Teoria dos Conjuntos
1. Introdução
Como em qualquer assunto a ser estudado, a Matemática também exige uma linguagem adequada para
o seu desenvolvimento.
A teoria dos Conjuntos representa instrumento de grande utilidade nos diversos desenvolvimentos da
Matemática, bem como em outros ramos das ciências físicas e humanas.
Devemos aceitar, inicialmente, a existência de alguns conceitos primitivos (noções que adotamos sem
definição) e que estabelecem a linguagem do estudo da teoria dos Conjuntos.
Adotaremos a existência de três conceitos primitivos: elemento, conjunto e pertinência. Assim é
preciso entender que, cada um de nós é um elemento do conjunto de moradores desta cidade, ou
melhor, cada um de nós é um elemento que pertence aoconjunto de habitantes da cidade, mesmo
que não tenhamos definido o que é conjunto, o que é elemento e o que é pertinência.
2. Notação e Representação
A notação dos conjuntos é feita mediante a utilização de uma letra maiúscula do nosso alfabeto e a
representação de um conjunto pode ser feita de diversas maneiras, como veremos a seguir.
A. Listagem dos Elementos
Apresentamos um conjunto por meio da listagem de seus elementos quando relacionamos todos os
elementos que pertencem ao conjunto considerado e envolvemos essa lista por um par de chaves. Os
elementos de um conjunto, quando apresentados na forma de listagem, devem ser separados por
vírgula ou por ponto-e-vírgula, caso tenhamos a presença de números decimais.
Exemplos
1º) Seja A o conjunto das cores da bandeira brasileira, então:
A = {verde, amarelo, azul, branco}
2º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {a, e, i, o, u}
3º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B. Uma Propriedade de seus elementos
A apresentação de um conjunto por meio da listagem de seus elementos traz o inconveniente de não
ser uma notação prática para os casos em que o conjunto apresenta uma infinidade de elementos. Para
estas situações, podemos fazer a apresentação do conjunto por meio de uma propriedade que sirva a
todos os elementos doconjunto e somente a estes elementos.
A = {x / x possui uma determinada propriedade P}
Exemplos
1º) Seja B o conjunto das vogais do nosso alfabeto, então:
B = {x / x é vogal do nosso alfabeto}
2º) Seja C o conjunto dos algarismos do sistema decimal de numeração, então:
C = {x/x é algarismo do sistema decimal de numeração}
C. Diagrama de Euler-Ven
A apresentação de um conjunto por meio do diagrama de Euler-Venn é gráfica e, portanto, muito
prática. Os elementos são representados por pontos interiores a uma linha fechada não entrelaçada.
Dessa forma, os pontos exteriores à linha representam elementos que não pertencem
ao conjunto considerado.
Exemplo
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3. Relação de Pertinência
Quando queremos indicar que um determinado elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que o
elemento xpertence ao conjunto A e indicamos:
em que o símbolo
é uma versão da letra grega epsílon e está consagrado em toda matemática como
símbolo indicativo de pertinência. Para indicarmos que um elemento x não pertence ao conjunto A,
indicamos:
Exemplo
Consideremos o conjunto: A = {0, 2, 4, 6, 8}
O algarismo 2 pertence ao conjunto A:
O algarismo 7 não pertence ao conjunto A:
4. Relação de Inclusão Subconjuntos
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B se todo elemento que pertencer a A, pertencer
também a B. Indicamos que o conjunto A está contido em B por meio da seguinte símbologia:
Obs. – Podemos encontrar em algumas publicações uma outra notação para a relação de inclusão:
O conjunto A não está contido em B quando existe pelo menos um elemento de A que não pertence
a B. Indicamos que o conjunto A não está contido em B desta maneira:
Se o conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B. Como todo
elemento do conjunto A pertence ao conjunto A, dizemos que A é subconjunto de A e, por extensão,
todo conjunto ésubconjunto dele mesmo.
Importante – A relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão
refere-se, sempre, a dois conjuntos.
Podemos notar que existe uma diferença entre 2 e {2}. O primeiro é o elemento 2, e o segundo é
o conjuntoformado pelo elemento 2. Um par de sapatos e uma caixa com um par de sapatos são coisas
diferentes e como tal devem ser tratadas.
Podemos notar, também, que, dentro de um conjunto, um outro conjunto pode ser tratado como um
de seus elementos. Vejamos o exemplo a seguir:
{1, 2} é um conjunto, porém no conjunto
A = {1, 3, {1, 2}, 4} ele será considerado um elemento, ou seja, {1, 2}
A.
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Uma cidade é um conjunto de pessoas que representam os moradores da cidade, porém uma cidade é
um elemento do conjunto de cidades que formam um Estado.
5. Conjuntos Especiais
Embora conjunto nos ofereça a idéia de “reunião” de elementos, podemos considerar
como conjunto agrupamentos formados por um só elemento ou agrupamentos sem elemento algum.
Chamamos de conjunto unitário aquele formado por um só elemento.
Exemplos
1º) Conjunto dos números primos, pares e positivos: {2}
2º) Conjunto dos satélites naturais da Terra: {Lua}
3º) Conjunto das raízes da equação x + 5 = 11: {6}
Chamamos de conjunto vazio aquele formado por nenhum elemento. Obtemos um conjunto vazio
considerando umconjunto formado por elementos que admitem uma propriedade impossível.
Exemplos
1º) Conjunto das raízes reais da equação:
x2 + 1 = 0
2º) Conjunto:
O conjunto vazio pode ser apresentado de duas formas:
ou { }
( é uma letra de origem
norueguesa). Não podemos confundir as duas notações representando o conjunto vazio por {
}, pois
estaríamos apresentando umconjunto unitário cujo elemento é o
.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto e, por isso, é considerado subconjunto de
qualquer conjunto, inclusive dele mesmo.
Demonstração
Vamos admitir que o conjunto vazio não esteja contido num dado conjunto A. Neste caso, existe um
elemento x que pertence ao conjunto vazio e que não pertence ao conjunto A, o que é um absurdo,
pois o conjunto vazio não tem elemento algum. Conclusão: o conjunto vazio está contido
no conjunto A, qualquer que seja A.
6. Conjunto Universo
Quando desenvolvemos um determinado assunto dentro da matemática, precisamos admitir
um conjunto ao qual pertencem os elementos que desejamos utilizar. Este conjunto é chamado
de conjunto universo e é representado pela letra maiúscula U.
Uma determinada equação pode ter diversos conjuntos solução de acordo com o conjunto universo que
for estabelecido.
Exemplos
1º) A equação 2x3 – 5x2 – 4x + 3 = 0 apresenta:
7. Conjunto de Partes
Dado um conjunto A, dizemos que o seu conjunto de partes, representado por P (A), é
o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A.
A. Determinação do Conjunto de partes
Vamos observar, com o exemplo a seguir, o procedimento que se deve adotar para a determinação
do conjunto de partes de um dado conjunto A. Seja o conjunto A = {2, 3, 5}. Para obtermos o
conjunto de partes do conjunto A, basta escrevermos todos os seus subconjuntos:
1º) Subconjunto vazio:
, pois o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
2º) Subconjuntos com um elemento: {2}, {3}, {5}.
3º) Subconjuntos com dois elementos: {2, 3}, {2, 5} e {3, 5}.
4º) Subconjuntos com três elementos:A = {2, 3, 5}, pois todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
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Assim, o conjunto das partes do conjunto A pode ser apresentado da seguinte forma: P(A) = {
{2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}}
,
B. Número de Elmentos do conjunto de partes
Podemos determinar o número de elementos do conjunto de partes de um conjunto A dado, ou seja,
o número de subconjuntos do referido conjunto, sem que haja necessidade de escrevermos todos os
elementos do conjunto P(A). Para isso, basta partirmos da idéia de que cada elemento
do conjunto A tem duas opções na formação dos subconjuntos: ou o elemento pertence ao subconjunto
ou ele não pertence ao subconjunto e, pelo uso do princípio multiplicativo das regras de contagem, se
cada elemento apresenta duas opções, teremos:
Observemos o exemplo anterior: o conjunto A = {2, 3, 5} apresenta três elementos e, portanto, é de se
supor, pelo uso da relação apresentada, que n [P (A)] = 23 = 8, o que de fato ocorreu.
8. Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, eles possuírem os mesmos elementos, em qualquer ordem
e independentemente do número de vezes que cada elemento se apresenta. Vejamos os exemplos:
{1, 3, 7} = {1, 1, 1, 3, 7, 7, 7, 7} = {7, 3, 1}
Observação
Se o conjunto A está contido em B (A
B) e B está contido em A (B
A), podemos afirmar que A = B.
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Exercícios da Teoria dos Conjuntos
Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A
Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas
consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A
Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram
as três obras; Calcule:
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.
Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o
número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção
200 - 20 = 180 ;
150 - 20 = 130 ;
100 - 20 = 80 ;
600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;
400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;
300 - 130 - 20 - 80 = 70.
270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70
= 870
Assim:
a) O número de pessoas que leu
apenas uma das obras é 270 + 120 +
70 = 460 :
b) O número de pessoas que não leu
nenhuma das três obras é x = 1000 870 = 130 ;
c) O número de pessoas que leu duas
ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 =
410
Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000
deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não
apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que
apresentavam somente problemas de imagem é:
a) 4 000
b) 3 700
c) 3 500
d) 2 800
e) 2 500
Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado,
onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que
apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito
citado.
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Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que
apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300.
Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x =
4000 - 300 = 3700.
Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450
pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros
canais diferente de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?
Solução: Seja o diagrama a seguir:
Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.
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c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.
d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.
(PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a
esses programas.
Programas
E
N
H
E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080
220
180
800
100
x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a
qualquer dos três programas é:
(A) 200
(C) 900
(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100
(E) n.d.a.
Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos,
começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300
+ x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo,
o número de pessoas da comunidade que não
assistem a qualquer dos três programas é: x =
1800 - 1600 = 200.
Assim, (A) é a opção correta.
(PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo
funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as
duas revistas é ....
Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do
fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.
(UFMG) Numa república hipotética, o presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo; os
senadores, 6 anos e os deputados, 3 anos. Nessa república, houve eleição para os três cargos
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em 1989.
A próxima eleição simultânea para esses três cargos ocorrerá, novamente, em que ano?
Solução: Temos que encontrar um número que é múltiplo de 3, de 4 e de 6 ao mesmo tempo, e
mais, este número deverá ser o menor deles, ou seja, temos que encontrar o mínimo múltiplo
comum de 3, 4 e 6.
Fatorando 3 , 4 e 6 simultaneamente encontramos 22× 3. Logo, M.M.C. (3 , 4 , 6) = 12. Assim, a
próxima eleição simultânea acontecerá em 1989 + 12 = 2001.
Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma
das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos
erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e
160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira.
Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o
conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e
N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1Ç P2 é o conjunto dos que
acertaram as duas questões.
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.
Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de
nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para
nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem
efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições.
Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a
74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental?
Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(SÇM) o número de candidatos
aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior; #(F) número de
candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e
13% = 13/100 = 0,13.
Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(SÇM) = 150 - 111 = 39 .
Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler
com a quantidade de elementos.
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Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 - 411
= 289.
No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao
estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificouse também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que
apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?
Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças:
Cariocas Paulistas Totais
Flamenguistas 11.000
4.000
15.000
Corintianos
5.000
80.000
85.000
Totais
16.000
84.000
100.000
Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que:
I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou"
está sempre associado a união de conjuntos.
II) n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B).
a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é 80.000.
b) O total de cariocas é 16.000 .
c) O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000.
d) O total de flamenguistas é 15.000.
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e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000.
f) O número de cariocas e corintianos é 5.000.
g) O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000.
h) O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 .
i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000.
(UFRJ - adaptado) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte:
natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e
futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo
horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão
natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de
inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis.
a) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação?
b) Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação?
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de
elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção. Como
nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, então n(TÇF) =
0 e n(TÇNÇF) = 0.
Observando o diagrama, temos o sistema de equações:
z + y + 50 = 85
z + y = 35
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x + y = 17
z + x +10 = 38
z + x = 28
Somamdo a segunda equação com a terceira obtemos
z + x + y + y = 35 + 17
z + x + 2y = 52
Como z + x = 28, então:
28 + 2y = 52
2y = 52 - 28
2y = 24
y = 12
Substituindo na terceira equação, segue que:
x + 12 = 17
x = 17 - 12 = 5
Substituindo na quinta equação, ficamos com:
z + 5 = 28
z = 28 - 5 = 23.
Assim, a) 23 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação;
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b) 12 associados se inscreveram simultaneamente para aulas de tênis e natação.
Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo veículo em três versões: a versão
simples MS; a luxuosa ML e a super luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma dentre
três cores: azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em primeiro lugar
uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar umas das cores (azul, vermelha ou preta).
Quais as possibilidades de escolha?
Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas cores, o
resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos pares ordenados (x
, y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte a B.
Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto:
A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML, preta), (SL, azul),
(SL, vermelha), (SL, preta)}.
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