Fatoriais com 3 níveis
Experimentos Fatoriais 3k
Notação e Motivação: um experimento com k fatores, onde cada fator tem 3 níveis,
por exemplo, temperatura (30, 35, 40), tempo (3, 5, 7) e pH (5, 6, 7). Temos um fatorial
33, onde k=3 fatores e p=3 níveis.
Representação dos níveis dos fatores:
0 para o menor nível;
1 para o nível intermediário;
2 para o maior nível .
Quando os fatores são quantitativos, frequentemente denotamos os níveis
baixo, intermediário e alto, por -1, 0 e 1.
Cada tratamento é indicado por k dígitos, onde o primeiro dígito indica o nível do fator A,
o segundo dígito indica o nível do fator B, e assim por diante. Exemplo, para o 3 3, temos
27 tratamentos, indicados por:
1
122
•
112
022
012 •
•
•
002
021
011 •
121
•
111
202
221
•
• 211
101
1
2
001
0
020
•
010 •
1
0
• 212
102
2
Fator C
222
120
•
110
201
220
•
•
000
100
1
0
• 210
200
2
Fator A
Modelo de regressão:
y  0  1x1  2 x2  3 x3  12 x1x2  13 x1x3  23 x2 x3  11x12  22 x22  33 x32  
x1 representa o fator A, x2 representa o B e x3 representa o fator C. Observe que a inclusão do terceiro nível
permite modelar até o efeito quadrático da resposta.
2
O delineamento 3k permite que se estude o efeito da curvatura na função resposta.
Entretanto, dois pontos devem ser considerados:
1- os delineamentos de superfície de resposta (que serão vistos) são alternativas superiores;
2- O delineamento 2k, aumentado com pontos centrais(já discutido), é uma excelente
maneira de obter uma indicação de curvatura. Se a curvatura é importante, o delineamento
com dois níveis pode ser aumentado com pontos axiais para obter um delineamento central
composto. Esta estratégia sequencial de experimentação é mais eficiente do que 3k com
fatores quantitativos.
Fatorial 33
Três fatores (k=3): temperatura, tempo e pH; cada fator em 3 níveis, por exemplo, níveis
de temperatura: 30, 35, 40; níveis de tempo:3, 5, 7; níveis de pH: 5, 6, 7. Os 27
tratamentos são mostrados na figura página 2.
Esquema da análise de variância:
Variações no modelo
Temperatura
Tempo
Temperatura x Tempo
PH
Temperatura x pH
Tempo x pH
Temperatura x Tempo x pH
Erro
Total
Graus de liberdade
2
2
4
2
4
4
8
3
3 (n-1)
n33-1
3
Se os fatores são quantitativos e igualmente espaçados, os efeitos principais podem ser
particionados em componentes lineares e quadráticos, cada com 1 grau de liberdade.
Temperatura
Efeito linear ( 1 grau de liberdade)
Efeito quadrático (1 grau de liberdade)
Interação com dois fatores, por exemplo: Temperatura x Tempo:
Linear de temperatura x linear de tempo (1 g.l.)
Temperatura x Tempo
Linear de temperatura x quadrático de tempo (1 g.l.)
Quadrático de temperatura x linear de tempo (1 g.l.)
Quadrático de temperatura x quadrático de tempo (1 g.l.)
Linear x linear x linear (1 g.l.)
Temperatura x Tempo x pH
Linear x linear x quadrático (1 g.l.)
Isto não é usual de se
fazer
e assim por diante.
4
Exemplo 10-1 (Montgomery página 442). Os resultados para perda (loss), cm3-70.
Arquivo SAS: syruplossdataexample10_1.sas
Nozzle Type (A)
2
Speed (B)
1
Pressur
e
(C)
10
15
20
100
-35
-25
110
75
4
5
120
-45
-60
-10
30
-40
-30
140
-40
15
80
54
31
36
100
17
24
55
120
-23
-5
120
-65
-58
-55
-44
-64
-62
3
140
20
4
110
44
-20
-31
100
-39
-35
90
113
-30
-55
120
-55
-67
-28
-26
-61
-52
140
15
-30
110
135
54
4
Source
DF
Sum of Squares
Mean Square
F Value
Pr > F
Model
26
162587.33333333
6253.35897436
14.66
0.0001
Error
27
11515.50000000
426.50000000
Corrected Total
53
174102.83333333
2
2
4
2
4
4
8
993.77777778
61190.33333333
6300.88888889
69105.33333333
7513.88888889
12854.33333333
4628.77777778
1.17
71.74
3.69
81.01
4.40
7.53
1.36
0.3271
0.0001*
0.0159*
0.0001*
0.0072*
0.0003*
0.2595
NOZZLE
SPEED
NOZZLE*SPEED
PRESSURE
NOZZLE*PRESSURE
SPEED*PRESSURE
NOZZLE*SPEED*PRESSUR
496.88888889
30595.16666667
1575.22222222
34552.66666667
1878.47222222
3213.58333333
578.59722222
5
Os efeitos principais de speed e pressure e as interações duplas, nozzle x speed, nozzle x
pressure e speed x pressure, foram significativas.
Gráfico 1. Interação nozzle x
speed. Observa-se que o
nível intermediário de speed
(B=120) apresenta o melhor
resultado (menor perda).
Gráfico 2. Interação nozzle x
pressure. Os níveis baixo
(10) e alto (20) apresentam a
melhor performance.
6
Gráfico 3. Interação speed x
presssure. Observa-se claramente
que o nível intermediário de speed
apresenta a melhor performance. Os
níveis baixo e alto de pressure
também apresentam as melhores
performances. Considerando speed 2
observa-se que os tipos 2 e 3 de
nozzle são os que apresentam os
melhores resultados.
Os fatores speed e pressure são quantitativos, portanto, podemos ajustar modelos de segunda
ordem (modelos quadráticos) nestes fatores para cada nível do fator nozzle, ou seja, vamos
ajustar três modelos de regressão quadrática aos dados de loss. As equações são da forma:
y  0  1x1  2 x2  12 x1x2  11x12  22 x22  
Nos modelos de regressão quadrática que irão ser estabelecidos, as variáveis x1 (speed) e x2
(pressure) serão codificadas como: -1, 0, +1. Portanto, o nível baixo corresponde -1, para o
intermediário corresponde 0 e para o nível alto corresponde +1.
7
------------------------------------------ NOZZLE=1 -----------------------------------------Parameter
Standard
T for H0:
Variable DF
Estimate
Error
Parameter=0
Prob > |T|
INTERCEP
SPEED
PRESSURE
SXP
SPEED2
PRESSUR2
1
1
1
1
1
1
22.055556
3.500000
16.333333
2.875000
51.666667
-71.833333
11.85554503
6.49354945
6.49354945
7.95294138
11.24715756
11.24715756
1.860
0.539
2.515
0.362
4.594
-6.387
0.0875
0.5997
0.0271
0.7240
0.0006
0.0001
------------------------------------------ NOZZLE=2 -----------------------------------------Parameter
Standard
T for H0:
Variable DF
Estimate
Error
Parameter=0
Prob > |T|
INTERCEP
SPEED
PRESSURE
SXP
SPEED2
PRESSUR2
1
1
1
1
1
1
-17.833333
-5.083333
-12.250000
-0.750000
84.250000
-60.250000
15.25907947
8.35774203
8.35774203
10.23610169
14.47603383
14.47603383
-1.169
-0.608
-1.466
-0.073
5.820
-4.162
0.2652
0.5544
0.1684
0.9428
0.0001
0.0013
------------------------------------------ NOZZLE=3 -----------------------------------------Parameter
Standard
T for H0:
Variable DF
Estimate
Error
Parameter=0
Prob > |T|
INTERCEP
SPEED
PRESSURE
SXP
SPEED2
PRESSUR2
1
1
1
1
1
1
15.111111
20.333333
5.916667
10.500000
75.833333
-94.916667
16.60780501
9.09646943
9.09646943
11.14085429
15.75554723
15.75554723
0.910
2.235
0.650
0.942
4.813
-6.024
0.3808
0.0452
0.5277
0.3645
0.0004
0.0001
8
9
10
O objetivo é minimizar a perda (syrup loss), o tipo nozzle = 2 deveria ser preferido pois o
menor contorno aparece no contorno (-82,29), para este tipo. Além disso, temos speed
próximo de 120 e pressure de preferência alta.
11
Confundimento no Fatorial 3k
Mesmo quando usamos uma única repetição de um fatorial 3 k, o projeto requer muitas realizações
(tratamentos) e, provavelmente, todas as 3k realizações não vão poder ser feitas em condições
homogêneas. Assim, o confundimento em blocos é necessário.
O delineamento 3k pode ser confundido em 3p blocos incompletos, onde p<k. Assim, esses
delineamentos podem ser confundidos em 3 blocos, 9 blocos, e assim por diante.
O fatorial 3k em 3 blocos
Desejamos confundir o fatorial 3k em três blocos incompletos. Por exemplo, 33=27 tratamentos,
assim vamos ter 3 blocos de 9 tratamentos cada.
Estes três blocos tem 2 graus de liberdade entre eles; assim, devemos ter 2 graus de liberdade
confundidos com blocos.
Em geral, toda interação com dois fatores tem 4 gl (A tem 3-1=2 gl; B tem 2 gl e AB tem 4
gl). Existe duas maneiras de decompor esta interação. A primeira consiste em subdividir
AxB em: ABLxL; ABLxQ;ABQxL e ABQxQ (Isto já foi feito).
12
No segundo método (baseado em quadrados latinos ortogonais), a interação AxB pode ser
decomposta em dois componentes, AB e AB2, cada componente com 2 graus de liberdade.
Partilha da interação AxB
Quadrado a
B
0
A 1
2
0
Q
R
S
1
R
S
Q
Quadrado b
2
S
Q
R
0
1
2
0
Q
S
R
1
R
Q
S
2
S
R
Q
Mod(n;d)=n-d*int(n/d)
A1B1
A1B2
Q: x1+x2=0 (módulo 3)
Q: x1+2x2=0 (módulo 3)
R: x1+x2=1 (módulo 3)
S: x1+2x2=1 (módulo 3)
S: x1+x2=2 (módulo 3)
R: x1+2x2=2 (módulo 3)
Expressão: ApBq  convenção: p=1  A1
13
Se a primeira letra não é 1, a expressão inteira é elevada ao
quadrado e os expoentes são reduzidos ao módulo 3.
A2 B1  ( A2 B1 )2  A4B2  AB2
A2 B2  ( A2 B2 )2  A4B4  AB
Os componentes da interação, AB e AB2, não tem qualquer real significado (não
aparece na tabela da ANOVA). Esta partição arbitrária da interação AxB em 2
componentes ortogonais com 2 gl é muito útil para construir delineamentos mais
complexos.
AB e AB2
Não existe relação
com
ABLxL; ABLxQ;ABQxL e ABQxQ
14
Fatorial 33
Toda interação de 3 fatores (AxBxC) tem 8 gl e pode ser decomposta em 4 componentes:
ABC, ABC2, AB2C, AB2C2, cada com 2 graus de liberdade. Estes componentes são
denominados por:
W=AB2C2
AB2C2
X=AB2C
x1+2x2+2x3=0 (mód. 3)
Y=ABC2
x1+2x2+2x3=1 (mód. 3)
Z=ABC
x1+2x2+2x3=2 (mód. 3)
Não tem interesse prático. Serve para
construir delineamentos mais
complexos.
É interessante confundir uma interação com blocos.
15
O procedimento geral é construir o contraste de definição
L  1x1  2 x2  ...  k xk
Onde, i representa o expoente do i-ésimo fator no efeito a ser confundido e xi é o nível
do i-ésimo fator num particular tratamento. Para o fatorial 3k, temos: i=0, 1 ou 2, e
xi=0 (menor nível), xi=1 (nível intermediário) e xi=2 (maior nível).
Os tratamentos no fatorial 3k são designados aos blocos de acordo com o valor de L
(módulo 3). Desde que L (módulo 3) pode tomar apenas três valores: 0, 1 e 2, então 3
blocos podem ser unicamente definidos. Os tratamentos que satisfazem L=0 (módulo 3)
constitui o bloco principal. Este bloco sempre conterá o tratamento 000..0.
Exemplo: desejamos fazer o confundimento do fatorial 32 em 3 blocos.Qualquer
componente da interação AB, AB ou AB2, pode ser confundido com blocos. Vamos
escolher o componente AB2 para confundir com blocos. Assim, o contraste de definição
fica:
L  x1  2x2
Os valores de L (módulo 3) para cada tratamento são:
16
00 : L  1(0) 2(0)  0  0(m od3)
01: L  1(0) 2(1)  2  2(m od 3)
02 : L  1(0) 2(2)  4  1(m od 3)
10 :
11:
12 :
20 :
21:
22 :
L  1(1) 2(0)  1  1(m od 3)
L  1(1) 2(1)  3  0(m od3)
L  1(1) 2(2)  5  2(m od 3)
L  1(2) 2(0)  2  2(m od 3)
L  1(2) 2(1)  4  1(m od 3)
L  1(2) 2(2)  6  0(m od3)
Os 3 blocos incompletos são formados por:
Bloco 1
00
11
22
Bloco2
02
10
21
Bloco 3
01
12
20
17
Exemplo: fatorial 33 confundido em 3 blocos, cada com 9 tratamentos. O
componente AB2C2 da interação tripla será confundido com blocos. O
contraste de definição é:
L  x1  2 x2  2 x3
Arquivo SAS:
geracaoconfundimento
fatorial3na3.sas
000: L  1(0) 2(0) 2(0)  0  0(m od3) 001: L  1(0) 2(0) 2(1)  2  2(m od 3)
002 : L  1(0) 2(0) 2(2)  4  1(m od 3) 010: L  1(0) 2(1) 2(0)  2  2(m od 3)
011: L  1(0) 2(1) 2(1)  4  1(m od 3) 012 : L  1(0) 2(1) 2(2)  6  0(m od 3)
020: L  1(0) 2(2) 2(0)  4  1(m od 3) 021: L  1(0) 2(2) 2(1)  6  0(m od3)
022 : L  1(0) 2(2) 2(2)  8  2(m od 3) 100: L  1(1) 2(0) 2(0)  1  1(m od 3)
101: L  1(1) 2(0) 2(1)  3  0(m od3) 102 : L  1(1) 2(0) 2(2)  5  2(m od 3)
110: L  1(1) 2(1) 2(0)  3  0(m od3) 111: L  1(1) 2(1) 2(1)  5  2(m od 3)
112 : L  1(1) 2(1) 2(2)  7  1(m od 3) 120: L  1(1) 2(2) 2(0)  5  2(m od 3)
121: L  1(1) 2(2) 2(1)  7  1(m od 3) 122 : L  1(1) 2(2) 2(2)  9  0(m od 3)
200: L  1(2) 2(0) 2(0)  2  2(m od 3) 201: L  1(2) 2(0) 2(1)  4  1(m od 3)
202 : L  1(2) 2(0) 2(2)  6  0(m od 3)
211: L  1(2) 2(1) 2(1)  6  0(m od3)
220: L  1(2) 2(2) 2(0)  6  0(m od3)
210: L  1(2) 2(1) 2(0)  4  1(m od 3)
212 : L  1(2) 2(1) 2(2)  8  2(m od 3)
221: L  1(2) 2(2) 2(1)  8  2(m od 3)
222 : L  1(2) 2(2) 2(2)  10  1(m od 3)
18
Bloco 1
000
012
101
202
021
110
122
211
220
Bloco 2
100
112
201
002
121
210
222
011
020
A análise de variância deste delineamento fica:
3
2
2
Análise de variância para o fatorial 3 com AB C confundido com blocos
Variações no modelo
Graus de liberdade
2 2
Blocos (AB C )
2
A
2
B
2
C
2
AB
4
AC
4
BC
4
2
2
Erro (ABC+AB C+ABC )
6
Total
26
Bloco3
200
212
001
102
221
010
022
111
120
Podemos testar os efeitos
principais e as interações
duplas. Uma estimativa do
erro é obtida através dos
componentes da interação
tripla (ABC,AB2C, ABC2). A
soma de quadrados do erro
pode ser obtida calculandose a interação de 3 fatores de
maneira usual e subtrair
desta quantidade a soma de
quadrados devido a blocos.
19
Repetição fracionária no Fatorial 3k
A maior fração de um fatorial 3k é obtida utilizando-se a fração 1/3 (um terço), assim, temos,
1
3
3k  3k 31  3k 1
Construção do fatorial fracionário 3k-1
• selecionar um componente da interação (geralmente uma interação de maior ordem) com
dois graus de liberdade;
• dividir o fatorial completo 3k em três blocos;
• cada um dos três blocos resultantes é um delineamento fatorial fracionário 3 k-1, e qualquer
um deles pode ser selecionado para participar do experimento.
Relação de definição: Se
AB2 C3 ...K k
É a componente da interação usada para formar os blocos, então:
I  AB2 C3 ...K k
é chamada de relação de definição ou definidora do fatorial fracionário.
20
Cada efeito principal ou componente de interação estimados no fatorial fracionário 3 k-1,
tem dois associados, os quais podem ser encontrados multiplicando-se o efeito por I e I2
módulo 3.
Exemplo. Considere o fatorial fracionário 33-1, temos k=3 ,serão realizados (1/3)33=9
tratamentos. Ao invés de utilizarmos 27 tratamentos, vamos usar somente 9.
A interação de maior ordem é a tripla: ABC; podemos selecionar qualquer componente
desta interação (com dois graus de liberdade), isto é, ABC, AB2C, ABC2, AB2C2. Assim,
existem 12 diferentes frações (um terço) do fatorial 33 definida por:
x1  2 x2  3 x3  u (módulo3)
Onde =1 ou 2 e u= 0, 1 ou 2. Vamos selecionar a componente AB2C2.
Cada fração vai ter exatamente 9 tratamentos que devem satisfazer
x1  2 x2  2 x3  u (módulo3)
As três frações, (1/3)33, são:
21
Bloco 1
000
012
101
202
021
110
122
211
220
Bloco 2
100
112
201
002
121
210
222
011
020
Bloco3
200
212
001
102
221
010
022
111
120
A relação definidora é dada por: I=AB2C2.
Para qualquer das 3 frações utilizadas, a estrutura dos associados é:
A  A( AB2C 2 )  A2 B 2C 2  ( A2 B 2C 2 ) 2  A4 B 4C 4  ABC
A  A( AB2C 2 ) 2  A( A2 B 4C 4 )  ( A3 B 4C 4 ) 2  A6 B8C 8  B 2C 2
B  B( AB2C 2 )  AB3C 2 )  AC 2
B  B( AB2C 2 ) 2  B( A2 B 4C 4 )  ( A2 B 5C 4 ) 2  ABC2
C  C ( AB2C 2 )  AB2C 3  AB2
C  C ( AB2C 2 )2  C ( A2 B 4C 4 )  ( A2 B 4C 5 ) 2  AB2C 1
AB  AB( AB2C 2 )  A2 B 3C 2  ( A2 B 3C 2 )2  AC
AB  AB( AB2C 2 ) 2  AB( A2 B 4C 4 )  ( A3 B 5C 4 )2  A6 B10C 8  BC 2
22
Consequentemente, os 4 efeitos que são realmente estimados, dos 8 graus de liberdade do
delineamento são:
A+B2C2+ABC
B+AC2+ABC2
C+AB2+AB2C
AB+AC+BC2
Estrutura de associados
muito complexa.
Este delineamento tem algum valor prático somente se todas as interações forem pequenas em
relação aos efeitos principais. Como os efeitos principais estão associados com interações duplas,
este delineamento é de resolução III. Se a interação dupla B2C2 é grande, isto distorce a estimativa
dos efeitos principal de A. Conclusão: este projeto é útil se assumirmos que todas as interações
sejam desprezíveis.
Forma de construção do fatorial fracionário 3k-1 com relação definidora:
I  AB2 C3 ...K k
semelhante aquela empregada no fracionário 2k-p.
Primeiro, escrevemos as realizações 3k-1 para o fatorial completo com k-1 fatores, usando a
notação 0, 1 e 2. Este é o delineamento básico.
Segundo, introduzimos o k-ésimo fator igualando seus níveis xk ao componente de interação
de mais alta ordem, digamos
AB2 C3 ...(K  1)k 1
através da relação:
23
xk  1x1  2 x2  ...  k 1xk 1
onde:
i  (3  k )i (modulo3) para 1  i  k - 1
Isto produz um delineamento de maior resolução possível.
Exemplo: vamos usar este método para gerar 33-1 de resolução III com relação
definidora I=ABC.
Primeiro escrevemos o fatorial completo com 2 fatores e 3 níveis, isto está na coluna 1
da tabela.
Para ABC temos 1= 2= 3=1. Portanto,
1  (3  1)1 (modulo3)  (3  1)1  2
2  (3  1)2 (modulo3)  (3  1)1  2
Assim,
x3  2 x1  2 x2
Por exemplo, 2(0)+2(0)=0; 2(1)+2(0)=2; 2(2)+2(0)=4(módulo 3)=1. Veja o terceiro
algarismo da tabela.
24
000
102
201
Fatorial 33-1 de resolução III. Com I=ABC.
012
111
210
021
120
222
Estes resultados também foram obtidos com o SAS.
Arquivo SAS: fatorialfracionario3na3_1freacaoumterco.sas
A estrutura de associados, para qualquer efeito, pode ser determinada de maneira usual; por
exemplo, os associados de A são: A(ABC)=A2BC=(A2BC)2=AB2C2 e A(ABC)2=A3B2C2=BC.
Para a interação, temos, AB(ABC)=(A2B2C)2=A4B4C2=ABC2.
Exercício: construir um projeto 34-1 de resolução IV com relação
definição I=AB2CD.
25
Primeiro passo: escrever um fatorial 34-1=33 completo. Tem 27 experimentos (runs)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
2
2
2
Segundo passo:
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
2
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
2
2
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
x4  1 x1   2 x2   3 x3
1  ( 3  1 )1(m od3 )  2(m od3 )  2
 2  ( 3  1 )2(m od3 )  4(m od3 )  1
 3  ( 3  1 )1(m od3 )  2(m od3 )  2
x4  2 x1  x2  2 x3
26
Quais são os associados de A?
A(AB2CD)=
A(AB2CD)2=
27