VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A probabilidade de X tomar um dado valor é zero.
Calcula-se a probabilidade de X estar dentro de um intervalo.
Função de densidade
1. f(x) ≥ 0
+
2.  f(x) dx = 1
-
b
P(a < X < b) =  f(x) dx
a
Função de distribuição
x
F(x) = P(X < x) = P(- < X < x) =  f(u)du
-
dF(x)/dx = f(x)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Independência
Duas variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes se os acontecimentos
X ≤ x e Y ≤ y são independentes.
F(x, y) = F1(x) . F2(y)
ESPERANÇA MATEMÁTICA
+
E(X) =  x . f(x) dx
-
VARIÂNCIA
+
2
E[(X-m) ] =  (x-m)2 . f(x) dx
-
COVARIÂNCIA
+ +
Cov (X, Y) =   (x-mx)(y-my) f(x,y) dxdy
- -
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
X  n (m, s) - X é uma variável aleatória normal com média
m e desvio padrão s.
Função densidade de probabilidade
f(x) = f(x, m, s) =
__
= 1/(s √2p) . e -1/2[(x-m)/s]2
para: -  < x < + ; -  < m < + ; e s > 0
E (X) = m
Var (X) = s 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Nº de indivíduos
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
5
Média = 150
Média = 160
4
s = 10
s = 10
3
2
1
0
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Nº de indivíduos
Estatura (cm)
5
Média = 150
4
s = 20
3
2
1
0
100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
Estatura (cm)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Para o cálculo de probabilidades as distribuições normais são
transformadas na normal-padrão, que se encontra tabelada.
X tem distribuição normal, então Z tem uma distribuição
normal padrão:
X–m
Z = ——— 
s
n (0, 1)
Função densidade de probabilidade
__
f(z) = 1/√2p . e -z2/2
Função de distribuição
F(z) = P(Z ≤ z)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A distribuição normal como aproximação da distribuição
binomial
Se
X  b (x; n; p)
com
n   e p próximo de 0,5
Na prática
n > 20
e
0,1 < p < 0,9
Então
___
X  n (m = np; s = √npq )
___
(X - np)/√npq  n (0; 1)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
A distribuição normal como aproximação da distribuição de
Poisson
Se X  p (x, l)
Com
l 
Na prática
l > 20
Então
_
X  n (m = l; s = √l)
_
(X - l) / √l  n (0, 1)
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Aproximação da distribuição binomial à Poisson
A distribuição binomial converge para a distribuição de
Poisson, quando:
n
e
p0
mantendo-se l = np constante.
Na prática:
n > 20
e
p ≤ 0,05
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Coeficiente de assimetria
Terceiro momento em relação à média:
_
k 3 = n . S [(Xi - X) 3] / [(n-1)(n-2)]
g1 = k 3 / s 3
Simétrica
g1 = 0
Assimétrica à esquerda
g1 < 0
Assimétrica à direita
g1 > 0
Assimetria
Normal típica
g1>0;
Assimétrica à direita
Bimodal
g1>0;
Assimétrica à esquerda
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Coeficiente de achatamento (curtose)
k4=
_
{n S [(Xi - X) 4
g2 = k 4 / s 4
Mesocúrtica
g2 = 0
Platicúrtica
g2 < 0
Leptocúrtica
g2 > 0
_
. n(n+1)(n-1)] - 3 [S (Xi - X) 2] 2 } / [(n-3)(n-2)]
Achatamento
Leptocúrtica
g2>0
Mesocúrtica
Platicúrtica
g2<0