= 0 ⇔ x 6= 0, ou x2 − 2 6= 0, ou x 6= ± 2;
f (x) =
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Outras Funções
Cont. Exemplo
Figura: Gráfico da função racional f .
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Outras Funções
Funções Exponenciais
Definição
Seja a um número real positivo (constante). Denominamos função
exponencial à função dada por
g(x) = ax .
O número a é chamado base do expoente. Um importante caso é dado
quando a base é um número muito especial: e, chamado número de
Napier, que é um número irracional com valor aproximado de 2,718
281 828 459 045 235 360 287 e melhor caracterizado por
1 n
e = lim 1 +
.
n→∞
n
Neste caso, é comum escrever ex = exp(x).
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Outras Funções
Exemplos de funções exponenciais para algumas bases.
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Outras Funções
Funções Logarı́tmicas
Definição
A função
ℓ(x) = loga (x)
representa os valores de ℓ(x) para os quais devemos elevar a base a
para obter o número x, ou seja,
y = loga (x) ⇔ ay = x.
Um caso especial é quando a base é e e denotamos loge (x) = ln(x)
(chamado logaritmo neperiano de x). Outra base importante para o
logaritmo é o número 10 e escrevemos simplesmente log(x) a invés de
log10 (x).
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Outras Funções
Gráficos de funções logarı́tmicas para diversas bases.
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Funções Especiais
Funções Compostas e Funções Inversas
Podemos “brincar” com as funções fazendo composições entre elas. Por
exemplo, a função
f (x) = (ln(x))3 − 3 ln(x) + 4
é a composição da função logarı́tmica g(x) = ln(x) e a função
polinomial h(x) = x3 − 3x + 4, substituindo x por g(x) em h. Note que
considerando f ′ (x) = ln(x3 − 3x + 4), temos uma nova composição,
agora substituindo x por h(x) em g.
Denota-se a composição de duas funções g e h por (g ◦ h)(x) = g(h(x)).
Como vimos acima, g ◦ h 6= h ◦ g, em geral.
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Funções Especiais
Figura: Diagrama da composição de duas funções. Note que do domı́nio da
função h é a imagem da função g.
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Funções Especiais
Uma importante definição vem da suposição da existência de uma
função f˜ tal que para cada função f dada
(f ◦ f˜)(x) = x = (f˜ ◦ f )(x),
(7.1)
ou seja, dada uma função f a composição com f˜ resulta na função
identidade. Afirmamos que:
não é verdade que para qualquer função f , exista f˜ satisfazendo
(7.1).
se f˜ existe tal função é única.
a existência de uma tal f˜ pode depender de uma restrição do
domı́nio da função f .
A função f˜ é chamada inversa da função f e denotada por f −1 .
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Funções Especiais
Exemplos
Podemos listar alguns exemplos de funções e suas inversas:
1 f (x) = 2x + 3, então f −1 (x) = 1 x − 3 .
2
2
Demonstração: De fato,
1
3
−1
f (f (x)) = f
x−
2
2
1
3
x−
+3=x
=2
2
2
e
2
3
f −1 (f (x)) = f −1 (2x + 3)
1
3
= (2x + 3) − = x
2
2
√
g(x) = x2 , para x ≥ 0, então g−1 (x) = x.
h(x) = ex , então h−1 (x) = ln(x).
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Funções Especiais
Funções Monótonas
Definição
Dizemos que uma função f é crescente (decrescente) se para x1 < x2
(respectivamente, x1 > x2 ), temos que f (x1 ) < f (x2 ) (respectivamente,
f (x1 ) > f (x2 )), ou seja, quando os valores do domı́nio crescem, os
valores da imagem crescem (respectivamente, decrescem).
Ainda podemos denominar uma função não-decrescente, se x1 < x2
implica que f (x1 ) ≤ f (x2 ). Analogamente, uma função não crescente é
aquela que satisfaz f (x1 ) ≥ f (x2 ), sempre que x1 < x2 .
Nos quatro casos acima de funções crescentes, decrescentes,
não-decrescente, ou não crescente dizemos que a função é monótona, ou
seja monótona crescente, monótona decrescente, etc.
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Funções Especiais
Funções Monótonas
Figura: Gráficos de algumas funções (a) crescentes, (b) decrescentes e (c) nem
crescentes, nem decrescentes.
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Funções Especiais
Um caso especial de funções monótonas são quando elas são constantes
por partes. Vamos ver um exemplo,
Exemplo
Suponha que


se x ≤ 2;
1,
f (x) = 0,
se 2 < x ≤ 4;


−1, se x > 4.
É fácil verificar que f é uma função monótona não-crescente, ou seja
para quaisquer dois valores x1 , e x2 tais que x1 < x2 , temos que
f (x1 ) ≥ f (x2 ) (Veja o gráfico de f na Figura abaixo).
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Funções Especiais
Figura: Gráfico da função f do Exemplo 12.
Por razões óbvias, as funções constantes por partes também são
chamadas de funções escada.
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Arranjos, Permutações e Combinações
Arranjos, Permutações e Combinações
Voltemos ao caso em que estivermos trabalhando com conjuntos finitos
ou discretos, ou seja, aqueles para os quais podemos determinar uma
contagem para seus elementos.
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Arranjos, Permutações e Combinações
Permutações
Sejam a1 , a2 , . . . , an n objetos distintos. O número de filas (ordenações)
que podemos formar com tais objetos é chamada permutação simples.
Por exemplo, para os objeto a1 , a2 e a3 , temos
a1 a2 a3
a1 a3 a2
a2 a1 a3
a2 a3 a1
a3 a1 a2
a3 a2 a1 .
Note que todas as permutações acima poderiam ser representadas
apenas pelos números nos sub-ı́ndices. No caso geral, em que tivermos
n objetos, podemos usar o princı́pio multiplicativo visto na Proposição
7: para o primeiro lugar na fila podemos escolher qualquer um entre os
n objetos. Para o segundo da fila, n − 1 objetos, etc até o último da
fila que possui somente uma “escolha”. Assim, o número de ordenar n
objetos distintos é:
n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
este número acima é denotado por n! (fatorial de n). É comum denotar
a permutação simples de n por Pn . Devemos lembrar que por
convenção 0! = 1.
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Exemplo
De quantos modos podemos formar uma escala de plantões num
Hospital, utilizando 5 veterinários? Essa é fácil,
5! = 5 × 4 × · · · × 1 = 120. Agora, suponha que desejemos fazer uma
organização de salas em um andar do Hospital levando em consideração
também a posição relativa das salas, em outras palavras, queremos
posicionar 5 salas numa “roda” de maneiras diferentes (Figura 9).
Figura: Posição relativa de salas em um andar do Hospital
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Exemplo (cont.)
Denotando as salas por A, B, C, D e E, aparentemente bastaria
escolher um ordem para as salas, ou seja, num total de 5! = 120 modos
diferentes. Mas note que a ordem ABCDE é igual à EABCD, ou seja
temos as salas com a mesma vizinhança. Como cada roda podem ser
“virada” de cinco modos, nossa contagem de 120 posições contou cada
roda 5 vezes. Logo a resposta é 120 ÷ 5 = 24.
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Arranjos, Permutações e Combinações
Outro exemplo
Problema
De quantos modos diferentes podemos dividir 8 profissionais em duas
equipes de 4 pessoas cada?
Solução: A divisão pode ser feita colocando as 8 pessoas em fila e
dividindo-as de modo que um dos grupos seja formado pelas 4
primeiras pessoas e o outro pelas 4 últimas. Como há 8! modos de
colocar as pessoas em fila, a resposta parece ser 8!.
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Outro exemplo (cont.)
Entretanto consideremos a divisão abcd|ef gh. Ela é idêntica à divisão
ef gh|abcd. Não obstante, na nossa contagem de 8!, essas divisões foram
contadas como sendo distintas. Além disso, divisões como abcd|ef gh e
cdab|ef gh, que diferem apenas na ordem de escolha da primeira ou da
segunda equipes, também foram contadas como sendo as mesmas,
apesar ser serem idênticas. Cada divisão foi contata 2 × 4! × 4! vezes (2
por causa da ordem das equipes, 4! pela ordem da equipe 1 e 4! pela
ordem dos profissionais da equipe 2).
Se contarmos 8! divisões e cada divisão foi contata 2 × 4! × 4!, o
número de equipes que poderão ser formadas com os 8 profissionais é
8!
= 35.
2 × 4! × 4!
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Combinação Simples
Definição
Sejam {a1 , a2 , . . . , an } n objetos distintos. O número de escolhas
diferentes de k (0 ≤ k ≤ n) objetos entre os n objetos é chamada
combinação simples dos n objetos tomados k a k. Este número é
denotado por Cnk ou Cn,k . Afirmamos que
Cnk =
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n!
k!(n − k)!
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Exemplo
Problema
De uma Equipe de 5 veterinários, de quantas formas diferentes
podemos formar duplas para os plantões de final de semana?
Bem, diretamente
C52 =
5!
5×4×3×2×1
=
= 10 duplas diferentes.
2!(5 − 2)!
2×1×3×2×1
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Exemplo
Problema
Suponha que no Departamento de Medicina Veterinária existam 16
professores sendo 10 mulheres. De quantas maneiras diferentes
podemos escolher uma comissão com 6 pessoas dentre todos os
professores, desde que a comissão tenha pelo menos 3 mulheres?
Bem, as alternativas são:
3 homens
2 homens
1 homem
Nenhum homem
3 mulheres
4 mulheres
5 mulheres
todas mulheres
A resposta é:
3
4
5
6
C63 × C10
+ C62 × C10
+ C61 × C10
+ C60 × C10
= 20 × 120 + 16 × 210 + 6 × 252 + 1 × 210
= 22.518 comissões diferentes.
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