Exercícios e exemplos de suo de Diagrama de Venn
Fonte:
Diagramas de Venn: Questões resolvidas
Os diagramas de Venn são utilizados na melhor visualização das propriedades dos conjuntos,
facilitando cálculos e a interpretação de situações problema.
A relação entre tais conteúdos pode ser feita através da união de conjuntos envolvendo número
de elementos. Primeiramente, explique as propriedades do número de elementos da união de
dois conjuntos e posteriormente da união de três conjuntos.
Número de elementos da união de dois conjuntos
Consideremos dois conjuntos A e B, iremos determinar os elementos de A por n(A), os
elementos de B por n(B), a união de A com B por n(A U B) e a intersecção de A com B por n(A ∩
B). Demonstre a relação utilizando o diagrama:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)
Número de elementos da união de três conjuntos
Considerando os conjuntos A, B e C teremos a seguinte relação na determinação do número de
elementos:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A U B U C)
1) ( UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher
o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para
A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:
a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.
Resolução:
Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100
Resposta letra e.
2) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose
e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as
duas doenças.
Resolução:
80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40
O porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.
3) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que
4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não
apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que
apresentavam somente problemas de imagem é:
a) 4 000
b) 3 700
c) 3 500
d) 2 800
e) 2 500
Resolução:
Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam
defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles
que não apresentavam nenhum defeito citado.
Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números
de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas
citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de
aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x
= 4000 - 300 = 3700.
resposta letra B.
4) (PUC) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos:
Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a
esses programas.
Programas
E
N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum
Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800
100
x
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não
assistem a qualquer dos três programas é:
(A) 200
(B) os dados do problema estão incorretos.
(C) 900
(D) 100
(E) n.d.a.
Resolução:
No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando
sempre pela interseção que tem 100 elementos.
Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x
= 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o
número de pessoas da comunidade que não assistem
a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 =
200.
Assim, (A) é a opção correta.
5) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram
somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram
as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Resolução:
Temos que 90 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 90 = 170
acertaram apenas a segunda questão. Se 470 acertaram somente uma das questões e 170
acertaram apenas a segunda, segue que, 470 - 170 = 300 acertaram somente a primeira. Como
210 erraram a primeira, incluindo os 170 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 170
= 40 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto
dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o
conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1∩ P2 é o conjunto dos que
acertaram as duas questões.
Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 300 + 90 + 170 + 40 = 600.
6) Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram
consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal
B; e 50 preferem outros canais diferente de A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?
Resolução:
Seja o diagrama a seguir:
Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150.
c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170.
d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220.
7) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Os resultados foram os
seguintes:
458 alunos disseram que gostam de Rock
112 alunos optaram por Pop
36 alunos gostam de MPB
62 alunos gostam de Rock e Pop
Determine quantos alunos foram entrevistados.
Gostam somente de Rock = 396
Gostam somente de Pop = 50
Gostam de Rock e Pop = 62
Gostam de MPB = 36
396 + 50 + 62 + 36 = 544
Através da distribuição dos dados no diagrama constatamos que o número de alunos
entrevistados é igual a 544.