ME623A
Planejamento e Pesquisa
5. Experimentos Fatoriais
1. Experimento Fatorial com Dois Fatores
2. Experimento Fatorial Generalizado (k
Fatores)
3. Experimento Fatorial 2k
4. Única Replicação de Um Fatorial 2k
5. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p
Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante
Vamos voltar no exemplo do refrigerante
 A idéia é controlar três fatores durante
o processo de engarrafamento:
1. Porcentagem de CO2: 10 e 14%
(antes tínhamos 12% também)
2. Pressão da máquina: 25 e 30 psi
3. Velocidade da linha de produção: 200 ou 250
 A varíavel resposta é do desvio da altura do
líquido na garrafa em relação ao valor nominal
 A engenheira decidiu rodas duas replicações para
cada tratamento

Fatoriais 23 - Exemplo Refrigerante

Os dados estão na tabela abaixo
Pressão (B)
CO2
(A)
10
14
25
Velocidade(C)
30
Velocidade (C)
200
250
200
250
−3
−1
5
4
−1
0
7
6
−1
0
7
9
1
1
10
11
Exemplo – Refrigerante

Também podemos escrever os dados assim:
CO
2
(A)
−
+
−
+
−
+
−
+
Fator
Pressã Velocidad
o
e
(B)
(C)
Replicação
I
II
Tratament
o
−
−
+
−
−
−
−3
5
−1
−1
4
0
(1) = −4
a= 9
b = −1
+
−
−
+
7
−1
9
0
ab = 16
c = −1
−
+
+
+
+
+
7
1
10
6
1
11
ac = 13
bc = 2
abc = 21
Exemplo – Refrigerante

Visualização dos dados no cubo:
bc = 2
c = −1
ac = 13
b = −1
(1) = −4
abc = 21
a=9
ab = 9
Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

Tabela dos sinais para calcular os efeitos
Efeito Fatorial
Tratament
o
(1) = −4
a = 9
b = −1
ab = 16
c = −1
ac = 13
bc = 2
abc = 21
I
A
B
AB
C
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
−
−
−
−
+
+
+
+
AC BC ABC
+
−
+
−
−
+
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

De maneira geral, o cálculo dos efeitos num fatorial
2k é feito da seguinte forma:

Nesse exemplo, os efeitos principais são:
Fatoriais 23 – Exemplo Refrigerante

Cálculo das interações de 1ª ordem (dois a dois):

E a interacão ABC:
Fatoriais 23 – Análise de Variância

As SS num fatorial 2k seguem a seguinte fórmula:

No exemplo anterior:
Fatoriais 23 – Análise de Variância

Por fim, temos:
e

Resumo dos Efeitos Estimados
Exemplo Refrigerante

Tabela ANOVA:
A única interação significante é a interação entre
CO2 e pressão (p-valor = 0.0372)
 Todos os efeitos principais são significantes a 1%

Significância dos Efeitos – além da ANOVA

A ANOVA é o método formal para determinar se os
efeitos de um fator são não nulos
Existem outros métodos que podem ser úteis
Relembrando, o efeito de um fator é estimado por:

A variância do efeito é:


Significância dos Efeitos – além da ANOVA

Isso porque cada contraste é uma combinação linear de
2k totais de tratamentos, e cada total consiste de n
observações:

Então o erro padrão (EP) do efeito é:

Com isso, podemos calcular IC para cada efeito:

onde 2k(n – 1) são os graus de liberdade do erro
Vamos ilustrar esse método com o exemplo do
refrigerante
Significância dos Efeitos – além da ANOVA

Da tabela ANOVA temos que MSE = 0.813 com 8 graus
de liberdade
Então o erro padrão (EP) do efeito é:

Sendo t0.025, 8 = 2.31, temos os seguintes IC de 95%:

• Essa análise indica
que todos os efeitos
principais (A, B e C)
e a interação AB são
importantes, pois o
zero não está
contido no IC
Delineamento Fatorial 2k geral

Os métodos que vimos até aqui podem ser
generalizados para o caso 2k

Temos k fatores com dois níveis cada. E ainda:
◦ k efeitos principais
◦
interações dois a dois
◦
interações três a três
◦ … até uma interação com k fatores

Por exemplo, num fatorial 24 os tratamentos na ordem
padrão são: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc, d, ad, bd, cd, abd,
acd, bcd, abcd
Delineamento Fatorial 2k geral
Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Estimar os efeitos
Formar o modelo inicial
Faça os testes estatísticos
Refinar o modelo
Análise dos resíduos
Interpretar os resultados
Quando o número de fatores é alto, mostrar a tabela
de sinais não é viável.
 Em geral, podemos determinar o contraste para
AB…K expandindo

ContrasteAB...K = (a ±1)(b ±1)...(k ±1)
Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k

Quando obtemos “1” substituir por “(1)”
O sinal deve ser negativo se o fator é incluso no efeito
e positivo se não.

Exemplo: Fatorial 23

ContrasteAB = (a -1)(b -1)(c +1)
= abc + ab + c + (1) - ac - bc - a - b
Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k

Para um fatorial 25, o contraste ABCD é
ContrasteAB = (a -1)(b -1)(c -1)(d -1)(e +1)
= abcde + cde + bde + ade +... - bcde
Etapas na Análise de Variância em fatorial 2k

Cálculo dos efeitos e SS: