A
a
i
c
í
l
e
d
o
ulã
Potenciação
•  Propriedades: •  P1) am . an = am+n •  P2) am ÷ an = am-­‐n •  P3) (am)n = am.n •  P4) (a.b)n = an.bn •  P5) (a÷b)n = an÷bn •  P6) F V F V Potenciação
•  Exemplos: •  ( ) Efetuando-­‐se a adição 32 + 3-­‐2 obtém-­‐se 30 = 1. •  ( ) •  ( ) a0 = 1, onde a é qualquer número real. •  ( ) 0b = 0, onde b é qualquer número real não nulo. Potenciação
Exercício: Andando pela praia, Zezinho encontrou uma garrafa fechada com uma mensagem dentro. Na mensagem estava escrito: O tesouro foi enterrado na Rua Frederico Lamas, a 6m do portão da casa cujo número é o expoente da potência ob=da transformando-­‐
se a expressão [(225.812)100.(3150)40.950] / (42.81) numa só potência de base igual à distância do portão à posição em que foi enterrado o tesouro. Imediatamente Zezinho, que conhecia muito bem a referida rua, recorreu aos seus conhecimentos aritméTcos e, calculando corretamente, concluiu que o número da casa era: Potenciação
[(225.812)100.(3150)40.950] / (42.81) [(225.(23)12)100.(3150)40.(32)50] / ((22)2.34) [(225.236)100.36000.3100] / (24.34) [(261)100.36100] / (2.3) 4 [26100.36100] / (2.3) 4 [2.3] 6100 / (2.3) 4 [6] 6100 / (6) 4 [6] 6096 otação cien3fica
A notação cien0fica é uma outra forma de escrevermos
números reais recorrendo a potências de 10. UTlizando
o seguinte formato: 𝑎. ​10↑𝑛 man3ssa Ordem de grandeza “a” é um número maior que 1 e menor do qu
1 < a < 10 otação cien3fica
Exemplo: 259 2,59 3368 68 55,690 69,0 6,90 69 69 2,59 . ​10↑8 otação cien3fica
Exemplo: 0,025.​10↑5 2,5.​10↑−2 ​10↑5 2,5.​10↑3 Notação cien5fica
Exercício: Escreva os números
abaixo em notação ciêntífica
a)  156 789 =
1,59.​10↑5 b)  0,00002 . 10³
= 2,0.​10↑−5 .​10↑3 = 2,0.​10↑−2 .
sformação de unidade de medida
Transformar 8 km para cm. 𝒉𝒎 𝒌𝒎 𝒅𝒂𝒎 𝒎 𝟏𝟎↑𝟑 ​𝟏𝟎↑𝟐 ​𝟏𝟎↑𝟏 ​𝟏𝟎↑𝟎 𝒅𝒎
​𝟏𝟎↑−𝟏 𝒄𝒎
​𝟏𝟎↑−𝟐 De onde estou MENOS para onde eu vou 𝟖 𝒌𝒎=𝟖.​𝟏𝟎↑𝟑−(−𝟐) 𝒄𝒎 𝟖 𝒌𝒎=𝟖.​𝟏𝟎↑𝟓 𝒄𝒎 𝒎𝒎
​𝟏𝟎↑−𝟑
Radiciação
•  Propriedades: •  P1) •  P2) •  P3) •  Racionalização: •  Caso 1) •  Caso 2) F V V V Radiciação
•  Exemplos: •  ( ) •  ( ) •  ( ) •  ( ) Radiciação
Exercício: Se 0 < a < b, racionalizando o denominador, tem-­‐se Assim o valor da soma Radiciação
randezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas escalares Grandezas hsicas perfeitamente caracterizadas quando conhecemos sua medida e sua unidade de medida. Exemplos Volume, massa, temperatura, densidade e etc... randezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas vetoriais 20 N Direção SenTdo randezas escalares versus grandezas vetoriais
Grandezas vetoriais Grandezas hsicas que só são perfeitamente caracterizadas conhecendo sua intensidade, direção e senTndo. Bem como a unidade de medida. Exemplos Deslocamento, velocidade, força, aceleração e etc... randezas escalares versus grandezas vetoriais
Exemplo m = 10kg P = 100 N Grandezas @sicas
xemplo: Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as frase
abaixo: (V ) Temperatura é uma grandeza escalar; (V ) Massa é uma grandeza escalar; (V ) Força é uma grandeza vetorial; (V ) Aceleração da gravidade é grandeza vetorial; (V ) Volume é grandeza escalar; (F ) Peso é uma grandeza escalar. Triângulo Retângulo
S eno
c
O posto
β
B
H ipotenusa
c
C osseno
senα =
a
A djacente
b
H ipotenusa
cos α =
T angente
a
O posto
c
tg
α
=
A djacente
b
A
b
α
a
C
b
senβ =
a
c
cos β =
a
b
tg β =
c
Em uma de suas viagens para o exterior, Molina e Leo
observaram um monumento de arquitetura asiática.
Molina, interessado em aplicar seus conhecimentos
matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da
obra e obteve um ângulo de 60°, conforme mostra a
figura:
X
x
x
tg60 =
1,7
=
1, 2
1, 2
x
x = 2,04
3=
1, 2
Altura = 2,04 + 1,3
Altura = 3,34
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde
a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é
aproximadamente:
a) 6,86.
b) 6,10.
c) 5,24.
d) 3,34.
(ENEM) Para determinar a distância de um barco até
a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo
visual a fazendo mira em um ponto fixo P da praia.
Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até
um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo
ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α .
A figura ilustra essa situação:
30°
2.000
30°
2.000
120°
x
60°
1.000
onha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30°e, ao
gar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a
ncia AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a
ma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P
x
tg60° =
1000
x
3=
1000
x = 1000 3
Gabarito: b
Decomposição de vetores Decomposição de vetores ​𝑉↓𝑥 ​𝑉↓𝑦 ​𝑆↓𝑥 Decomposição de vetores ​𝑌↓ ​𝑆↓𝑥 ​𝑋↓ ​𝑆↓𝑦 ​𝑆↓ Decomposição de vetores ​𝑌↓ 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =​𝒄𝒂𝒕. 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐/𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 ​𝑆↓𝑦 ​𝑆↓ α
​𝑆↓𝑥 ​𝑋↓ 𝒔𝒆𝒏 𝜶 =​𝑺↓𝒚 /𝑺 ​𝑺↓𝒚 =𝑺.𝒔𝒆𝒏𝜶 Decomposição de vetores ​𝑌↓ 𝒄𝒐𝒔𝜶 =​𝒄𝒂𝒕. 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆/𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 ​𝑆↓𝑦 ​𝑆↓ α
​𝑆↓𝑥 𝒄𝒐𝒔𝜶 =​𝑺↓𝒙 /𝑺 ​𝑋↓ ​𝑺↓𝒙 =𝑺.𝒄𝒐𝒔𝜶 Decomposição de vetores
Exercício: Na figura temos um bloco sobre o qual agem as forças ​𝐹↓1 , ​𝐹↓2 , ​𝐹↓3 e ​𝐹↓4 todas de mesmo módulo F. Qual a direção e senTdo para qual o bloco irá se movimentar? 60º 120º Decomposição de vetores
Em y: ​𝐹↓𝑦1 =𝑠𝑒𝑛 60.𝐹= ​√⁠3 /2 .𝐹 ​𝐹↓𝑅𝑦 = F + ​√⁠3 /2 .𝐹 −​√⁠3 ​𝐹↓𝑅𝑦 = F ​𝐹↓𝑦2 =𝑠𝑒𝑛 60.𝐹= ​√⁠3 /2 .𝐹 ​𝐹↓𝑦1 60º ​𝐹↓𝑥1 ​𝐹↓𝑥2 60º 120º Em x: ​𝐹↓𝑦2 ​𝐹↓𝑥1 =𝑐𝑜𝑠 60.𝐹 = ​1/2 .𝐹 ​𝐹↓𝑥2 =𝑐𝑜𝑠 60.𝐹 = ​1/2 .𝐹 ​𝐹↓𝑅𝑥 =𝐹 -­‐ ​1/2 .𝐹 -­‐ ​1/2
​𝐹↓𝑅𝑥 = 0 (Enem 2006 - Fácil)
h2 =
c2
+
c2
90cm
3.30cm
5.30cm = 150cm
xcm
120cm
4.30cm
30cm + 150cm + 30cm = 210cm
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com
5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é
igual a
a) 1,8m
b) 1,9m
c) 2,0m
d) 2,1m
e) 2,2m
A figura apresenta o delta do rio Jacuí, situado na
região metropolitana de Porto Alegre. Nele se
encontra o parque estadual Delta do Jacuí,
importante parque de preservação ambiental. Sua
proximidade com a região metropolitana torna-o
suscetível aos impactos ambientais causados pela
atividade humana.
!
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o
ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°. Uma
maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está
sob influência do meio urbano é dada pela distância
do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é: Lei dos Senos ( 2A 1L)
8km
C
a
b
c
75°
B
60°
=
=
= 2R
senA
senB
senC
x
45°
A
!
Lei dos Senos ( 2A 1L)
a
b
c
=
=
= 2R
senA senB senC
x
8
=
sen60 sen45
x.sen45 = 8.sen60
2
3
x.
= 8.
2
2
x=
8 3
2
.
2
2
8 6
x=
2
x=4 6
8km
B
60°
C
75°
x
45°
A
Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e
2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em
centímetros, é:
a) 3 + √3
b) 5 + √5
c) 3 + √5
d) 3 + √7
e) 5 + √7
1
x
60°
2
1
x
60°
2
2P = 1+ 2 + 3
2P = 3+ 3
Lei dos Cossenos ( 2L 1A)
a 2 = b2 + c 2 − 2.b.c.cos Â
x = 1 + 2 − 2.1.2.cos60
1
2
2
2
x = 1 + 2 − 2.1.2.
2
2
x = 5− 2
2
2
2
x= 3
Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e
2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em
centímetros, é:
a) 3 + √3
b) 5 + √5
c) 3 + √5
d) 3 + √7
e) 5 + √7
Operações com vetores
Vetores Opostos ​𝐹↓1↑ ​𝐹↓2↑ ​𝐹↓1↑ ≠​𝐹↓2↑ ​𝐹↓1↑ = ​𝐹↓2↑ ​𝐹↓1↑ ​ =−𝐹↓2↑ Operações com vetores
Soma com vetores Para somar vetor tem uma sacadinha A bundinha do vetor Vai na cabecinha E a resultante Caro aluno não esqueça É bundinha com bundinha E cabeça com cabeça Soma de vetores
A) Vetores com a mesma direção e mesmo senTdo (𝛼=​
0↑𝑜 ) x B) Vetores com a mesma direção e senTdos contrários (𝛼=​180↑𝑜 ) y s y x s
Operações com vetores
Soma com vetores 1) ∆𝒔 =𝟒𝟎𝟎 𝒎 ∆𝒔 =𝟑𝟎𝟎 𝒎 ∆𝒔=𝒙 𝒎 2) Regra do polígono Soma de vetores
Exercício: Aplicando o método do polígono, determine a força resultante no ponto C 50u 30u 40u Soma de vetores
erações com vetores
𝟒𝟎𝒖 𝟓𝟎𝒖 𝟑𝟎𝒖 Soma de vetores
Exercício: Obter, pelo método do polígono, a
resultante das forças ​𝐹↓1 = ​𝐹↓2 =100𝑁
120º Soma de vetores
Exercício: Obter, pelo método
do polígono, a resultante das
forças ​𝐹↓1 = ​𝐹↓2 =100𝑁
100𝑁 100𝑁 ​𝟔𝟎↑𝒐 Sendo o vetor resultante um
dos lados do triângulo
retângulo então ​𝐹↓𝑅 ​𝟔𝟎↑𝒐 ​𝟏𝟐𝟎↑𝒐 𝟏𝟎𝟎𝑵 ​𝟔𝟎↑𝒐 Operações com vetores
Soma com vetores 3) Lei dos Cossenos α =
+
​𝒔↑𝟐 ​𝒙↑𝟐 +​𝒚↑𝟐 𝟐.𝒙.𝒚.𝒄𝒐𝒔𝜶
Regra do paralelogramo Soma de vetores
Exercício: Dados os vetores a e b com a=b=20, obter o vetor R = a + b ​𝒔↑𝟐 = ​𝒙↑𝟐 +​𝒚↑𝟐 +𝟐.𝒙.𝒚.𝒄𝒐𝒔𝜶 =
​𝒔↑𝟐 ​ 𝟐𝟎↑𝟐 +​ 𝟐𝟎↑𝟐 =
+ 𝟐.𝟐𝟎.𝟐𝟎.𝒄𝒐𝒔𝟏𝟐𝟎 ​𝒔↑𝟐 𝟒𝟎𝟎 + 𝟒𝟎𝟎 a
+ 800.−𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎 =
​𝒔↑𝟐 𝟒𝟎𝟎+𝟒𝟎𝟎
120º =
+ (800.−​𝟏/𝟐 ) ​𝒔↑𝟐 𝟖𝟎𝟎−
b
​𝒔↑ 400 = √⁠𝟒𝟎𝟎 =𝟐𝟎 A soma das soluções inteiras da equação
abaixo é:
( x + 1) ⋅ ( x
2
a) 1.
b) 3.
c) 5.
d) 7.
e) 11.
2
)(
2
)
− 25 ⋅ x − 5x + 6 = 0
( x + 1) ⋅ ( x
2
x 2 + 1= 0
2
2
)(
)
2
− 25 ⋅ x − 5x + 6 = 0
x 2 − 25 = 0
x 2 − 5x + 6 = 0
S=5
2
x = −1
x = 25
Não possui
solução Real
x = ±5
P=6
x=2
Soma das Soluções = 5 – 5 + 2 + 3 = 5
x=3
A equação abaixo possui:
7x 2 − 35x + 42
=0
7x − 14
a) única solução: x = 2.
b) uma única solução: x = 3.
c) duas soluções: x = 2 e x = 3.
d) duas soluções: x = -2 e x = -3.
e) duas soluções x = -2 e x = 3.
7x 2 − 35x + 42
=0
7x − 14
x 2 − 5x + 6 = 0
S=5
7(x 2 − 5x + 6)
=0
7(x − 2)
P=6
x=2
2
x − 5x + 6
=0
x−2
(x − 2).(x − 3)
=0
(x − 2)
x −3 = 0
x≠2
x=3
x=3
A equação abaixo possui:
2
7x − 35x + 42
=0
7x − 14
a) única solução: x = 2.
b) uma única solução: x = 3.
c) duas soluções: x = 2 e x = 3.
d) duas soluções: x = -2 e x = -3.
e) duas soluções x = -2 e x = 3.
Se as raízes da equação 2x2 – 5x – 4 = 0 são
1 1
e m e n o valor de
+ é igual a:
m n
1 1 n+m
+ =
m n
m.n
5
2
−4
2
−b
Soma das Raízes
a
Produto das Raízes
−5
5 2
=
= .
4
2 −4
c
a
Regra de Três
•  Grandezas Diretamente Proporcionais: •  Grandezas Inversamente Proporcionais: Regra de Três
Exercício: Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhando-­‐se 10 horas por dia? Regra de Três
HOMENS DIAS HORAS 50 2 9 20 30 x 10 x = 50 . 9 x = 45 x = 3 2 30 10 2 30 Porcentagem
•  N% = N / 100 •  Exemplos: •  12% = 12/100 = 0,12 •  230% = 230/100 = 2,3 •  5% de 30 = 0,05 . 30 = 1,5 Porcentagem
•  Exemplos: •  ( V ) (10%)2 = 1% •  ( V ) 1650% = 4 •  ( F ) 2% de 2 = 0,02 Porcentagem
Exercício: Contrariando o plano real, um comerciante aumenta o preço de um produto que custava R$300,00 em 20% . Um mês depois arrepende-­‐se e faz um desconto de 20% sobre o preço reajustado. O novo preço do produto é: 20% de 300 = 60 20% de 360 = 72 R$288 FIM
Um grupo de amigos, numa excursão, aluga
uma van por 342 reais. Ao fim do passeio, três
deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram
que completar o total, pagando cada um
deles 19 reais a mais. O total de amigos era:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
x – Número de Amigos
y – Valor Pago
x.y = 342
(x – 3).(y + 19) = 342
x – Número de Amigos
y – Valor Pago
x.y = 342
y = 342/x
(x – 3).(y + 19) = 342
x.y + 19x – 3y – 57 = 342
19x – 3y – 57 = 0
19x – 3.342/x – 57 = 0
x2 - 3x - 54= 0
S=3
P = -54
x = 9 ou x = -6