Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória associa um número
real a cada resultado de um experimento
aleatório.
• Mais precisamente…
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória é uma função
(mensurável) X: W  R que associa um
número real a cada resultado de um
experimento aleatório.
Exemplos de variáveis
aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
Quando se observa cck:
X=2
Y=1
Exemplos de variáveis
aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
P(X=x)
0
1
2
3
Exemplos de variáveis
aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x
P(X=x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
Exemplos de variáveis
aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
P(Y=y)
0
1
2
Exemplos de variáveis
aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
W = {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y
P(Y=y)
0
1/4
1
2/4
2
1/4
Função de Distribuição Acumulada
• A função de distribuição acumulada de
uma variável aleatória X é a função FX:
RR definida por
FX(x) = P(X ≤ x)
Função de Distribuição Acumulada
• Exemplo:
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
7/8
1/2
1/8
1
2
3
Se x < 0: P(X≤x) = 0
Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8
Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
Função de Distribuição Acumulada
• Roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta
numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
0, se x < 0
½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
P(X ≤ x) =
1
10
Tipos de Variáveis Aleatórias
• Discretas
FX(x) = xi  x P(X = xi)
• (Absolutamente) Contínuas
FX(x) = xi  x fX(x) dx
(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de
X)
• Mistas
FX(x) = xi  x P(X = xi) + xi  x fX(x) dx
(Há outras, mais patológicas …)
Exemplo
1
10
P(X = 0) = ½
fX(x) =
0, se x < 0
1/20, se 0  x  10
0, se x > 10
Propriedades da F.D.A.
• FX é não-decrescente
• lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1
• lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à
direita)
Função de Distribuição Acumulada
• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição
de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a.
podemos obter a probabilidade de qualquer
evento envolvendo a v.a.)
P(X = 2) =
F X (x )
P(X = 3) =
1
0 ,6 5
P(X < 3) =
0 ,4
1
3
x
P(1  X  3) =
Principais Distribuições
Discretas
•
•
•
•
•
Bernoulli
Binomial
Geométrica
Hipergeométrica
Poisson
Principais Distribuições Contínuas
• Uniforme
• Exponencial
• Normal (e associadas: c2, t, F)
Bernoulli
• Espaço amostral binário (sucessofracasso, sim-não, 1-0)
1, com probabilidade p
•
X=
0, com probabilidade 1–p
Notação: X  be(p)
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli,
independentes e com mesma probabilidade p de
sucesso
• X = número de sucessos
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli,
independentes e com mesma probabilidade p de
sucesso
• X = número de sucessos
Cada uma das  n  seqüências com k sucessos e n–k
k 
 
fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:
n k
nk
P( X  k )    p (1  p) , k  0,1,..., n
k 
Notação: X  B(n, p)
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli,
independentes e com mesma probabilidade p
de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro
sucesso.
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli,
independentes e com mesma probabilidade p
de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro
sucesso.
X = k  k–1 fracassos seguido de um
sucesso
P( X  k )  (1  p)
k 1
Notação: X  G(p)
p, k  1,2,3,...
Hipergeométrica
• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde
são extraídas n bolas, sem reposição.
• X = número de bolas brancas extraídas
 B  N  B 
 

 b  n  b 
P ( X  b) 
N
 
n
Notação: X  HG(N, B, n)
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma
população com N indivíduos, dos quais b
são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de
pessoas favoráveis ao candidato na
amostra?
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma
população com N indivíduos, dos quais B
são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de
pessoas favoráveis ao candidato na
amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma
população com N indivíduos, dos quais b
são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de
pessoas favoráveis ao candidato na
amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)
Mas, se n << N, aproximadamente
B(n, B/N)
Distribuição de Poisson
• Em média, um site de internet tem l = 0,5
acessos por segundo. Qual é o modelo
apropriado para a distribuição do número
de acessos efetuados em um segundo?
Distribuição de Poisson
• Discretizar 1 segundo em n intervalos de
duração 1/n
• Como o número de usuários é grande, é
razoável considerar a existência de acessos
neste intervalos como eventos independentes,
cada um com probabilidade p.
• Para que o número médio de acessos por
minuto seja igual a l, deve-se ter np = l.
Distribuição de Poisson
P ( X  k )  lim P (Y  k ), onde Y ~ B ( n, p 
n 
l
n
k
l
l 
P ( X  k )  lim
  1  
n
n k!( n  k )!  n  
n!
n
k
l
nk

n( n  1)...( n  k  1) 
l 
l

lim
1   1  
k
k ! n 
n 
n

n
k

l
k!
e
l
)
, k  0,1,2,...
k
Distribuição de Poisson
• Caso limite da distribuição binomial,
quando n e np se mantém constante
– Acessos a sites
– Chegadas de consumidores a um banco
– Número de erros tipográficos em um texto
– Número de partículas radioativas emitidas
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a
probabilidade de que haja pelo menos um
acesso em um dado segundo?
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a
probabilidade de que haja pelo menos um
acesso em um dado segundo?
P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e-0.5 = 0,395
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de
acessos em um minuto?
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de
acessos em um minuto?
Poisson (30)
Em geral, o número de acessos em um
intervalo de duração t tem distribuição
Poisson (lt)
Esperança
• Idéia: a esperança (ou valor esperado) de
uma v.a. é o valor médio que se espera
obter ao se repetir um experimento
aleatório um grande número de vezes.
Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no
jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado.
Qual é o ganho esperado para quem aposta R$
1,00?
Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no
jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado.
Qual é o ganho esperado para quem aposta R$
1,00?
Ganha-se 17 com probabilidade 1/25
-1 com probabilidade 24/25
Após um grande número n de apostas, o ganho médio
é, aproximadamente:
17 .
1
n  (  1).
25
24
25
n
n

7
25
  R $ 0 , 28
Esperança
• O valor esperado de uma v.a. discreta X
é:
EX = i xi. P(X=xi)
(ou seja, a média dos valores assumidos
por X, ponderados por sua probabilidade)
• EX pode ser um número real, +, – , ou
não estar definida.
Esperança
EX   x i P ( X  x i )   x i P ( X  x i )
xi  0
xi  0
finito
finito
EX  R
–
finito
EX = –
finito
+
EX = +
–
+
EX não definido
Paradoxo de S. Petersburgo
• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas
cuja aposta é 1:1.
• Estratégia: jogar até vencer, sempre
dobrando o valor da aposta.
• Variáveis aleatórias de interesse:
X = ganho quando se aposta 1.
N = número de apostas até a saída.
Y = ganho na saída.
Paradoxo de S. Petersburgo
• X=
–1, com prob. 2/3
1, com prob. 1/3
EX = –1/3.
• N é finito com prob. 1
2
2 1
2 1
EN  . 1  . . 2    . . 3  ....  3
3
3 3
3 3
1
• Y=1
Paradoxo de S. Petersburgo
• Mas seja C o capital usado até a vitória
EC 
1
2
.1 
3
 
2 1
2 1
2
. . 3    . . 7  ....   
3 3
3 3
3
n 1
1
n
. .( 2  1)  ...
3
Propriedades
• E(aX + b) = aEX + b
• Mas, em geral, E(g(X))  g(E(X))
• Exemplo: Y = X2
EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2
EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6
• Note que
X
p
–1 0,2
0 0,4
1 0,4
EY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1)
Y p
0 0,4
1 0,6
Propriedades
• Para X discreta:
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi)
(Law of the unconscious statistician)
Propriedades
• E(X+Y) = EX + EY (sempre!)
• E(XY) = EX EY, se X e Y são
independentes
Exemplo
•
a)
b)
Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco
bolas são retiradas. Qual é o número esperado de
bolas brancas retiradas:
com reposição?
sem reposição?
Variância
• Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2
Propriedades
• Var(aX+b) = a2 Var(X)
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
Propriedades
• Se X1, X2, …, Xn são independentes,
então
Var(X1 + X2 +…+ Xn ) =
Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)
Exemplo
• X ~ binomial(p)
Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) =
•
•
•
•
x
- f(t)
dt
f  0 é a densidade de X
b
P(a < X < b) = a f(t) dt
+
- f(t) dt = 1
f(x) = F’ (x)
• P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)

x
Exemplo
• Seja X a abscissa de um ponto escolhido
ao acaso no triângulo da figura. Qual é a
densidade de X?
1
1
Solução
1
F ( x)  P( X  x) 
x.x / 2
x
2
1.1 / 2
x
f ( x) 
d
dx
F ( x) 
d
dx
x
2
 2x
(0  x  1)
1
Outra solução
1
f ( x)  kx
1
 kx 
0
1
2
kx

2 


k
1  k  2
2
0
f ( x)  2 x (0  x  1)
x
1
Esperança
– discreta:
EX   xi P( X  xi )
i
– contínua:

EX   xi P( X  xi )   x f X ( x)dx
i
– mista:

EX   x f X ( x)dx


Principais Distribuições Contínuas
•
•
•
•
Uniforme
Exponencial
Gama
Normal (e associadas: c2, t, F)
Distribuição Uniforme
fX
FX
1/(b-a)
a
b
a
b
1
Distribuição Exponencial
• De volta ao exemplo do site na Internet.
Qual é a distribuição do tempo de espera
X até a ocorrência do primeiro acesso?
• X > t se e só se o número de acessos em
[0, t] é igual a 0
• Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde
N~Poisson(lt)
• Portanto, P(X>t) = e-lt
Distribuição Exponencial
• X tem distribuição exponencial com
parâmetro l quando
FX (x) = 1–e – lx, para x >0
• Ou seja,
fX(x) = le – lx , para x > 0
Exemplo
•
O tempo de vida, em meses, de um
componente tem distribuição
exponencial de parâmetro l = 0,5.
a) Qual é a probabilidade de que um
componente novo dure pelo menos 2
meses?
b) Dado que um componente usado já tem 1
mês de vida, qual é a probabilidade de que
ele dure pelo menos mais dois meses?
Processo de Poisson
• Tempo entre chegadas consecutivas
independentes, com distribuição
exponencial (l)
• Número de chegadas em intervalos
disjuntos independentes e com
distribuição Poisson (lt), onde t é o
comprimento do intervalo
Exemplo
• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de
acordo com um Processo de Poisson de taxa 2
acidentes por dia
–
–
–
–
Número médio de acidentes por semana?
Número médio de dias sem acidentes por semana?
Intervalo médio entre acidentes?
Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na
3a?
– Probabilidade de que o primeiro acidente em um
certo dia só ocorra depois das 12 horas?
Distribuição Normal
• A distribuição normal padrão é a distribuição da
variável aleatória Z de densidade
f Z ( z) 
1
2

e
• Notação: Z ~ N(0, 1)
EZ = 0, Var Z = 1
z
2
2
Distribuição Normal
• Uma variável X tem distribuição normal
com parâmetros m (média) e s2 (variância)
quando é da forma X = sZ + m, onde
Z~N(0,1)
• Notação: X~N(m, s2)
Distribuição Normal
• Qual é a densidade da distribuição
X~N(m, s2)?
• De modo geral, qual é a densidade de
g(X), onde g é uma função inversível e X é
uma v. a. de densidade f?
Transformando uma v. a.
• A densidade de Y = g(X) é dada por
fY ( y ) 
f X ( x)
| g ' ( x) |
onde x é tal que g( x) = y.
Transformando uma v.a.
• Caso particular: Se X tem densidade f,
então
Y = aX + b (a>0) tem densidade
X= Y/2
X
 y b
f

a  a 
1
Y = 2X
Y
Densidade da distribuição
normal
• A densidade da v.a. X com distribuição normal
N(m, s2) é
f X ( x) 
1
2 s

e
( xm )
2s
2
2
Exemplo
•
As notas dos alunos em um teste têm
distribuição normal com média 70 e
desvio padrão 10.
– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é
a probabilidade de que sua nota seja maior
que 85?
– Qual é a nota correspondente ao percentil
95%?
V. A. Multidimensionais
• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes
X = número de caras
Y = número de transições
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
y
0
1
2
P(Y=y)
1/4
2/4
1/4
Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?
V. A. Multidimensionais
• Não se pode responder (em geral) a partir
das distribuições individuais (marginais)
de X e Y.
• Pode-se responder com base na
distribuição de (X, Y), também chamada
de distribuição conjunta de X e Y.
Distribuição Conjunta
w X
ccc 3
cck 2
ckc 2
kcc 2
ckk 1
kck 1
kkc 1
kkk 0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
Distribuição Conjunta
w
ccc
cck
ckc
kcc
ckk
kck
kkc
kkk
P
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
X
Y
0
1
2
0
1
2
3
Distribuição Conjunta
w
ccc
cck
ckc
kcc
ckk
kck
kkc
kkk
P
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
X
0
1
2
3
0
1/8
-
-
1/8
1
-
2/8 2/8
-
2
-
1/8 1/8
-
Y
P(X=2 e Y =1) = 2/8
Distribuição Conjunta
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) completamente caracteriza
probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e
quaisquer subconjuntos delas
(distribuições marginais).
Distribuição Conjunta
X
Y
0
1
2
X
0
1
2
3
1/8
-
2/8
1/8
2/8
1/8
1/8
-
Y
Distribuição Conjunta
X
0
1
2
3
Y
2/8
1/8
3/8
2/8
1/8
3/8
1/8
1/8
1/4
1/2
1/4
X
1/8
1/8
Y
0
1
2
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) é completamente caracterizada pela
sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn)
• Exemplo
FX1(x1) = ?
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) é completamente caracterizada pela
sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn)
• Exemplo
FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável
A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1.
Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável
A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1.
Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)
• Contínuas
Quando existe uma função de densidade f tal
que
FX , X ,..., X ( x1, x2 ,..., xn ) 
1 2
n
x1 x2
xn
  ...  f (t1, t 2 ,...t n )dtn ...dt2 dt1
 

Neste caso:
P( X  B)    ... 
B
f (t1, t 2 ,...t n )dtn ...dt2 dt1
Exemplo
•
Um ponto (X, Y) é escolhido no
quadrado unitário com densidade
proporcional a x+y.
– Qual é a função de densidade?
– Qual é a probabilidade de que X seja menor
que 1/2?
Propriedades
• Esperança de funções de v.a. multidimensionais
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi) (discreta)
E(g(X)) = Rn g(x) fX(x) dx
(contínua)
• Casos particulares:
• EX = R2 x fX,Y(x,y) dy dx
• E(X+Y) = R2 (x+y) fX,Y(x,y) dy dx =
= R2 x fX,Y(x,y) dy dx + R2 y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY
Propriedades
• Em geral, E (XY)  EX EY
• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são
independentes.
 
E ( XY )    xy f X ,Y ( x, y ) dy dx 
 
  
  xy f X ( x ) f Y ( y ) dy dx 
 

 

x
f
(
x
)
y
f
(
y
)
dy

 dx 
 X
 Y

 





 x f X ( x ) dx  y f Y ( y ) dy EX EY
Observação
• X, Y independentes  E(XY) = EX EY
• E(XY) = EX EY  X, Y independentes
não correlacionadas
Covariância e Correlação
•
Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =
= E(XY) – EX EY
•
r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y)
•
Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1