Fatoriais 2k
Introdução
Temos k fatores, todos eles com dois níveis. Os níveis podem ser
quantitativos (doses de nitrogênio, temperaturas, tempo) ou qualitativos (duas
variedades de aveia, dois locais de cultivo). Uma repetição completa tem 2k unidades
experimentais.
Como esses experimentos só tem dois níveis de cada fator, eles nos dão o
menor número de tratamentos, assim, eles são bastante utilizados na seleção de
fatores importantes e que serão utilizados num experimento futuro.
Fatoriais 22
Como um exemplo, considere um experimento com 2 concentrações de um
antioxidante (TBHQ) e dois tempos. Fator A  concentrações  15% e
25%. Fator B  tempo  10 min e 20 min.
1
Outro exemplo (Montgomery, pág. 291). Experimento para verificar o efeito da
concentração de um reagente e a quantidade de um catalisador na produção de uma
reação química. Fator A: reagente  níveis = 15% e 25%. Fator B: catalisador 
níveis = 2 “pounds” e 1 “pound”. Obs. 1 pound = 0,454 kg.
Fator
A
+
+
Tratam en tos
B
+
+
A
A
A
A
15,
25,
15,
25,
B
B
B
B
1
1
2
2
I
28
36
18
31
R ep etições
II
25
32
19
30
Totais
III
27
32
23
29
80
1 00
60
90
O efeito AB representa a interação entre o fator A e o fator B. O menor e o maior
nível de um fator podem ser representados pelos sinais ‘-’ e ‘+’, respectivamente.
Graficamente, este delineamento é usualmente representado por um quadrado.
Os 4 tratamentos são representados por letras minúsculas: (1), a, b, ab. Assim, (1), é
o tratamento correspondente aos menores níveis de A (-) e B (-); a, corresponde ao
nível alto de A (+) e baixo de B (-); b, corresponde ao nível alto de B (+) e baixo de
A (-); ab, corresponde a combinação dos níveis altos de A (+) e B (+).
2
ab=90
b=60
+
B
-
(1)=80
-
a=100
+
A
Efeitos principais de A e de B e da interação AB.
Podemos calcular esses efeitos por meio do quadrado acima. O efeito de A pode ser
determinado como a diferença na resposta média dos dois tratamentos do lado direito
do quadrado e dos dois tratamentos do lado esquerdo, isto é:


A  yA  yA 
ab  a
2n

b  (1 )
2n

ab  a  b  (1 )
2n
3
Efeito de B:

B

B
B  y  y 
ab  b
2n

a  (1 )
2n

ab  b  a  (1 )
2n
Efeito da interação: é a média dos tratamentos da diagonal (da direita para a esquerda,
iniciando por ab) menos a média dos tratamentos da diagonal (da esquerda para a
direita).
ab  (1 )
ab  (1 )  a  b
ab
AB 
2n

2n

2n
Outra maneira de se encontrar esses efeitos:
S ina is algéb ricos para calc ula r os efe itos num fatoria l 2
T rata m e ntos
E fe itos fato ria is
I
A
B
(1)
+
a
+
+
b
+
+
ab
+
+
+
2
AB
+
+
Produto (A x B)
I = corresponde a uma constante geral do experimento.
4
Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é dado por: -(1)+a-b+ab. E
assim para os demais.
Para os dados do experimento, temos:
A
1
2 (3)
( 90  100  60  80 )  8 , 33
B 
1
2 (3)
( 90  60  100  80 )   5 , 00
AB 
1
2 (3)
( 90  80  100  60 )  1, 67
Interpretação: o efeito de A é positivo; isto sugere que aumentando a concentração do
reagente de 15% para 25%, aumenta a produção. O efeito de B é negativo; sugere que
aumentando-se a qtidade do catalisador, diminui a produção. O efeito da interação é
pequeno em relação aos efeitos principais (pode ser desprezada).
5
Análise de variância
y ijk
 i  1,2,..., a

   A i  B j  ( AB )ij   ijk  j  1,2,..., b
 k  1,2,..., n

As somas de quadrados dos efeitos de A, B e de AB, são obtidas elevando-se ao
quadrado o contraste que estima o efeito de A, B e de AB, dividindo-se pelo produto
entre o número de observações em cada total no contraste e a soma dos quadrados dos
coeficientes do contraste.
6
SQ A 
[ ab  a  b  ( 1 )]
SQ B 
[ ab  b  a  ( 1 )]
2
4n
SQ AB 
2
4n
[ ab  ( 1 )  a  b ]
SQ Total 
50
4(3)
 208 ,33

(  30 )
2
2
4n
2
2
4 (3)

2
10
4 (3)
n

i 1
2

y
2
ijk

 75 , 00
 8 ,33
2
y ...
4n
 9398 , 00  9075 , 00  323 , 00
j 1 k 1
SQ Re síduo  SQ Total  SQ A  SQ B  SQ AB  31 ,34
A n álise d e v ariân cia do exp erim ento co m reagente e catalisad or (m od elo
fixos)
C ausas d e
Som a de
G rau s d e
Q u ad rados
F0
v ariação
q uad rado s
lib erd ad e
m édios
A
2 08 ,33
1
2 08 ,33
5 3 ,1 5
B
7 5 ,0 0
1
7 5 ,0 0
1 9 ,1 3
AB
8 ,33
1
8 ,33
2 ,13
R esíduo
3 1 ,3 4
8
3 ,92
T o tal
3 23 ,00
11
d e efeitos
N ív el
d escritivo
0 ,00 01 *
0 ,00 24 *
0 ,18 26 N S
7
Interpretação: Os efeitos principais de A e de B são significativos,
enquanto o efeito da interação não foi significativo (Não há
necessidade de desdobrar a interação).
O modelo de regressão
Como os dois fatores são quantitativos, além disso, o efeito da interação não foi
significativo, o modelo de regressão fica:
y   0   1 x1   2 x 2  
(  12 x 1 x 2
não esta no modelo )
Onde xi é uma variável codificada, da seguinte forma.
x1 
Re ag  (Re ag baixo  Re ag alto ) / 2
x2 
Catal  ( Catal
(Re ag alto  Re ag baixo ) / 2
( Catal
alto
baixo
 Catal
 Catal
baixo
alto
)/ 2
)/ 2


Re ag  ( 15  25 ) / 2
( 25 15 ) / 2
Catal  ( 1  2 ) / 2
( 2 1 ) / 2


Re ag  20
5
Catal 1 , 5
0 ,5
Assim, x1 assume os valores: x1=-1 e x1=1; x2 assume os valores: x2=-1 e x2=1.
Os ’s são os parâmetros do modelo de regressão, desconhecidos e que serão
estimados (método de mínimos quadrados).
8
Cálculo dos ’s no fatorial 2k
ˆ 0 
330
12
 27 , 500
ˆ 1 
8 , 33
 4 ,165
ˆ 2 
2
 5 , 00
2
[-1;1]
  2 , 500
A estimativa de 0 é a média geral do experimento; as estimativas de 1 e de 2 é a
metade do efeito correspondente. A razão disso é que o coeficiente de regressão
mede a mudança em y quando ocorre a mudança de uma unidade em x. Aqui, a
estimativa é baseada na mudança de duas unidades (-1 para 1). O modelo fica:
yˆ  27 , 5  4 ,165 x1  2 , 5 x 2
9
Resíduos e verificação do ajuste do modelo
Resíduo:
e i  y i  yˆ i
Saída do SAS:
Resíduo = valores observados-valores estimados
Valores estimados e resíduos do modelo de regressão
OBS
CATALISA
REAGENTE
REP
YIELD
ESTIMADO
RESIDUOS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
28
25
27
36
32
32
18
19
23
31
30
29
25.8333
25.8333
25.8333
34.1667
34.1667
34.1667
20.8333
20.8333
20.8333
29.1667
29.1667
29.1667
2.16667
-0.83333
1.16667
1.83333
-2.16667
-2.16667
-2.83333
-1.83333
2.16667
1.83333
0.83333
-0.16667
y
ŷ
10
Os resíduos estão aleatoriamente
distribuídos. Os gráficos estão
satisfatórios. As nossas
conclusões são válidas.
11
Superfície de resposta
O modelo de regressão com os níveis naturais dos fatores é dado por:
yˆ  27 ,5  4 ,165

reag  20
5
  2 ,5 
Catal 1 , 5
0 ,5

yˆ  18 ,33  0 ,8333 Re ag  5 ,00 Catal
12
Observamos no gráfico de contornos, que a produção aumenta quando a concentração
do reagente aumenta e a quantidade do catalisador diminui. Freqüentemente, usa-se a
superfície ajustada para verificar a direção de melhoria do processo.
Fatoriais 23
Exemplo: o objetivo é produzir um pão com farelo de aveia. Os fatores em estudo
foram:
1) porcentagem de substituição de farinha de trigo pelo farelo de aveia (Fator A), em
dois níveis, 10% e 20%;
2) quantidade de gordura (Fator B), em dois níveis, 2,5g e 3,0g;
3) fermento (Fator C), em dois níveis, 3g e 4g.
8 tratamentos
Exemplo (Montgomery): na fabricação do produto: água com gás. O objetivo é
obter maior uniformidade no enchimento das garrafas. Teoricamente a máquina
enche corretamente as garrafas, mas na prática existem variações e deseja-se
saber quais são as possíveis fontes de variabilidade. As variáveis controladas
no estudo foram: porcentagem de carbono (Fator A), pressão de operação
(Fator B) e velocidade de operação (Fator C).
13
Tabela: dados experimentais
Carbono
(A)
10
10
10
10
20
20
20
20
Pressão
(B)
25
25
30
30
25
25
30
30
Velocidade
(C)
200
250
200
250
200
250
200
250
Repetições
I
-3
-1
-1
1
0
2
2
6
Totais
II
-1
0
0
1
1
1
3
5
-4 = (1)
-1 = c
-1 = b
2 = bc
1=a
3 = ac
5 = ab
11 = abc
Desvios da altura de
enchimento desejado
14
Geometricamente, esse delineamento é representado por um cubo.
bc
abc
Tratamentos:
(1)
a
b
+
c
ac
b
ab
+
ab
c
ac
bc
abc
-
(1)
a
-
+
Fator A
15
Tabela 7-3. Tabela com sinais de + e de - formando os contrastes para estimar os efeitos
T rata m e ntos
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
I
+
+
+
+
+
+
+
+
S ina is algéb ricos para calc ula r
A
B
AB
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
os efe itos no fatoria l 2
C
AC
BC
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
ABC
+
+
+
+
Propriedades importantes:
1) Com excessão da 1a. coluna, todas as demais tem o mesmo número de sinais
positivos e negativos ;
2) A soma dos produtos dos sinais em quaisquer duas colunas é zero;
3) A coluna I multiplicada por qualquer outra coluna deixa esta inalterada, isto é, a
coluna I é um elemento identidade.
4) O produto de qualquer duas colunas produz uma coluna da tabela, por exemplo, A x
B = AB, e AB x B = AB2 = A
16
Os expoentes nos produtos são formados usando em aritmética o módulo 2, isto
é, o expoente só pode ser zero ou um; se ele é maior do que um, ele é reduzido
por múltiplos de dois até que o resto seja zero ou um.
Módulo: Mod(n;d)=n-d.inteiro(n/d).
Estimação dos efeitos dos fatores
A
1
4n
Exemplo: Mod(3;2)=3-2.inteira(3/2)=3-2=1.
[ a  (1)  ab  b  ac  c  abc  bc ]
 18 [1  (  4 )  5  (  1)  3  (  1)  11  2 ]
 3 , 00
De maneira análoga, obtemos os seguintes valores para os demais efeitos
B  2 , 25
C  1, 75
AB  0 , 75
AC  0 , 25
BC  0 ,50
ABC  0 ,50
Os maiores efeitos são verificados para o fator A=3,00, fator B=2,25, fator
C=1,75 e para a interação AB=0,75, porém esta última bem inferior aos efeitos
principais.
17
A soma de quadrados para os efeitos são facilmente calculados, já que cada
efeito tem 1 grau de liberdade, correspondente ao contraste. No fatorial 23
com n repetições, a soma de quadrados para qualquer efeito é dada por:
SQ 
( Contraste )
2
8n
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
Model
Error
Corrected Total
7
8
15
73.00000000
5.00000000
78.00000000
10.42857143
0.62500000
R-Square
0.935897
C.V.
79.05694
Root MSE
0.79056942
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
CARBONO
1
36.00000000
36.00000000
57.60
PRESSAO
CARBONO*PRESSAO
1
1
20.25000000
2.25000000
20.25000000
2.25000000
32.40
3.60
VELOCIDA
CARBONO*VELOCIDA
PRESSAO*VELOCIDA
CARBON*PRESSA*VELOCI
1
1
1
1
12.25000000
0.25000000
1.00000000
1.00000000
12.25000000
0.25000000
1.00000000
1.00000000
19.60
0.40
1.60
1.60
Source
1
H 0 : β1  β 2  β 3  β12  β13  β 23  β123  0
F Value
Pr > F
16.69 1
0.0003
FILLHEIG Mean
1.00000000
Pr > F
0.0001 *
0.0005 *
0.0943
0.0022 *
0.5447
0.2415
0.2415
18
Modelo de regressão e superfície de resposta
O modelo de regressão, a ser estimado, com as variáveis codificadas é dado por:



ˆ
yˆ  β 0  β1 x1  β 2 x 2  β 3 x 3
Onde x1, x2 e x3, representam os fatores A, B e C, respectivamente. Através do programa SAS,
estimamos os parâmetros da regressão.
yˆ  1 ,00  1 ,50 x1  1 ,125 x 2  0 ,875 x 3
19
Modelo de regressão nas variáveis originais
yˆ   23 ,750  0 ,300 * C  0 ,450 * P  0 ,035 * V
20
É desejável que a resposta seja próxima de zero. Para velocidade (Fator C) no nível 21
alto
(250), há várias combinações de pressão e carbono que satisfazem esse objetivo.
Fatorial 2k com 1 repetição
Um problema nos experimentos fatoriais é que quando o número de fatores aumenta,
o número de tratamentos aumenta rapidamente, exemplo, 25= 32 e para um fatorial
26=64 tratamentos.
Em algumas situações, não existe disponibilidade de material experimental, para que
se possa fazer as repetições dos tratamentos.
Sem repetições não é possível estimar o erro experimental ou erro puro. Uma
abordagem, para esse tipo de experimento (sem repetição), é assumir que algumas
interações de maior ordem são desprezíveis e, combinar os seus quadrados médios
para estimar o erro experimental.
A sugestão é construir o gráfico normal de probabilidades com as estimativas dos
efeitos dos tratamentos. Os efeitos que são desprezíveis são distribuídos
normalmente, com média 0 e variância 2 e tendem a cair próximos à linha reta no
gráfico, ao passo que os efeitos importantes (significativos) terão média diferente de 0
e se distanciarão da reta. Assim, o modelo conterá somente os efeitos significativos
(efeitos diferente de zero), baseados no gráfico normal de probabilidades. Os efeitos
não significativos serão combinados para estimar o erro experimental.
22
Exemplo (Montgomery, página 319, 4 ed.).
Fatorial 24 com uma repetição. Produção de um produto químico num recipiente sob
pressão. Esse experimento foi realizado com fatores que provavelmente influenciam a
taxa de filtração do produto. Os quatro fatores colocados em estudo foram:
A: temperatura
B: pressão
C: concentração de formaldeído
D: taxa de agitação
Os 16 experimentos foram realizados em ordem aleatória. O engenheiro está
interessado em maximizar a taxa de filtração. O processo atual apresenta uma
taxa de filtração em torno de 75 gal/h. O processo também utiliza o fator C no
nível alto. Deseja-se reduzir a concentração de formaldeído tanto quanto
possível, porém, isso causa uma diminuição na taxa de filtração.
23
Tabela do experimento com taxa de filtração (matriz do delineamento)
N ú m ero do
trata m e nto
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Fa tores
A
+
+
+
+
+
+
+
+
B
+
+
+
+
+
+
+
+
R ótulo
C
+
+
+
+
+
+
+
+
D
+
+
+
+
+
+
+
+
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
T a xa de
filtração
45
71
48
65
68
60
80
65
43
100
45
104
75
86
70
96
24
4
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
A
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
+
+
+
+
C
+
+
+
+
+
+
+
+
T abe la de co ntrastes do fatoria l 2
AC
BC
ABC
D
AD
BD
+
+
+
+
-
+
+
+
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
+
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
-
-
-
-
+
+
-
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ABD
-
CD
+
ACD
-
BCD
-
ABCD
+
-
+
+
+
+
-
-
+
-
+
+
-
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
-
+
+
-
+
-
-
-
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
+
-
+
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
Estimativas dos efeitos :
A  18 [  (1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc  d  ad  bd  abd  cd  acd  bcd  abcd ]
 81 [  45  71  48  65  68  60  80  65  43  100  45  104  75  86  70  96 ]

1
8
(173 , 00 )
 21,625
25
Os valores dos demais efeitos são:
B  3,125
C  9,875
AB  0,125
ABC  1,875
D  14,625
AC  -18,125
ABD  4,125
AD  16,625
BC  2,375
ACD  -1,625
BD  -0,375
BCD  -2,625
CD  -1,125
ABCD  1,375
26
Interpretação: todos os efeitos que caem ao longo da linha são não significativos
(desprezíveis), ao passo que os efeitos que estão longe da linha reta são significativos
(A, AD, D, C, AC).
Como as interações AC e AD foram significativas, não faz muito sentido
interpretarmos os efeitos principais de A, C e D.
100
Concentração
100
D+
Taxa
D-
C+
70
70
C-
40
40
+
+
Fator A
Fator A = temperatura
Interpretação: a interação AC indica que o efeito da temperatura é muito baixo para
alto nível de concentração de formaldeído e, muito alto para baixo nível de
concentração. A interação AD indica que D tem pouco efeito para baixo nível de
temperatura e, tem grande efeito para alta temperatura. Parece que a melhor taxa de
filtração é obtida para alto nível de A e D e baixo nível de C.
-
27
Projeto de experimento
Como o fator B (pressão) e as interações envolvendo o fator B, não foram
significativas, podemos desprezá-lo e considerar o delineamento como um
fatorial 23, considerando os fatores A, C e D, com duas repetições.
Isto pode ser facilmente comprovado, olhando-se para as colunas A, C e D da
tabela dos dados (matriz do delineamento), e verificar que aquelas colunas
formam duas repetições de um experimento fatorial 23.
Como, agora, temos duas repetições, vamos ter uma estimativa do erro
experimental. A ANOVA do experimento fatorial 23 é dada na tabela a seguir.
Em geral, se temos um experimento fatorial 2k, e se h (h<k), fatores são não
significativos, então os dados originais correspondem a um experimento fatorial
completo com 2 níveis nos (k-h) fatores significativos com 2h repetições.
28
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
Error
Corrected Total
7
8
15
5551.43750000
179.50000000
5730.93750000
793.06250000
22.43750000
35.35
0.0001
R-Square
C.V.
Root MSE
RATE Mean
0.968679
6.760855
4.73682383
70.06250000
DF
Type I SS
Mean Square
F Value
Pr > F
1
1
1
1
1
1
1
1870.56250000
390.06250000
1314.06250000
855.56250000
1105.56250000
5.06250000
10.56250000
1870.56250000
390.06250000
1314.06250000
855.56250000
1105.56250000
5.06250000
10.56250000
83.37
17.38
58.57
38.13
49.27
0.23
0.47
0.0001
0.0031
0.0001
0.0003
0.0001
0.6475
0.5120
Source
A
C
A*C
D
A*D
C*D
A*C*D
Parameter
Estimate
T for H0:
Parameter=0
INTERCEPT
A
C
A*C
D
A*D
C*D
A*C*D
70.06250000
10.81250000
4.93750000
-9.06250000
7.31250000
8.31250000
-0.56250000
-0.81250000
59.16
9.13
4.17
-7.65
6.18
7.02
-0.48
-0.69
Pr > |T|
Std Error of
Estimate
0.0001
0.0001
0.0031
0.0001
0.0003
0.0001
0.6475
0.5120
1.18420596
1.18420596
1.18420596
1.18420596
1.18420596
1.18420596
1.18420596
1.18420596
29
Diagnóstico do modelo
De acordo com os resultados da ANOVA, foram significativos os efeitos de
A=21,625, C=9,875, D=14,625, AC=-18,125 e AD=16,625.
As estimativas das taxas de filtração (para os efeitos significativos), são dadas
pelo modelo de regressão:
21 , 625
9 , 875
14 , 625
18 ,125
16 , 625
yˆ  70 , 06  ( 2 ) x1  ( 2 ) x 3  ( 2 ) x 4  ( 2 ) x1 x 3  ( 2 ) x1 x 4
(as estimativas dos parâmetros do modelo estão no output do SAS)
Onde 70,06 é a média geral; e as variáveis codificadas x1, x3 e x4 possuem os valores
-1 e +1. O valor predito para taxa no tratamento (1) vale:
yˆ  70 , 06  10 ,81 (  1)  4 ,94 (  1)  7 ,31 (  1)  9 , 06 (  1)(  1)  8 ,31 (  1)(  1)
 46,22
30
Os valores observados, preditos e resíduos para as 16 observações são:
OBS
D
C
B
A
RATE
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
45
71
48
65
68
60
80
65
43
100
45
104
75
86
70
96
PREDITO
46.250
69.375
46.250
69.375
74.250
61.125
74.250
61.125
44.250
100.625
44.250
100.625
72.250
92.375
72.250
92.375
RESIDUO
-1.250
1.625
1.750
-4.375
-6.250
-1.125
5.750
3.875
-1.250
-0.625
0.750
3.375
2.750
-6.375
-2.250
3.625
31
Os pontos estão aleatoriamente distribuídos; considera-se que as suposições do
modelo estão satisfeitas.
32
Superfície de resposta
A superfície de regressão é gerada pelo modelo de regressão:
21 , 625
9 , 875
14 , 625
18 ,125
16 , 625
yˆ  70 , 06  ( 2 ) x1  ( 2 ) x 3  ( 2 ) x 4  ( 2 ) x1 x 3  ( 2 ) x1 x 4
D=1 ou x4=1
33
Para temperatura, x1=1:
Os gráficos indicam que para maximizar a taxa de filtragem, as variáveis A (x1) e D
(x4) devem ser utilizadas nos seus níveis altos. Os gráficos indicam uma relativa
estabilidade para a variável C (x3). Os mesmos resultados foram verificados na
interpretação dos gráficos da interação.
34
Adição de pontos centrais no fatorial 2k
Existem muitas situações em que a função de resposta é adequadamente
ajustada por um modelo de segunda ordem. O modelo sob consideração é:
k
y  0 

j 1
 jxj 

i j
k
 ij x i x j 

 jj x j  
2
j 1
Onde jj representa o efeito quadrático. Essa equação é chamada de modelo de
superfície de resposta de segunda ordem.
Procedimento:
Vamos fazer algumas repetições de certos pontos no fatorial 2k com o objetivo de
ajustar o modelo de segunda ordem e estimar o erro experimental.
Método:
Adicionar pontos centrais no fatorial 2k. Vamos fazer n repetições nos pontos xi=0
(i=1,2,...,k). Estamos assumindo que os k fatores são quantitativos.
35
A soma de quadrados do efeito de curvatura é dada por:
SQ efeito
da curvatura de 2o. grau

n F nC ( y F  yC )
2
n F  nC
Onde, em geral, nF é o número de pontos do fatorial, nC é o número de repetições do
ponto central. Essa soma de quadrados tem 1 grau de liberdade.y(barra)F é a média dos
tratamentos dos pontos fatoriais. Y(barra)C é a média das repetições no ponto central.
Teste do efeito de curvatura de segundo grau
As hipóteses em teste são:
k
H0 : 
j 1
k
jj
0
vs
Ha : 
jj
0
j 1
Para testar essas hipóteses compara-se a SQefeito da curvarutura de 2o. Grua com o quadrado
médio residual.
Se os pontos fatoriais só tem uma única repetição, usamos os nC pontos centrais para
obter uma estimativa do erro com nC-1 graus de liberdade.
36
Exemplo: uma engenheira química está estudando a produção de um processo. As
variáveis de interesse são: tempo e temperatura de reação. A engenheira usou um
fatorial 22 com uma única repetição de cada combinação do fatorial aumentado com 5
pontos pontos centrais. O desenho e os dados são dados na figura.
temperatura
160 1
40.0
41.5
40.3
40.5
155 0
40.7
40.2
40.6
150 -1
39.3
40.9
-1
0
1
30
35
40
tempo
37
Cálculo do quadrado médio do resíduo
  yi  y 
QM
erro

pontos centrais
nC  1
5
2

2


y

40
,
46
 i
i 1

4
0 ,1720
 0 , 043
4
A n álise d e v ariân cia do p ro cesso d e p ro d u ção - ex em p lo 7 -5 (liv ro M o n tgo m ery )
V ariaçõ es n o
Som a de
G rau s d e lib erd ad e Q u ad rad o s m éd io s
F0
m o d elo
q u ad rad o s
T em p o
2 ,4 0 25
1
2 ,4 0 25
5 5 ,8 7
T em p eratu ra
0 ,4 2 25
1
0 ,4 2 25
9 ,8 3
T em p o * tem p eratu ra
0 ,0 0 25
1
0 ,0 0 25
0 ,0 6
E feito q u ad rático
0 ,0 0 27
1
0 ,0 0 27
0 ,0 6
E rro
0 ,1 7 20
4
0 ,0 4 30
T o tal
3 ,0 0 22
8
V alo r p
0 ,0 0 17 *
0 ,0 3 50 *
0 ,8 1 85 N S
0 ,8 1 85 N S
Cálculo da soma de quadrados do efeito quadrático
SQ 
( 4 )( 5 )(  0 , 035 )
45
2
 0 , 0027
Interpretação: o efeito da interação é não significativo; efeito significativo de
tempo e temperatura. O efeito quadrático é não significativo, isto é a hipótese:
H0:11 + 22=0 não pode ser rejeitada. Portanto, um modelo de primeira ordem é
indicado.
38
Vamos assumir um modelo de regressão de 2a. ordem
y   0   1 x 1   2 x 2   12 x 1 x 2   11 x 1   22 x 2  
2
2
Não podemos estimar os parâmetros nesse modelo porque existem 6 parâmetros para
serem estimados e o fatorial 22 mais o ponto central tem apenas 5 observações
independentes.
Solução:
- aumentar o fatorial 22 com pontos axiais. Veja figura (a)
O desenho resultante chama-se delineamento central composto.Pode-se ajustar um modelo
de segunda ordem (quadrático). Na figura (b) temos um DCC para três fatores.
x2
x3
x2
x1
Tem 8+6+nC
pontos (3nC 5)
Dois fatores. Fig (a)
Três fatores. Fig. (b)
39