Capı́tulo 4
Funções e Gráficos
4.1
Motivação
Vimos no capı́tulo anterior que problemas onde é necessário a determinação dos valores máximos e/ou mı́nimos de uma
função aparecem comumente no nosso dia a dia e que, embora aparentemente dissociados, o problema de determinar
tais pontos extremos está intimamente relacionado com o problema de determinar a inclinação da reta tangente a uma
curva em um dado ponto. Tentaremos abaixo analisar um problema desse tipo com os conhecimentos matemáticos de
que dispomos até o momento.
4.1.1
O problema da caixa
Considere uma folha de plástico quadrada de lado igual a 20 cm.
Como se deve cortar os cantos desta folha de modo a formar uma
caixa sem tampa que contenha o maior volume de água possı́vel,
quando completamente cheia?
Considerando a ﬁgura ao lado, o problema consiste em determinar
o valor de x, a ser cortado, para obtermos tal caixa.
x
x
x
x
x
x
x
x
Observe que à medida que x varia o volume também varia, isto é, o volume da caixa depende da variável x , que
neste problema representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada. Dizemos, então,
que o volume é uma função de x. Neste caso, a expressão matemática que fornece o volume da caixa para cada valor
particular de x é dada por: V = x (20 − 2 x)2 . Repare ainda que x só pode assumir valores entre 0 e 10. (Por quê?)
Análise Numérica
Para determinar o valor de x, a ser cortado, a ﬁm de que o valor do volume atinja o seu máximo, podemos fazer uma
tabela ou lista mostrando o valor do volume para vários valores de x. Como x varia entre 0 e 10, iremos formar uma
tabela com n+1 pontos, incluindo 0 e 10.
[
x
V (x)
0
1
2
3
0 324. 512. 588.
4
5
6
7
8
9 10
576. 500. 384. 252. 128. 36. 0
]
Pela análise da lista acima, veriﬁcamos que o valor máximo do volume parece ocorrer para valores de x entre 2 e
4.
Podemos melhorar nossa tabela calculando o valor do volume para um maior número de valores de x, melhorando
assim a precisão do resultado encontrado anteriormente:
42
Cap. 4. Funções e Gráficos
























x
0
.2500000000
.5000000000
.7500000000
1.
1.250000000
1.500000000
1.750000000
2.
2.250000000
2.500000000
2.750000000
3.
V(x)
0
95.06250000
180.5000000
256.6875000
324.
382.8125000
433.5000000
476.4375000
512.
540.5625000
562.5000000
578.1875000
588.
























x
3.250000000
3.500000000
3.750000000
4.
4.250000000
4.500000000
4.750000000
5.
5.250000000
5.500000000
5.750000000
6.
6.250000000
V(x)
592.3125000
591.5000000
585.9375000
576.
562.0625000
544.5000000
523.6875000
500.
473.8125000
445.5000000
415.4375000
384.
351.5625000




























x
V(x)
6.500000000 318.5000000 

6.750000000 285.1875000 


7.
252.

7.250000000 219.3125000 

7.500000000 187.5000000 

7.750000000 156.9375000 


8.
128.

8.250000000 101.0625000 

8.500000000 76.50000000 

8.750000000 54.68750000 


9.
36.

9.250000000 20.81250000 

9.500000000 9.500000000 
10.
0
O valor máximo para V parece ser, agora, 592,3125 e este máximo parece ocorrer para valores de x entre 3 e 3,5.
Como poderı́amos aumentar a precisão do resultado obtido acima? As listas apresentadas poderiam ser calculadas
facilmente sem o auxı́lio de um computador?
Mesmo para quem dispõe de um computador, este é um bom método para determinar o máximo de uma função?
Análise gráfica
Outro modo de tentar calcular o valor máximo de V é fazer uma análise gráﬁca onde se explicite visualmente a relação
existente entre as duas variáveis envolvidas no problema: V (volume da caixa) e x (tamanho do corte). Para isso,
vamos usar as tabelas anteriores para tentar obter o gráﬁco da equação y = V (x).
Volume x Corte
600
500
400
300
200
100
0
2
4
x
6
8
10
Veriﬁcamos, mais uma vez, que à medida que x varia os valores correspondentes para V crescem até atingir um valor
máximo e depois decrescem até zero (veja o gráﬁco abaixo à esquerda). O problema é como determinar exatamente
onde ocorre o valor máximo dessa ou de outra função qualquer. Esses pontos tem uma caracterı́stica geométrica
especial: existe uma reta horizontal que é tangente ao gráﬁco da função no seu ponto de máximo. Veja à direita:
593
593
593
593
593
619
Esta caracterı́stica especial pode nos ajudar a determinar precisamente estes pontos. Como isso pode ser feito?
Conclusão
Para resolver problemas desse tipo, temos que:
1. Encontrar uma relação entre as variáveis envolvidas, nesse caso
VOLUME E CORTE
No caso do problema que estudamos no exemplo anterior, a relação encontrada fornece o valor do volume da
caixa para cada tamanho x do corte. Neste caso, dizemos que o volume V é uma função do corte x.
W.Bianchini, A.R.Santos
43
2. Determinar os pontos onde existe uma reta tangente horizontal ao gráﬁco da função encontrada no primeiro
passo.
Este capı́tulo é destinado ao estudo destas correspondências especiais que relacionam as diversas variáveis que aparecem
num problema, isto é, ao estudo das funções e seus gráﬁcos.
Começaremos este estudo com alguns exemplos.
4.2
Exemplos
Exemplo 1
Um dos problemas encarado como um passatempo até poucos anos atrás e que se tornou de importância crucial
atualmente, é o de transmitir mensagens codiﬁcadas ou, em termos técnicos, criptografar mensagens. Este problema
surge e revela toda a sua importância quando é necessário enviar dados sigilosos por meio de uma rede de computadores,
saldos e senhas bancárias, informações pessoais, número de cartão de crédito, etc. É preciso criar, então, meios seguros
de transmitir esses dados de modo que somente pessoas autorizadas tenham acesso a eles.
O primeiro passo para que seja criado um código seguro é estabelecer, de alguma maneira predeterminada, uma
correspondência entre letras e números. Existem muitas formas de se deﬁnir tal correspondência, a mais simples das
quais é dada pela tabela:
letras
números
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
...
...
v
21
x
22
z
23
Essa tabela deﬁne uma correspondência que associa a cada letra do nosso alfabeto um único número natural entre
1 e 23.
• Por essa correspondência, qual letra está associada ao número 15?
• Qual o número correspondente a letra x ?
• Você é capaz de estabelecer uma correspondência diferente dessa que associe as letras do alfabeto aos números
naturais? É claro que, para transmissão de mensagens, não se pode usar um código tão simples assim. O sigilo dos
dados não estaria garantido, porque seria muito fácil descobrir a chave do código e então decodiﬁcar a mensagem.
Por isso, em geral, depois dessa primeira etapa, em que se faz corresponder letras a números de maneira simples,
os números obtidos são ainda operados algebricamente, usando-se regras conhecidas somente pelo receptor e pelo
transmissor da mensagem.
Suponha que ao número obtido usando-se a tabela anterior, sejam somadas 4 unidades e o resultado multiplicado
por 3.
• Após esta segunda etapa, qual seria o novo número associado à letra x ?
• Qual letra corresponderia ao número 42?
• Use o código estabelecido acima para “transmitir” a palavra mar.
Exemplo 2
Considere uma caixa d’água cúbica com base de 4 m2 de área. Uma torneira aberta despeja água a uma vazão de
1
3
m
/h. A que altura estará o nı́vel de água 1 hora depois? E depois de 2 horas? E depois de 3 horas?
2
Vamos raciocinar juntos:
Em primeiro lugar, note que o volume, assim como a altura do nı́vel da água, varia com o tempo. Sabemos também
que o volume de água na caixa d’água em qualquer instante de tempo é igual à área da base da caixa vezes a altura
do nı́vel da água. Assim, denotando-se por V(t) e h(t) o volume e a altura do nı́vel da água, respectivamente, num
certo instante de tempo t teremos:
V (t) = 4 h(t)
Por outro lado, o volume de água que entrou até o instante t é igual à vazão vezes o tempo transcorrido (no nosso
caso, t horas), isto é:
t
V (t) = .
2
Igualando as equações anteriores, obteremos:
t
h(t) = .
8
Esta equação fornece a altura do nı́vel da água em cada instante de tempo t. Portanto, para determinarmos a altura
do nı́vel da água para t = 1h, t = 2h, t = 3h, ..., basta substituirmos t na equação acima pelo valor desejado. Dizemos
que a altura do nı́vel da água depende ou é uma função do tempo. Essa dependência pode ser expressa em notação
funcional pela expressão h(t) = 8t , que é chamada de representação analı́tica da função.
44
Cap. 4. Funções e Gráficos
Usando o Maple teremos:
Deﬁnição da função h(t):
>
h:=t->t/8;
h := t →
1
t
8
Cálculo da função para vários valores de t.
>
h(1);
1
8
>
h(2);
1
4
>
h(3);
3
8
>
h(a);
1
a
8
>
h(qualquer_tempo);
1
qualquer tempo
8
Uma outra maneira de representar funções é usando uma tabela. Para esse exemplo, teremos:
t
h
1
1/8
2
1/4
3
3/8
4
1/2
5
5/8
a
a/8
Podemos, também, representar funções graﬁcamente. Uma representação gráﬁca para a função h, deﬁnida neste
exemplo, pode ser obtida por meio da tabela anterior, como vemos a seguir.
5
4
3
h(t)
2
1
0
1
2
t
3
4
5
Repare que, como no caso de equações, o gráﬁco de uma função é o conjunto de todos os pontos (x, y) do plano
cartesiano tais que y = h(x), isto é, a abscissa representa a variável independente x e a ordenada o valor da função
calculada nesse ponto. A expressão, ou fórmula, y = h(x) como já dissemos, é chamada de representação analı́tica da
função h.
O gráﬁco anterior foi obtido calculando-se o valor de h(t) em alguns pontos particulares (por exemplo em t = 1, 2, 3, 4
e 5 e ligando-se os pontos (1, h(1)), (2, h(2)), (3, h(3)), (4, h(4)) e (5, h(5)) por segmentos de reta. Esse método funciona
sempre? (Veja no capı́tulo Retas Tangentes o projeto: Programando o Computador para Traçar Gráficos de Funções.)
Por que é um ótimo método nesse caso?
Exemplo 3
Determinar a área da região limitada pelas retas y = x, x = z e pelo eixo-x, conforme mostrado na ﬁgura a seguir
à esquerda. Observe a animação apresentada na versão eletrônica deste texto para constatar que esta área depende
da escolha de z. Neste caso, como a ﬁgura à esquerda é um triângulo retângulo e isósceles (explique!), sua área é
2
dada pela fórmula A(z) = z2 (por quê?) e temos a seguinte representação gráﬁca para A(z) à direita.
y=x
8
6
4
2
x=z
0
1
2
z
3
4
W.Bianchini, A.R.Santos
4.3
45
O conceito de função
Para resolver os problemas propostos nos exemplos da seção anterior, foi preciso deduzir uma lei ou fórmula matemática
que determinasse precisamente a dependência existente entre as variáveis envolvidas em cada caso. Essa lei ou
correspondência é o que chamamos de função.
Resumindo:
Sejam D e I dois conjuntos quaisquer. Uma função f definida em D é uma regra ou lei de correspondência que associa
a cada elemento do conjunto D um único elemento do conjunto I.
Em particular, se os conjuntos D e I forem conjuntos de números reais, a cada número real x de D deve corresponder, pela f, um único número real y em I.
O conjunto D dos valores permitidos para x chama-se domı́nio da função e o conjunto dos valores correspondentes
de y chama-se imagem da função. O conjunto imagem portanto, é um subconjunto de I. O conjunto I é denominado
contradomı́nio de f.
Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor do domı́nio, e
chamar y de variável dependente, porque seu valor depende da escolha de x.
Observe que na deﬁnição de função exigimos que a cada elemento do domı́nio, fosse associado um único (um
e apenas um) elemento da imagem. A razão dessa exigência não se deve a nenhuma restrição matemática. É uma
convenção que tem por origem as descrições de fenômenos fı́sicos e biológicos que são feitas por funções do tempo, ou
seja, funções cuja variável independente é o tempo. O tempo, como os fı́sicos o concebem, é uma grandeza monótona
estritamente crescente, isto é, que não volta nunca para trás, portanto, as relações que descrevem fenômenos fı́sicos
associam a cada tempo um só evento, dando origem à deﬁnição de função na forma como a entendemos hoje.
Exemplo 1 A correspondência que associa a cada número real x o seu quadrado x2 é uma função deﬁnida pela
equação f (x) = x2 . O domı́nio de f é o conjunto R de todos os números reais. A imagem de f consiste de todos os
valores de f (x), isto é, de todos os números que são da forma x2 . Como x2 ≥ 0, qualquer que seja o número x, temos
que a imagem de f é o conjunto { y ∈ R; y ≥ 0} = [ 0, ∞ ).
Exemplo 2 Se deﬁnirmos uma função por g(x) = x2 para 0 ≤ x ≤ 3, então o domı́nio de g é o intervalo fechado
[ 0, 3 ] e sua imagem é o intervalo [ 0, 9 ]. Essa função é diferente da função dada no exemplo anterior, porque seus
domı́nios e suas imagens são diferentes.
Nos exemplos 1 e 2, o domı́nio da função foi dado explicitamente. Se uma função é dada por uma fórmula e seu
domı́nio não é indicado explicitamente, entende-se que o seu domı́nio é o maior possı́vel, isto é, o conjunto de todos
os números para os quais a fórmula faça sentido e deﬁna um número real.
1
Exemplo 3 Ache o domı́nio da função f (x) = 2
.
x −x
1
1
Solução Como f (x) = 2
=
e a divisão por zero não faz sentido, vemos que f não está deﬁnida
x −x
x (x − 1)
quando x = 0 e x = 1. Conseqüentemente, o domı́nio de f é { x ∈ R; x ̸= 0, x ̸= 1 } ou em notação de intervalo
( −∞, 0 ) ∪ ( 0, 1 ) ∪ ( 1, ∞ ).
√
Exemplo 4 Ache o domı́nio de h(x) = 2 − x − x2 .
Solução Como no conjunto dos números reais raı́zes quadradas de números negativos não estão deﬁnidas, o
domı́nio de h consiste de todos os valores de x para os quais 2 − x − x2 ≥ 0. Resolvendo esta inequação, temos que o
domı́nio de h é
{ x ∈ R; −2 ≤ x ≤ 1 } = [ −2, 1 ].
Como vimos na seção anterior, podemos representar uma função por uma tabela, por uma expressão matemática
do tipo y = f(x), ou por um gráﬁco. Devido à importância da representação gráﬁca de uma função, iremos estudá-la
com mais detalhes na próxima seção.
4.4
Gráficos de funções: Definição e exemplos
Como já vimos, o termo gráﬁco em matemática geralmente é usado quando estamos descrevendo uma ﬁgura por meio
de uma condição que é satisfeita pelos pontos da ﬁgura e por nenhum outro ponto.
Uma das representações gráﬁcas mais comuns e importantes em matemática é o gráﬁco de uma função.
Podemos representar graﬁcamente uma função usando vários tipos de gráﬁcos: gráﬁcos de barras, correspondência
ou relação entre conjuntos e gráﬁcos cartesianos.
46
Cap. 4. Funções e Gráficos
Como já vimos nos exemplos da seção anterior, o gráﬁco cartesiano de uma função é o conjunto de todos os pontos
(x, y) do plano que satisfazem a condição y = f(x), ou seja, o gráﬁco de uma função é o conjunto de todos os pontos
do plano da forma (x, f(x)), com x variando no domı́nio de f.
Os gráﬁcos cartesianos permitem visualizar “a forma” geométrica de uma função e suas principais caracterı́sticas.
Além disso, como a coordenada y de qualquer ponto (x, y) do gráﬁco de uma função f é igual ao valor desta função
calculada em x, podemos obter o valor de f (x) por meio de seu gráﬁco. Este valor é, simplesmente, a altura do gráﬁco
correspondente ao ponto x.
Veja a seguir alguns exemplos de gráﬁcos de funções. Estes gráﬁcos foram obtidos usando-se o comando plot do
Maple.
Exemplo 1 : Gráﬁco da função
y = x2
>
plot(x^2-1,x=-2..2);
Exemplo 2 : Gráﬁco da função y = x3 − 3 x
>
plot(x^3-3*x,x=-2..2);
2
3
1
2
–2
1
–1
1
x
2
–1
–2
0
–1
1
x
2
–2
–1
O gráﬁco de uma função é, portanto, uma curva plana. A questão que surge agora é: Qualquer curva plana
representa o gráﬁco de alguma função? Para responder a esta pergunta, veriﬁque quais das curvas a seguir representam
gráﬁcos de funções. (Lembre-se: uma função é uma correspondência especial que a cada ponto do seu domı́nio associa
um único ponto na sua imagem.)
2
5
2
1
4
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2
0.2 0.4 x 0.6 0.8
1
–1
3
0
2
–1
–2
–1
0
1
x
2
1
1
0.8
0.8
1.6
0.6
0.6
0.4
1.2
2
0.4
0.2
1
0.2
0.8
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2
–0.2
0.6
–0.4
–0.4
0.4
–0.6
–0.6
0.2
–0.8
–0.8
0
1.2 1.4 1.6 1.8
2
1.8
1.4
–1
1
–2
–2
–2
0.2 0.4 0.6 0.8
1
x
0.2 0.4 0.6 0.8
1
–2
–1
–1
2
–0.2
1
x
2
–1
As curvas anteriores que representam gráﬁcos de funções são aquelas em que nenhuma reta vertical as interceptam
em mais de um ponto. Isto porque se uma reta vertical x = a intercepta uma curva em um único ponto ( a, b ), então
há somente um valor deﬁnido para f (a), e este valor é b. Se, por outro lado, a reta x = a intercepta a curva em
mais de um ponto, então a curva não pode representar uma função porque, neste caso, dois valores diferentes estariam
associados, pela função, a x = a. Agora responda: o gráﬁco de uma função pode ser simétrico em relação ao eixo x ?
E em relação ao eixo y? O que representam os pontos onde o gráﬁco de uma função corta o eixo x ?
Exercı́cio 1
Cada gráﬁco abaixo, representa uma função y = f(x). O que se pode concluir em relação ao número de raı́zes reais
da equação f(x) = 0 ? Em cada caso, determine os valores de x para os quais y > 0 e os valores de x para os quais
y < 0.
4
3
2
1
1.8
0.8
1.6
0.6
y
0.4
1.4
1.2
0.2
y1
2
–2
0.8
1
–1
0
1
x
2
–2
–1
0
–0.2
0.6
–0.4
0.4
–0.6
0.2
–2
–1
0
–0.8
1
x
2
–1
1
x
2
W.Bianchini, A.R.Santos
47
Exercı́cio 2 Observe ao lado os gráﬁcos das funções y = 1 e
y = x traçados em conjunto.
>
plot([1,x],x=-2..2,color=[red,blue]);
• Determine, graﬁcamente, o ponto de interseção das duas retas.
• Como se pode determinar analiticamente os pontos onde o
gráﬁco dessas funções se interceptam?
2
1
–2
–1
1
x
2
–1
–2
18
16
Exercı́cio 3 Na ﬁgura ao lado, estão representados em conjunto
os gráﬁcos das funções y = 2 (x − 1)2 e y = x.
>
plot([2*(x-1)^2,x],x=-2..4, color=[red,blue]);
• Quais são os pontos de interseção dessas curvas?
14
12
10
8
6
4
2
–2
–1
0
–2
1
2
x
3
4
Exemplo 3 Considere a função f deﬁnida por
{
f (x) =
1 − x se x ≤ 1
x2
se x > 1
Calcule f (0), f (1) e f (2) e esboce o gráﬁco desta função.
Solução Uma função é uma regra. Neste exemplo em particular, a regra é a seguinte: se x ≤ 1, então o valor
de f (x) é dado por 1 − x. Se, por outro lado, x > 1, então o valor de f (x) é dado por x2 . Assim, temos que
f (0) = 1 − 0 = 1, f (1) = 1 − 1 = 0 (repare que 1 ≤ 1) e f (2) = 22 = 4.
Para traçar o gráﬁco de f , observe que se x ≤ 1, então f (x) =
10
1 − x. Assim, a parte do gráﬁco de f que está à esquerda da reta
vertical x = 1 coincide com a reta y = 1 − x, cuja declividade
8
é −1 e a interseção com o eixo y é o ponto (0, 1). Se x > 1,
6
então f (x) = x2 e a parte do gráﬁco de f que está à direita da
y
4
reta x = 1 deve coincidir com o gráﬁco de y = x2 , que é uma
parábola. O gráﬁco desta função está esboçado na ﬁgura ao lado.
2
O disco sólido indica que o ponto em questão faz parte do gráﬁco
–4
–2
2 x
4
da função e o cı́rculo vazio indica que o ponto não faz parte do
gráﬁco.
Exercı́cio 4 Ache uma fórmula para a função cujo gráﬁco é dado abaixo.
4
3
2
1
0
Exemplo 4 Considere agora a função y =
com a ajuda do Maple.
>
x2 −1
x−1
1
2
3
4
. Qual o seu domı́nio? Observe o gráﬁco dessa função traçado
plot((x^2-1)/(x-1),x=-3..3);
4
3
2
1
–3
–2
–1
0
1
x
2
3
–1
–2
Compare o domı́nio de y =
y = x + 1? Por quê?
x2 −1
x−1
com o de y = x +1. Este gráﬁco está correto? Esta função é igual a função
Definição
Dizemos que duas funções y = f (x) e y = g(x) são iguais se elas têm o mesmo domı́nio e se f (x) = g(x) para
todos os valores de x do seu domı́nio comum.
48
Cap. 4. Funções e Gráficos
Assim, no exemplo acima as funções y =
x2 −1
x−1
e y = x + 1 não são iguais porque têm domı́nios diferentes. O ponto
x = 1 pertence ao domı́nio de y = x + 1, mas não pertence ao domı́nio de y =
4.5
x2 −1
x−1 .
Operando com funções
Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f + g, f − g, f g e
ao modo como somamos, subtraı́mos, multiplicamos e dividimos números reais.
A soma f + g é deﬁnida pela equação
(f + g)(x) = f (x) + g(x).
f
g,
de uma maneira análoga
Repare que o lado direito desta equação só faz sentido se f (x) e g(x) estão deﬁnidas, isto é, se x pertence tanto ao
domı́nio de f quanto ao domı́nio de g. Assim, se o domı́nio de f é A e o domı́nio de g é B, o domı́nio de f + g é a
interseção destes domı́nios, isto é, A ∩ B.
Note, ainda, que o sinal de + no lado esquerdo da equação indica uma adição de funções, mas o mesmo sinal do
lado direito da equação indica a adição dos números reais f (x) e g(x).
Analogamente, deﬁne-se a diferença f − g e o produto f g, e seus respectivos domı́nios são também A ∩ B. Para
deﬁnir o quociente fg de duas funções, devemos lembrar que a divisão por zero não faz sentido.
Em resumo: Sejam f e g duas funções com domı́nios A e B, respectivamente. Então, as funções f + g, f − g, f g
e fg são deﬁnidas como se segue:
Função
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
Domı́nio
A∩B
(f − g)(x) = f (x) − g(x)
A∩B
(f g)(x) = f (x) g(x)
f
f (x)
(x) =
g
g(x)
A∩B
{ x ∈ A ∩ B; g(x) ̸= 0 }
Operar com funções tem muitas aplicações práticas. Por exemplo, se a função f (t) representa um registro de som,
então a função 2 f (t) efetivamente ampliﬁca este som por um fator de 2. Este é o princı́pio por detrás do processo de
digitalização de sinais de vı́deo e de audio. Se f (x) representa um sinal de vı́deo e g(x) representa um outro, então
f (x) + g(x) representa os dois sinais sobrepostos. Combinando-se a operação de adicionar funções com a operação
de multiplicar funções por constantes pode-se obter alguns efeitos interessantes. A seqüência abaixo representa uma
seqüência de sinais de vı́deo que começa com f (x) e então muda suavemente para g(x).
f (x)
0, 9 f (x) + 0, 1 g(x)
0, 8 f (x) + 0, 2 g(x)
..
.
0, 1 f (x)
g(x)
+ 0, 9 g(x)
Este efeito é freqüentemente usado em televisão e cinema para fazer a transição de uma cena para outra. Execute
na versão eletrônica a animação correspondente e observe o efeito produzido!
O produto e o quociente de funções são úteis em diferentes contextos. Assim, se uma função f (t) descreve o
consumo de energia per capita em um determinado paı́s em cada perı́odo de tempo t, por exemplo, a cada mês, e a
função p(t) fornece a população do paı́s, então a função produto E(t) = f (t) p(t) fornece o consumo total de energia
daquele paı́s para cada perı́odo de tempo t. Da mesma maneira, se a função f (t) fornece a produção total de um paı́s
qualquer em um determinado perı́odo de tempo t e, como antes, a função p(t) fornece a população deste paı́s, então
(t)
fornece a produção per capita de alimentos. Se uma região retangular muda de tamanho e se
o quociente C(t) = fp(t)
o seu comprimento e sua altura variam de acordo com as funções f (t) e g(t), respectivamente, em cada instante de
tempo t, então a sua área é dada pelo produto A(t) = f (t) g(t).
Uma outra forma de combinarmos funções para obter uma nova função é por composição que estudaremos mais
tarde, no decorrer deste texto.
Exercı́cio Em cada um dos itens abaixo ache f + g, f − g, f g e fg e seus respectivos domı́nios:
√
√
(a) f (x) = x3 + 2 x2 , g(x) = 3 x2 − 1
(b) f (x) = 1 + x, g(x) = 1 − x
W.Bianchini, A.R.Santos
4.6
49
Um pouco de história
Em termos intuitivos, uma função é uma regra ou lei que nos diz como duas ou mais quantidades variam entre si.
Já no século XIII os ﬁlósofos escolásticos – que seguiam a escola de Aristóteles – discutiam a quantiﬁcação de
formas variáveis. Entre tais formas, eles estudavam a velocidade de objetos móveis e a variação da temperatura de
ponto para ponto de um sólido aquecido.
No século XIV, Oresme – teólogo e matemático francês – teve a brilhante idéia de traçar uma ﬁgura ou gráﬁco das
grandezas que variam. Esta foi, talvez, a primeira sugestão do que hoje é chamado de representação gráﬁca de uma
função.
A idéia de Oresme foi aprofundada mais tarde, no século XVII, por m Fermat e Descartes, que deﬁniram um sistema
de coordenadas no plano, estabeleceram a correspondência entre uma equação f(x, y) = 0 e a curva plana consistindo
de todos os pontos de coordenadas (x, y) que satisfazem a equação dada e introduziram a noção de variável.
Em particular, Descartes veriﬁcou que uma relação algébrica do segundo grau tinha como imagem gráﬁca uma
curva cônica, isto é, uma elipse, uma hipérbole, uma parábola ou uma circunferência.
Fermat também estudou as cônicas e estabeleceu que as retas são as curvas descritas por meio de uma relação
algébrica de primeiro grau.
O estudo desses dois gênios contribuı́ram, signiﬁcativamente, para estabelecer os fundamentos que permitiram,
mais tarde, o desenvolvimento da teoria do Cálculo Diferencial e Integral, por Newton e Leibniz.
4.7
Atividades de laboratório
Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo lab1.mws da versão eletrônica deste texto.
4.8
Exercı́cios
1. No exemplo 1 da seção Exemplos, estabelecemos uma correspondência entre as letras do alfabeto e um subconjunto dos números naturais. Essa correspondência deﬁne uma função f ? Qualquer correspondência deﬁne uma
função? Você é capaz de dar outros exemplos de funções deﬁnidas em conjuntos não numéricos? E de funções
deﬁnidas em conjunto não numéricos tomando valores em conjuntos numéricos?
2. Nos exemplos 2 e 3 da seção Exemplos, determine o domı́nio e a imagem de cada função.
√
√
3. (a) Se f (x) = 2 x2 + 3 x − 4, ache f (0), f (2), f ( 2), f (1 + 2), f (−x), 2 f (x) e f (2 x).
(b) Se g(x) = x3 + 2 x2 − 3, ache g(0), g(3), g(−x) e g(1 + h).
4. Em cada um dos ı́tens abaixo ache f (2 + h), f (x + h) e f (x+h)
h
x
(a) f (x) = x − x2
(b) f (x) = x+1
5. O domı́nio de uma função f é { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 0, f (4) = 1, f (5) = 2 e f (6) = 4.
Qual é a imagem de f ?
6. Ache o domı́nio e a imagem das seguintes funções:
√
(a) f (x) = 2 x + 7, −1 ≤ x ≤ 6
(d) h(x) = 2 x − 5
√
(b) f (x) = 6 − 4 x, −2 ≤ x ≤ 3
(e) F (x) = 1 − x2
1
2
(c) g(x) = 3 x−5
(f) h(x) = (7 − 3 x) 4
7. Ache o domı́nio das seguintes funções:
(a) f (x) =
x+2
x2 −1
1
(b) g(x) = (x2 − 6 x) 4
(c) f (x) =
x4
x2 +x−6
√
(d)
x2 −2 x
x−1
(e) g(x) =
(f) f (x) =
√
x2 − 2 x − 8
√
(g) F (x) = 1 −
√
x
√
(g) t2 + 1
√
(h) t − 1
x
π−x
8. (a) A expressão y = | xx | deﬁne y como função de x ? Em caso aﬁrmativo, qual o seu domı́nio e qual a sua
imagem?
(b) Idem para y = x2 + x + 1?
(c) Esboce o gráﬁco das funções dadas nos ı́tens anteriores.
9. Sob que condições a expressão y 2 + x2 = 1 deﬁne y como função de x?
50
Cap. 4. Funções e Gráficos
4.9
Problemas Propostos
1. Um industrial deve fabricar latas cilı́ndricas tampadas com um volume ﬁxo V. O material usado custa R$ 0,50
o m2 .
Determine o custo unitário das latas como função de seu raio.
2. De um pedaço de papelão quadrado com L cm de lado, deve-se construir uma caixa sem tampa de base quadrada.
Determine a área lateral da caixa como função de sua altura.
3. Um arame de comprimento L deve ser cortado em dois pedaços. Com um dos pedaços constrói-se um quadrado
e com o outro um triângulo equilátero.
Determine a soma das áreas dessas ﬁguras como função do comprimento de um dos pedaços.
4. Na escala Fahrenheit, para medir temperaturas, a água congela a 320 e ferve a 2120 . Na escala centı́grada, a
água congela a zero grau e ferve a 1000 . Ache uma lei matemática que possa ser usada para converter graus
centı́grados em Fahrenheit.
5. Um boêmio perambulando pela calçada numa noite escura observa ao passar sob um poste iluminado que o
comprimento de sua sombra depende da sua posição em relação ao poste.
Sabendo que o comprimento do poste é a metros e a altura do boêmio é de b metros, determine o comprimento
da sombra como função da posição do boêmio em relação ao poste.
6. (a) Uma função f é dita crescente quando f (x) cresce à medida em que x cresce, isto é, quando o gráﬁco de f
ascende para a direita. Essa condição deve valer para todo x no domı́nio de f. Quando essa condição vale
somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f é crescente naquele intervalo.
Como se pode exprimir essa condição matematicamente? Dê exemplos de funções crescentes.
(b) Uma função f é dita decrescente, quando f(x) decresce à medida que x cresce, isto é, quando o gráﬁco de f
descende para a direita. Essa condição deve valer para todo x no domı́nio de f. Quando essa condição vale
somente para os valores de x num determinado intervalo, diz-se que f é decrescente naquele intervalo.
Como se pode exprimir essa condição matematicamente? Dê exemplos de funções decrescentes.
7. Uma funçãof é dita par se f (−x) = f (x) para todo x de seu domı́nio e é dita ı́mpar se f (−x) = −f (x) para
todo x de seu domı́nio. Nos dois casos, entende-se que −x está no domı́nio de f toda vez que x está. Determine
se cada uma das funções a seguir, ou nenhuma da duas, é par ou ı́mpar.
(a) f(x) = x3
(c) f(x) = x2 + x1
(e) f(x) = x (x3 + x)
(b) f(x) = | x |
(d) f(x) = x (x + 1)
(f) Trace o gráﬁco de cada uma das funções acima. Conﬁra a sua resposta usando o comando plot do Maple.
(g) Qual o aspecto geométrico caracterı́stico do gráﬁco de uma função par? E de uma função ı́mpar?
(h) O que se pode aﬁrmar a respeito da soma de funções pares? E de funções ı́mpares?
(i) O que se pode aﬁrmar a respeito do produto de funções pares? E de funções ı́mpares? E do produto de
uma função par por uma função ı́mpar?
8. A ﬁgura mostra a parte situada à direita do eixo y do gráﬁco de uma função f .
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
–1
–2
Trace o gráﬁco de f no intervalo [ −5, 5 ] se
(a) f é uma função par.
(b) f é uma função ı́mpar. Nesse caso, quanto vale f (0)?
(Veja Atividades de Laboratório:Funções e Gráficos- Atividade 3 ).
W.Bianchini, A.R.Santos
51
9. A ﬁgura a seguir representa o gráﬁco de uma função f , deﬁnida no intervalo [−4, 4], como a união dos segmentos
de reta que ligam os pontos ( −4, −1 ), ( −3, −2 ), ( −2, −2 ), ( −1, 1/2 ), ( 0, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 0 ), ( 3, −1 ), ( 4, 0 ).
2
1
–4
–2
2
4
–1
–2
(a) Quais os valores de x para os quais f (x) = 0?
(b) Em cada um dos ı́tens abaixo, esboce os gráﬁcos das funções deﬁnidas a partir de f , identiﬁcando, em cada
caso, a transformação geométrica ocorrida no gráﬁco de f . Você é capaz de justiﬁcar analiticamente a sua
resposta? (Veja Atividades de laboratório: Funções e gráficos - Atividade 1 )
i. f1 (x) = −f(x)
iv. f4 (x) = 2 f(x)
vii. f7 (x) = f(x − 1)
ii. f2 (x) = f(−x)
v. f5 (x) = f(x) + 1
viii. f8 (x) = | f(x) |
iii. f3 (x) = −f(−x)
vi. f6 (x) = f(x + 1)
ix. f9 (x) = f(| x |)
10. Trace o gráﬁco de cada uma das funções abaixo. Não marque pontos! Comece com um gráﬁco de uma função
que você conheça e então aplique, neste gráﬁco padrão, as transformações apropriadas (translações, reﬂexões,
dilatações, etc.).
1
(h) y = | x2 − 2 x |
(a) y = −1
(e) y = 2 + x+1
x
√
3
1
(b) y = −x
(i) y = x + 2
(f) y = x−3
√
(c) y = 1 + x
(j) y = 1 + 2 x + x2
(g) y = x2 + x + 1
√
3
(d) y = (x − 1) + 2
(k) y = | x |
11. O sı́mbolo [x ] é usado para indicar o maior inteiro que é menor ou igual a um número real x. Por exemplo,
[ 1 ] = 1, [ 2, 1 ] = 2, [ π ] = 3 e [ −1, 7 ] = −2. Esboce os gráﬁcos das funções abaixo no intervalo (−4, 4):
(a) y = [ x ]
(b) y = x − [ x ]
12. Quando um foguete de provas é lançado, o propelente queima durante alguns segundos, acelerando o foguete para
cima. Após a queima total do combustı́vel, o foguete ainda continua subindo durante um certo tempo, e então
inicia-se o perı́odo de queda livre de volta à Terra. Uma pequena carga explosiva arremessa um para-quedas
logo após o foguete começar a descer. O para-quedas diminui a velocidade de queda do foguete o suﬁciente para
evitar que ele se quebre ao aterrissar. O gráﬁco abaixo, representa a velocidade desenvolvida pelo foguete a
partir do seu lançamento. Use o gráﬁco para responder as perguntas abaixo:
60
40
20
0
2
4
6 t
8
10
12
–20
(a) Com que velocidade o foguete subia quando o motor parou?
(b) Durante quantos segundos o motor funcionou?
(c) Quando o foguete atingiu a sua maior altura? Qual era a sua velocidade nesse momento?
(d) Quando foi lançado o para-quedas?
(e) Com que velocidade o foguete estava caindo nessa ocasião?
52
Cap. 4. Funções e Gráficos
13. No capı́tulo Alguns Problemas do Cálculo vimos que podemos aproximar a área da região limitada pelo eixo x,
por duas retas verticais quaisquer e uma curva dada, aproximando-a pela soma das áreas de retângulos inscritos
ou circunscritos. Determine a área aproximada da região limitada pela parábola y = x2 , pelo eixo x e pelas retas
x = 0 e x = 1 em função do
(a) número de retângulos inscritos na região.
(b) número de retângulos circunscritos à região.
Sugestão: Considere, em cada caso, n retângulos de base igual a n1 e use a notação de somatório para
expressar a soma das áreas dos retângulos considerados.
(c) Repita esse exercı́cio para a região limitada pela parábola y = x2 , pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = h.
(d) Uma reta que intercepta uma parábola em dois pontos deﬁne uma região do plano chamada de setor
parabólico. Há dois milênios atrás Arquimedes descobriu um método de achar a área de um setor parabólico.
Mostre que o problema de achar a área de um setor parabólico é equivalente ao problema descrito nos ı́tens
anteriores, isto é, calcular a área da região limitada pela parábola, duas retas verticais e o eixo x. Veja
ﬁgura abaixo.
4
3
2
1
–2
–1
0
1
x
2
–1
14. No Capı́tulo Alguns Problemas do Cálculo vimos que podemos aproximar o comprimento de um arco de curva
por segmentos de reta cujas extremidades são pontos do arco em questão. Determine um valor aproximado para
o comprimento do arco de parábola y = x2 , deﬁnido no intervalo [ 0, 1 ], em função do número de subdivisões
do arco. Use, como no problema anterior, a notação de somatório.
4.10
Para você meditar: Circunferências podem ser quadradas?
A distância entre dois pontos do plano pode ser deﬁnida como uma função d que a cada par de pontos P1 e P2 associa
um número real positivo, com as seguintes propriedades:
1. 0 ≤ d(P1 , P2 ) e d(P1 , P2 ) = 0 se e somente se P1 = P2 .
2. d(P1 , P2 ) = d(P2 , P1 ) (Simetria).
3. d(P1 , P2 ) ≤ d(P1 , P3 ) + d(P3 , P2 ), onde P3 é um ponto do plano. (Desigualdade Triangular).
Essas condições somente traduzem em linguagem matemática as propriedades que intuitivamente esperamos de
uma função-distância:
1. A distância entre dois pontos deve ser sempre positiva e só deve se anular quando os pontos coincidirem.
2. A distância medida de um ponto P1 até um ponto P2 deve ser a mesma, quer essa medida seja feita de P1 a P2
ou de P2 a P1 .
3. Essa propriedade nos diz simplesmente que, dados três pontos no plano, qualquer lado do triângulo por eles
formado é menor que a soma dos outros dois. Por isso essa desigualdade é chamada desigualdade triangular.
Em que caso vale a igualdade?
Num sistema de coordenadas cartesianas, a função que usualmente empregamos para medir a distância entre dois
pontos P1 e P2 de coordenadas (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), respectivamente, é dada pela fórmula
√
d(P1 , P2 ) = d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
que é uma decorrência do teorema de Pitágoras da geometria euclidiana plana e por isso é chamada de distância
Euclidiana.
W.Bianchini, A.R.Santos
53
• Veriﬁque que a função que deﬁne a distância Euclidiana no plano satisfaz as três condições dadas acima, e
portanto é uma boa função para medir distâncias. Qual o seu domı́nio e qual a sua imagem?
Existem outras funções que satisfazem as propriedades acima e que, portanto, podem ser empregadas para medir
distâncias no plano.
• Veriﬁque que a função d1 (P1 , P2 ) = d1 ( ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = |x1 − x2 | + |y1 − y2 | pode ser empregada para
medir distâncias no plano.
Podemos deﬁnir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de um ponto ﬁxo C. O
ponto ﬁxo é chamado centro da circunferência e a distância de qualquer dos seus pontos ao centro é o raio dessa
circunferência. Usando a distância euclidiana, que é deﬁnida no Maple pelo comando distance do pacote student,
e a propriedade geométrica que caracteriza esse lugar geométrico, traçamos o gráﬁco da circunferência de centro em
(0, 0) e raio 1 e calculamos a sua equação.
>
distance([0,0],[x,y])=1;
√
x2 + y 2 = 1
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
–1–0.8
–0.4 0
–0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
–0.4
–0.6
–0.8
–1
− Usando a distância d1 e a propriedade geométrica que caracteriza a circunferência de centro em (0, 0) e raio
1, trace o gráﬁco e escreva a equação dessa circunferência. (Usando o Maple, utilize o comando abs para calcular a
distância d1 .)
− Você é capaz de explicar por que a circunferência agora é um “quadrado”?
4.11
Projetos
4.11.1
Melhor escolha (1)
Um provedor oferece aos seus associados 4 planos diferenciados de pagamento para acesso à Internet, de acordo com
a tabela abaixo:
Plano Laranja
Plano Verde
Plano Azul
Plano Vermelho
Assinatura
mensal (R$)
17,95
27,95
49,95
75,95
Tempo de acesso incluı́do
(h)
—–
15
60
150
Taxa por hora
adicional (R$)
0,73
0,53
0,35
0,35
• Qual dos planos é o mais econômico se você pretende acessar a Internet durante cerca de 45h por mês?
• Deduza, em cada caso, a tarifa paga em função das horas de acesso.
• Esboce os gráﬁcos das funções deduzidas no item anterior usando a mesma janela para os quatro planos.
• Note que a escolha do plano mais econômico varia de acordo com o número de horas de acesso à Internet. Decida
para quais faixas de uso cada um dos planos é o mais econômico.
54
Cap. 4. Funções e Gráficos
4.11.2
Contas a pagar
As companhias fornecedoras de luz, água, telefone em geral fazem a cobrança pelo fornecimento residencial segundo
faixas de consumo como descrito na tabela abaixo para o fornecimento de água:
Faixa de Consumo (m3 )
0 − 15
acima de 15 até 25
acima de 25 até 40
Tarifa (R$/m3 )
0,353
0,696
1,153
Fonte: CEDAE - Fevereiro/96
• Que valor deve ser cobrado a uma famı́lia que consumiu 38 m3 de água ?
• Compare o seu resultado com o valor real cobrado pela CEDAE: R$37, 68.
• Sabendo que, além do fornecimento de água, a CEDAE cobra uma taxa ﬁxa pelo tratamento do esgoto domiciliar,
calcule qual a taxa de esgoto cobrada no caso acima.
• Explicite a tarifa cobrada em função da quantidade de água consumida e esboce seu gráﬁco.
O imposto de renda também é cobrado de acordo com a faixa de renda das pessoas fı́sicas com base na tabela a
seguir:
Faixas de renda (R$ )
Até 8803,44
Acima de 8803,44 até 171666,30
Acima de 17166,30 até 158457,39
Acima de 158457,39
Alı́quota (%)
Isento
15 %
26,6 %
35 %
Parcela a deduzir (R$ )
—1320,52
3313,45
16622,63
Fonte: Receita Federal - Ano base 1995
• Você é capaz de explicar o que signiﬁca a parcela a deduzir nesta tabela ?
• Calcule, explicitamente, o imposto cobrado em função da renda.
• Complete, com as parcelas a deduzir, a tabela anual do Imposto de Renda (1991).
Faixas de renda (*)
Até 328628,00
Acima de 328628,00 até 1095408,00
Acima de 1095408,00
Alı́quota (%)
isento
10 %
25 %
Parcela a deduzir (*)
—–
..........
..........
(*) Em unidades monetárias da época.
4.11.3
Melhor escolha (2)
Um produtor teatral precisa decidir se monta sua próxima peça num teatro da Zona Sul do Rio de Janeiro ou se opta
por um teatro na Zona Norte. Para tomar tal decisão, ele levantou os seguintes dados:
Investimento Inicial
(cenários, ﬁgurinos, ensaios,
propaganda, administracão,etc.)
Despesas Semanais
(aluguel do teatro, salários,aluguel
de luzes e som, pagamento de
royalties e comissões, etc.)
Capacidade do teatro
Preço do Ingresso
Teatro Zona Sul
Teatro Zona Norte
R$ 129 500,00
R$ 44 000,00
R$ 7 025,00
200 lugares
R$ 15,00
R$ 1 750,00
100 lugares
R$ 10,00
A peça será apresentada durante 6 dias na semana e estima-se que seja possı́vel vender 75% dos ingressos em ambos
os teatros.
Seja Y1 o lucro ou a perda da produção na Zona Sul e seja Y2 o lucro ou perda da produção na Zona Norte.
• Expresse Y1 e Y2 como função do número X de semanas em que a peça permanece em cartaz.
W.Bianchini, A.R.Santos
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• Calcule, em cada caso, quantas semanas a peça deverá permanecer em cartaz para que o produtor não tenha
prejuı́zo.
• Refaça o cálculo do item anterior se for possı́vel vender 100 % dos ingressos.
• Suponha que em ambas as produções seja possı́vel vender C % dos ingressos semanais. Em cada um dos casos
estudados determine:
– o número X de semanas, em que a peça deverá permanecer em cartaz para que a produção não dê prejuı́zo,
como função de C.
– o menor valor de C para que não haja prejuı́zo?
Seja P1 o lucro ou prejuı́zo da produção na Zona Sul, X semanas após a noite de estréia, expresso como uma
porcentagem do investimento inicial. Seja P2 essa mesma porcentagem para a produção na Zona Norte.
• Expresse P1 e P2 em função de X (considere que 75% dos ingressos são vendidos).
• Esboce os gráﬁcos de P1 e P2 na mesma janela.
• Discuta o que acontece com P1 e P2 quando X aumenta.
• P1 será maior que P2 para algum valor de X ? O que se pode concluir daı́?