Construções Lógico –
Matemáticas – Aula 11
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 2º Ano
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
ZUNINO, Délia Lerner de
Um pouco sobre a autora:
• É uma educadora e pesquisadora argentina;
• Doutora em Ciências da Educação;
• Professora de graduação e de mestrado na Universidades de
Buenos Aires e La Plata;
• Assessora do Ministério da Educação da Venezuela;
• Investigadora nas áreas de alfabetização, currículos, livros
Fonte:
Revista Nova Escola
didáticos e didática da matemática.
Algumas obras da autora publicadas no Brasil
A aprendizagem da Língua Escrita na Escola
Reflexões sobre a proposta pedagógica construtivista
1995
A matemática na escola:
Aqui e Agora
1995
Ler e escrever na escola
O real, o possível e o necessário
2002
A Matemática Na Escola: Aqui e Agora
Capítulo 1
Professores, Crianças
e Pais Têm a Palavra
Capítulo 2
Capítulo 3
Problemas e Contas:
As Estratégias de
Dois Desafios
Resolução de
Diferentes
Problemas
Capítulo 4
O Valor Posicional
A pesquisa
Questão principal da obra:
A forma de ensinar oferece às crianças oportunidades reais de assimilar o conhecimento matemático?
Região Metropolitana de Caracas
1ª série
30 alunos
3ª série
30 alunos
Estado de
Miranda
5ª série
30 alunos
Capítulo 1 – Professores, Crianças e Pais Têm a Palavra
• A matemática: uma disciplina temível?
• Para que serve a matemática?
• A respeito do aprendizado e do ensino
• Os professores falam
• Opinam as crianças
• O que pensam os pais?
• Que conteúdos se apresentam mais difíceis?
• O papel dos pais no aprendizado escolar
• Acerca da avaliação
1.1 A matemática: uma disciplina temível
Questão principal: Qual é a razão pela qual a matemática resulta tão temível
e pouco agradável para tantas crianças e adultos?
“Eu nunca fui boa em matemática. A matemática me dá temor... eu fazia um esforço e era
aprovada... no ensino superior foi pior ainda, eu tinha que decorar tudo e saía de um exame e
esquecia tudo. Fazia o possível para ser aprovada...”
“A matemática é muito complicada”. “Não gosto de fazer contas”.
“Na minha casa ninguém gosta de matemática”.
“Isso tem sido meu grande problema. A odeio”. “Não gosto, mas os filhos me fazem estudar”.
“Gosto dela até onde a entendo”.
1.2 Para que serve a matemática?
A opinião dos professores: para raciocinar com rapidez, para saber utilizá-la na vida diária;
porque é uma disciplina instrumental; porque é uma ciência “muito completa”, porque é exata.
A opinião dos pais: para tudo; utiliza-se no supermercado; em qualquer trabalho está presente;
para facilitar outras matérias como física e química; no futebol, na música, etc.
A opinião dos alunos reduz-se apenas ao uso escolar: para fazer números, para fazer contas, etc.
“É necessário fazer um esforço para que as crianças descubram desde o princípio que
a utilidade da matemática ultrapassa os muros da escola.” (ZUNINO, p. 7)
1.3 A respeito do aprendizado e do ensino
Questões envolvidas:
Como as crianças aprendem a matemática? Aprendem alguma coisa sozinhas? Como se ensina matemática?
1.3.1 Os professores falam
• Quando perguntados sobre a forma que as crianças aprendem matemática
(...) a maioria respondeu fielmente seu método de ensino;
• Quando perguntados se as crianças aprendem algo sozinhas
(...) as respostas foram contraditórias, ora afirmavam que sim, ora afirmavam que não;
• Quando perguntados sobre como ensinam matemática
(...) as respostas também foram heterogêneas com ênfase nas explicações e repetições.
Em suma, para os professores ensinar consiste em explicar e aprender consiste em repetir.
1.3.2 Opinam as crianças
• Quando perguntadas se trocaria alguma coisa na forma de ensinar
(...) a maioria responde que não e reproduzem os argumentos de sua sala de aula;
• Quando perguntadas se conseguem aprender matemática sozinhas
(...) a maioria não reconhece sua participação do processo de aprendizagem.
1.3.3 O que pensam os pais
• Quase todos os pais pensam que seus filhos tem aprendido muita coisa sozinhos;
• A maioria os pais concordam com a metodologia utilizada para ensinar matemática.
Logo há duas concepções que coexistem contraditoriamente hoje nas escola:
Descobrir, Investigar, Discutir e Interpretar X Explicar, Repetir e Memorizar
1.4 Que conteúdos se apresentam difíceis?
Professores e crianças coincidem:
• na 1ª série, os conteúdos mais difíceis são o valor posicional e a subtração;
• a partir da 3ª série, o difícil é a divisão.
1.5 O papel dos pais no aprendizado escolar
Todos entrevistados afirmam a importância dos pais no processo de aprendizagem.
“Hoje tive um problema por causa da
vírgula (...) meu pai explicou-me(...)”
“É bom que os pais ajudem os filhos
(...) sempre peço colaboração(...)”
“Meu filho vai bem, porque eu tenho
mostrado muita dedicação para
trabalhar com ele(...)”
1.6 Acerca da avaliação
Tenho que me
comportar bem.
(1ª série)
O que mais utilizo
para avaliar são provas
e a participação.
Tiro notas boas
porque tenho
estudado.
(3ª série)
A avaliação serve para
conhecer a criança, para
determinar o que ela sabe, o
que tem aprendido.
As notas refletem o
que a criança sabe.
Capítulo 2 – Problemas e Contas: Dois Desafios Diferentes
• Os problemas
• A subtração pode não ser uma subtração
• Resolvendo um inacreditável problema de soma
• Tentando inventar um problema
• A representação das operações
• A interpretação dos sinais convencionais
• As contas
2.1 Os problemas
As crianças de 1ª série resolveram:
• três problemas (2 de subtração e 1 de adição);
• inventaram o enunciado de uma situação problema;
• resolveram duas contas (1 adição e 1 subtração com números de dois algarismos).
Um fato mostrou-se muito importante:
os procedimentos utilizados pelas crianças para resolver as contas
são totalmente diferentes dos empregados para resolver os problemas.
2.1.1 A subtração pode não ser uma subtração
Um ônibus leva 24 passageiros, em uma parada descem 17. Quantos passageiros ficam?
Quantos ovos há a mais no cesto A que no cesto B?
A conclusão que se pode extrair ao comparar os resultados obtidos
em relação aos dois problemas de subtração é a seguinte:
situações problemáticas que aparecem como sendo semelhantes aos
olhos dos adultos – porque eles as resolveriam através da mesma
operação – podem resultar muito diferentes para as crianças, porque
efetivamente correspondem a situações de fatos diferentes.
2.1.2 Resolvendo um inacreditável problema de soma
O enunciado deste problema foi proposto em livros da 1ª série:
Luiz tem 7 anos e sua irmãzinha tem 2. Quantos anos têm entre os dois?
Pareceu, aos autores, surpreendente que se formulara às crianças uma situação tão
carente de sentido. A quem imaginaria pode ocorrer somar as idades de duas pessoas.
2.1.3 Tentando inventar um problema
Frente à proposta “inventar um problema em que o resultado seja 5”, a maioria se
comporta expressando surpresa diante de uma proposta tão insólita.
Pode-se observar que a maioria das crianças inclui a resposta no enunciado do problema, em vez de
formular a pergunta, e algumas outras não deixam explícita nem a pergunta nem a resposta.
A condição essencial que devem cumprir os problemas propostos pelo professor é (...)
de apresentar um desafio à criança.
Um problema merece seu nome quando torna possível construir conhecimento matemático (...)
quando leva a elaborar uma estratégia de resolução.
2.2 A representação das operações
A forma como as crianças representam as operações ao resolver os problemas que os
autores propuseram (ou que elas mesmas inventaram) não coincide sempre com a “conta”
convencional. As respostas que obtiveram podem classificar-se em 5 grupos:
• Representação exclusiva do resultado. Exemplo: 7 passageiros.
• Representação exclusiva dos dados incluídos no enunciado. Exemplo: 17 24
• Representação dos dados do problema e do resultado, porém sem incluir o sinal que indica a
operação realizada. Exemplo: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7
• Representação não convencional de todos os termos envolvidos na operação.
Exemplo: 24 7 17
• Representação convencional. Exemplo: 24 – 17 = 7
2.3 A interpretação dos sinais convencionais
Todos os alunos interpretaram com bastante exatidão os sinais “+” e “–”. No entanto,
não aconteceu o mesmo com o sinal “igual”.
(...) o sinal “igual” tem um significado muito diferente do significado dos signos
“mais” e “menos”, já que, à diferença destes dois últimos, não representa uma ação, mas
uma equivalência entre duas representações possíveis de um número.
Por exemplo, 3 + 2, 4 + 1, 2 + 3, etc. são formas alternativas de representar “5”.
2.4 As contas
Foram propostas às crianças de 1ª série duas contas:
+
35
18
−
63
28
Como se tem suspeitado, a maioria das crianças começa a resolver a conta pela esquerda
(...) e cada número de dois algarismos, deixa de ser um só número, e se transforma em
dois números independentes.
35
18
4 13
+
−
63
28
40
ou
−
63
28
45
Capítulo 3 – As Estratégias de Resolução de Problemas (3ª e 5ª séries)
• As crianças da 3ª série resolvem situações-problema
• Se são de soma, sempre é fácil; se são de subtração depende da situação
• Os problemas de multiplicação não são difíceis; os de divisão tampouco ... só se tiverem formulados de forma esquisita
• Avaliando a correção de um resultado
•
•
•
Operando com frações
Na 5ª série, todos problemas têm solução alguns são demasiados fáceis e outros ... nem tanto
• A subtração segue apresentando desafios
• Resolvendo problemas de multiplicação e divisão
• Problemas “combinados”
• A multiplicação e a divisão são operações inversas ... ou não?
• Inventando enunciados de problemas
À guisa de conclusão
3.1
As crianças de 3ª série resolvem situações-problema
3.1.1
Se são de soma, sempre é fácil; se são de subtração ... depende da situação
Os problemas de soma em termos gerais não representam nenhuma dificuldade para as
crianças (...) É possível que a utilização de “problemas-padrão”, na escola, leve algumas
crianças a centrar-se em certas “chaves” incluídas reiteradamente nos enunciados,
deixando de lado a estrutura global dos problemas.
3.1.2
Os problemas de multiplicação não são difíceis; os de divisão tampouco ...
só se estiverem formulados de forma “esquisita”
(...) O fato de que uma criança não encontre qual é a conta que corresponde para resolver
determinada situação não significa de modo algum que não possa resolvê-la: com base na
estrutura lógica do problema, ela poderá aproximar um resultado possível.
3.2 Avaliando a correção de um resultado
Foram apresentados os seguintes problemas para crianças da 3ª e 5ª série:
3ª Série:
Uma criança efetuou a seguinte soma:
238 + 126 + 10
e deu como resultado 464.
Estará correta a soma?
5ª Série:
Uma criança efetuou a seguinte soma:
238,50 + 126,25 + 10,125 + 416,70
e deu como resultado 560,875.
Estará correta a soma?
Na 3ª série, TODAS as crianças consideraram necessário fazer a conta para saber se está
certo ou errado (...) Seja como for, seria importante incentivar as crianças a antecipar e
a julgar os resultados (...) porque confiam mais nos procedimentos adquiridos
mecanicamente do que em seu próprio raciocínio.
3.3 Operando com frações
• Todas as crianças estabelecem rapidamente que ½ é maior que 1/4 , mas alguns
alunos de 3ª série tenham inicialmente dificuldade para entender significados
como “metade da metade”;
• É natural que as crianças criem formas próprias de representar as frações;
• Em síntese, as situações formuladas no âmbito das frações mostraram que todas
as crianças – tanto as de 3ª como as de 5ª série – compreendem as frações mais
usuais na vida cotidiana;
• Na 3ª série se detectou uma concepção estereotipada da representação gráfica;
• Parece que não é óbvio para todas as crianças que o denominador se refere ao
total das partes que tem o inteiro.
3.4 Na 5ª série, todos os problemas têm solução.
Alguns são demasiado fáceis e outros ... nem tanto
3.4.1
A subtração segue apresentando desafios
Faz-se notar, mais uma vez, que para as crianças os problemas de subtração
não parecem ser tão equivalentes como são para nós.
De fato, um problema referente a um aumento de preço é resolvido por todos subtraindo,
enquanto que as situações referentes ao tempo são predominantemente resolvidas utilizando a ideia de complemento.
3.4.2
Resolvendo problemas de multiplicação e divisão
(...) ao deixar de lado as estratégias de resolução que elas elaboram a partir da compreensão da estrutura lógica dos
problemas (...) leva-se às crianças acreditarem que o que elas pensam não é pertinente para resolver problemas
matemáticos (...) fazendo-as renunciar seu próprio raciocínio para centrar-se em “chaves” linguísticas.
3.4.3
Problemas “combinados”
Aqui, vemos mais uma vez a importância que as crianças dão a certos “hábitos escolares”.
(...) Ainda que tais atitudes não tenham sérias repercussões para algumas crianças (...) ela tem consequências caóticas
para outras crianças que tentam se basear só no conhecimento das práticas escolares e, portanto, renunciam a pensar.
3.4.4
A multiplicação e a divisão são operações inversas ... ou não?
O último problema proposto foi o seguinte:
“Quero repartir o triplo de 25 entre 3 pessoas. Quanto corresponderá a cada uma?
Para NENHUMA das crianças foi óbvia a solução do problema formulado;
Sem dúvida, estas crianças comprovam cotidianamente na escola as contas de divisão e,
devem “saber” que a verificação se faz multiplicando o quociente pelo divisor;
O que fica evidente a partir destes resultados é a necessidade de
reservar um espaço para a reflexão acerca das propriedades das operações.
3.4.5
Inventando enunciados de problemas
Para concluir, a autora assinala que (...) no caso da invenção de problemas (...) na 3ª e na 5ª série houve
algumas crianças (poucas) que conseguiram formular bons enunciados e muitas outras que não puderam fazê-lo.
Isto deve-se, sem dúvida, a que a escola pouco possibilite que as crianças se convertam
em produtoras de situações-problemas limitando-se ao papel de “consumidoras”.
3.5 À guisa de conclusão
A conclusão mais evidente que deriva dos dados analisados neste capítulo é que TODAS as crianças
são capazes de elaborar estratégias adequadas para resolver problemas que lhes são formulados.
Porém, algumas delas às vezes são levadas a renunciar às suas próprias possibilidades de pensar
e optar por prender-se a certas “chaves” linguísticas e numéricas que aparecem
seguidamente nos “problemas-padrão” geralmente apresentados na escola.
Capítulo 4 – O Valor Posicional
• O zero e o valor posicional
• Unidades, dezenas, centenas ... que entendem as crianças?
• 1ª série e sua luta com as dezenas
• Na 3ª série, o valor posicional não cria problemas ... aparentemente
• As crianças de 5ª série fazem uma descoberta
• Os decimais ... são decimais ou naturais (inteiros)?
• Produção e interpretação de números decimais
• As operações com decimais: se são todos decimais, não há problema
• Conclusões (provisórias)
4.1
O zero e o valor posicional
Uma criança me diz que o 0 não vale nada. Que tu pensas?
TODAS as crianças sabem que o 0 “em si” não tem nenhum valor.
E quando o 0 faz parte de uma quantidade de vários algarismos, como em 108, 180, 018, 10?
• a MAIORIA das crianças pensam que o 0 tem valor só quando está “depois” de outros número,
e que não vale nada quando está “antes”;
• porém HÁ CRIANÇAS que afirmam que o 0 em si continua a não ter valor, ainda que faça parte de
outra quantidade.
É surpreendente que as crianças possam estabelecer que um número é maior que outro – baseando-se na
quantidade de algarismos – ainda sem saber qual é a quantidade representada por esses números (0001 = 1000);
Quase todas as crianças afirmam desde o começo que o valor do 0 depende de sua localização.
4.2Unidades, dezenas, centenas ... que entendem as crianças?
4.2.1
1ª série e sua luta com as dezenas
O que “sabiam” as crianças era o fato de uma dezena “quer dizer 10”.
(...) Porém o fato de ter sido ensinado a estas crianças o conceito de dezena
não era suficiente para que isto se constituísse em um conhecimento operativo.
(...) ao perguntar o significado da palavra “dezenas” (...) várias crianças entendiam “dezena” como sendo “dúzia”.
4.2.2
Na 3ª série, o valor posicional não cria problemas ... aparentemente
Com relação às crianças da 3ª série os resultados são muito positivos.
Porém a preocupação da autora origina-se principalmente nas respostas que as crianças deram quando perguntadas que
“levavam” ou que “pediam emprestado” durante a resolução das contas.
(...) A única explicação dada para estes fatos é que não se tem brindado as crianças a possibilidade de compreender
que tais procedimentos estão estritamente vinculados com a base decimal
escolhida para nosso sistema de numeração.
4.2.3
As crianças da 5ª série fazem uma descoberta
Mesmo na 5ª série, são poucas as crianças que conseguem compreender que mecanismos como
“levar” e “pedir emprestado” estão inseridos no marco do sistema posicional.
(...) Parece importante assinalar que muitas crianças mostraram que
tinham dificuldades acerca da relação entre centenas e dezenas.
4.3Os decimais... são decimais ou naturais (inteiros)?
No caso dos decimais os problemas surgem em TODAS as situações em que estão envolvidos.
4.3.1
Produção e interpretação de números decimais
• Nota-se que, em princípio, QUASE TODAS as crianças lêem os decimais estabelecendo uma
concordância estrita entre o que dizem e os elementos escritos (vinte e cinco vírgula zero cinco);
• Porém QUASE TODAS as crianças são capazes de interpretar com exatidão o significado dos decimais
quando estes se referem a um aspecto particular: o do dinheiro.
4.3.2
As operações com decimais: se todos são decimais, não há problema ...
• As somas ou subtrações que incluem decimais formulam um nível de dificuldade muito diferente
quando todos os termos envolvidos são decimais e quando se combinam na operação números naturais
e decimais.
• De fato, na primeira situação, todas as crianças (...) ordenam corretamente (...) porque a vírgula ajuda
a resolver todos os problemas que podem surgir (...) porém NENHUMA CRIANÇA parece conhecer
as razões que fundamental esta regra.
4.4Conclusões (provisórias)
As crianças tem
aprendido
muito na
escola.
Porém estes
conhecimentos não
são suficientes
para compreender
as bases do sistema
de numeração.
As crianças
reconstroem desde
cedo algumas
regras do sistema
de numeração.
É necessário criar condições que
permitam às crianças a apropriar-se dos
princípios que regem o sistema de
numeração e compreender que os
procedimentos utilizados estão inseridos
neste contexto.