UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ UNIVERSIDADE ESTADUAL DO AMAZÔNAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA REDE AMAZÔNICA DE EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA a) ROSINEIDE DE SOUSA JUCÁ UM ESTUDO DAS COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVOS COM OS NÚMEROS DECIMAIS Belém-PA 2014 ROSINEIDE DE SOUSA JUCA UM ESTUDO DAS COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVOS COM OS NÚMEROS DECIMAIS Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática. Polo da Universidade Federal do Pará. Como exigência para obtenção do título de doutora em Educação, em Ciências e Matemática. Área de concentração: Educação em Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. PEDRO FRANCO DE SÁ Belém-PA 2014 Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP). Biblioteca do Instituto de Educação Matemática e Cientifica, IEMCI, UFPA, Belém - PA. Jucá, Rosineide de Sousa. Um estudo das competências e habilidades na resolução de problemas aritméticos aditivos e multiplicativos com os números decimais / Rosineide de Sousa Jucá; Orientador Pedro Franco de Sá, 2014. 283f. Tese (Doutorado em Educação, em Ciências e Matemática) –Universidade Federal do Pará, Instituto de Educação Matemática e Cientifica, Programa de Pós-graduação da Rede Amazônica em Educação, em Ciências e Matemática, Belém, 2014. 1.Fundamentos e Metodologias para a Educação em Ciências e em Matemática. 2. Educação em Ciências e em Matemática I. Jucá, Rosineide de Sousa. ll. Título. ROSINEIDE DE SOUSA JUCA UM ESTUDO DAS COMPETÊNCIAS E HABILIDADES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS ADITIVOS E MULTIPLICATIVOS COM OS NÚMEROS DECIMAIS Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática. Polo da Universidade Federal do Pará. Como exigência para obtenção do título de doutora em Educação, em Ciências e Matemática. Área de concentração: Educação em Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. PEDRO FRANCO DE SÁ Aprovada em: 19/11/2014 Banca examinadora ___________________________________________________ Prof. Dr. Pedro Franco de Sá – Orientador Universidade do Estado do Pará ___________________________________________________ Profa. Dra. Marta Maria Pontin Darsie Universidade Federal do Mato Grosso ___________________________________________________ Prof. Dr. Francisco Hermes Santos da Silva Universidade Federal do Pará __________________________________________________ Prof. Dr. Fabio José da Costa Alves Universidade do Estado do Pará ___________________________________________________ Prof. Dr. John Andrew Fossa Universidade Federal do Rio Grande do Norte AGRADECIMENTOS Primeiramente, a Deus, por toda a força que recebi nesta caminhada. Ao meu orientador, o Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, por ter aceitado me orientar em uma situação tão difícil, obrigada pela confiança e contribuição. Ao meu amigo, Prof. Carlos Alberto Miranda, pelo apoio nos momentos de angústia, pelas longas conversas e pelas contribuições. À professora Rosangela Salgado, por ter cedido a turma para a realização da pesquisa. Aos alunos da turma do 7º ano que participaram desta pesquisa, sem os quais ela não seria possível. À Direção da Escola, onde esta pesquisa foi realizada. Aos colegas doutorandos da REAMEC, em especial, os colegas do Pólo Manaus que me acolheram tão bem. Aos professores que participaram da minha banca de qualificação pelas excelentes contribuições. À coordenação e aos professores da REAMEC. Á minha família. As minhas monitoras Sandy Dias e Thamires Mota pelo apoio. A todas as pessoas que torceram e me deram apoio para continuar nesta caminhada. Com eterna saudade, aos meus pais, Áurea de Sousa Jucá e Francisco Oliveira Jucá (In memorian), sem os quais eu não seria quem eu sou. “Se enxerguei mais longe foi porque me apoiei sobre ombros de gigantes” (ISAAC NEWTON) LISTA DE QUADROS Quadro 1 - Comparação do modelo de sentido de número e operação 82 Quadro 2 - Modelagem dos problemas aritméticos e algébricos propostos por Sá(2004) 115 Quadro 3 - Etapas da coleta de dados 129 Quadro 4 - Problemas do teste aditivo com os naturais 123 Quadro 5 – Problemas do teste aditivo com os decimais 125 Quadro 6 - Problemas do teste multiplicativo com os naturais 126 Quadro 7 - Problemas do teste multiplicativo com os decimais 127 Quadro 8 - Trajetória da pesquisa 129 Quadro 9 - Análise dos problemas aditivos segundo à classificação de Sá (2003) e Durval (2003) Análise dos problemas multiplicativos segundo à classificação de Sá (2003) e Durval (2003) Comparativo dos resultados dos testes do campo aditivo 139 Quadro 10 Quadro 11 - 147 195 com decimais Quadro 12 - Desempenho dos alunos nas operações do campo aditivo com os números naturais e decimais 199 Quadro 13 - Comparativo do desempenho dos alunos nas operações 201 do campo aditivo com números Naturais e Decimais Quadro 14 - Comparativo dos resultados dos testes de decimais na resolução de problemas do campo aditivo Quadro 15 - Tipos de erros no teste do campo aditivo com os 204 decimais Quadro 16 - Desempenho dos alunos na resolução de problemas no 213 campo aditivo com números naturais e decimais Quadro 17 - Comparativo dos resultados dos testes do campo multiplicativo com decimais. 216 Quadro 18 - Desempenho dos alunos nas operações do campo multiplicativo com os números naturais e decimais. 221 Quadro 19 Quadro 20 Quadro 21 - Comparativo do desempenho dos alunos nas operações do campo multiplicativo com os números naturais e decimais. Comparativo dos resultados dos testes de decimais na resolução de problemas do campo multiplicativo. Tipos de erros na resolução dos problemas multiplicativos 223 227 228 Quadro 22 - Desempenho dos alunos na resolução dos problemas do campo multiplicativo com números naturais e decimais 242 Quadro 23 - Habilidades dos alunos na resolução de problemas com os decimais 245 LISTA DE FIGURAS Figura 1Figura 2Figura 3Figura 4Figura 5Figura 6Figura 7Figura 8Figura 9Figura 10Figura 11Figura 12Figura 13Figura 14Figura 15Figura 16Figura 17Figura 18Figura 19Figura 20Figura 21Figura 22Figura 23Figura 24Figura 25Figura 26Figura 27Figura 28Figura 29Figura 30Figura 31Figura 32Figura 33Figura 34Figura 35Figura 36Figura 37- Agrandissement de Puzzies Representações dos alunos Multiplicações dos decimais Multiplicações dos decimais Composições de medidas Transformação de medidas Comparação de medidas Transformação de transformação Transformação de um estado Composição de dois estados relativos Isomorfismo de medidas para a multiplicação Operador escalar Operador funcional Isomorfismo de medidas para o 1º tipo de Quadro de representação dos decimais divisão Transformações das frações decimais em números decimais Produções dos alunos da atividade transformações das frações decimais Produções dos alunos da atividade transformações das frações decimais Representações dos decimais Etapas de desenvolvimento das atividades de ensino 1ª parte das atividades introdutórias com os decimais 2ª parte das atividades introdutórias com os decimais Atividades de adição com os decimais Atividades de subtração com os decimais Atividades de multiplicação com decimais Atividades de divisão de inteiros que resulta em decimal Atividades de divisão de dois decimais Atividade de transformações das frações decimais em números decimais Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Atividade transformação de números decimais Produções do grupo de transformação dos do Grupo problemas aditivos Produções do grupo 9 transformações dos números decimais Produções do grupo 2 transformações dos números decimais Material multibase Atividade de comparações de decimais 28 30 48 48 95 95 96 96 96 97 104 105 106 106 107 107 108 108 113 135 136 137 138 139 145 146 147 157 158 159 159 160 161 161 161 162 164 Figura 38Figura 39Figura 40Figura 41Figura 42Figura 43Figura 44Figura 45Figura 46Figura 47Figura 48Figura 49Figura 50Figura 51Figura 52Figura 53Figura 54Figura 55Figura 56Figura 57Figura 58Figura 59Figura 60Figura 61Figura 62Figura 63Figura 64Figura 65Figura 66Figura 67Figura 68Figura 69Figura 70Figura 71Figura 72Figura 73Figura 74Figura 75Figura 76Figura 77Figura 78Figura 79- Atividade de adição de decimais Produções dos alunos da atividade de adição Produções dos alunos da atividade de adição Produções dos alunos da atividade de adição Atividade de subtração de números decimais Produções do grupo 8 da atividade 4 Produções do grupo 1 da atividade 4 Produções do grupo 9 da atividade 4 Resposta do grupo aos problemas aditivos Resposta do grupo aos problemas aditivos Resposta do grupo aos problemas aditivos Respostas dos alunos para os problemas aditivos Modelação dos problemas aditivos Atividade de multiplicação de decimais Respostas dos alunos para a multiplicação de decimais Produção do grupo 5 da atividade 6 Produção do grupo 3 da atividade 6 Produção do grupo 2 da atividade 6 Produção dos alunos para a multiplicação de decimais Produção dos alunos para a multiplicação de decimais Produção dos alunos para a divisão de números inteiros Atividade de divisão de decimais Produção do grupo 4 da atividade 7 Produção do grupo 8 da atividade 7 Produção do grupo 7da atividade 7 Atividade de divisão de decimais Produção do grupo 5 para divisão de decimais Produção do grupo 1 para divisão de decimais Resposta do A36 Produção do grupo 5 para divisão de decimais Resposta do A25 Produção dos alunos para os problemas multiplicativos dos números naturais Produção dos alunos para os problemas de divisão dos números naturais Produção dos alunos para os problemas de divisão dos números naturais Atividade de resolução de problemas de multilicação com decimais Atividade de resolução de problemas de divisão como partição Atividade de resolução de problemas de divisão como cotação Modelação dos problemas pelos alunos Conclusão dos alunos Produção dos alunos Resposta do A9 Resposta do A20 Resposta do A36 Resposta do A25 166 167 168 168 169 170 170 170 172 173 173 174 175 177 179 179 180 180 180 181 182 183 185 186 186 187 188 188 188 189 190 190 192 193 194 195 195 196 201 201 202 202 Figura 80Figura 81Figura 82Figura 83Figura 84Figura 85Figura 86Figura 87Figura 88Figura 89Figura 90Figura 91Figura 92Figura 93Figura 94Figura 95Figura 96Figura 97Figura 98Figura 99Figura 100Figura 101Figura 102Figura 103Figura 104Figura 105Figura 106Figura 107Figura 108Figura 109Figura 110Figura 111Figura 112Figura 113Figura 114Figura 115Figura 116Figura 117Figura 118Figura 119Figura 120Figura 121Figura 122Figura 123Figura 124Figura 125Figura 126Figura 127Figura 128Figura 129- Resposta do A9 Resposta do A25 Resposta do A20 Resposta do A9 Resposta do A24 Produção do A7 Produção do A8 Produção do A9 Resposta do A31 Resposta do A18 Resposta do A24 Resposta do A31 Resposta do A17 Resposta do A18 Resposta do A18 Resposta do A17 Resposta do A31 Resposta do A22 Resposta do A9 Resposta do A28 Resposta do A18 Resposta do A12 Resposta do A18 Resposta do A28 Resposta do A21 Resposta do A26 Resposta do A8 Resposta do A11 Resposta do A26 Resposta do A11 Resposta do A7 Resposta do A9 Resposta do A16 Resposta do A22 Resposta do A27 Resposta do A9 Resposta do A12 Resposta do A17 Resposta do A11 Resposta do A10 Resposta do A4 Resposta do A8 Resposta do A2 Resposta do A2 Resposta do A27 Resposta do A27 Resposta do A3 Resposta do A24 Resposta do A26 Resposta do A29 202 203 203 203 203 209 210 210 211 212 212 213 213 214 215 215 216 216 217 223 223 223 224 224 224 224 225 225 225 225 226 233 233 234 2325 2335 236 237 237 238 238 239 239 240 240 241 241 242 242 243 Figura 130Figura 131Figura 132Figura 133Figura 134Figura 135- Resposta do A24 Resposta do A26 Resposta do A29 Resposta do A33 Resposta do A33 Modelo do campo de competência para a resolução de problemas com os decimais 244 244 244 245 245 256 RESUMO JUCÁ, Rosineide de Sousa. Um estudo das competências e habilidades na resolução de problemas aritméticos aditivos e multiplicativos com os números decimais – Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática (REAMEC), Polo Universidade Federal do Pará / Belém: [s,n], 2014. 286f. Esta pesquisa teve como objetivo investigar o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolverem problemas aritméticos com os números decimais, no campo aditivo e multiplicativo. Tínhamos o interesse em responder a seguinte questão de pesquisa: Qual o campo de competência que os alunos 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolverem problemas com os números decimais. A investigação foi realizada por meio de atividades de ensino com os números decimais com os alunos da turma do 7º ano do ensino fundamental de uma escola pública de Belém do Pará. Escolhemos como metodologia de pesquisa alguns aspectos da pesquisa mista, por acreditarmos que esse método é o mais adequado ao tipo de estudo que pretendíamos realizar. Os instrumentos de pesquisa utilizados nesta investigação foram as atividades de ensino, testes diagnósticos, além de observação e gravações em áudio das conversas com os alunos. Para atingirmos o objetivo desta pesquisa, utilizamos atividades de ensino adaptadas do estudo de Jucá (2008), nas quais os alunos pudessem construir as regras das operações com os números decimais e resolver problemas do campo aditivo e multiplicativo, estabelecendo relações com seus conhecimentos prévios das operações e resolução de problemas com os números naturais, pois defendemos que os conhecimentos dos números naturais implicam na aprendizagem dos números decimais. De tal sorte que essa implicação se estende, além das operações, à resolução de problemas, e, para tal, buscamos fundamentação na teoria da aprendizagem significativa de Ausubel. Para discutirmos sobre a estrutura semântica dos problemas aritméticos, utilizamos a teoria dos campos conceituais de Vergnaud que explora os problemas relacionados às estruturas aditivas e multiplicativas. Os resultados nos apontaram que os alunos que possuíam habilidades com as operações no campo dos números naturais aprenderam de forma satisfatória as operações com os números decimais, bem como apresentaram melhores habilidades na resolução de problemas. Em vista disso, inferimos que para que os alunos adquiram competência com os números decimais é necessário que tenham competência com os números naturais. Além do que para que tenham competência em resolver problemas com os números decimais precisam adquirir habilidades com as operações, em modelar os problemas, em reconhecer e utilizar a operação correntemente no problema. Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino de Matemática. Resolução de problemas. Números decimais. ABSTRACT JUCÁ, Rosineide de Sousa. Um estudo das competências e habilidades na resolução de problemas aritméticos aditivos e multiplicativos com os números decimais – Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática (REAMEC), Polo Universidade Federal do Pará / Belém: [s,n], 2014. 286f. This research aimed to investigate the field of competence that students of the 6th year of primary school should have to solve arithmetic problems with decimal numbers, the additive and multiplicative field. We had the interest to answer the following research question: What is the field of competence that students 6th grade of elementary school should have to solve problems with decimal numbers?. The research was conducted through educational activities with decimal numbers with the students in the 7th grade of elementary school in a public school in Belém do Pará. We chose as research methodology aspects of the joint research, we believe that this method is the most appropriate for the type of study that set out to accomplish. The research instruments used in this research were the teaching, diagnostic tests, observation and audio recordings of conversations with students. To achieve the objective of this research, we use appropriate education activities of the study Jucá (2008) in which students could build the rules of operations with decimals and solve the additive and multiplicative field problems in connecting with their previous knowledge of operations and troubleshooting with the natural numbers, because we argue that knowledge of the natural numbers imply the learning of decimal numbers. So much so that this involvement extends beyond the operations, problem solving, and to this end, we seek justification in the theory of meaningful learning of Ausubel. To discuss about the semantic structure of arithmetic problems, we use the theory of conceptual fields of Vergnaud exploring problems related to additive and multiplicative structures. The results showed that the students who had skills with operations in the field of natural numbers learned satisfactorily operations with decimals, and showed better skills in problem solving. In view of this, we infer that for students to acquire competence with the decimal numbers they need to have competence with the natural numbers. In addition to that they are competent in solving problems with decimal numbers need to acquire skills with operations in modeling problems, to recognize and use the operation currently in trouble. Keywords: Mathematics Education. Teaching of math. Problem solving. Decimals numbers. SUMÁRIO 1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 17 1.1 PROBLEMATICA 20 1.2 QUESTÃO DE PESQUISA 23 1.3 OBJETIVO DA PESQUISA 24 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 25 2 REVISÃO DA LITERATURA SOBRE OS NÚMEROS DECIMAIS 27 2.1 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS DECIMAIS 27 2.2 ESTUDOS QUE INVESTIGARAM OS CONHECIMENTOS E PRÁTICAS DOS PROFESSORES NO ENSINO DOS NÚMEROS DECIMAIS 57 2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES 62 3 REFERENCIAL TEÓRICO 67 3.1 A TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA 67 3.2 O SENTIDO DE NÚMERO E DE OPERAÇÃO 76 3.3 A ESTRUTURA ARITMÉTICOS 88 3.3.1 Os campos conceituais aditivo e multiplicativo 92 3.3.1.1 Problemas aritméticos da estrutura aditiva 94 3.3.1.2 Problemas aritméticos da estrutura multiplicativa 104 3.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES 116 4 METODOLOGIA DE PESQUISA 118 4.1 OBJETIVO DA PESQUISA 118 4.2 OPÇÃO METODOLÓGICA 118 4.3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 120 SEMÂNTICA DOS PROBLEMAS 4.3.1 Estudos preliminares 121 4.3.2 Universo do estudo e a amostra 121 4.3.3 Procedimentos da coleta de dados 123 4.3.4 Instrumentos de pesquisa 124 4.3.4.1 Instrumentos diagnósticos 124 4.3.4.2 Testes aditivos 125 4.3.4.3 Testes multiplicativos 129 4.4 ATIVIDADES PESQUISA 4.4.1 Descrição e análise a priori das atividades de ensino 134 4.4.1.1 Atividades de ensino da estrutura aditiva 136 4.4.1.2 Atividades de ensino da estrutura multiplicativa 144 4.5 A ANÁLISE DOS RESULTADOS 152 5 DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO 155 5.1 APLICAÇÃO DOS TESTES DIAGNÓSTICOS NÚMEROS NATURAIS E DECIMAIS DOS 155 5.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES CONCEITUAIS DOS NÚMEROS DECIMAIS 156 5.2.1 Atividade 1: Transformação de frações decimais em números decimais 156 5.2.2 Atividade 2: Comparações de números decimais 163 5.3 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO CAMPO ADITIVO COM OS NÚMEROS DECIMAIS 165 5.3.1 Atividade 3: Adição com os números decimais 165 5.3.2 Atividade 4: Subtração com os números decimais 168 5.3.3 Atividade 5: Resolução de problemas aditivos 170 5.4 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO CAMPO MULTIPLICATIVO COM OS NÚMEROS DECIMAIS 176 DE ENSINO DESENVOLVIDAS NA 133 5.4.1 Atividade 6: Multiplicação dos números decimais 176 5.4.2 Atividade 7: Atividade de divisão dos decimais 181 5.4.3 Atividade 8: Resolução de problemas multiplicativos 191 5.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES 196 6 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 199 6.1 APRESENTAÇÃO DAS CATEGORIAS DE ANÁLISE 199 6.2 ANÁLISE DOS RESULTADOS ESTRUTURA ADITIVA 6.2.1 Habilidades com as operações 201 6.2.2 Habilidades em modelar o problema e reconhecer a operação para resolver os problemas 218 6.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS DOS TESTES DA ESTRUTURA MULTIPLICATIVA 221 6.3.1 Habilidades com as operações 249 6.3.2 Habilidades em modelar o problema e reconhecer a operação para resolver os problemas 250 6.4 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS 253 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS 260 REFERÊNCIAS APÊNDICES 264 268 DOS TESTES DA 200 19 1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O conceito de número racional está entre os mais importantes conceitos matemáticos que os alunos aprendem nos anos iniciais do ensino fundamental. Serve, dentre outras coisas, para dar continuidade e ampliar o sentido de número das crianças. Behr et al. (1993) consideram os números racionais como o tópico mais importante do currículo do ensino básico, já que promove o desenvolvimento de estruturas cognitivas cruciais à aprendizagem da Matemática. Em relação aos racionais na forma decimal, Behr e Post (1992, p.55) sustentam que os decimais são ainda outra interpretação importante do número racional e são muito úteis em uma ampla variedade de configurações, o sistema métrico, a porcentagem e o dinheiro são as três mais importantes. Para esses autores, os números decimais podem causar problemas especiais para crianças, porque eles têm características semelhantes a dos números inteiros e frações. No entanto, os decimais são diferentes de cada um desses números, tanto na forma como são conceituados, tanto na forma como são manipulados. Os números decimais são, por direito próprio, uma extensão importante tanto do sistema posicional decimal, quanto de números racionais e podem ser interpretados corretamente a partir de qualquer perspectiva. Com o aspecto de valor posicional decimal, os decimais podem ser considerados como uma extensão lógica do sistema de numeração de base dez, para incluir décimos (um décimo de um todo); centésimos (um décimo de um décimo) e assim por diante; como um caso especial da interpretação parte-todo de frações, em que o conjunto é dividido em um certo número de partes iguais, de alguns múltiplos de dez, sendo o mais comum 10, 100, ou 1000 (BEHR E POST,1992, p.56). Para Behr e Post (1992, p.57), essas duas interpretações não são inteiramente separadas, ambos os entendimentos interagem e são importantes para a compreensão do conceito e das operações com números decimais. Em razão disso, o ensino dos números decimais sem referência ao sistema posicional decimal ou sem referência as frações decimais (que lhes deram origem) se caracteriza por um ensino sem significado para o aluno. De tal forma que alguns estudos apontam que os números naturais são obstáculos didáticos para a aprendizagem dos decimais. Tais afirmações surgem porque as associações dos 20 decimais com o sistema posicional decimal e com as frações decimais não são realizadas, levando os alunos a construírem ideias errôneas sobre os números decimais. Conforme Behr e Post (1992), o que é importante nessa discussão é a interação sutil entre o conceito de valor posicional derivado do trabalho anterior, com números inteiros, e vários entendimentos de fração. Se feita de forma eficaz essa interação apoia o desenvolvimento de uma nova ideia e seu sistema simbólico associado. Os estudos, nacionais e internacionais, desenvolvidos sobre os números decimais têm enfatizado as dificuldades dos alunos e professores no ensino e aprendizagem desses números. Tais estudos apontaram que os alunos estão desenvolvendo habilidades de formas mecanizadas e que por isso não entendem o conceito subjacente a esses números. Parece-nos que a escola está priorizando o conhecimento processual em detrimento do conhecimento conceitual, e, como consequência, temos alunos aplicando procedimentos (regras, algoritmos etc.) dos quais não têm compreensão. Para Hiebert e Lefevre (1986, p.10), isso ocorre quando os conceitos e procedimentos não estão conectados. Os alunos podem ter uma sensação intuitiva para a Matemática, mas não resolvem os problemas, ou podem gerar respostas, mas não compreendem o que estão fazendo. Assim sendo, os procedimentos que são aprendidos com significado são procedimentos que estebelecem ligações com conhecimento conceitual, e por isso esses procedimentos se tornam mais significatvos para os alunos. Os autores colocam uma situação que descreve a importância de associar os conhecimentos em questão. Suponha que é apresentado a um aluno a adição de 3,5 + 1,76. Um procedimento que, especificamente, seria rejeitado pelas considerações conceituais é adicionar o 5 ao 6, e 3 a 7. A ideia seria rejeitada porque essas operações tende a combinar quantidades de denominação ou tamnaho diferentes. Assim, além de ajudar com a seleção de um procedimento adequado, o conhecimento conceitual atua como um agente de triagem para rejeitar um inapropriado procedimento (HIEBERT E LEFEVRE, 1986, p.13, tradução nossa). A situação exposta pelos autores é comum em sala de aula, pois os alunos que não possuem uma compreensão conceitual dos decimais adicionam ou subtraem de forma incorreta, não levando em consideração o sistema posicional decimal, por não entenderem o sentido dos décimos, centésimos e milésimos que 21 aparecem nesses números. As regras dessas operações não têm sentido, são procedimentos vazios de significados e, consequentemente, são esquecidos ao longo do tempo. A consequência dessa dissociação entre o conhecimento conceitual e processual também é destacada nos Parâmetros Curriculares Nacionais – (PCN). Embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número e tampouco os procedimentos de cálculo, em especial os que envolvem os racionais na forma decimal (BRASIL, 1998, p. 101). Os números decimais são estudados na escola a partir do 4º ano do ensino fundamental e seu estudo continua particularmente até o 6º ano, depois, esse conteúdo aparece diluído nos demais conteúdos do currículo, de tal forma que, em nossa prática profissional temos observado que mesmo no ensino médio, encontramos alunos com dificuldade em realizar operações com esses números ou em usar suas diversas representações, seja na forma fracionária ou de porcentagem. A Matriz de Referência de Matemática do Sistema de Avaliação da Educação Básica - Saeb traz as competências e habilidades esperadas nos 5º e 9º anos, agrupadas em quatro eixos: números e operações; geometria; grandezas e medidas; e tratamento da informação. Dentre esses quatro eixos, o tema números e operações/álgebra e função tem um número significativo de descritores, catorze no total. Em referência aos números racionais decimais, o descritor D23 e D25 apresentam as habilidades a serem desenvolvidas pelos alunos. D23 - Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema monetário brasileiro. Este descritor pretende avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas do seu cotidiano, que envolvam o valor decimal de cédulas ou moedas do Sistema Monetário Brasileiro. Essa habilidade é avaliada por meio da resolução de problemas que se relacionam ao cotidiano, associados à manipulação de dinheiro. Podem ser exploradas as operações de adição e subtração com decimais que representam quantidades monetárias e as operações de multiplicação e divisão de um decimal que representa quantidades monetárias por um número natural. D25 - Resolver problema com números racionais expressos na forma decimal envolvendo diferentes significados da adição ou subtração O descritor D25 pretende avaliar a habilidade de o aluno resolver problemas com números decimais, utilizando-se das operações de adição e subtração (BRASIL. PDE/ Prova Brasil, 2009, p. p.143- 146). 22 Segundo o documento PDE/Prova Brasil (BRASIL, 2009, p.18), um aluno desenvolveu uma certa habilidade quando ele for capaz de resolver um problema a partir da utilização/aplicação de um conceito por ele já construído. Esse mesmo documento define competência, na perspectiva de Perrenoud, como sendo a “capacidade de agir eficazmente em um determinado tipo de situação, apoiando-se em conhecimentos, mas sem se limitar a eles”. E sobre habilidade, expõe que “habilidades referem-se, especificamente, ao plano objetivo e prático do saber fazer e decorrem, diretamente, das competências já adquiridas e que se transformam em habilidades” (PDE/Prova Brasil, BRASIL, 2009, p.18 -19). Assim sendo, os alunos possuem habilidades e competência para resolver problemas com números decimais quando conseguem estabelecer relações entre os conhecimentos processuais e conceituais que envolvem esses números. 1.1 PROBLEMÁTICA A literatura sobre o ensino e a aprendizagem dos números decimais é vasta, e as pesquisas têm mostrado, ao longo dos anos, as complexidades que envolvem esses números, assim como seu ensino e aprendizagem. Esses estudos têm evidenciado a carência dos alunos na compreensão conceitual e o que isso pode acarretar. Tais estudos discutem que a falta de compreensão do sentido de número decimal acarreta dificuldades na aprendizagem, principalmente na representação, leitura, comparação e ordenação desses números, visto que essas são situações propriamente conceituais. Acrescentemos a isso as dificuldades na compreensão das operações e na resolução de problemas. Os trabalhos revisados sobre ensino e aprendizagem dos decimais podem ser classificados dentro das seguintes categorias: Estudos que investigaram a dificuldade conceitual e com as operações com decimais: Brousseau (1981,1983, 1987, 2004), Perrin Glorian (1986), Doaudy e Perrin Glorian (1986), Behr e Post (1988), Padovan (2000), Cunha (2001), Roditi (2007), Fonseca (2005), Vieira (2005), Silva (2006), Mendes (2012) e Şengül e Gülbağcl (2012); 23 Estudos que apresentaram propostas de ensino: Biachinni (2001), Jucá (2004, 2008), Mestre (2009) e Pereira (2011); Estudos que investigaram as dificuldades na resolução de problemas com os decimais: Hiebert e Wearne (1988), Bell et al (1981) e Fischbein et al (1985); Estudos que investigaram os saberes e práticas dos professores sobre números decimais: Roditi (2001), Alves e Gomes (2007), Esteves (2009), Ribeiro (2009, 2011), Miola (2011) e Miola e Pereira (2012). De forma geral, a maior parte da literatura existente sobre o ensino dos números decimais, no Brasil e no exterior, tem evidenciado as dificuldades, principalmente, as relativas à compreensão conceitual. Outros estudos apontaram as dificuldades dos alunos com as operações. Tais dificuldades têm levado os alunos a cometerem erros significativos, principalmente, ao resolverem problemas. Na revisão da literatura, percebemos uma escassez nos estudos que investigaram as habilidades dos alunos na resolução de problemas com os decimais. Os estudos de Hiebert e Wearne (1988) e Bell et al. (1981), analisaram algumas estratégias de resolução e apontaram as dificuldades dos alunos, as quais estão relacionadas a questões conceituais. O estudo de Fischbein et al. (1986), não foi especificamente sobre os decimais, mas tratou sobre algumas dificuldades dos alunos ao resolverem problemas com esses números no campo multiplicativo. O estudo de Pereira (2011) apresenta uma proposta de ensino por meio da resolução de problemas, todavia, a autora não apresenta uma análise detalhada das dificuldades dos alunos. As dificuldades relacionadas à estrutura semântica dos problemas foram destacadas em diversos estudos referentes aos números naturais, entre eles, Fischbein et al. (1986), Bell et al. (1981), Behr e Post (1988), Hilbert Wearne (1988), Greer (1992), Vergnaud (1990, 2009), Sá (2003) e Damm (2003). Com efeito, alguns desses estudos apontaram também as dificuldades com os números decimais, e estas estão relacionadas às deficiências conceituais dos alunos, pois o que fica claro, tanto na prática escolar exposta nas pesquisas com professores, quanto no conteúdo dos livros didáticos, é que existe uma supervalorização dos procedimentos em detrimento da construção conceitual dos decimais e isso tem levado os alunos a utilizarem regras prontas que eles não compreendem e, como 24 consequência, não conseguem raciocinar sobre os resultados das operações, apresentando respostas absurdas. As discussões apresentadas pelos estudos revisados sobre ensino e aprendizagem dos números decimais, juntamente com a escassez de estudos relacionados a resolução de problemas neste campo numérico, articuladas com nossa prática profissional, motivaram o interesse para investigar a resolução de problemas com esses números. Pois nas Avaliações Nacionais da Educação Básica - provinha Brasil e prova Brasil, tem se observado um índice considerado de erros em questões que envolvem a resolução de problemas com os números decimais, em suas várias representações. Além do que a matriz de referência do Saeb discute sobre as competências e habilidades que os alunos devem desenvolver em Matemática, e está estruturada sobre o foco Resolução de Problemas. Segundo o documento PDE/Prova Brasil (BRASIL, 2009, p.106), essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução. Em virtude de tudo isso, e levando em consideração a continuidade dos nossos estudos (JUCÁ, 2004, 2008), novas inquietações surgiram, não somente em relação às operações com os decimais, mas também sobre a resolução de problemas. No desenvolvimento de nossos estudos anteriores, nos quais aplicamos sequências didáticas para o ensino dos decimais, tínhamos como foco apenas o ensino das operações, e, para isso, utilizamos atividades que envolviam problemas. Porém, no desenvolvimento das atividades, nos deparamos com uma situação inesperada, os alunos apresentavam dificuldades em resolver os problemas e as operações com os números naturais. Os problemas propostos nas atividades apresentavam situações relacionadas aos sistemas de medida e monetário, contudo, os alunos tiveram dificuldades em compreender o problema e escolher corretamente a operação que deveria ser usada. As dificuldades em compreender o problema levaram os alunos a fazer as tradicionais perguntas: “Qual é a conta?”, “É de mais ou de menos?”, “É de vezes ou divisão?”. Some-se a esse fato a dificuldade em desenvolver as atividades que exigiam que os alunos construíssem as regras das operações dos decimais, visto que os alunos não dominavam os algoritmos das operações com os naturais. Tal situação dificultou o desenvolvimento das atividades das sequências. 25 Em vista disso, confrontamo-nos com novas questões: se os alunos dominassem os algoritmos das operações com os naturais, poderiam ter mais facilidade para aprender as operações com os decimais? Se os alunos tivessem habilidade em resolver problemas com os números naturais, obteriam maior facilidade para resolver problemas com os decimais? Acreditamos que são questões pertinentes e que merecem investigação. De tal sorte que, dando continuidade aos nossos estudos anteriores, e com base nas conclusões dos estudos revisados na área dos números decimais, como os estudos de Behr e Post (1988) e Hiebert e Wearne (1988), que enfatizam a importância da aprendizagem dos números inteiros positivos para a aprendizagem dos decimais, surgiu o interesse em investigar de que forma o conhecimento dos números naturais influencia a aprendizagem dos números decimais, principalmente na resolução de problemas. Feitas essas considerações, defendemos que a competência para resolver problemas com os números decimais está relacionada à competência para resolver problemas com números naturais. 1.2 A QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO Por todos os argumentos apresentados, nesta pesquisa, nos propusemos a responder às seguintes questões de investigação: 1) A habilidade de realizar as operações com números naturais influencia no desenvolvimento da habilidade de realizar operações com números decimais? 2) A habilidade de resolver problemas com números naturais influencia no desenvolvimento da habilidade de resolver problemas com números decimais? As respostas a essas questões nos conduziram a uma questão mais geral: Qual o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolver problema com os números decimais? 26 1.3 OBJETIVO DA PESQUISA Investigar o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolver problemas aritméticos com os números decimais, no campo aditivo e multiplicativo. Como objetivos específicos destacamos: Verificar se os conhecimentos prévios dos alunos com os números naturais influenciam na aprendizagem dos decimais; Verificar o desempenho dos alunos em problemas do campo aditivo e multiplicativo com os decimais; Investigar quais habilidades os alunos apresentam na resolução de problemas com os decimais. Isso posto, esta pesquisa consistiu na aplicação de atividades de ensino com os números decimais, com a interpretação e análise dessas atividades, a partir dos conhecimentos prévios acerca de números naturais e frações decimais. Assim, aplicamos atividades de ensino nas quais os alunos pudessem construir as regras das operações com os números decimais, estabelecendo relações com seus conhecimentos prévios sobre as operações com os números naturais, e de igual forma, na resolução de problemas aditivos e multiplicativos. Nessa vertente, esta investigação buscou suporte teórico nos estudos de David Ausubel (2003), sobre a aprendizagem significativa; Vergnaud (1990, 2009), sobre a teoria dos campos conceituais e a estrutura semântica dos problemas aditivos e multiplicativos; e na classificação dos problemas aritméticos e algébricos propostos por Sá (2003). A teoria da aprendizagem significativa de Ausubel (2003) nos propiciou justificar a utilização dos conhecimentos prévios dos naturais como subsunçores para a aprendizagem dos decimais. Defendemos que a aprendizagem das operações com os números decimais está diretamente associada à aprendizagem das operações com os naturais, e que uma vez que os alunos não tenham construído o conhecimento com os naturais de forma eficiente, terão dificuldade em aprender as operações e a resolver problemas com os decimais. Segundo Moreira (2006, p.17), a aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo. Ou seja, nesse processo, a nova 27 informação interage como uma estrutura de conhecimento especifica, a qual Ausubel define como conceito subsunçor. O conceito de subsunçores, de acordo com Moreira (2006, p. 17), refere-se “[...] a qualquer ideia, conceito, proposição existente na estrutura cognitiva do aprendiz [...]”, e eles servirão como ancoradouros para os novos conhecimentos, que interagem com os conhecimentos já construídos com a finalidade de obter a aprendizagem significativa. Os estudos de Vergnaud (1976, 1983, 1988, 2009a,) sobre a estrutura semântica dos problemas nos permitiram compreender os esquemas dos alunos na resolução dos problemas e os conceitos que mobilizam na sua resolução, principalmente nos campos conceituais aditivos e multiplicativos; e o estudo de Sá(2003), sobre os problemas algébricos e aritméticos, nos propiciaram investigar as dificuldades dos alunos dentro de uma certa categoria de problemas com os decimais. Para desenvolvimento desta investigação, escolhemos como metodologia de pesquisa alguns aspectos da pesquisa qualitativa e quantitativa, ou seja, a pesquisa de métodos mistos, por acreditarmos que uma síntese de ambos nos ajudaria a ter uma visão mais global deste estudo. Como expõem Creswell e Clark (2013, p.21), “a pesquisa em métodos mistos é o tipo de pesquisa em que o pesquisador combina elementos de abordagem qualitativa e quantitativa com o propósito de ampliar e aprofundar o entendimento e a corroboração.” 1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Este trabalho está estruturado em sete capítulos. Nas Considerações Iniciais, capítulo 1, apresentamos a motivação, a problemática, o objetivo e a questão de pesquisa. No capítulo 2, trazemos uma revisão dos estudos sobre o ensino dos decimais realizados no Brasil e no exterior. Esses estudos apontaram as dificuldades de alunos e professores no processo de ensino e aprendizagem dos números decimais. No capítulo 3, expomos o referencial teórico que subsidiou este trabalho, a teoria da aprendizagem significativa de Ausubel e os estudos da teoria dos campos conceituais, a estrutura semântica dos problemas de Vergnaud (1976, 28 1983, 1988, 2009a,) e a classificação dos problemas de Sá (2003), além de outros estudos complementares. No capítulo 4, discorremos sobre a metodologia e os procedimentos metodológicos da pesquisa. A colaboração dos aspectos da pesquisa qualitativa e quantitativa nos ajudou a compreendermos os processos cognitivos que se mostraram dentro da pesquisa. Como tínhamos interesse em investigar como os alunos operacionalizam e como resolvem problemas com os números decimais, consideramos um método experimental e as variáveis envolvidas. Todavia, não somente o produto nos interessava, mas também o processo da investigação, pois precisávamos investigar quais são as dificuldades, os erros, os procedimentos que os alunos utilizam para resolver problemas, seus avanços e estabilizações. No capítulo 5, descrevemos a experimentação da pesquisa. As atividades de ensino que se referiam às operações com decimais, usadas nesta investigação, foram adaptadas do estudo de Jucá (2008), com algumas modificações nas atividades do campo multiplicativo. A atividade de resolução de problema foi elaborada a partir das revisões dos estudos e do referencial teórico sobre estrutura semântica dos problemas. No capítulo 6, trazemos a análise e as discussões dos resultados. Na discussão dos resultados dos testes aplicados e das atividades devolvidas, podemos analisar de que forma os conhecimentos dos números naturais influenciou a aprendizagem dos decimais, e se eles, em algum momento, se tornaram obstáculos de aprendizagem. Nas análises dos resultados, percebemos os avanços, retrocessos e dificuldades dos alunos na resolução de problemas e, ao final das análises, apontamos as habilidades e competência para os alunos resolverem problemas com os decimais. No capítulo 7, apresentamos as considerações finais. 29 2 REVISÃO DA LITERATURA SOBRE OS NÚMEROS DECIMAIS Neste capitulo, apresentamos uma revisão dos estudos referentes ao processo de ensino e aprendizagem dos números decimais no Brasil e exterior, com o objetivo de conhecer as dificuldades dos alunos e dos professores relacionadas ao ensino e aprendizagem dos decimais e as propostas de ensino desenvolvidas até os dias atuais. Dividimos os estudos em duas categorias, a primeira apresenta os estudos que discutem sobre ensino e aprendizagem e a segunda, os estudos que discutem sobre o conhecimento dos professores sobre os decimais. 2.1 OS ESTUDOS SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS DECIMAIS Os estudos de Brousseau (1981, 1983, 1987, 2004) sobre os números decimais são os primeiros a abrirem as grandes discussões que envolvem o ensino desses números. Uma das grandes questões levantadas é em relação aos obstáculos didáticos que os estudos dos naturais podem causar na aprendizagem dos decimais, pois, segundo Brousseau (1983, p.30), os números naturais criam obstáculos à concepção dos decimais, por razão evidente de aproximação da escritura e da estrutura. Uma das associações que os alunos apresentam em relação aos números naturais é que os números naturais com maior valor são os que apresentam maior quantidade de números, no entanto, para os decimais isso não é válido, pois 3,157 é menor que 3,2. Esses obstáculos se manifestam sobre a forma de várias dificuldades, que podem ser tratadas separadamente. Para Brousseau (1983, p. 30), essas relações com os números naturais geram obstáculos, tais como: Dificuldade em aceitar que podemos obter um aumento por uma divisão e uma diminuição por uma multiplicação; Dificuldade para achar um número decimal entre dois outros, e para desistir de achar um sucesso a um decimal; Dificuldade em aceitar a dupla escritura; 30 Dificuldade em conceber o produto; Dificuldade em conceber novos tipos de divisões. Esses obstáculos aparecem em diversos estudos sobre os decimais, tanto na França, como em outros países, inclusive no Brasil. Para tentar amenizar tais obstáculos algumas propostas de ensino foram desenvolvidas na França, destacando-se as engenharias didáticas propostas por Brousseau (1987) e Doaudy e Perrin-Glorian (1986). Nessas duas propostas, os decimais são tratados como racionais particulares. Esses trabalhos são citados em diversas publicações relacionadas aos decimais na França, principalmente nas orientações de ensino para os professores. A engenharia didática, proposta por Brousseau (1987) para o ensino dos decimais, apresenta, primeiramente, o ensino das frações, principalmente as frações decimais, para, depois, introduzir a noção de número decimal e realizar o ensino das suas operações, ordenação e comparação. Nessa engenharia, ele utiliza a resolução de problemas do cotidiano para que os alunos busquem soluções, de tal forma que os alunos são levados a discutir e apresentar suas ideias e soluções. Na proposta de ensino de Brousseau (ibid.) O ensino das operações parte sempre de uma situação-problema para que os alunos possam discutir e buscar uma solução adequada para resolvê-la; ao final, o sentido das operações com os decimais é apresentado por meio das operações com as frações decimais. A operação de multiplicação, por exemplo, é introduzida por uma atividade de ampliação de uma figura, chamada de Agrandissement de Puzzies (Figura 1). Essa atividade se tornou clássica, pois aparece em vários trabalhos sobre decimais na França e no Brasil. Figura 1- Agrandissement de Puzzies Fonte: Brousseau (1987). 31 Essa figura é fornecida aos alunos para que eles a refaçam de uma forma ampliada. Cada grupo de alunos fica responsável pela ampliação de cada peça do Puzzies, ao final, os grupos devem juntar suas peças para verificar se será formada a mesma figura. Assim, para resolver essa situação, os alunos buscam estratégias e mobilizam os conhecimentos estudados anteriormente, de tal forma que o aluno vai trabalhando vários outros conceitos, como, por exemplo, a proporcionalidade, para finalmente chegar às situações multiplicativas que serão necessárias para resolver a atividade. O interessante nas atividades propostas por Brousseau é que, ao final das atividades, as operações desenvolvidas são justificadas pelas operações com as frações decimais, para que os alunos compreendam o sentido das operações realizadas e, assim, também possam compreender o sentido da vírgula que aparece nos números decimais. Outra proposta didática analisada foi a de Doaudy e Perrin Glorian (1986). Diferentemente de Brousseau (1987), as autoras optaram por trabalhar com a mudança de quadros, em que as ideias geométricas (área e perímetro) são utilizadas para dar sentido às operações com os decimais. As autoras partem do princípio de que os novos números (os decimais) são criados parar responder situações em que os inteiros são insuficientes. Nessa situação, utiliza-se o quadro numérico, geométrico ou gráfico para fazer progredir os conhecimentos dos alunos sobre esses números. Assim, os novos números são escritos na forma fracionária. As frações decimais foram usadas para simplificar os cálculos, e a escrita com a vírgula aparece como simplificação dessas frações. Os números inteiros, fracionários e decimais são usados na sequência para designar os coeficientes das funções lineares, isto é, os coeficientes de proporcionalidade, e reduzir os cálculos de funções lineares (adição, composição, comparação) e os cálculos sobre os números (adição, multiplicação e comparação). Elaboramos um breve resumo das atividades da sequência, que se assemelha bastante à de Brousseau. A 1ª atividade da sequência envolve medida de comprimento, para que os alunos percebam que os inteiros são insuficientes para resolver a situação. Dessa forma, as frações são introduzidas. Na 2ª atividade, foram utilizadas as frações para o cálculo de área. Usase folhas de papel que são dobradas ou cortadas em várias partes, cada parte é 32 uma fração da folha, que será montada como um quebra cabeça. Aqui as operações com frações são trabalhadas. A 3ª atividade é usada para situar uma fração entre dois inteiros, várias propriedades dos racionais são trabalhadas, até aparecer a necessidade de trabalhar com as frações decimais, introduzidas nessa atividade. Na 4ª atividade, foram trabalhados problemas envolvendo proporcionalidade para que os números decimais possam aparecer. As autoras utilizam a atividade proposta por Brousseau o Agrandissement de Puzzies para forçar o aparecimento dos decimais e introduzir os novos números. Nas atividades finais, é trabalhada a ideia de área e perímetro de um retângulo, em que é trabalhada a multiplicação e adição das frações decimais e consequentemente as operações com os decimais. Após isso, a regra da multiplicação é formalizada e as técnicas apresentadas. O mesmo é feito para a divisão. Semelhantemente à proposta de Brousseau (1987), observamos que todas as operações são introduzidas por meio das operações com as frações decimais, as operações são apresentadas a partir dessas, para, em seguida, mostrar-se a forma decimal de efetuá-las. Somente ao final das atividades, as técnicas das operações com os decimais são apresentadas. Em outro estudo, Perrin Glorian (1986) investigou as formas de compreensão errôneas que os alunos franceses do CM1, CM2 e 6º ano (o que corresponde ao Ensino Fundamental 1 no Brasil) apresentavam sobre os números fracionários e decimais. Tanto na representação fracionária como na decimal, esses números são vistos pelos alunos como justaposição de dois inteiros. Na representação numérica dos desenhos de frações, os alunos apresentavam respostas errôneas, do tipo: Figura 2- Representação numérica errônea dos desenhos de frações Fonte: Perrin Glorian (1986). 33 Observamos que, na representação da parte pintada das figuras, os alunos apresentaram respostas errôneas, sendo que entenderam que o menor número de partes fica no numerador e o maior número de partes no denominador, como mostra o primeiro desenho. Ao invés de escrever 1 4 , o aluno utiliza 1 para o menor número de partes, e 3 para o maior número de partes. No terceiro desenho, na representação do decimal, ele considera a parte pintada como se fosse a parte inteira e a outra parte, a decimal. Concluímos que os alunos enxergam as frações, assim como os decimais, como a junção de números inteiros. Perrin Glorian (1986, p.7) destaca outros erros, como a ordenação dos decimais. Os alunos, ao ordenaram os números decimais entre 1,8 e 2, colocaram números do tipo 1,11 e 1,78. Em outra situação, ao colocarem números entre 1,3 e 1,4 os alunos usavam números como: 1,04; 1,004; 1,03; 1,003. Em relação à comparação dos decimais com a mesma parte inteira, a autora observou que os alunos utilizaram a parte decimal para fazer a comparação, tendo como base os números inteiros, 4,36 >4,8, e justificaram que 36 > 8. Perrin Glorian (1986, p. 6) faz referência às regras implícitas que os alunos mobilizavam quando se sentiam confrontados com problemas sobre ordem e comparação dos decimais. Ela destacou três regras usadas implicitamente pelos alunos, quais sejam: R1: o maior número decimal é aquele que possui o maior número inteiro após a vírgula. Ex. 12,113> 12,4 pois 113 >4; R2: o número que tem mais casas decimais é menor. Ex. 12,325 <12,3; R3: é uma composição das duas anteriores. Para Perrin Glorian (1986, p. 6), essas regras são as responsáveis pelas respostas errôneas dos alunos, mas são estratégias pessoais que eles criam para poder ordenar e comparar os decimais. Em suas análises, ela concluiu que os alunos enxergam os decimais como dois inteiros separados por uma vírgula, e que, por isso, não atribuem significado a esse número. Outro estudo analisado foi de Bell et al. (1981) que se propôs a analisar os problemas conceituais que os alunos possuem ao resolver os problemas que contêm números decimais. Após analisarem as pesquisas desenvolvidas sobre a discussão de problemas aritméticos, os autores descrevem um experimento composto de entrevistas, de testes diagnósticos e um material de ensino 34 desenvolvido com a utilização de calculadora e jogos para identificar as “misconcepções” ou equívocos que os alunos cometem ao trabalharem com as operações de multiplicação e divisão de decimais. A pesquisa foi desenvolvida com 20 pares de alunos dos Estados Unidos, com idade entre 12 a 16 anos. No desenvolvimento das atividades, os alunos eram incetivados, no caso de insucesso nas atividades, a reformularem o problema em suas próprias palavras, a usarem diagramas para ajudar na resolução dos problemas, diagramas propostos pelo pesquisador e números mais simples para resolver os problemas. Bell et al. (1981) observaram que os alunos tinham dificuldade em perceber qual a operação correta para resolver o problema e isso estava relacionado ao sentido intuitivo do tamanho dos números decimais. Além do que, outros erros estavam relacionados a generalizações equivocadas das operações de multiplicação e divisão com números inteiros. Os autores identificaram erros relacionados ao valor posicional dos decimais e compreensão da leitura desses números. Generalizações do tipo “multiplicação sempre aumenta” e “divisão sempre diminui” levaram os alunos a respostas erradas, além de algumas representações da divisão, nas quais o dividendo é sempre maior que o divisor, de tal forma que os alunos tiveram problemas em aceitar a divisão de um número decimal menor por um número decimal maior. Outro fator de erro foi a utilização das palavras-chave que aparecem nos problemas, que indicam a operação a ser utilizada. Quando essas palavras não se encontravam presentes no texto, os alunos tinham dificuldade em resolver o problema e usavam como estratégias a colocação dessas palavras no texto. Nas atividades de ensino propostas pelos autores, os alunos eram motivados a substituir os números decimais por inteiros para analisarem se conseguiriam resolver os problemas e se isso facilitaria no raciocínio dos problemas. Em algumas situações, isso se mostrou eficaz, entretanto, em outras situações, os alunos, ao trabalharem com os números decimais, escolheram uma operação, e quando raciocinavam com os números inteiros, escolhiam outra operação. Os autores colocaram que os alunos assumiram que a mudança dos números no problema mudava a situação, e chamam a atenção para a necessidade de o ensino estabelecer que os conceitos de divisão e outras operações residem nas relações da situação. 35 Também Fischbein et al. (1985) desenvolveram um estudo junto a 623 alunos de escolas italianas (5, 7, e 9 graus), aos quais foi solicitado que escolhessem a operação necessária para resolver 26 problemas de multiplicação e divisão que envolviam números inteiros e decimais. O objetivo do estudo era investigar quais os modelos intuitivos que os alunos costumam utilizar quando resolvem problemas com essas operações. Os autores partiram da hipótese de que, para a multiplicação, o modelo intuitivo era a adição repetida e para a divisão, o modelo de partilha. Segundo Fischbein et al. (1985, p.3), cada operação fundamental da aritmética, geralmente, permanece ligada a um modelo implícito, esse modelo é intuitivo, inconsciente e primitivo. A Identificação da operação necessária para resolver um problema com os dados numéricos não ocorre diretamente, mas sim mediada pelo modelo. O modelo impõe suas próprias restrições no processo de resolução. Para os autores, a restrição do modelo escolhido pode levar à escolha inadequada da operação e isso ocorre porque o caminho está bloqueado pela incongruência entre os dados numéricos fornecidos no problema e os condicionamentos específicos do modelo tácito subjacente. Os autores expõem uma consequência da utilização desses modelos implícitos, como, por exemplo, a suposição de que o conceito de multiplicação é intuitivamente ligado a um modelo de adição repetida, de modo que 3 vezes 5 significa 5 + 5 + 5. Em tal interpretação, o operador de multiplicação só pode ser um número inteiro. A multiplicação em que o operador é de 0,22 ou 5/3 não tem nenhum significado intuitivo. Todavia, dizer que a multiplicação por 0,22 ou 5/3 não tem nenhum significado intuitivo não implica dizer que não tem significado matemático. As crianças podem saber muito bem que 1,20 x 0,22 e 9 x 5/3 são expressões matemáticas legítimas, mas quando expressas em um problema, podem não ser capazes de penetrar no problema e compreender a operação necessária. O caminho está bloqueado pela incongruência entre os dados numéricos fornecidos e os condicionamentos específicos do modelo tácito subjacente (FISCHBEIN ET AL ,1985, p.4). Os autores descreveram vários fatores que se presume serem criação das dificuldades que as crianças têm em resolver problemas aritméticos. A falta de familiaridade com o contexto e o tipo de quantidades envolvidas podem colaborar 36 com a dificuldade do problema, como podem, também, contribuir o tamanho e tipo de números usados. O problema pode ser mais difícil se ele contém números inteiros na ordem das centenas ou acima, ou decimais. Outro fator é a relação entre a situação prevista e a adequada operação, pois as situações multiplicativas, envolvendo um produto cartesiano, eram mais difíceis de interpretar do que situações redutíveis à adição repetida. Os resultados do estudo de Fischbein et al. (1985, p.11) apontaram as dificuldades dos alunos em problemas que envolvem números decimais, tanto na multiplicação e divisão. Com relação aos problemas nos quais os alunos tinham que multiplicar e dividir com números inteiros, houve uma grande quantidade de acertos. As multiplicações que envolviam números inteiros e decimais apresentaram uma quantidade de acertos interessantes, observou-se que quando o decimal era o multiplicador, o número de acerto foi maior do que quando o decimal era o multiplicando. Nessa última situação, o número de acerto caiu quase pela metade. Outra questão a ser destacada é que o número de erros na escolha da operação com os decimais foi muito maior se comparado ao número de erros na escolha da operação com os inteiros. Em relação à operação de divisão, observou-se um grande número de acertos nos problemas que envolviam somente números inteiros, no entanto, quando a divisão envolvia números “grandes” (na ordem da centena, ou milhar), o número de acertos diminuía consideravelmente. Nos problemas que envolviam números inteiros e decimais, o número de acerto caiu quase pela metade. Se o divisor era um número decimal, o número de acerto foi bem menor do que quando esse assumia o papel de dividendo. O número de erros na escolha da operação também foi bem considerável. Para os autores, a maior parte dos erros consistiu na intervenção da ordem dos termos, produzindo, assim, uma operação intuitiva aceitável. Na divisão de 3,25 por 5, os alunos inverteram a ordem e dividiram 5 por 3,25, confirmando os modelos implícitos nos quais a divisão é sempre de um número maior pelo menor. A partir dos resultados dos testes, os autores confirmaram a hipótese inicial de que a adição repetida é o modelo implícito primitivo da multiplicação, porém, em relação à divisão, os autores fizeram uma correção em suas hipóteses iniciais, qual seja, a divisão como partição é o modelo implícito primitivo, mas a divisão como cotação é um modelo que se adquire com a instrução. Isso porque, 37 com os alunos das séries menores, esse modelo não foi explorado nem utilizado, mas com os alunos de séries mais avançadas, foi observado o domínio desse modelo. Além do que, na interpretação partitiva de divisão, o divisor deverá ser um número inteiro, e tanto divisor e quociente devem ser menores do que o dividendo. Na interpretação cotativa da divisão, há apenas uma restrição, o divisor deve ser menor do que o dividendo. Em ambos, a multiplicação e a divisão, se a parte decimal é significativamente maior do que a parte fracionada, o conjunto pode intuitivamente "absorver" o componente fracionário, e, portanto, os decimais psicologicamente são tratados como um número inteiro. O estudo de Hiebert e Wearne (1988) tinha por objetivo investigar as habilidades dos alunos em manipular números decimais, a compreensão dos conceitos subjacentes, bem como as conexões entre símbolos e conceitos. Foram desenvolvidos três estudos, o primeiro envolveu 700 alunos dos Estados Unidos. Todos os alunos receberam provas escritas, e cerca de 150 alunos foram individualmente entrevistados duas ou três vezes durante o ano. As provas escritas, que os alunos responderam, tinham por base os conteúdos do currículo de matemática, como computação, tradução e ordenação de decimais. Nas correções destas provas, os autores observaram que os estudantes não possuíam bom desempenho nas operações. A computação dos alunos era regida por uma regra que apresentava a aplicação de um modelo pronto que utilizava apenas regras sintáticas e características superficiais dos problemas. Sendo assim, os alunos não manifestaram nenhum conhecimento conceitual essencial, mas apenas memorização de regras processuais que aplicam de forma inadequada Para os autores, uma explicação para o mau desempenho dos alunos é o fato de eles serem levados a memorizar um grande número de regras de manipulação de símbolos que têm pouco conteúdo conceitual para eles. Uma outra consequência de memorizar as regras, de manipular símbolos que não são compreendidos é que a habilidade processual supera a competência conceitual. Os alunos são capazes de executar tarefas em um nível simbólico que eles não podem pensar em um nível conceitual. Assim muitas dificuldades podem ser atribuídas a um incompleto ou inexistente conhecimento do significado do símbolo escrito. Os autores, apoiados nessas conclusões, desenvolveram uma teoria de como os alunos se tornam competentes no trabalho com símbolos matemáticos 38 escritos, ou seja, com o número decimal. A teoria especifica uma sucessão de processos cognitivos que cumulam para um campo de competência com símbolos decimais, os autores apresentam cinco principais tipos de processos e, segundo eles, a competência plena se desenvolve quando os alunos atingem cada um dos tipos do processo. Para Hiebert e Wearne (1988), os cinco principais processos que levam à competência do símbolo são: (1) o processo de conexão, em que símbolos individuais são ligados a referentes; (2) o processo de desenvolvimento, em que as regras de manipulação de símbolos são desenvolvidas a partir de ações sobre o referente; (3) o processo de elaboração, em que as regras são estendidas para problemas semelhantes, mais complexos; (4) o processo de rotinização, em que as regras são memorizadas e automatizadas; e (5) o processo de construção, em que os símbolos e as regras são usadas como referências para a construção de sistemas de símbolos mais abstratos. O primeiro tipo de processo cognitivo, no desenvolvimento da competência simbólica, é o processo de ligação ou conexão. Esse processo envolve a construção de ligações entre os símbolos individuais e as referências conhecidas. É o processo das construções de pontes, que, ao serem atravessadas mentalmente, dá sentido aos símbolos escritos (o referente para os decimais é o sistema monetário e o de medidas ou materiais, concebidos para ensinar os decimais). Notemos que, nesse caso, a conexão não informa ao aluno como manipular os símbolos para gerar uma resposta, em vez disso, a conexão estabelece as bases ou ligações para a compreensão do significado da solução quando um algoritmo é adquirido e executado. Por meio das conexões estabelecidas com os referentes é que o o aluno poderá compreender o sentido do algoritmo efetuado. O segundo processo é o processo de revelação. Os procedimentos desenvolvidos como ações sobre os referenciais são estendidos e refletidos sobre os símbolos, por exemplo, a adição de números decimais, representados por blocos de Dienes, uma combinação de blocos do mesmo tamanho. Essa ação é espelhada com símbolos através da combinação de dígitos, com o mesmo valor de posição, isto é, na mesma posição em relação ao ponto decimal. Esse, por sua vez, pode levar à regra “alinhar os pontos decimais” quando somar e subtrair. 39 Para os autores, os dois primeiros tipos de processos dependem de análises semânticas. Os alunos que utilizam esses processos se envolvem ao percorrerem mentalmente as conexões entre os símbolos e os referentes e entre os procedimentos de símbolos e as ações nos referentes. Ou seja, as tarefas são resolvidas por refletirem as expressões símbólicas dos problemas no mundo de referência e selecionarem estratégias com base nos significados ou semântica associados com as expressões. Hiebert e Wearne (1988) colocam que os três últimos processos são mais sintáticos do que semânticos. O processo de elaboração é um processo de ampliação de procedimentos sintáticos para outros contextos apropriados. Por exemplo, o problema 0,8 x 0,3 pode ser resolvido aplicando-se, primeiramente, as regras de multiplicação de números inteiros e, em seguida, uma nova regra para decimais que envolve contar os dígitos à direita do ponto decimal. O processo de rotinização envolve memorização e prática dos procedimentos sintáticos até que eles sejam automáticos e possam ser executados com pouco esforço cognitivo. Os processos de elaboração e de rotinização revelam o notável poder da matemática, uma vez que ambos permitem manipular ideias complexas e exigentes cognitivamente, apenas movendo símbolos em papel. Nesse ponto, os símbolos se destacam de seus referentes. A distinção entre os dois primeiros processos, que dependem de análises semânticas, e o terceiro e quarto, aqui descritos, ressalta uma característica importante de aprendizagem da matemática e do pensamento. Símbolos e regras entram em seu significado a partir de referências do mundo real, mas atingem o seu poder separando-se dessas referências. O processo de construção, o quinto processo cognitivo, continua a separação usando símbolos e regras de números decimais como referências na construção de sistemas mais abstratos. Por exemplo, os números decimais podem ser considerados como uma instância de um campo ordenado. O sistema sintático satisfaz todas as propriedades necessárias para os campos solicitados, portanto, decimais podem servir como uma referência para um sistema desse tipo. Aqui, os argumentos dos processos cognitivos são os símbolos e as próprias regras. Os autores concluem que as competências completas com símbolos e número decimal são definidas como o conjunto cumulativo dos cinco tipos de processos descritos. E supõem que as condições favoráveis para o 40 desenvolvimento de competências são a aquisição sequencial e uso dos processos, com cada um sendo mantido, quando o processo anterior é adquirido. Os autores citam mais dois estudos desenvolvidos para comprovar esses processos, um deles teve como amostra alunos de séries/ano diferentes, com desempenhos diferentes em matemática (de baixo a alto desempenho), e com alunos que haviam estudado e com aqueles que não haviam estudado números decimais. Os autores aplicaram atividades de ensino para levar os alunos a compreenderem o sentido dos números decimais. Nove atividades compunham a unidade de ensino. As cinco primeiras atividades eram de conexões explícitas desenvolvidas entre blocos e símbolos escritos e as últimas quatro atividades voltadas para o desenvolvimento do processo. O processo envolveu o desenvolvimento de procedimentos de manipulação de símbolos no contexto de adição e subtração. O objetivo nas últimas quatro atividades era o de auxiliar os alunos na utilização das referências dos blocos para decidirem como combinar os símbolos em problemas de adição e subtração. Em suas conclusões, os autores inferiram que os alunos não só podem adquirir processos semânticos, mas também utilizá-los de forma adequada para resolver as tarefas com símbolos escritos. Além disso, é evidente que os estudantes podem utilizar os processos para resolver novos problemas. E, finalmente, a evidência sugere que o conhecimento prévio afeta o desenvolvimento de processos semânticos, ou seja, os alunos que já haviam estudado os decimais tiveram dificuldade em compreender os significados dos símbolos e suas operações, pois procuraram utilizar as regras mecanizadas que conheciam, mas cujo significado desconheciam. Em suma, pode ser dificil que informações semânticas penetrem em regras que são rotineiras, pois foi observado, em relação a alguns alunos que já haviam estudado os decimais, que os procedimentos rotineiros impediram esses alunos de assimilar novas informações ou de construir novas abordagens para resolver problemas. Estes autores colocam que o ensino dos decimais é dado por memorização de procedimentos algoritmos que não estabelecem relação conceitual, de tal forma que os alunos, algumas vezes, sabem efetuar as operações, mas não entendem o seu sentido. Os autores defendem que os alunos têm conhecimentos prévios significativos que podem contribuir para a 41 aprendizagem de números decimais. Para os autores, para se tornar competente com números decimais, é preciso tornar-se competente com um novo sistema de símbolos, no contexto de outros sistemas que possam apoiar o desenvolvimento de tal competência. O estudo de Padovan (2000) investigou os erros apresentados pelos alunos em situação de identificação, representação e operações com os números decimais. A pesquisa se desenvolveu junto aos alunos da 5ª série de uma escola particular de São Paulo. Em relação à compreensão conceitual de números decimais, a autora observou que os alunos conceituaram os decimais como algo muito pequeno ou como números menores que zero. De forma geral, entenderam os números decimais como “números quebrados” e os relacionaram com a vírgula. Isso ocorreu porque não compreenderam o verdadeiro significado desses números, além de não terem conseguido relacioná-los com as frações decimais. Sobre a escrita e a ordem dos decimais, a autora percebeu que os alunos colocaram muitas vírgulas no número e justificaram que quanto mais vírgula o número tiver, menor será o seu valor – relacionaram a quantidade de vírgula ao valor do número, mostrando que não entenderam o significado do zero que aparece no número. Na comparação dos números decimais do tipo 0,3 e 0,30, os alunos raciocinaram como se fosse um número natural e justificaram que o zero não possuía valor. Em relação à leitura dos números decimais, ela observou que os alunos escreveram a vírgula por extenso, mostrando total desconhecimento do valor posicional do sistema decimal, às vezes, ignorando a função da vírgula e tratando o número como se fosse natural. Em relação às operações com decimais, Padovan (2000) observou que as operações com maior índice de erros foram a multiplicação, subtração e divisão, respectivamente. Na adição, as dificuldades relacionaram-se ao valor posicional dos algarismos, cujo posicionamento inadequado fez com que alguns dos alunos (20%) somassem os décimos da primeira parcela com os centésimos da segunda; na subtração, o mesmo erro apareceu, sendo que alguns alunos (20%) apresentaram problemas em relação ao valor posicional, como foi feito na adição, enquanto outros (20%) não preencheram a ordem dos centésimos do minuendo com zero, acabando por simplesmente registrar os centésimos do subtraendo no resultado, sem subtraí-los dos décimos do minuendo; na multiplicação de dois 42 decimais, a maioria dos alunos (92,5%) apresentou erros, principalmente relacionados ao valor posicional das ordens decimais e colocação da vírgula. Convém-nos ressaltar que entre os erros relativos à colocação da vírgula, há aqueles que colocaram vírgula embaixo de vírgula, obtendo apenas duas casas decimais no produto, e outros que simplesmente suprimiram a vírgula; na divisão, um pouco mais da metade dos alunos (55%) apresentou algum tipo de erro, sendo os mais comuns relacionados à colocação da vírgula ou à parte decimal do quociente. Em síntese, na subtração, os alunos apresentaram erros comuns, tais como esquecer de completar o número com zero, ou de fazer empréstimos de uma cada para outra quando era necessário. Na multiplicação, a autora observou que os alunos desconheciam o funcionamento do algoritmo dessa operação, pois efetuaram a multiplicação como se fosse uma adição, colocando vírgula sob vírgula, e, consequentemente, sentiram dificuldade na colocação da vírgula no resultado. Na divisão, inverteram os números da divisão, dando como resposta errada, sem refletir sobre a situação, além de erros de posicionamento da vírgula. Para a autora, esses erros dos os alunos estão relacionados à não apropriação do conceito de número decimal. O estudo de Biachinni (2001) investigou se uma proposta didática utilizando a abordagem de sistemas de medidas facilitaria na compreensão do conceito dos números decimais. Ela realizou seu estudo com 35 alunos da 3ª série do ensino fundamental, de uma escola da rede pública de Ensino de São Paulo. A autora utilizou a abordagem do sistema de medidas para introduzir o conceito de número decimal e, para isso, propôs uma sequência de ensino. Utilizou dois conjuntos de atividades, a primeira para construir a ideia de que os números naturais são insuficientes para a construção da concepção de medidas e a segunda para a construção da noção de número decimal. As aulas da sequência compreendiam atividades destinadas à verificação dos conhecimentos prévios e à construção do conceito de número decimal. Nas atividades para verificação do conhecimento prévio sobre medidas, os alunos trabalharam sozinhos; nas atividades da sequência de ensino, os alunos trabalharam em duplas. No desenvolvimento das atividades, Bianchini (2001) trabalhou com a o número racional explorando as representações figural, fracionária e decimal. Observou que os alunos cometeram erros relacionados à representação gráfica e 43 à leitura dos números decimais, fizeram confusão com o traço de fração e a vírgula, não entendendo o seu significado nesses números. Para a autora, isso ocorreu porque, para o aluno, não ficou clara a ideia do que seja o número decimal. Na representação dos números decimais, os alunos mostraram dificuldade em representar o número decimal, tanto na forma com a vírgula como na fracionária, de tal forma que apresentaram maiores problemas nas mudanças de registro do decimal para o fracionário, do que do fracionário para o decimal. O estudo de Cunha (2002) investigou quais conhecimentos os alunos possuíam sobre números decimais e verificou se o uso do sistema monetário ajudaria na aprendizagem do conceito dos decimais. Ela realizou um estudo diagnóstico com alunos da 2ª à 5ª série de uma escola da rede pública de São Paulo. O instrumento de pesquisa foi um questionário que constou de 21 questões e tinha como objetivo avaliar os conhecimentos dos alunos com relação ao número decimal, tanto no que se refere a seu entendimento quanto a sua representação. As questões estavam relacionadas a situações do cotidiano dentro e fora da escola e envolviam os conceitos de número decimal em diferentes contextos. No desenvolvimento das atividades para a compreensão conceitual dos decimais, Cunha (2002) observou que os alunos conseguiram entender a quebra da unidade, e entenderam os valores menores que a unidade, porém, não conseguiram fazer sua representação escrita, embora tenham conseguido expressar oralmente. Entretanto, a autora coloca que essa compreensão da quebra da unidade muda em relação ao contexto. A autora avaliou o desempenho dos alunos em relação a três contextos: sistema monetário, sistema de medidas e sem contextualização. Concluiu que os alunos das 2ª, 3ª e 4ª séries se saíram melhor nas atividades que envolviam o sistema de medidas, apresentando bons resultados na representação oral, mais do que na escrita. Os alunos da 5ª série se apropriaram melhor do conceito de decimal nas atividades que envolviam o sistema monetário, conseguindo exteriorizar oralmente, porém, com grande dificuldade na escrita. Esses alunos relacionaram a vírgula ao uso desse sistema, mas não compreenderam os centavos como uma fração do real, não dando significado a esses números, ou seja, os alunos não relacionaram os dígitos após a vírgula a uma fração da unidade. Segundo Cunha (2002), nas atividades sem contextualização, em que não foram utilizados os sistemas de medida ou monetário, os alunos de todas as 44 séries apresentaram baixo desempenho. Ela ressaltou também que o conhecimento prévio que os alunos têm é que contribuiu para a resolução das questões com os números decimais. Dessa forma, para ela, a escola não está favorecendo o desenvolvimento do conceito científico dos decimais. O estudo de Vieira (2005) buscou conhecer as dificuldades conceituais que os alunos têm sobre os números decimais. O estudo foi realizado junto a alunos da 5ª e da 8ª série de uma escola pública do Rio Grande do Sul. Foram aplicados instrumentos com atividades envolvendo conceito, operação e aplicação de números decimais. A autora constatou que, em relação ao conceito de número decimal, parte dos alunos tem ideia do que seja número decimal, mas não demonstra apropriação do significado do conceito. A maioria dos alunos encontra dificuldades para lidar com o número decimal, suas representações e com o valor posicional. Assim Vieira (2005) inferiu que a forma como o número decimal vem sendo abordado na escola oferece ao aluno uma compreensão restrita desse conceito, pois faz-se necessário contextualizar o número decimal utilizando as suas diferentes formas de representação. O fato de parte dos alunos apresentar dificuldades na representação decimal, não a associando com a fracionária e a gráfica, denota que, no meio escolar, a aprendizagem desse conceito se desenvolve de forma estática, ou seja, estuda-se tudo sobre fração, e só ao final deste trabalho inicia-se o estudo com os decimais. Para a autora, esse tipo de prática escolar propicia um ensino sem significado, pois os alunos veem os números decimais apenas como números com vírgulas, mas a maioria não tem clareza do que seja um número decimal. Nas atividades, os alunos não conseguiram identificar a parte inteira e a parte decimal, não entenderam o significado da vírgula no número, e não conseguiram comparálos. Em relação às operações com números decimais, Vieira (2005) observou que os alunos da 8ª série apresentaram bons resultados, os erros cometidos foram em relação à distração, tabuada e à colocação da vírgula, mostrando, assim, que os alunos não refletiram sobre os resultados das operações. A divisão e a subtração apareceram como as operações mais difíceis. Na divisão, os alunos não converteram os números decimais em números inteiros, e ela atribuiu 45 isso à falta de compreensão do valor posicional. Na subtração, esqueceram de fazer empréstimos das unidades quando era necessário. De forma geral, ela concluiu que as operações são realizadas utilizando mecanismos sem compreensão e com a utilização de regras simplificadas, em que os alunos não possuem compreensão da operação que realizam e isso ocorre porque o ensino privilegia a memorização em vez da utilização da lógica, com isso, os alunos não compreendem o significado do que estão fazendo, chegando, às vezes, a respostas absurdas. Ela relaciona essas dificuldades de operacionalizar com os decimais ao aspecto conceitual desses números, visto que os alunos também apresentam dificuldade na explicitação do processo que utilizam na realização das operações. Em relação à resolução de problemas, foi observado que grande parte dos alunos escolhe a operação adequada para resolver o problema, chegando ao resultado correto, porém, demonstram que os procedimentos utilizados são mecânicos, de tal forma que os mecanismos utilizados para a compreensão dos números decimais e respectivas operações, muitas vezes, acabam dificultando a aprendizagem. O estudo de Fonseca (2005) investigou a compreensão dos alunos sobre divisão dos racionais na forma decimal. A pesquisa se desenvolveu junto aos alunos da 6ª série de uma escola da rede pública de São Paulo. Na investigação, o autor utilizou como instrumento de pesquisa uma entrevista e um teste contendo questões contextualizadas e algorítmicas, com o objetivo de investigar os procedimentos utilizados pelos alunos na divisão e na resolução de problemas. Em suas análises, Fonseca (2005) observou que alguns alunos mostraram desconhecimento do procedimento da divisão, uma vez que apresentaram respostas sem sentido. Outros, ao efetuarem o algoritmo da divisão de um decimal por um inteiro, não iniciaram igualando as casas decimais, mostrando assim não ter compreensão do significado da vírgula no divisor e do zero no quociente. Na divisão de um inteiro por um decimal, as dificuldades apresentadas foram as mesmas, erros de algoritmo, respostas sem sentido, dúvidas em relação à posição da vírgula. De forma geral, os alunos apresentaram dificuldade quanto à interpretação da vírgula dos decimais. O autor observou que na divisão de dois decimais houve um alto índice de erros e questões em branco, denotando que os alunos não têm compreensão 46 do que seja um decimal, pois apresentam diversas estratégias de solução, como: adição sucessivas, multiplicação no campo dos inteiros, que, ao final, eles interpretam como se fossem os decimais, e retiram as vírgulas. Além de erros relativos à multiplicação e tabuada. Na divisão de dois inteiros resultando em um decimal os alunos apresentaram as mesmas dificuldades das operações anteriores. Segundo Fonseca (2005), alguns alunos conseguiram identificar os termos décimos, centésimos e milésimos, mas não lhes atribuíram significados quando inseridos na divisão; outros demonstraram conhecer a técnica da divisão, porém, não refletiram sobre a sua utilização, pois apresentaram dificuldades em continuar a divisão até o final. O autor destaca que menos da metade dos alunos dominavam a técnica da divisão, e que muitos dos erros cometidos estavam relacionados à colocação da vírgula ou a sua ausência no quociente obtido. O autor coloca que isso ocorreu pela razão de a maioria dos alunos trabalhar com os divisores como se fossem inteiros, isto é, ignoram a vírgula dos números decimais. Fonseca (2005) ainda destaca que, em relação à resolução de problemas, ocorreram muitos erros, muitos desses relacionados à interpretação do problema, já que os alunos escolheram a operação errada; além de erros relacionados à operação de divisão de decimais. Em alguns casos, os alunos utilizaram a adição de sucessivas de parcelas ou da multiplicação para tentar resolver a divisão. Os problemas utilizados foram do tipo partitivo e de quotas, sendo que os que tiveram maior número de acertos foram os que envolveram divisão por partição. Silva (2006) realizou um estudo experimental junto a 32 alunos da 4ª série e da 6ª série, e 32 alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA), em uma escola municipal da cidade do Recife. Seu objetivo foi o de investigar o que sabem os adultos e crianças, antes e depois do ensino formal, e examinar em que os saberes dos adultos se diferenciam dos saberes das crianças. O instrumento de pesquisa utilizado foi um teste com questões sobre números decimais e uma entrevista para que os alunos apresentassem e explicassem suas estratégias de solução. Foi utilizado tanto para adultos quanto para crianças o mesmo instrumento, objetivando identificar a natureza das dificuldades apresentadas por eles na construção do conceito de número decimal. 47 A autora procurou abordar diferentes significados para os números decimais, quais sejam: representações simbólicas (como fração e resultado de uma divisão), propriedades e contextos dos números decimais dentro do sistema de medidas e monetário. Para essa autora, o trabalho com o conceito de número decimal em contextos variados possibilita ao aluno uma reflexão consciente sobre os significados desses conceitos, suas propriedades e a forma de representação. Silva (2006) observou que na representação oral ou escrita dos decimais, os adultos se saíram melhor do que as crianças. Mesmo os adultos que não haviam estudado números decimais apresentaram melhor desempenho do que as crianças que já haviam estudado esse tópico. Para os adultos, o significado do número decimal como fração se torna mais fácil do que a compreensão como uma divisão; já para as crianças, as dificuldades são as mesmas nos dois significados. Em relação à leitura dos números decimais, os adultos também se saíram melhor, visto associarem os números apresentados a alguma medida. As crianças referiram-se quase que exclusivamente às situações de dinheiro, mesmo assim cometeram erros, pois, ao interpretarem 49,3, elas liam como 49 reais e 3 centavos, e não como 30 centavos. Em relação às operações com decimais, os adultos mais uma vez apresentaram melhor desempenho, pois raciocinaram sobre suas respostas, utilizando suas experiências fora da escola, evitando assim respostas absurdas. Por sua vez, as crianças sentiram dificuldade em utilizar os procedimentos escolares que aprenderam para resolver as operações. Nas questões que envolviam divisão de números decimais, as crianças não apresentaram domínio desse algoritmo, e nas divisões que apresentavam resto, não conseguiram prosseguir na operação. Silva (2006) analisou as respostas das crianças que não haviam estudado e as daquelas que já haviam estudado os números decimais, e não observou muita diferença no desempenho, visto que os dois grupos apresentaram dificuldades na resolução de problemas. Contudo, observou que, de certa forma, as crianças se saíram melhor na resolução dos problemas que envolviam o sistema monetário em relação ao de medidas. Em relação ao grupo de adultos, observou que tanto os que haviam estudado quanto os que não haviam estudado os números decimais na escola apresentaram bom desempenho nos dois contextos (de medida e monetário), sendo que os adultos que não haviam estudado se saíram melhor no 48 contexto de medidas, utilizando sua experiência de vida para raciocinar sobre suas respostas. Para Silva (2006), a instrução escolar não influenciou nas respostas dos alunos da EJA na resolução dos problemas, pois, eles levaram em consideração suas experiências de vida, o que não ocorreu com as crianças da 6ª série. As crianças que estudaram o tópico de decimais, assim como as que não estudaram, apresentaram respostas absurdas, pois não conseguiram raciocinar sobre suas respostas, além de demonstrarem, às vezes, a falta de compreensão dos problemas que foram propostos. Para a autora, o fato de o aluno não compreender o conceito dos números decimais pode se tornar um obstáculo na aprendizagem das representações, da comparação e das operações, uma vez que não terá como raciocinar sobre seus resultados, chegando a respostas incorretas. O estudo de Roditi (2007) analisou os estudos realizados sobre os decimais na França, e procurou identificar as dificuldades em fazer comparações e em realizar outras tarefas com esses números. O autor observou que as pesquisas francesas, desenvolvidas sobre os conceitos e procedimentos dos alunos relativos aos números decimais, estabeleceram que, para alguns alunos, tudo se passa como se eles lidassem com os números decimais como pares de dois inteiros separados por uma vírgula, observando, por exemplo, que as crianças escrevem 1,38 < 1,275. As pesquisas anteriores mostraram que o ensino promove a ideia de que o decimal consiste de uma parte inteira e uma parte fraccionada que pode ser tratada como inteiro. Para Roditi (2007), saber um número é conhecer não só o seu valor com as suas diferentes representações (oral, icônico, numeral e digital), mas também como ele se compara com os outros, incluindo as situações em que o número é uma medida. Algumas das conclusões de Roditi (2007) mostraram que os alunos utilizam regras implícitas para a comparação de números decimais, tais como: o número menor é aquele cuja parte decimal é menor; o menor número é aquele cuja parte decimal tem o maior número de casas; se a parte decimal do número tem o primeiro dígito 0, é o menor. Além do que, os alunos, como um todo, cometeram mais erros de comparação em situações com contexto do que fora de um contexto. Em outro estudo, Roditi (2001) investigou o ensino da multiplicação dos números decimais em turmas do 6ª ano na França. O autor fez uma análise de 49 diversos programas curriculares, das avaliações nacionais, dos livros didáticos do 6º ano e dos materiais de ensino para professores utilizados na França, e acompanhou e observou quatro professores em suas práticas em sala de aula, tendo como base as recomendações da nova proposta do programa curricular de 1995. Os professores foram observados durante os anos de 1997 e 1998, que foram os primeiros anos da nova proposta curricular. Apenas como informação, os novos programas curriculares propõem que os alunos do 6º ano estudem as técnicas operatórias da multiplicação e a resolução de problemas com origem em situações multiplicativas. Esse ensino, antes, era feito no CM2 (último ano das séries elementares). O novo programa propõe três funções para o ensino da multiplicação dos números decimais: reforçar a aprendizagem da numeração, estudar as situações que dão sentido a operação e resolver problemas onde o cálculo da solução necessite de uma multiplicação. Roditi (2001), ao observar as práticas dos professores participantes da pesquisa, concluiu que, das três funções colocadas no programa, somente duas foram levadas em consideração pelos professores. Eles abandonaram o estudo das situações multiplicativas e integraram as outras duas funções em suas sequências de ensino de forma variável. O estudo de Roditi (2001) destacou que a multiplicação dos naturais, assim como a de um decimal por um inteiro, durante muito tempo foi relacionada a uma adição sucessiva de parcelas em diversos programas curriculares franceses, e que esse método de ensino trouxe consequências negativas para o ensino da multiplicação de dois decimais. Ao analisar as questões relativas à multiplicação dos decimais nas avaliações nacionais (EVA), ele constatou algumas situações. Em relação às operações de adição e subtração de decimais, observou que os alunos aplicavam a regra convencional relacionada às operações com inteiros. Na multiplicação de dois decimais, os alunos efetuavam o cálculo sem levar em conta a vírgula, mas, ao colocarem a vírgula no produto, conforme observou o autor, algumas situações de erros aconteceram: alguns alunos esqueciam de colocar a vírgula, outros não sabiam onde deviam colocá-la, outros colocavam no lugar errado, pois contavam as casas decimais da esquerda para a direita, e outros usavam o método da adição, posicionavam os fatores e as vírgulas uma sobre a outra. 50 Figura 3- Colocação da vírgula Fonte: Roditi (2001). Outro erro observado foi em relação ao zero, quando o número decimal apresentava zero, os alunos tinham dificuldade em multiplicar. E quando os decimais apresentavam quantidade de casas decimais diferentes, os alunos completavam com zero (como na adição), e calculavam com o zero. Entretanto, não o levavam em consideração no momento de colocar a vírgula no resultado, como podemos ver na multiplicação de 3,5 x 4,25. Figura 4- Multiplicação dos decimais Fonte: Roditi (2001). Em relação à resolução de problemas multiplicativos, destacaram-se com mais frequência os problemas de isomorfismo de grandezas, medidas e área de um retângulo. No primeiro tipo de problemas, foi observada uma tendência em utilizar a adição reiterada. Nessas avaliações, não foram observadas outras situações multiplicativas, e isso se justifica, segundo o autor, devido ao fato de, na instituição escolar, se privilegiar, no ensino, a situação de isomorfismo de grandezas e cálculo de área de um retângulo. No segundo tipo de problema, as avaliações apontaram para o fato de que mais da metade dos alunos erraram os problemas porque confundiram área com perímetro ou suas fórmulas respectivas. Outro ponto interessante colocado por Roditi (2001) é o de que, nas situações multiplicativas, a dependência entre o reconhecimento do modelo e o 51 domínio das técnicas operatórias aparecem de forma bastante frágil, visto que não ter o domínio das técnicas incapacita o aluno para achar a solução do problema. O autor expõe os resultados das avaliações da APMEP (Associação dos Professores de Matemática das Escolas Públicas), segundo o que o domínio das operações é uma condição para o aluno dominar as situações problemas. Segundo Roditi (2001, p. 133.), [..] o domínio das técnicas operatórias clássicas é uma condição necessária aos domínios das situações de problemas do domínio numérico. Em efeito todas os estudos de dependências e de correlação conduzem a afirmar fortemente esta ideia. (Tradução nossa) O autor também apresenta o resultado de outras pesquisas realizadas na França, sobre a mesma questão, e os resultados são parecidos, pois as pesquisas indicam que para melhorar a resolução de problemas, às vezes, é necessário que se melhore as habilidades operatórias, e afirma que isso depende da estrutura dos problemas – aditivos ou multiplicativos – e da complexidade dos problemas e do tipo de resolução. Jucá (2004), em seu estudo, apresentou um conjunto de atividades para o ensino dos números decimais. A pesquisa se desenvolveu junto a três turmas da 5ª série do ensino fundamental, de uma escola pública de Belém do Pará. A sequência de ensino proposta constou de um conjunto de atividades utilizando a calculadora e atividades que envolviam o sistema monetário. A calculadora foi usada para introduzir as transformações de frações decimais em números decimais, para trabalhar os valores dos decimais e fazer sua comparação, assim como, as regras das operações de adição, subtração e multiplicação. A estratégia de dinheiro fictício foi utilizada para introduzir a ideia de divisão dos números decimais, como também para ajudar os alunos na resolução de problemas monetários. Sobre o desempenho dos alunos nas operações, Jucá (2004) observou que, na operação de adição, eles não apresentaram dificuldade, mas, na subtração, cometeram erros como diminuir um número grande de outro pequeno, sem fazer “empréstimos” de uma unidade ou de completar com zeros quando necessário; erros relacionados à falta de domínio com os números naturais. Além disso, a deficiência no conhecimento da tabuada foi um obstáculo para a aprendizagem do algoritmo da multiplicação e da divisão. 52 Para Jucá (2004), os resultados foram positivos nas operações de adição, subtração e multiplicação. Entretanto, na operação de divisão, os alunos mostraram dificuldades com a elaboração das regras, apesar de terem conseguido aplicar corretamente em questões contextualizadas no sistema monetário. A autora concluiu que os alunos não apresentaram melhor desempenho em relação à divisão porque não conseguiram aplicar as regras da divisão. De forma geral, a utilização da calculadora e do sistema monetário ajudou os alunos a desenvolver as regras das operações de adição e subtração com números decimais, além do que lhes proporcionou o desenvolvimento do raciocínio lógico, evitando que chegassem a respostas absurdas. Em continuidade, Jucá (2008) buscou melhorar os resultados da primeira proposta de ensino e desenvolveu uma sequência de atividades para o ensino das operações com os decimais. Como instrumento de pesquisa utilizou-se um conjunto de atividades de ensino, nas quais os alunos deveriam construir as regras das operações. A segunda sequência de ensino apresentou, como diferencial da primeira, a utilização de jogos para a fixação das regras das operações. Os alunos trabalharam em grupos e após a realização das atividades, com a utilização da calculadora, de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de decimais, deveriam escrever as regras para essas operações. Ao final de cada atividade, a professora fez a formalização da regra da operação e foi proposto um jogo para que os alunos fixassem as regras aprendidas. A autora observou que, nas atividades que envolviam as operações de adição e subtração, os resultados foram satisfatórios, à semelhança do que ocorreu na primeira sequência, confirmando que os alunos conseguiam construir as regras das operações com a calculadora, mas, nas atividades de multiplicação e divisão, os resultados não foram satisfatórios, já que os alunos tiveram dificuldades para compreender o algoritmo da multiplicação com dois decimais, assim como desenvolver a divisão com decimais. Alguns dos erros observados nas operações de multiplicação estavam relacionados à falta de domínio da tabuada, utilização incorreta do algoritmo e à colocação incorreta da vírgula no produto, mostrando que, para o aluno, esse procedimento não tinha ficado claro. Em relação à divisão, podemos dizer que os erros foram os mesmos. Entretanto, destacou que a falta de domínio do algoritmo da multiplicação e da divisão com os naturais dificultou o desenvolvimento das 53 atividades de multiplicação e divisão com os decimais. Essa deficiência dos alunos gerou dificuldades na compreensão dessas operações no campo dos decimais. Em relação à resolução de problemas, observamos as dificuldades dos alunos na compreensão dos problemas, pois não sabiam identificar a operação que resolvia o problema, Os problemas propostos envolviam situações do cotidiano, do sistema monetário e de medida, mesmo assim os alunos não conseguiram raciocinar sobre essas situações de forma correta na escolha das operações, chegando a respostas absurdas. Mestre (2009) investigou se o estudo da introdução dos decimais, utilizando o sistema monetário apresentaria bons resultados. A pesquisa se desenvolveu junto a uma turma do 3º ano do distrito de Setúbal em Portugal. A turma era constituída por 19 alunos, com idades compreendidas entre 8 a 12 anos de idade e diversas etnias. Das aulas observadas, foram definidas sete tarefas “Divisão de 1€ em partes iguais”, “A compra de chocolates”, “A compra de brinquedos”, “Trocar 5€ em oito moedas”, “Calcular mentalmente com números decimais”, “Números inteiros que se situam antes e depois dos números decimais” e “Localizar e posicionar números decimais na reta numérica”. Mestre (2009) fez referência que a complexidade na aprendizagem dos números racionais deve-se, em parte, ao fato de esses assumirem diferentes significados ou constructos - relação parte-todo, medida, razão, quociente e operador. Indicou também a dificuldade na concepção da unidade e o ensino precoce e descontextualizado dos símbolos e algoritmos como fatores agravantes das dificuldades que os estudantes manifestam. A autora destaca que a aprendizagem dos aspectos formais do estudo de frações e decimais provêm do ensino nomeadamente dos algoritmos, das operações e das regras, de modo geral, a ênfase é bastante mais acentuada nos procedimentos dos conceitos e raramente se estabelecem “pontes” entre uns e outros. Nas análises dos resultados, Mestre (2009) observou que, em relação às atividades que envolviam o sistema monetário, ocorreram certas limitações para que o sistema monetário apresentasse resultados satisfatórios na aprendizagem dos decimais, pois alguns alunos desconheciam as moedas e, portanto, não sabiam utilizá-las. A utilização de uma linguagem pouco imprecisa para leitura dos números decimais (como, por exemplo: “zero vírgula dez”,) e o pouco cuidado na representação dos números decimais (quer através dos valores monetários, quer 54 sem referência ao euro) podem ter suscitado algumas das dificuldades dos alunos que aparecem refletidas na exploração desta tarefa. A autora concluiu que essa forma de leitura e as representações usadas não parecem muito adequadas para a introdução de um conteúdo que se reveste de tanta complexidade. Em relação à segunda tarefa apresentada aos alunos - “A compra de chocolates” - apenas trabalhamos o cálculo com números decimais. A prevalência da exploração de procedimentos em vez da compreensão dos conceitos conduziu também à criação de dificuldades por parte dos alunos, tendo em conta as perspectivas que defendem que os alunos precisam de tempo para construir os conceitos e descobrir as relações antes da introdução das regras e procedimentos. Portanto, a opção de introduzir os números decimais a partir da abordagem ao sistema monetário parece não ter possibilitado a construção de um conhecimento conceitual acerca dos números decimais, especialmente, por termos dado mais ênfase aos procedimentos do que aos conceitos e a relação entre uns e outros não ter sido estabelecida. Por fim, a autora destacou que as tarefas apresentavam potencialidades que, possivelmente, não foram exploradas da forma mais adequada. Esse aspecto prende-se à utilização pedagógico-didática, que se centrou fundamentalmente na aplicação de técnicas e procedimentos rotineiros, em detrimento do desenvolvimento da compreensão dos conceitos. Concordamos com Mestre (2009) na utilização do sistema monetário, para que os alunos possam compreender os números decimais, acreditamos que essa opção didática possa trazer resultados satisfatórios se forem feitas relações pertinentes com os conceitos e propriedades relacionados aos decimais, e não apenas como simples estratégias de mecanização das regras de operações e representações. Pereira (2011) investigou se a resolução de problemas contribuiria para a aprendizagem das operações com os números decimais. A pesquisa se desenvolveu com alunos do 6º ano do ensino fundamental no Rio Grande do Sul. Inicialmente, foi aplicado um teste diagnóstico aos alunos para verificar seus conhecimentos sobre números decimais. Após a coleta das informações, novos problemas foram aplicados aos alunos que trabalharam em dupla na resolução desses. Após a resolução, as duplas tinham que ir ao quadro expor suas soluções e um momento de discussão foi realizado em sala para que todos 55 conhecessem as soluções propostas pelos alunos assim como suas dificuldades. A autora analisou a resolução de problemas e os pensamentos que os alunos mobilizaram para resolvê-los. Uma das dificuldades apontadas foi a dificuldade dos alunos na compreensão dos problemas e na escolha das operações. Em suas conclusões, a autora, em relação à aplicação do método de resolução de problemas, afirma a validade dessa aplicação, pois permitiu aos alunos mais autonomia na construção do conceito de números decimais no momento em que eles tiveram a oportunidade de desenvolver o raciocínio lógico sem a ajuda da professora, fazendo uso de conhecimentos prévios, como, por exemplo, as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de Números Naturais. A autora também detectou que os alunos apresentaram dificuldades na compreensão dos problemas propostos e nas operações de multiplicação e subtração, assim como na divisão de decimais. Observando a respostas dos alunos, percebemos que os alunos tinham dificuldades em compreender o posicionamento da vírgula no resultado, mostrando que o significado das operações com decimais não tinha sido compreendido por eles. Mendes (2012) investigou como a compreensão dos alunos evolui na aprendizagem da multiplicação, com números naturais e racionais, na representação decimal. Seu estudo foi desenvolvido junto a alunos do 3º ano de uma escola em Portugal. A autora, especificamente, caracteriza os procedimentos usados pelos alunos quando da resolução de tarefas de multiplicação, a sua evolução, as dificuldades manifestadas e os aspetos do sentido de número revelados. Analisou, ainda, o contributo das tarefas e sequências de tarefas na aprendizagem. As conclusões sobre os procedimentos usados pelos alunos quando resolvem tarefas de multiplicação evidenciam que: de modo geral, eles utilizam uma grande diversidade de procedimentos; há alunos que usam vários procedimentos para realizar um mesmo cálculo; há procedimentos mais frequentes que outros; e há alunos que têm preferência pelo uso de determinados procedimentos. Os resultados mostram, ainda, que a evolução dos procedimentos parece ser suportada pelas características das tarefas propostas (contextos, números e sua articulação e sequenciação) e pelo ambiente da aula. Ainda assim, essa evolução não é linear, nem se processa do mesmo modo para todos os alunos – alguns persistem em certos procedimentos e outros voltam a usar procedimentos menos 56 potentes, no tocante a tarefas com características particulares. A evolução dos procedimentos dos alunos evidencia, também, o desenvolvimento do seu sentido de número. Apesar da maior parte da sua investigação se concentrar no campo dos números naturais, a autora apresentou algumas conclusões importantes no campo dos números decimais, quais sejam: dificuldade dos alunos com números na forma da representação decimal, em quase todas as tarefas os alunos, por um lado, parecem não se sentir, ainda, à vontade no cálculo mental com números na representação decimal, por outro, não parecem dispor de destreza suficiente no cálculo em coluna ou mesmo no algorítmico; e que as operações foram entendidas como uma ampliação das operações com os números naturais, principalmente a de multiplicação. O estudo de Şengül e Gülbağcl (2012) teve por objetivo analisar o sentido numérico dos alunos sobre números decimais. Eles desenvolveram uma pesquisa junto a 573 alunos das 6ª, 7ª e 8ª séries em diferentes regiões da Turquia. Foram selecionados três alunos de cada nível, no total, nove deles foram selecionados. Com esse estudo, eles pretendiam ter uma ideia das formas de resolução dos estudantes sobre os números decimais. Foram realizadas entrevistas semiestruturadas com o fim de analisar como os alunos resolveriam as questões do teste que tinha dezesseis questões e composto por quatro perguntas diferentes a partir de quatro componentes diferentes, sendo catorze questões de múltipla escolha, cada qual com quatro opções de respostas diferentes e duas questões abertas. Para o desenvolvimento da pesquisa, os autores destacaram quatro componentes de sentido de número com base na revisão de literatura realizada. Essas componentes nortearam a pesquisa: (i) Compreender o significado básico de números - isso implica entender o sistema de base 10 (números inteiros, frações e decimais); (ii) Reconhecer o tamanho do número relativo - esse componente determina a compreensão da relatividade dos números e suas magnitudes absolutas; (iii) Ser capaz de utilizar uma referência de forma adequada - isso implica que uma pessoa pode usar os pontos de referência para resolver os problemas de forma flexível e adequada; e (iv) Ser capaz de avaliar o raciocínio de um resultado computacional. 57 Nas análises dos dados, os autores destacaram que nas questões que se referiam ao sentido de número os resultados são muito interessantes. A pontuação para os alunos de 6ª série foi 5,19; para os da 7ª séire foi 6,43; e para os da 8 ª série, 7,12. As notas dos alunos têm um fator positivo. Embora o melhor resultado tenha sido obtido com os alunos da 8 ª série, a pontuação dos alunos mostrou que eles não usam o sentido de números decimais suficientemente. Segundo Şengül e Gülbağcl (2012), quando todas as quatro componentes de sentidos de número foram levadas em conta, em todas as séries, os alunos tiveram os piores resultados na componente "ser capaz de avaliar o raciocínio de um resultado computacional que inclui os números decimais", na qual a percentagem de sucesso foi de 26,4%. As componentes em que os alunos foram bem sucedidos foram "a compreensão do significado dos números decimais" e "reconhecer tamanho relativo dos números decimais". Todos os alunos obtiveram o maior sucesso na componente "ser capaz de usar referência de forma adequada", com 49,3%. Outra questão destacada pelos autores diz respeito ao reconhecimento de que há sempre um número decimal entre dois números decimais diferentes. Os alunos tiveram dificuldade para reconhecer isso, as respostas foram inesperados. O maior sucesso obtido foi com os alunos da 8 ª série, com 20%. A maioria dos alunos selecionados disse não existirem números entre dois decimais. Um dos alunos justificou sua resposta afirmando que “já que não há número inteiro entre 52 e 53, não deve haver qualquer número entre dois números decimais”; “se 0,52 é um número decimal, não existe um número até 0,53”; "Uma vez que eles são números consecutivos, não existe nenhum número entre eles”. Observamos que os alunos pensam como se fossem números inteiros. De forma geral, os autores concluiram que os resultados do estudo mostraram que 32,2% dos alunos de 6 ª série, 40,0% dos alunos da 7 º série e 44,4% dos alunos da 8 ª série usaram seu senso numérico sobre os números decimais. Além do mais, as estratégias que resultaram das entrevistas realizadas com os alunos revelaram que os alunos usaram as regras que eles memorizaram em vez de perceberem os números e os significados reais dos processos e aplicarem essa flexibilidade. Os autores justificam que as razões que levaram os estudantes da Turquia a usar estratégias baseadas em regras é liderada por exames nacionais realizados anualmente nas escolas. Os centros de formação, 58 que preparam os alunos para estes exames, privilegiam a utilização de regras e a memorização das mesmas. Como consequência dessa formação, os alunos são levados a usar formas curtas de solução que eles memorizaram, em vez de usar formas de pensamento alternativas. Em suma, para os autores, os professores preparam os alunos para esses exames nacionais e priorizam a memorização das regras em detrimento de um conhecimento conceitual dos processos de solução. Como os métodos algorítmicos escritos são baseados em regras que são aprendidas ou memorizadas, os alunos internalizam tais regras e essa situação reduz o uso de estratégias baseadas no sentido de número. Além dos estudos que destacam as dificuldades dos alunos, entendemos que é importante apresentar alguns estudos que apresentassem as práticas e conhecimentos dos professores em relação aos decimais, pois acreditamos que muitas das dificuldades dos alunos estão interligadas às limitações dos professores em relação ao conteúdo ou às suas escolhas didáticas. 2.2 ESTUDOS QUE INVESTIGARAM OS CONHECIMENTOS E PRÁTICAS DOS PROFESSORES NO ENSINO DOS NÚMEROS DECIMAIS Alves e Gomes (2007) realizaram uma pesquisa com oitenta e nove professores do 1º ciclo CEB, na cidade de Braga em Portugal. Elas observaram que metade dos professores consideraram que, na multiplicação, o produto é sempre maior que um dos fatores, e, na divisão, o quociente é sempre menor que o dividendo, o que sugere que, na multiplicação, os professores estão dependentes do modelo multiplicativo de adição sucessivas de parcelas iguais e do modelo de divisão baseado na partilha. Além do que, as operações são entendidas com uma visão redutora, como simples aplicação de algoritmos com regras mecanizadas. Em suas conclusões, as autoras fizeram referência às deficiências dos professores com relação ao conteúdo dos números decimais, desde a ideia do que seja um número decimal até as operações. As autoras concluíram que os trabalhos sobre as práticas dos professores apontam que esses apresentam pouco conhecimento do que seja um 59 número decimal, e que algumas concepções errôneas dos alunos, apresentadas em alguns estudos, são sustentadas pelos professores. E que os resultados apontaram algumas dificuldades dos professores, tais como: não reconhecem as propriedades das operações de divisão e multiplicação quando se operacionaliza com os decimais. O estudo de Ribeiro (2009) baseou-se nas discussões e reflexões ocorridas num grupo de formação inserido no âmbito de um Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico, da região de Algarve em Portugal. Um dos objetivos dessa formação é o de aprofundar o conhecimento matemático, didático e curricular dos professores, em particular os do 1.º ciclo, que se encontram em exercício. O autor colocou que uma das lacunas identificadas, em termos de conhecimentos dos conteúdos, nos professores investigados, tem a ver com o conhecimento dos números e suas propriedades, bem como das quatro operações fundamentais. Relativamente aos números, os professores identificaram como maiores dificuldades os números racionais/decimais e, com esses, os algoritmos da divisão e multiplicação, limitando-se, muitas vezes, ao conhecimento dos algoritmos tradicionais e às regras, acerca das quais não possuem clareza dos processos e nem compreensão. Ribeiro (2009) observou que as professoras que participaram da pesquisa, ao verbalizarem o seu processo “tradicional” de lecionar esse conteúdo específico, afirmaram recorrer a essa forma de ensinar, pois nunca tiveram a oportunidade de tomar contato com as justificações e processos matemáticos que lhes permitissem criar uma compreensão e ideia própria do processo matemático utilizado, ensinando, portanto, como foram ensinadas. O autor destacou a importância do conhecimento específico/especializado para o ensino, que permita ao professor conhecer distintas formas de efetuar e representar a operação solicitada. Essas professoras desconheciam modelos da multiplicação bem como os procedimentos “escondidos” no algoritmo que transmitiam aos seus alunos. Outro estudo de Ribeiro (2011), desenvolvido ao longo dos últimos anos com professores do 1º ciclo do ensino básico (alunos com idade entre seis e nove anos), teve como ponto de partida as discussões ocorridas, as reflexões subjacentes e as maiores dificuldades sentidas tanto pelos alunos, como pelos próprios professores. 60 O autor pretendia promover algumas reflexões que contribuiriam para uma mais profícua discussão sobre o conhecimento matemático para ensinar as operações envolvendo números decimais (em particular, a multiplicação), a importância do recurso a diferentes representações e a uma eficaz navegação entre essas. Para conseguir atingir esses objetivos, foram realizadas sessões de formação conjunta (com periodicidade aproximadamente quinzenal), das quais participaram entre oito e dez professores das escolas e sessões de acompanhamento individual em sala de aula e, ao final do ano letivo, foi realizado um seminário. Um dos tópicos discutidos nas sessões relacionou-se aos números decimais e fracionários, e, posteriormente, às operações. Esse é um dos temas fundamentais do ensino, principalmente nos primeiros anos, pois um claro entendimento a seu respeito proporciona o desenvolvimento de estruturas mentais importantes para futuras aprendizagens e, em particular, para o raciocínio multiplicativo durante o qual os formandos são convidados a apresentarem exemplos de boas práticas. O autor destacou que foram também discutidas diferentes interpretações que podem ser atribuídas aos decimais e fraccionários e às quatro operações que os envolvem. Essa discussão não se limitou apenas às operações em si (alguns dos diferentes algoritmos possíveis de serem utilizados e uma análise de erros dos alunos), mas também tratou de possíveis distintas representações de uma mesma operação e da importância de uma perfeita navegação entre essas diferentes representações. Para o autor, no que se refere especificamente aos números inteiros e fracionários e às quatro operações, é desejável, nesse nível de ensino (1º ciclo), que os alunos adquiram a competência matemática que lhes permita uma clara compreensão do sistema de numeração de posição e do modo como esse se relaciona com os algoritmos das quatro operações. Em suas análises, o autor constatou que algumas das dificuldades dos alunos em relação aos números decimais advêm das próprias dificuldades dos professores. Apesar de saberem para si próprios, não possuem um conhecimento de e sobre a matemática que lhes permita conhecer um conjunto distinto de propriedades relativas ao conteúdo específico que pretendem ensinar, assim como formas distintas de fazê-lo – conhecimento especializado do conteúdo. (RIBEIRO, 2011, p.418) 61 Essa sua constatação é proveniente dos estudos que realizou em Ribeiro (2009) e expõe as dificuldades dos professores em trabalhar com os números decimais, seja no sentido da não compreensão conceitual, seja no sentido das operações, principalmente no que se refere à justificação dessas operações. Ele destaca principalmente as dificuldades dos professores em relação à operação de multiplicação de decimais. O autor explica que os professores sabem realizar as operações de multiplicação com dois decimais, mas esperava-se que eles tivessem um conhecimento mais especializado especifico do ensino que lhes permitisse utilizar distintas formas para representar e efetuar as operações. Esteves (2009) desenvolveu uma pesquisa junto aos professores no Mato Grosso do Sul, com o objetivo de investigar os conhecimentos de um grupo de professores do 5º ano do Ensino Fundamental sobre números decimais e a relação com sua prática pedagógica. A autora constatou em sua investigação que, no conhecimento do conteúdo específico desses professores, havia lacunas relativas ao conceito de números decimais, ao estabelecimento de relações entre os números decimais e o sistema de numeração decimal, pois os professores conseguiram identificar as ordens da parte decimal, os décimos, centésimos e milésimos, mas desconheciam as regularidades que existem entre elas e a ordem dos inteiros, além da compreensão dos algoritmos que envolvem esses números, principalmente no caso da multiplicação e da divisão. Faltava-lhes aprofundamento das principais ideias e conceitos que envolvem esse tópico de ensino, suas estruturas substantivas, e também apresentaram lacunas em suas estruturas sintáticas, acarretando uma visão fragmentada do que é a Matemática. Para Esteves (2009), os professores investigados têm uma compreensão errônea dos decimais ou uma incompreensão conceitual, pois demonstraram percebê-los como naturais separados por uma vírgula (tal como os alunos), e isso ficou claro nas formas como fizeram a leitura dos decimais, não fazendo referência aos décimos, centésimos e milésimos, e sim à vírgula. Essa forma de leitura dos decimais interfere nos critérios de ordenação e comparação desses números, dificultando assim a aprendizagem. Sobre as operações, Esteves (2009) explicou que os professores conseguiram fazer as multiplicações e divisões por 10, 100, 1000, mas não 62 souberam justificar as regras utilizadas, apenas disseram “foi assim que eu aprendi”. Em relação às atividades que envolviam divisão, os professores ficaram surpresos quando realizavam os cálculos na calculadora e viam que os resultados aumentavam, para eles isso não podia acontecer, pois, segundo eles, na multiplicação, só ocorre aumento (ficou claro que os professores pensavam nos decimais como os naturais); além do que efetuavam as operações de forma mecânica, sem levar em consideração seu sentido, pois não sabiam justificá-las. Outro ponto interessante foi que os professores acharam difícil trabalhar com frações e decimais ao mesmo tempo. Percebemos que os professores pareceram desconhecer as relações existentes entre essas duas formas de representação dos racionais. Em suas análises, a autora identificou que os professores apresentavam dificuldade nas comparações, ordenação dos decimais, representação dos racionais na forma decimal e fracionária, problemas em relacionar o número decimal ao sistema decimal posicional, utilizavam-se das propriedades dos naturais para operar com os decimais, não compreendiam as operações de multiplicação e divisão dos decimais. Para Esteves (2009, p.89), essas lacunas existentes no conhecimento específico do conteúdo dos professores comprometem a compreensão acerca dos decimais, e tornam os conhecimentos dos professores muito próximos aos dos alunos. E essa proximidade limita as práticas dos professores, trazendo implicações importantes de o que e como os professores ensinam esse conteúdo O estudo Miola (2011) tinha por objetivo analisar as práticas docentes e os conhecimentos mobilizados por um grupo de professores que atuavam no 6º ano do ensino fundamental. O estudo aconteceu durante seis encontros com seis professores da rede pública municipal de Campo Grande - MS. Para o desenvolvimento da pesquisa Miola (2011) propôs quatro atividades ao grupo para que os professores explicitassem suas dúvidas, experiências e o conhecimento que possuíam a respeito dos números decimais, pediu ainda uma dissertação sobre uma experiência vivida por eles em sala de aula em que os números decimais fossem trabalhados com a utilização de algum material manipulável e a criação de uma sequência de atividades para ensinar os números decimais. As atividades apresentavam questões sobre o conceito de número decimal, de divisões entre inteiros em que o resultado é em decimal, 63 divisão em que o quociente é maior que o dividendo e de multiplicação quando o resultado é menor que os fatores utilizados. Em suas conclusões a autora pôde constatar que os professores participantes da pesquisa apresentavam uma lacuna em suas estruturas substantivas e sintáticas, apresentando dificuldades no que concerne ao conhecimento conceitual de números decimais, ocasionando dificuldades no que diz respeito a definição, comparação dos números decimais, representação decimal, a escrita e leitura de um número decimal e ainda na compreensão dos algoritmos que envolvem os mesmos, principalmente nos casos de multiplicação e divisão. Além do que a autora também detectou pouco domínio no que se refere ao conhecimento pedagógico do conteúdo: na utilização de técnicas algorítmicas para realizar as operações; na opção, por parte do grupo, em elaborar o planejamento partindo das frações para chegar aos números decimais; na prioridade ao trabalho com as frações do que com os números decimais; e na maneira que trataram as dificuldades apresentadas pelos alunos durante o desenvolvimento das atividades do planejamento. O estudo de Miola e Pereira (2012) também investigaram os saberes de um grupo de professores no Mato Grosso do Sul. O objetivo dos encontros foi de conhecer os professores, suas crenças, concepções, dentre outros, acerca do ensino de números decimais, de criar um ambiente de discussão, de troca de experiências e de respeito e interesse, a partir de suas experiências e conhecimentos. As autoras, ao analisarem os dados, consideraram os conhecimentos conceituais, as operações envolvendo números decimais, as relações entre a representação fracionária e decimal e o material manipulável elaborado pelo grupo para o ensino de números decimais. Em relação ao conhecimento conceitual, essa categoria abarca os conhecimentos específicos de números decimais, como a definição, a comparação, a escrita e a leitura desse conteúdo. Em suas conclusões, as autoras apontaram que foi possível observar indícios de que não havia muita clareza para os professores sobre a definição de números decimais. Outro aspecto importante a ser ressaltado, ao fazermos 64 referência às operações envolvendo números decimais, são as falsas generalizações de propriedades dos números naturais para os números decimais, principalmente quando realizamos operações de multiplicação e divisão. Nesse sentido, Miola e Pereira (2012) observaram que o conhecimento dos professores investigados em relação às operações com decimais refere-se unicamente às técnicas algorítmicas, ou seja, sabem fazer, mas não conseguem explicar por que acontece dessa maneira. Para as autoras, a compreensão das operações com números decimais está diretamente relacionada à maneira como o professor ensina aos seus alunos. Levando em conta o que foi colocado na revisão dos estudos sobre os conhecimentos dos professores, percebemos que eles não têm uma compreensão do que seja um número decimal e fazem relação desse com os inteiros positivos. Os professores ensinam as representações fracionárias e decimais dos racionais separadamente, não estabelecendo relações e dando mais ênfase ao trabalho com as frações comuns. E isso talvez justifique porque os decimais são mais relacionados aos naturais do que as frações. Em relação às operações, o ensino dos professores resume-se unicamente às técnicas algorítmicas, todavia, percebemos que eles manifestaram desconhecer a justificação das regras das operações. Nas operações de divisão e multiplicação, os professores investigados apresentaram muitas dificuldades de compreensão dessas operações, de forma que não sabiam justificá-las, explicar a razão de ser das regras que são mecanicamente ensinadas aos alunos. Assim sendo, percebemos que os conhecimentos dos professores sobre os decimais são parecidos com os dos alunos, conhecimentos frágeis na sua maioria, de tal forma que as dificuldades apontadas nos estudos desenvolvidos junto aos alunos são as mesmas apresentadas nos estudos realizados com os professores. Essa fragilidade no conhecimento dos professores pode nos dar pistas para compreendermos as dificuldades dos alunos, pois essa limitação dos conhecimentos dos professores acarreta uma aprendizagem deficiente para os alunos. Parece-nos que essas dificuldades podem estar relacionadas à forma como os livros didáticos, utilizados por esses professores (pelo menos no Brasil), abordam os números decimais, e/ou talvez os cursos de formação inicial não estejam dando um tratamento adequado ao estudo desses números. 65 2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES Após a revisão e análise dos resultados de todos os estudos correlatos, traçamos algumas considerações sobre a compreensão conceitual, habilidade com as operações e na resolução de problemas com os decimais. Sobre a compreensão conceitual, os estudos de Brousseau (1980, 1981, 1987, 1998), Perrin Glorian (1986), Padovan (2000), Biachinni (2001), Cunha (2002), e Vieira(2005), Fonseca (2005), Silva (2006), Roditi (2007), Mestre (2009), Mendes (2012), Şengül e Gülbağcl (2012) evidenciaram uma dificuldade, por parte dos alunos, em compreender o sentido de números decimais, pois apresentaram problemas em representações e ordenações com esses números, além de estabelecerem comparação com os números naturais, não conseguindo diferenciálos conceitualmente. Tal dificuldade também foi enfocada nos estudos com os professores, pois manifestaram perceber os decimais como naturais separados por uma vírgula, essa dificuldade gera outra, que também é apontada nos estudos supracitados, e se refere às representações dos números racionais na forma fracionária ou com a vírgula. Essa relação dos números naturais com os decimais é ressaltada por D’Amore (2007, p.8) “o conhecimento dos números naturais é indispensável para adquirir o conhecimento dos racionais, mas, ao mesmo tempo, é um obstáculo para essa aquisição.” Esse fenômeno gera obstáculos importantes e invisíveis, que se escondem no interior de um saber que funciona, mas que é “local” e que não pode ser generalizado para o objeto matemático que deveria ser aprendido. Um número natural como 4 tem um sucessor; o seu produto por outro número natural será maior que esse número. Algumas dessas propriedades falham quando 4 é encarado como um número racional: por exemplo, não tem mais sucessor. Mas o estudante não se dá conta dessa passagem e continua “forçando” as propriedades de N também em Q; por esse motivo encontram-se estudantes que afirmam, em Q, que 2,33 é o sucessor de 2,32, ajudados nisso até por alguns livros textos. E, além disso, por exemplo, 0,7 × 0,8 = 0,56 é menor do que cada um dos fatores, novidade desconcertante que leva a criticar o conhecimento precedentemente adquirido. (D’AMORE, 2007, p.8) Acreditamos que esses obstáculos, colocados por Brousseau (1981) e D’Amore (2007), e tão evidenciados em diversos estudos sobre o tema, estão 66 relacionados à forma como os decimais são trabalhos na escola. Tanto na prática escolar como nos livros didáticos, os números decimais são introduzidos sempre com um forte apelo ao sistema de medidas e monetário. Os problemas relacionados a esses contextos não possibilitam a discussão de características importantes do conjunto dos números racionais, a que o número decimal pertence. No conjunto dos naturais, podemos falar em sucessor e antecessor, no conjunto dos racionais isso não é possível, uma vez que esse conjunto é denso. É importante que os alunos compreendam que entre 0,5 e 0,6 existe uma infinidade de números e que, por isso, a ideia de sucesso não pode ser usada nesse tipo de número. Em relação à questão de que as multiplicações por números menores que 1 sempre diminuem, contrariando a regra da multiplicação dos naturais, na qual a multiplicação sempre aumenta, se os professores a trabalharem de forma adequada, levando os alunos a explorarem e compararem as diversas propriedades dos números naturais e decimais, não somente os obstáculos de aprendizagem seriam amenizados, mas também haveria uma ampliação dos conhecimentos dos alunos, que seriam levados à exploração das propriedades das operações que são válidas em um conjunto, mas que não são válidas em outro, provocando assim uma melhor compreensão do conceito dos números decimais. Alguns desses estudos apontaram a dificuldade em operacionalizar com os decimais em situações descontextualizadas. Segundo Silva (2006), quando o decimal não se refere a dinheiro, a diferença escrita estabelecida pela vírgula não é para os alunos um indicador suficiente para saber que se trata de um número decimal. Acreditamos que essa descaracterização dos decimais gerará dificuldades para os alunos compreenderem as operações, principalmente as operações que envolvem inteiros e decimais. Os trabalhos que apresentaram propostas de ensino baseadas no sistema monetário e de medidas, nos quais os decimais foram ensinados sempre relacionados ou diluídos dentro desses contextos, os resultados foram favoráveis nas situações contextualizadas, entretanto, fora de um contexto, os alunos tiveram dificuldade de compreender o significado dos decimais, assim como de operacionalizá-los. Porém, no estudo de Jucá (2008), observamos que o contexto monetário não ajudou os alunos a resolverem corretamente os problemas. O que percebemos foi que os estudos que trabalharam com o sistema de medida e monetário para introduzir o conceito de decimal ou para o ensino das 67 operações não levaram em conta que era necessária uma formalização desse conhecimento para que os alunos pudessem aplicá-lo em diversas situações, além de uma justificativa para o sentido das operações, pois a maior parte das dificuldades apontadas tem a ver com o fato de os alunos não conseguirem colocar a vírgula no resultado das operações, e isso talvez tenha ocorrido porque as operações costumam ser ensinadas por meio de regras que os alunos devem memorizar, e não são justificadas. Percebemos nesse tipo de ensino uma predominância do conhecimento processual sobre o conceitual. Nas propostas didáticas desenvolvidas por Brousseau (1987), de Doaudy e Perrin Glorian (1986), Biachinni (2001), percebemos que a introdução dos decimais, assim como das operações, é feita por meio das frações decimais, e a partir daí os alunos vão sendo conduzidos à ampliação das ideias para a construção dos decimais. A grande preocupação, principalmente no ensino das operações, é que essas não percam o sentido para os alunos, e que esses possam compreender os procedimentos realizados e não apenas memoriza-los. Sobre o domínio das operações com os decimais, os estudos de Padovan (2000), Vieira (2005), Fonseca (2005), Roditi (2001), Jucá (2004, 2008), Silva (2006), Mestre (2009), Pereira (2011), Mendes (2012) apontaram dificuldades dos alunos em relação às operações com decimais, principalmente em relação às operações de subtração, multiplicação e divisão. Apesar de a operação de adição não ter apresentado tantas dificuldades para os alunos, vale ressaltarmos que, em algumas situações, os alunos tiveram dificuldades em realizar a operação de adição e cometeram erros persistentes. Como destaca Silva (2006, p. 67), as operações de adição e subtração com decimais possuem um nível de dificuldade diferente quando todos os termos envolvidos são decimais, diferentemente de quando são combinados na operação números inteiros e decimais. Muitos dos erros observados nas operações referem-se ao posicionamento da vírgula no resultado, confirmando assim a falta de compreensão do significado de número decimal. Outros erros estão relacionados ao desenvolvimento do algoritmo da subtração, multiplicação e divisão, mostrando que os alunos não dominam tais operações no campo dos naturais e isso pode ser visto nos trabalhos de Pereira (2011), Jucá (2004, 2008) e Roditi (2001). Os estudos de Roditi (2001), Alves e Gomes (2007), Esteves (2009), Ribeiro (2009, 2011), Miola (2011) e Miola e Pereira (2012) apontaram as 68 dificuldades conceituais e nas operações com decimais dos professores, essas dificuldades são muito parecidas com as dos alunos, e nos ajudaram a compreender a deficiência dos alunos em relação a este conteúdo, assim como as limitações da formação inicial destes professores. A respeito da resolução de problema com números decimais, os estudos de Hilbert e Wearne (1988), Bell et al. (1981), Fischbein et al. (1985), Fonseca (2005), Jucá (2004, 2008) e Pereira (2011) evidenciaram as dificuldades dos alunos na compreensão do enunciado do problema, pois eles não conseguiram escolher corretamente a operação a ser utilizada, assim como não dominavam o algoritmo de algumas operações, além de não conseguirem construir o sentido no desenvolvimento das operações na resolução dos problemas. Roditi (2001) levantou questões sobre os problemas multiplicativos, principalmente relacionadas ao domínio das técnicas operatórias, tais como: os alunos identificam as estruturas multiplicativas mesmo se não sabem efetuar a multiplicação? A competência técnica contribui ou não para o reconhecimento da situação multiplicativa? Em síntese, as dificuldades expostas pelos estudos correlatos estão relacionadas à conceitualização, operacionalização e à estrutura semântica dos problemas, pois os alunos em algumas situações se sentem paralisados para escolher qual a operação adequada para resolver o problema, e, em outros casos, ao escolherem a operação correta, não conseguem desenvolvê-la. Nos problemas ditos “diretos”, as dificuldades tendem a diminuir, pois no enunciado os alunos terão alguma “pista” da operação a ser utilizada, no entanto, se os problemas exigirem a utilização de operações inversas, os problemas tendem a ser mais complicados para os alunos. No próximo capítulo, procedemos à exposição de alguns estudos relacionados ao sentido de número e das operações, principalmente no que se refere ao conhecimento conceitual e processual, assim como sobre a estrutura semântica dos problemas aritméticos. Além da teoria da aprendizagem significativa que justifica os números naturais como um conhecimento necessário para a aprendizagem dos decimais. Tais estudos subsidiaram o desenvolvimento desta pesquisa. 69 3 REFERENCIAL TEÓRICO Neste capítulo, apresentamos às discussões teóricas que sustentaram o desenvolvimento deste trabalho, inicialmente, as discussões sobre o desenvolvimento do processo de aprendizagem expostos pela teoria da aprendizagem significativa de Ausubel (2003). Em outra parte do capítulo, trazemos as discussões referentes ao sentido de números e operações dos estudos de McIntosh (1992) e Slavit (1999) e sobre a estrutura semântica dos problemas, nos estudos de Vergnaud (1976, 1983, 1988, 2009), Greer (1992), Sá (2003), dentre outros. 3.1 A TEORIA DA APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA David Ausubel em 1963 apresentou a teoria da aprendizagem significativa em oposição a uma aprendizagem verbal por memorização, o autor se baseou na proposição de que a aquisição e a retenção do conhecimento são um produto do processo ativo, integrador e interativo entre o material de instrução (matérias) e as ideias relevantes da estrutura cognitiva do aprendiz, com as quais as ideias estão relacionadas de formas particulares. Para Ausubel (2003, p.1), a aprendizagem significativa envolve, principalmente, a aquisição de novos significados a partir do material de aprendizagem apresentado. Exige tanto um mecanismo de aprendizagem significativa, quanto a apresentação de um material potencialmente significativo para o aprendiz. Por sua vez, essa última condição pressupõe que: O próprio material de aprendizagem possa estar relacionado de forma não arbitrária (plausível, sensível, e não aleatória) e não literal com qualquer estrutura cognitiva apropriada e relevante (isto é, que possui significado lógico); A estrutura cognitiva particular do aprendiz contenha ideias ancoradas relevantes, com as quais se possa relacionar o novo material. 70 O conceito mais importante da teoria de Ausubel é o de aprendizagem significativa, pois, para esse autor, a aprendizagem significativa é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo. Nesse aspecto, o fator isolado que influencia essa aprendizagem é o que o indivíduo já sabe, e o que Ausubel (2003) chamou de conhecimentos prévios ou subsunçores já existentes na estrutura cognitiva do sujeito, isto é, conhecimentos preexistentes e relevantes nos quais o novo conhecimento se apoia e assim adquire significado. São duas as condições para a aprendizagem significativa: O material de aprendizagem deve ser potencialmente significativo; O aprendiz deve apresentar uma predisposição para aprender. No primeiro caso, o material de aprendizagem (livros, atividades, aplicativos etc.) deve ter significado lógico (seja relacionável de maneira não arbitrária e não literal a uma estrutura cognitiva apropriada e relevante); no segundo caso, o aprendiz precisa ter em sua estrutura cognitiva ideias âncoras relevantes com as quais o material de aprendizagem possa ser relacionado (MOREIRA, 2011, p.25). Este caso também tem a ver com os conhecimentos prévios, pois quanto mais o sujeito domina um certo campo de conhecimento, mais se dispõe a novas aprendizagens nesse campo ou campos afins. Sendo assim, o núcleo da aprendizagem significativa é a interação cognitiva entre os novos conhecimentos e os conhecimentos prévios. Por se tratar de um processo interativo, ambos os conhecimentos, novos e prévios, se modificam, os conhecimentos prévios tomam novo significado e os conhecimentos novos ficam mais elaborados, mais ricos em significado, mais estáveis cognitivamente e capazes de facilitar a aprendizagem significativa de outros conhecimentos. A aprendizagem significativa constitui apenas a primeira fase de um processo de assimilação mais vasto e inclusivo, que também consiste na própria fase sequencial natural e inevitável da retenção e do esquecimento. A teoria da assimilação explica a forma como se relacionam de modo seletivo, na fase de aprendizagem, novas ideias potencialmente significativas do material de instrução com ideias relevantes, e também mais gerais e estáveis, existentes na estrutura cognitiva (AUSUBEL, 2003, p.8). Em suma, as ideias novas interagem com as ideias relevantes na estrutura cognitiva, e o produto principal dessa interação torna 71 o significado das novas ideias (que se deseja introduzir) mais significativo para o aluno. Para Ausubel (2003, p.8), o processo de assimilação na fase da aprendizagem significativa inclui: Ancoragem seletiva do material de aprendizagem às ideias relevantes existentes na estrutura cognitiva; Interação entre as ideias recém introduzidas e as ideias relevantes existentes (ancoradas), sendo que o significado da primeira surge como o produto dessa interação; Ligação de novos significados emergentes com as ideias ancoradas correspondentes no intervalo de memória (retenção). Ausubel (2003, p.1) apresenta três tipos de aprendizagem significativa: aprendizagens representacional, conceitual e proposicional. O primeiro tipo é a aprendizagem representacional, que se aproxima da aprendizagem por memorização. Ocorre sempre que o significado dos símbolos arbitrários se equipara aos referentes (objetos, acontecimentos, conceitos) e tem para o aprendiz o significado, seja ele qual for, que os referentes possuem. A aprendizagem representacional é significativa, porque tais proposições de equivalência representacional podem relacionar-se de forma não arbitrária, como, por exemplo, a uma generalização existente na estrutura cognitiva de quase toda as pessoas desde o primeiro dia de vida, de que tudo tem um nome, e que esse significa aquilo que o próprio referente significa para determinado aprendiz. O segundo tipo é a aprendizagem conceitual, na qual Ausubel (2003, p.2) define “os conceitos como objetos, acontecimentos, situações ou propriedades que possuem atributos específicos comuns e são designados pelo mesmo signo ou símbolo.” Existem dois métodos gerais de aprendizagem conceitual: (1) Formação conceitual, que ocorre principalmente nas crianças e jovens. Na formação conceitual, os atributos específicos do conceito são adquiridos através de experiências diretas, isto é, através de fases sucessivas de formulação de hipóteses, testes e generalizações. (2) Assimilação conceitual, que é a forma dominante de aprendizagem conceitual em idade escolar e nos adultos. Os conceitos constituem um aspecto importante da teoria da assimilação, pois a compreensão e a resolução significativas de problemas 72 dependem amplamente da disponibilidade quer de conceitos subordinantes (na aquisição conceitual por subsunção), quer de conceitos subordinados (na aquisição conceitual subordinante) na estrutura cognitiva do aprendiz. O terceiro tipo é a aprendizagem significativa proposicional, é semelhante à aprendizagem representacional, na medida em que (dado um mecanismo de aprendizagem significativa do aprendiz) os significados surgem, depois de se relacionar e colocar em interação uma tarefa de aprendizagem potencialmente significativa com ideias relevantes da estrutura cognitiva, numa base não literal e não arbitrária. A aprendizagem proposicional pode ser: subordinada (de subsunção), subordinante ou combinatória (AUSUBEL, 2003. p. 93). A aprendizagem de subsunção ocorre quando uma proporção logicamente significativa de uma determinada disciplina se relaciona de forma significativa com proposições subordinantes específicas na estrutura cognitiva do aluno. Tal aprendizagem pode denominar-se derivativa, caso o material de aprendizagem apenas exemplifique ou apoie uma ideia já existente na estrutura cognitiva; A aprendizagem proposicional subordinante ocorre quando uma nova proposição pode se relacionar ou com ideias subordinadas específicas da estrutura cognitiva existente ou com um vasto conjunto de ideias antecedentes geralmente relevantes da estrutura cognitiva, que podem ser subsumidas de igual modo; A aprendizagem proposicional combinatória refere-se a situações em que uma proposição potencialmente significativa não pode se relacionar com ideias específicas subordinantes ou subordinadas da estrutura cognitiva do aprendiz, mas pode relaciona-se a uma combinação de conteúdos geralmente relevantes, bem como a outros menos relevantes, em tal estrutura. A maioria das aprendizagens do tipo proposicional é, obviamente, de subsunção ou combinatória (AUSUBEL, 2003, p.3). É importante ressaltarmos que a aprendizagem significativa não implica que as novas informações formem um tipo de ligação simples com os elementos preexistentes na estrutura cognitiva. Pelo contrário, somente na aprendizagem por memorização ocorre uma ligação simples, arbitrária e não integradora com a estrutura cognitiva preexistente. Na aprendizagem significativa, o mesmo processo 73 de aquisição de informações resulta numa alteração quer das informações recentemente adquiridas, quer do aspecto especificamente relevante da estrutura cognitiva, à qual estão ligadas as novas informações. Na maioria dos casos, as novas informações estão ligadas a um conceito ou proposição específicos e relevantes – entendemos por conceitos ou proposições ideias relevantes da estrutura cognitiva –, de forma a indicar que a aprendizagem significativa envolve uma interação seletiva entre o novo material de aprendizagem e as ideias preexistentes na estrutura cognitiva. O termo ancoragem é empregado para sugerir a ligação com as ideias preexistentes ao longo do tempo. No processo de subsunção, as ideias subordinantes preexistentes fornecem ancoragem à aprendizagem significativa de novas informações (AUSUBEL, 2003, p. 3). Em contraposição, em se tratando da aprendizagem significativa, Ausubel (2003, p.4) aborda a questão da aprendizagem por memorização ou mecânica como sendo aquela em que novas informações são aprendidas praticamente sem interagirem com conceitos relevantes existentes na estrutura cognitiva, sem se ligarem a ideias ancoradas (subsunção). A nova informação é armazenada de maneira arbitrária e literal, não interagindo com aquela já existente na estrutura cognitiva e pouco ou nada contribuindo para sua elaboração e diferenciação. O autor salienta que a capacidade arbitrária e literal de relacionar tarefas de aprendizagem por memorização com a estrutura cognitiva tem determinadas consequências significativas para a aprendizagem. Ele destaca dois pontos. O primeiro é que, uma vez que o equipamento cognitivo não consegue lidar de modo eficaz com as informações relacionadas com ele mesmo numa base arbitrária e literal, ele apenas consegue interiorizar tarefas de aprendizagem relativamente simples e essas somente ficam retidas por curtos espaços de tempo, a não ser que tenham sido bem apreendidas. Em segundo lugar, a capacidade de relação arbitrária e literal para com a estrutura cognitiva torna as tarefas de aprendizagem por memorização altamente vulneráveis a interferências de materiais semelhantes anteriormente apreendidos e descobertos de forma simultânea ou retroativa. O autor completa que é esse tipo de capacidade de relação (arbitrária e literal versus não arbitrária e não literal) que justifica a diferença fundamental entre os processos de aprendizagem por memorização e significativa. No entanto, para Ausubel (2003, p.5), apesar de 74 existirem diferenças marcantes entre as duas aprendizagens, a aprendizagem significativa e por memorização não são, dicotômicas em muitas situações de aprendizagem prática, e podem coloca-se facilmente em um contínuo memorização-significativo. Outro tipo de aprendizagem destacada por Ausubel (2003) é a aprendizagem por recepção e por descoberta. Na primeira, o aluno recebe a informação, o conhecimento a ser aprendido na sua forma final, no entanto, esse tipo de aprendizagem pode não ser passiva. Na segunda, a aprendizagem por descoberta implica que o aluno deve descobrir o conhecimento que vai aprender. Nessa situação, o conhecimento não é dado em sua forma final. Ausubel (2003, p.1) deixa claro que não existe uma dicotomia entre os dois tipos de aprendizagem, e que o fato de ser uma aprendizagem por recepção ou por descoberta não constitui uma aprendizagem significativa, isso só vai ocorrer se o novo conhecimento tiver ancoragem nos conhecimentos prévios. Convém-nos evidenciar nessa discussão que a aprendizagem significativa não é aquela que o aluno nunca esquece, o esquecimento é um processo natural, Ausubel (2003, p.17) chama isso de assimilação obliteradora, ou seja, a perda progressiva da dissociabilidade dos novos conhecimentos em relação aos conhecimentos que deram significados, que serviram de ancoradouro cognitivo. Diferente da aprendizagem mecânica, na qual o esquecimento é rápido e praticamente total, na aprendizagem significativa, o esquecimento é residual. Esse esquecimento rápido da aprendizagem mecânica pode se justificar por memorização de procedimentos que ao longo do tempo são facilmente esquecidos se não tiverem um uso constante. Neste contexto, os conhecimentos conceituais e processuais estão relacionados à aprendizagem significativa, no sentido de que esta se baseia na apreensão dos conceitos, e são estes que dão sentido aos procedimentos. E, por seu turno, os procedimentos que são aprendidos com significado são aqueles que estão ligados ao conhecimento conceitual, e logo estão relacionados à aprendizagem significativa. Diferentemente, os procedimentos que não se relacionam ao conhecimento conceitual são procedimentos decorados, relacionados à aprendizagem mecânica. Embora, se possa ter procedimentos sem relação com o conhecimento conceitual, é dificil pensar no contrário, pois o procedimento transforma o conceito 75 em algo observável. Para Hiebert e Lefevre (1987, p.4), o conhecimento conceitual se caracteriza mais claramente como o conhecimento que é rico em relações. Ele pode ser pensado como uma teia ligada de conhecimento, uma rede em que as relações de ligação são tão proeminentes como as peças discretas de informação. O conhecimento processual, por sua vez, é composto de duas partes distintas. Uma parte é composta pela linguagem formal, ou sistema de representação simbólica da matemática. A outra parte é constituída de algoritmos, regras para a conclusão de tarefas matemáticas. A primeira parte é às vezes chamada de “forma” da matemática. Ele inclui uma familiaridade com os símbolos usados para presentar idéias matemáticas e uma consciência das regras sintáticas para a escrita dos símbolos em uma forma aceitável. A segunda parte do conhecimento de procedimento consiste em regras, os algoritmos, ou procedimentos utilizados para resolver tarefas matemáticas. Eles são as instruções passo-a-passo que prescrever conclusão das tarefas. (HIEBERT E LEFEVRE, 1987, p. 4, tradução nossa) Como os conhecimentos processuais são instruções que são seguidas passo a passo, uma característica fundamental desses é que eles se apresentam em uma sequência linear predeterminda. Hiebert e Lefevre (1987, p.5) consideram que os procedimentos se encontram tão bem estruturados que alguns estão embutidos em outros e atuam como subprocedimentos. Como exemplo, temos a multiplicação dos decimais, 3,82 x 0,43, em que normalmente se aplica três subprocedimentos: um para escrever o problema na forma vertical adequada (o algoritmo), um segundo, para calcular a parte numérica da resposta, e um terceiro, para colocar o ponto decimal na resposta. Em suma, o conhecimento matemático, em seu sentido mais amplo, inclui significativas e fundamentais relações entre conhecimento conceitual e processual. Os estudantes não são plenamente competentes em matemática se qualquer um dos dois tipo de conhecimento é deficiente ou se ambos foram adquiridos, mas permanecem como entidades separadas. Sendo assim, ao estabelecermos relações entre conhecimento conceitual e processual, não só evitamos falhas no desenvolvimento cognitivo, mas ambém contribuímos de muitas outras formas para o desenvolvimento de uma sólida base de conhecimentos. Hiebert e Lefevre (1987, p.9) destacam duas situações favoráveis para a relação dos conhecimentos conceituais e processuais. Em primeiro lugar, se os 76 procedimentos estão relacionados com os conceitos, eles tornam-se armazenados como parte de uma rede de informação, colados juntamente com as relações semânticas. Tal rede é menos provável que se deteriore do que uma parte isolada de informações, porque a memória é especialmente boa para relações que são significativas. Em segundo lugar, a recuperação é reforçada porque a estrutura do conhecimento ou da rede, de que o procedimento é uma parte, vem equipada com vários links que permitem acesso para o procedimento. Os links "conceituais" aumentam as chances de que o procedimento seja acessado sempre que necessário, porque servem como acesso alternativo para a recordação. No caso da aprendizagem dos números decimais, defendemos que os números naturais e as frações decimais são subsunçores, isso se evidencia, pois se os alunos tiverem construções sólidas dos procedimentos das operações com naturais e das frações decimais, provavelmente compreenderão as operações com os decimais de forma mais significativa. Os conhecimentos dessas operações estão armazenados e os alunos podem acessar ou mobilizar os conceitos e procedimentos necessários para realizar as operações com os decimais. Mas, se ao contrário, esses conhecimentos não estiverem sidos corretamente construídos, o aluno terá dificuldade em estabelecer as relações como outros modelos para a construção de um novo conhecimento – os decimais. Essa ponte entre os dois tipos de conhecimento também ajudaria os alunos na resolução de problemas, visto que, segundo Hiebert e Lefevre (1987, p.9), se o conhecimento conceitual estiver ligado aos procedimentos, pode: (a) melhorar as representações dos problemas e simplificar as exigências processuais; (b) melhorar o processo de monitoração, seleção e execução; e (c) promover a transferência e reduzir o número de procedimentos necessários. Assim sendo, se os alunos tiverem construído relações entre os conhecimentos conceituais e processuais, eles terão facilidade para lidar com as representações dos problemas, e a vantagem de representar conceitualmente o problema é que ela lhes permite raciocinar diretamente sobre as quantidades envolvidas, em vez de raciocinarem sobre os símbolos, e assim poderão escolher adequadamente a operação que resolve o problema, ou ainda, escolher procedimentos adequados que os levem à solução do problema. Outro ponto favorável dessa interligação entre os conhecimentos conceituais e procedimentos é que os primeiros funcionariam como críticos observadores da validação de um 77 processo, pois eles permitiriam antecipar as consequências de possíveis ações, evitando a utilização de procedimentos inadequados. Acerca do tema em apreço, aprendizagem significativa, buscamos estabelecer uma relação entre os conhecimentos prévios dos números naturais para a construção do conhecimento dos números decimais. Apesar das propriedades operatórias do campo numérico dos naturais serem diferentes dos números racionais decimais, acreditamos que, em relação ao sentido das operações, podemos estabelecer relações entre as operações entre os dois campos numéricos. De tal forma que os algoritmos das operações dos naturais favoreçam a aprendizagem das operações com os decimais, nesse caso, os conhecimentos dos números naturais funcionariam como subsunções (âncora) para a aprendizagem das operações e para a resolução de problemas com os números decimais. Acreditamos que esses conhecimentos prévios dos alunos (os números naturais) são indispensáveis para a aprendizagem dos números decimais. E temos como base para essa afirmação os estudos de Jucá (2004, 2008), os quais apresentaram as dificuldades dos alunos em compreender as operações com os números decimais, e uma das causas dessas dificuldades consistia no fato de o aluno não saber operacionalizar no campo dos naturais. Essas dificuldades dos alunos talvez estejam relacionadas, entre outras coisas, à incompreensão do sentido de número e do sentido da operação, assim como do domínio do desenvolvimento dos algoritmos das operações. Percebemos aí um rompimento entre os conhecimentos conceituais e processuais, visto que tanto os conceitos podem dar sentido aos procedimentos, como os procedimentos podem dar vida aos conceitos. Hiebert e Lefevre (1987, p.13) colocam que, em certas ocasiões, o conhecimento processual assume a liderança e estimula o desenvolvimento de novos conceitos. O conhecimento processual fornece uma sequência linguística formal e de ação que eleva o nível e aplicabilidade do conhecimento conceitual. De modo que ser competente em matemática envolve saber conceitos, utilizar símbolos e procedimentos, e saber como eles estão relacionados. Essas discussões sobre conhecimentos conceituais e processuais perpassam pela aprendizagem do sentido de número e das operações, assim como da compreensão da estrutura semantica dos problemas. 78 3.2 O SENTIDO DE NÚMERO E DE OPERAÇÃO As pesquisas que investigaram a compreensão dos alunos sobre o sentido de números e operações, no campo dos números naturais e no campo dos decimais, têm mostrado que, quando os números se referem a objetos em uma dada situação, eles apresentam mais sentido do que quando não se referem a coisa alguma. Nunes e Bryant (1997) observaram que crianças das séries iniciais apresentaram dificuldade para entender a adição e a subtração simples com os naturais quando os números são apresentados sem se referirem a situações que poderiam torná-los significativos. Esses autores destacam que o sentido dos números muda quando se muda seu referencial, porque, no raciocínio aditivo, o sentido de número está diretamente relacionado ao tamanho de conjunto e às ações de unir e separar objetos e conjuntos. O sentido de número como medida de conjuntos envolve colocar objetos em um conjunto no qual o ponto de partida é zero. Para Nunes e Bryant (1997, p.123), o número como uma medida de transformações relaciona-se ao conjunto que é unido ou separado de outro conjunto; e o número como medida de uma relação estática relaciona-se ao conjunto que teria que ser unido ou separado de outro a fim de formar dois conjuntos iguais De igual modo, no caso dos números decimais, os estudos que investigaram a compreensão conceitual dos decimais mostraram que esses números passam a ter melhor significado para os alunos quando se apresentam dentro de um contexto ou de uma dada situação, e que sozinhos os alunos sentem dificuldade de compreender o real sentido do número decimal. Assim sendo, o sentido de número e de operações pode assumir diferentes significados em situações diversas. Esses significados podem, em certas situações, ser mais fáceis para o aluno, e, em outras, assumir um aspecto mais complexo e de difícil compreensão. McIntosh et al. (1992, p.3) apresentam o sentido de número como a compreensão genérica que uma pessoa tem dos números e operações, juntamente com a capacidade para usar essa compreensão de forma flexível, para fazer juízos matemáticos e desenvolver estratégias úteis e eficientes no trabalho com números e operações. Os autores compreendem que uma pessoa com bom sentido de 79 número pensa e reflete sobre os números, operações e resultados que são produzidos, pois o sentido do número implica a compreensão dos sistemas numéricos, a forma como estão organizados, e as suas diferentes representações. McIntosh et al. (1992, p.3) apresentam, então, um modelo do sentido de número, identificando três componentes chave: Conhecimento e facilidade com os números; Conhecimento e facilidade com as operações; Aplicação do conhecimento e da facilidade com os números e operações a situações de cálculos. Em relação à primeira componente, conhecimento e facilidade com os números, os autores entendem que, para que os alunos adquiram tal habilidade, precisam compreender: O sentido da regularidade dos números; Reconhecer múltiplas representações dos números; Compreender o sentido da grandeza relativa e absoluta dos números; Reconhecer sistemas de referência. Para os autores, a compreensão do sentido da regularidade dos números implica compreender a organização do sistema hindu-arábico, do sistema decimal de posição, incluindo a sua aplicação aos diversos campos numéricos, como números naturais, decimais, números racionais e da compreensão das suas representações. Destacam a importância da compreensão do sistema de numeração no desenvolvimento matemático dos alunos, uma vez que os ajuda na organização mental, comparação e ordenação de números. O reconhecimento de múltiplas representações dos números envolve a capacidade de compreendê-los em diferentes contextos e diferentes representações, manipulando-os de diferentes maneiras, tendo em vista determinado propósito. Segundo os autores, o conhecimento de que os números podem ser representados de diferentes formas está em conformidade com o reconhecimento de que algumas representações são melhores do que outras em certas situações de resolução de problemas. Como no caso dos números racionais, a representação decimal em algumas situações é mais favorável para o aluno trabalhar do que a representação fracionária (MCINTOSH et al., 1992, p. 5). A compreensão do sentido da grandeza relativa e absoluta dos números requer o reconhecimento do valor relativo de um número, bem como da sua 80 grandeza. Por conseguinte, os autores alertam para que se dê aos alunos a oportunidade de refletirem sobre números grandes em contextos pessoais (MCINTOSH et al., 1992, p.5). E, por último, os sistemas de referência são considerados por McIntosh et al. (1992, p.6) como fontes de referências mentais essenciais para pensar sobre os números. Apresentam como exemplo o reconhecimento de que a soma de dois números de dois dígitos é inferior a 200, de que 0,98 está perto de 1 ou que 4⁄9 é ligeiramente inferior a 1⁄2. A segunda componente do modelo de McIntosh et al. (1992, p. 6), conhecimento e destreza com as operações, apresenta três competências necessárias que os alunos precisam adquirir: Compreensão dos efeitos das operações; Compreensão das propriedades matemáticas; Compreensão das relações entre as operações. Na compreensão dos efeitos das operações, é preciso compreendê-las em diferentes contextos que envolvam vários tipos de números (como inteiros e racionais) e modelos. Os autores fazem referência à utilização de certos modelos para auxiliar os alunos na compreensão das operações, como no caso da modelação da multiplicação como uma adição repetida, que fornece uma forma concreta de ajudar os alunos a pensarem a multiplicação e a realizá-la. Entretanto, chamam a atenção para o fato de sejam explorados outros modelos junto com os alunos para evitar certas generalizações, do tipo a multiplicação sempre gera um número maior. Por isso, salientam a importância de serem explorados diferentes modelos da multiplicação, para que os alunos possam confrontar potencialidades e limitações de cada um (MCINTOSH ET AL, 1992, p. 6). Na compreensão das propriedades matemáticas, os autores colocam a importância de os alunos compreenderem tais propriedades, pois consideram que o recurso às múltiplas estratégias torna evidente o sentido de número, por isso, enfatiza a ligação das aplicações práticas ao desenvolvimento e compreensão das propriedades matemáticas fundamentais (MCINTOSH ET AL, 1992, p. 6). Na compreensão das relações entre as operações, os autores destacam que tal compreensão permite obter mais formas de pensar e resolver problemas. Enfatizam a relação entre uma operação e a sua inversa, uma vez que essa relação 81 permite pensar de outra forma no problema. Os autores citam que, por exemplo, o quociente de 480 ÷ 8 pode ser entendido como 8 x ? = 480, e não apenas como um problema de divisão. Consideram que, para compreender as relações entre operações, é essencial que se compreenda primeiro cada uma das operações. Para os autores, essas relações entre as operações aumentam a medida que se passa das operações com números inteiros para os números racionais (MCINTOSH ET AL, 1992, p. 6). A terceira componente colocada por McIntosh et al. (1992, p. 6), se refere a aplicar o conhecimento e destreza com números e operações em situações de cálculo, e exige que os alunos adquiram competências como: Compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário; Reconhecer a existência de múltiplas estratégias; Reconhecer uma representação e/ou método eficiente; Rever os dados e o resultado. Para os autores, compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário requer a identificação da operação apropriada para a resolução de um problema a partir da análise do seu contexto, dos números a serem utilizados na operação, bem como da solução mais conveniente, aproximada ou exata. O reconhecimento da existência de múltiplas estratégias implica o reconhecimento de que existem diferentes estratégias para a resolução de um dado problema e quando uma estratégia inicial parece ser improdutiva, a formulação e aplicação de uma estratégia alternativa é uma atitude apropriada. Essa tendência para resolver um problema, explorando-o de diferentes maneiras, muitas vezes, permite comparações de diferentes métodos e diferentes estratégias (MCINTOSH et al., 1992, p. 8) . O reconhecimento de uma representação e/ou um método eficiente, para os autores, requer a conscientização de que, por vezes, algumas estratégias e/ou ferramentas de cálculo são mais eficientes do que outras. Salientam que, por exemplo, um aluno, quando solicitado a adicionar 8 + 7, não deve usar a estratégia de contar 1 a 1, mas antes mudar a representação e pensar em 7+7+1, baseado no conhecimento de que 7+7 =14, ou pensar em 8 + 2 + 5, usando o conhecimento de que 8+2 = 10 (MCINTOSH et al., 1992, p. 8). 82 A revisão dos dados e do resultado, para McIntosh et al. (1992, p.8), se relaciona com a capacidade de analisar a solução obtida e refletir sobre a resposta encontrada, em função do enunciado do problema, e determinar uma resposta com sentido. Salientam que essa reflexão é geralmente rápida e natural, tornando-se uma parte integrante do processo de resolução de problemas. Por exemplo, gastou R$ 2,88 com as maçãs, R$ 2,38 com as bananas e R$ 3,76 com as laranjas. Muitas perguntas diferentes poderiam ser levantadas a respeito da situação, e como esses números são tratados depende de como a pergunta é feita. Por exemplo, se a questão é "Quanto ele gastou com as frutas? ", os preços precisam ser totalizados para produzir uma resposta exata, e qualquer estratégia poderia ser usada. Outro estudo que traz discussões sobre o sentido das operações é o de Slavit (1999, p.3), que define sentido de operação como a capacidade de usar a operação em, pelo menos, um conjunto de objetos matemáticos. Destaca que o sentido da operação envolve vários tipos de concepções flexíveis que podem ser inter-relacionadas pelo aluno. Essas concepções envolvem a estrutura da operação subjacente, uso de relações com outras operações e com estruturas matemáticas, e potenciais generalizações. Tais caracterizações incluem estabelecimento de propriedades que a operação possui, as várias formas e contextos em que a operação pode existir e como a operação se relaciona com outras operações. O autor considera fundamental para o desenvolvimento do sentido da operação algumas competências, as quais apresentamos de forma sucinta. A conceitualização dos componentes básicos do processo: que envolve a capacidade de decompor a operação nas suas componetes bases; A familiaridade com as propriedades da operação, que exige conhecimento e compreensão das propriedades das operações, como a propriedade comutativa, associativa, elemento neutro, e destaca principalmente o conhecimento da operação inversa, pois essa pode ajudar o aluno na expansão do conhecimento de uma operação, atuando sobre diferentes objetos matemáticos, além de conduzir a formas do pensamento algébrico; permite, por exemplo, ao aluno compreender uma situação da forma ? x b = c que equivale a b x ? = c; A relação com outras operações, que compreende a compreensão da operação inversa ou de uma operação complementar, como a 83 compreensão da multiplicação como adições sucessivas ou da divisão como subtração sucessivas, salienta que o conhecimento dessas relações entre operações pode levar a uma melhor compreensão das características de uma operação; A facilidade com os vários sistemas de símbolos associados com a operação, que enfatiza a construção e a natureza das relações entre símbolos e os objetos mentais, que considera essencial para a construção do sentido de operação; A familiaridade com o contexto das operações; A familiaridade com os fatores da operação, capacidade de usar a operação sem referências concretas ou situacionais; A capacidade de usar a operação com quantidades desconhecidas ou arbitrárias; A capacidade de relacionar o uso da operação em diferentes objetos matemáticos. Para isso, requer um elevado nível do sentido de operação, pois o aluno deve expeirmentar a operação em diferentes objetos matemáticos, como números inteiros, decimais e fracionários, visto poder criar diferentes esquemas de ação que envolvem a mesma operação; A compreensão dos vários componentes. O autor enfatiza que o domínio de um componete favorece o desenvolvimento de outros, além do que o domínio da operação está relacionado à capacidade do aluno em dominar todos os componentes anteriormente expostos (SLAVIT, 1999, p. 8). Assim, para Slavit (1999, p.8), a discussão anterior de sentido da operação é uma ampla tentativa de isolar características contextuais, simbólicas e específicas das operações matemáticas que podem apoiar o desenvolvimento cognitivo e sentido de uma determinada operação. O entendimento dessas características permite uma capacidade de movimentação através dessa rede conceitual. Slavit (1999, p.8) salienta que compreender as operações implica a capacidade de raciocinar sobre os efeitos das operações nos números. Entende que o sentido das operações interage com o sentido de número, permitindo aos alunos refletirem sobre os resultados. 84 Quadro 1 - Comparação do modelo do sentido de número e operação McIntosh (1992) Conhecimento e facilidade com os números. O sentido da regularidade dos números. Reconhecer múltiplas representações dos números. Compreender o sentido da grandeza relativa e absoluta dos números. Reconhecer sistemas de referência. Conhecimento e facilidade com as operações. Compreensão dos efeitos das operações. Compreensão das propriedades matemáticas. Compreensão das relações entre as operações. Slavit (1999) Aplicação do conhecimento e da facilidade com os números e operações a situações de cálculos. A conceituação dos componentes básicos do processo. A familiaridade com as propriedades que a operação possui. Relação com outras operações. Facilidade com os vários sistemas de símbolos associados com a operação. Familiaridade com o contexto das operações. Familiaridade com os fatores da operação. Capacidade de usar a operação sem referências concretas ou situacionais. Capacidade de usar a operação com quantidades desconhecidas ou arbitrárias. Fonte: Material preparado por nós para esta pesquisa. McIntosh (1992) e Slavitt (1999), de certo modo, salientam os mesmos componentes para o desenvolvimento do sentido de operação. Percebemos, porém, que o modelo de McIntosh (1992) apresenta-se mais completo, pois os componentes para o sentido de número são apresentados como necessários para o desenvolvimento do sentido de operação. Em síntese, a capacidade do aluno para relacionar o uso da operação entre diferentes objetos matemáticos requer dele um elevado nível do sentido de número e operação, já que pode criar vários 85 esquemas de ação objeto, envolvendo a mesma operação, por exemplo, a adição de números inteiros, de frações e números decimais. Em relação aos números decimais, os estudos correlatos têm apresentado inferências comuns e enfatizado a deficiência dos alunos em relação à compreensão do conceito de número decimal, assim como, em relação à utilização das operações. Esses estudos apontaram que o fato de os alunos apresentarem erros ou dificuldades em operacionalizar com os decimais está diretamente relacionado à não apreensão do conceitual. McIntosh et al. (1992) fazem referência à componente conhecimento e habilidade com os números, na qual destacam o conhecimento do sistema posicional decimal, uma vez que esse componente é essencial para a compreensão do sentido de número decimal. Principalmente, para que os alunos possam ordenar e comparar os decimais de forma coerente, e, posteriormente, compreender as operações com esses números. O que temos observado é que muitos erros de escrita e leitura dos decimais estão relacionados à falta de compreensão do sistema posicional decimal, que deve ser apresentado para o aluno a partir da diferenciação das representações dos números naturais e decimais nesse sistema. Outro ponto levantado por McIntosh et al. (1992) é a necessidade de reconhecer as múltiplas representações dos números, pois esse reconhecimento leva à compreensão do sentido do número. Por desconhecerem as diferentes representações dos números racionais, os alunos não entendem o sentido da vírgula nos decimais, e, consequentemente, tem dificuldade em compreender sua representação como fração decimal ou como porcentagem. Essa incompreensão do sentido de número decimal leva os alunos a enxergarem os decimais como números naturais com uma vírgula, e esse tipo de pensamento, por seu turno, os leva a cometer erros tais como 4,36 >4,8, a justificar que 36 > 8, pois raciocinam como se fossem naturais. O que temos observado de forma geral é que os alunos não percebem os decimais como números racionais e não estabelecem relações desses números com a porcentagem, ou com as frações decimais, e talvez isso ocorra pela forma “empacotada” como os conteúdos são trabalhados na escola, não se dando o estabelecimento das relações entre esses números. Também Behr e Post (1988, p.57) defendem a construção de uma forte compreensão dos conceitos de decimais antes de proceder ao cálculo e aplicação de problemas e sugere duas abordagens: a habilidade dos alunos com números 86 inteiros, e o estabelecimento da compreensão de frações relacionada à de casas decimais. Para conseguir isso, os alunos precisam de uma sólida compreensão do sistema de valor posicional e como utilizar com os decimais, e uma boa base com frações decimais, o que pode ajudar na compreensão do sentido dos décimos, centésimos e milésimos. Nesse sentido, a falta de compreensão do significado de número vai interferir na forma como o sujeito lida com esses números e, consequentemente, na forma como desenvolve as operações, não refletindo acerca delas e apresentando resultados absurdos. Essa incompreensão do sentido de número decimal foi evidenciada nos estudos correlatos, ao destacarem o desempenho dos alunos nas operações com esses números, confirmando a posição de McIntosh et al. (1992) e Slavit (1999), para quem, o sentido de número interage com o sentido de operação, permitindo uma reflexão dos resultados. Sobre a compreensão dos efeitos das operações, os estudos correlatos de decimais, principalmente, os estudos franceses, apresentaram críticas ao ensino da multiplicação de dois inteiros como adição reiterada, pois isso levava os alunos a entenderem que a multiplicação poderia ser realizada como uma soma de parcelas iguais, apresentando sempre um resultado maior. Esse tipo de generalização arbitrária gerou obstáculos para o ensino da multiplicação dos decimais, e essa ideia, no campo dos decimais, não fazia sentido, pois o aluno cometia certos erros. Por exemplo, numa situação de 2,3 x 2 = 2,3 + 2,3, a adição reiterada faz sentido; mas ao multiplicar 2,3 x 2,3 o aluno não conseguia aplicar a mesma regra da adição, com isso chegava a resultados errôneos do tipo 2,3 x 2,3 = 4,9. A exploração abusiva desse modelo de multiplicação dos naturais continua a causar dificuldades para os alunos com os decimais. Roditi (2001) mostra que, em algumas situações, como na multiplicação de dois naturais, ou de um decimal por um natural, o método funciona. Porém, na multiplicação de dois decimais, os alunos não conseguem aplicá-lo ou o aplicam de forma errada. Também Brousseau (1981, p. 171) comenta esse tipo de situação, na operação do tipo 3,25m x 4, o aluno busca apoio nos conhecimentos prévios que tem dos naturais, mas, na situação contrária, 4m x 3,25, o produto não pode ser utilizado com base na ideia do produto dos naturais. Para Brousseau (1981), são essas situações que vão provocar os obstáculos de aprendizagem relacionados aos 87 números naturais. Nos estudos de Bell et al. (1981), Hiebert e Wearne (1988), esse tipo de dificuldades é tratado como “misconception” dos alunos. Para Mcintosh et al. (1992), a utilização de certos modelos não pode ser generalizada e que modelos diferentes devem ser explorados para que o aluno possa ter habilidades com eles e possa escolher o modelo que mais se adapta a uma situação em particular. A generalização de certos modelos induz ao erro, além de provocar obstáculos de aprendizagem. Sobre a compreensão dos componentes e das propriedades matemáticas, entendemos a necessidade de os alunos conhecerem não somente as propriedades das operações, mas também a justificação das regras dessas operações. Em virtude disso, os estudos sobre decimais apontaram muita dificuldade dos alunos no desenvolvimento das operações com os decimais, principalmente no posicionamento da vírgula, e que esse tipo de erro está intimamente ligado à falta de compreensão do sentido do número decimal, o que também mostra a incompreensão das justificativas para as regras das operações com decimais, pois entendemos que se tais justificativas fossem compreendidas pelos alunos esses erros seriam amenizados ou evitados. Essa exploração das propriedades como forma de compreender as operações é apresentada no estudo de Mendes (2012), e serviu para facilitar a aprendizagem das operações e suas diferenças, principalmente em relação aos números decimais. A autora defende a importância de se explorar as diversas estratégias de resolução tanto das operações, como da resolução de problemas, apresentadas pelos alunos no campo dos racionais. Para Ribeiro (2009, p.18), uma das grandes dificuldades dos alunos é a de perceberem por que motivo, ao multiplicarem duas determinadas quantidades de décimos, obterão determinada quantidade de centésimos, ou seja, por que motivo, ao multiplicarem décimos por décimos, utilizando o algoritmo, têm de considerar duas e não apenas uma casa decimal (similarmente adição e a subtração). Tal dificuldade só pode ser amenizada com a justificação da regra por meio das operações com as frações decimais, no entanto, dificilmente os livros didáticos e os professores apresentam a justificação dessas regras. De tal forma que essas regras aparecem como num “passe de mágica”, em que os alunos precisam apenas memorizá-las sem compreendê-las e, consequentemente, surgem os obstáculos didáticos. Assim, tal como Slavit (1999), entendemos que a 88 compreensão de uma operação implica a capacidade de raciocinar sobre os efeitos da operação nos números. De todas as operações aritméticas, a multiplicação e divisão são as que mais apresentam dificuldades para os alunos, seja no campo dos naturais ou dos decimais. Essas dificuldades em multiplicar e dividir foram investigadas em diversos estudos, dentre eles, os estudos de Vergnaud (2009a, p.190), segundo o qual a divisão é uma operação complexa. Há para isso várias razões, algumas de ordem conceitual, outras ligadas à complexidade das regras operatórias implicadas pela divisão. Para o autor, no plano das regras operatórias propriamente ditas, a divisão evidentemente é a mais complexa das quatro operações porque implica, ao mesmo tempo, a subtração, a multiplicação e a busca por tateio ou enquadramento dos algarismos do quociente. O autor ressalva que não é surpreendente que inúmeras crianças não a dominem ao final do ensino elementar. Com relação à multiplicação e à divisão dos decimais, essa dificuldade não é diferente, pelo contrário, se mostra mais complexa. Vergnaud (2009a, p.190) coloca que a divisão com números com vírgula parece fora do alcance da maioria das crianças de 10 a 11 anos e que, na multiplicação, se a vírgula estiver no multiplicando, não existe problemas; entretanto, se a vírgula estiver no multiplicador, as dificuldades aparecem por duas razões fundamentais: Multiplicar um número com vírgula, um número de vezes que não seja inteiro, supõe um problema bem complexo para uma criança; A regra operatória da multiplicação por um número com vírgula supõe um encadeamento de transformações multiplicativas que não são necessariamente bem compreendidas pela criança, mesmo ao final do ensino elementar. Behr e Post (1988, p.61), destacam a importância de se utilizar as frações decimais para o ensino dos decimais, pois ao adicionarmos os decimais, geralmente, não interpretamos cada decimal como uma fração. É importante fazermos isso inicialmente, para comunicarmos às crianças que os decimais não são um conceito totalmente novo, mas sim uma extensão de ideias já encontradas. Para estes autores, o que é importante nessa discussão é a interação sutil entre o conceito de valor posicional derivado do trabalho com números inteiros e vários entendimentos de fração. Se feita de forma eficaz, essa interação apoia o desenvolvimento de uma nova ideia e seu sistema simbólico associado. 89 Behr e Post (1988, p.61), colocam que o ensino de adição e multiplicação ensinado por meio das frações decimais pode ajudar na compreensão dessas operações e, posteriormente, na generalização das regras. Para os autores, ao utilizarmos as frações decimais para o ensino da multiplicação, os alunos aprenderiam a desenvolver o algoritmo da multiplicação, em vez de simplesmente memorizar um procedimento que eles não entendem. Sobre a operação de divisão, Behr e Post (1988, p.65) colocam que a divisão por casas decimais tem sido uma área de dificuldade para os alunos. Sendo assim, é importante que a compreensão dos significados de divisão e de divisão por um número decimal seja desenvolvida antes de qualquer algoritmo introduzido. Os autores referem-se aos dois tipos de divisão que devem ser levados em consideração no momento de ensinar aos alunos a divisão como partição e a divisão como cotação. Ao dividir o número inteiro por um decimal, a interpretação partitiva tende a ser um pouco mais complicada. Usando o exemplo 3/0.5, a interpretação partitiva implicaria 0,5 de um grupo ou sugeriria que 3 é 0,5 de um grupo. Esse é um conceito bastante difícil, especialmente, se o divisor fosse um número mais complicado do que 0,5. O outro tipo de divisão, a medição ou interpretação cotativa, é mais útil porque, no exemplo 3/0,5, nos é pedido para fazermos grupos de tamanho 0,5. Isso pode ser feito usando uma variedade de materiais manipuláveis, inclusive de base dez, como blocos e peças de fração ou de varetas Cuisenaire. (BEHR e POST, 1988, p. 66). A respeito disso, McIntosh et al. (1992, p.8) aduzem que a compreensão de uma operação aumenta principalmente quando passamos das operações com números inteiros para os racionais. Então, podemos inferir que o domínio das operações em um certo campo numérico resultará na compreensão ou até mesmo na ampliação do sentido das operações em outro campo numérico. Os estudos sobre decimais apontaram que os alunos cometiam erros ao operacionalizarem com os decimais, ao analisarmos tais erros, vimos que se relacionavam às operações dos naturais, ou seja, os alunos erravam ao desenvolverem o algoritmo das operações com naturais. 90 3.3 A ESTRUTURA SEMÂNTICA DOS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Existe um grande número de pesquisas desenvolvidas que discutem sobre a estrutura semântica de problemas aritméticos, tais como as de Nunes e Bryant (1997), Vergnaud (2009), Nunes et al. (2005), Sá (2003), Damm (2003), Valentin e Sam (2004), Greer (1992), e sobre as dificuldades dos alunos na compreensão desses problemas, seja no campo aditivo ou multiplicativo. Essas pesquisas promovem discussões acerca da estrutura linguística dos problemas aritméticos e as diferenças entre os diversos tipos de problemas, que necessitam de diferentes estratégias para sua resolução, além de apontarem as dificuldades que cada categoria de problema pode apresentar. Entretanto, o que temos observado ao longo dos anos é que essas diferenças entre os problemas não são levadas em consideração na prática escolar, pois o ensino da resolução de problema é desenvolvido com ênfase na utilização de palavras-chave, que funcionam como “pistas” ou “dicas” que os alunos devem levar em conta para resolverem os problemas. Tal prática tem o inconveniente de priorizar automatismos e não contribuir para o desenvolvimento do raciocino lógico necessário para a resolução dos problemas, pois o aluno, ao se deparar com outro tipo de problema em que essas “pistas” ou “dicas” não aparecem claramente ou que não indicam a operação correta, é conduzido ao erro. Essa opção de ensino, além de não propiciar a compreensão do problema, não leva em consideração que existem vários tipos problemas e que o raciocínio lógico, que serve para resolver um problema, pode não servir para resolver outro tipo de problema. Ao se iniciar o trabalho com a resolução de problemas aritméticos aditivos, principalmente nas séries iniciais, são apresentadas às crianças as ideias de juntar, ganhar etc., para se construir o conceito de adição; e as ideias de retirar, perder, dar etc., para se construir o conceito de subtração. A partir da construção de tais ideias, essas palavras, ganhar, juntar, perder, retirar, etc., são usadas para indicar uma adição ou uma subtração, respectivamente, e servem de “pistas” para que as crianças possam identificar a operação a ser utilizada na resolução dos problemas. No caso dos problemas multiplicativos, as palavras ou expressões quantas vezes, repartir, distribuir, são usadas nos problemas que envolvem multiplicação e divisão respectivamente. Algumas vezes, essas palavras 91 indicadoras da operação a ser usada acabam por levar o aluno ao erro na escolha da operação, pois outras questões são deixadas de lado ou passam despercebidas pelo professor na escolha dos problemas. Logo, a palavra-chave pode ter um papel fundamental na tradução de um problema, contudo, ela só pode funcionar corretamente se a compreensão do enunciado do problema se realiza de forma global e não local. Valentin e Sam (2004, p.2), ao se referirem às dificuldades dos alunos em resolver problemas aritméticos, colocam duas questões que implicam essa dificuldade: o conhecimento linguístico e a estrutura semântica. Os autores colocam que a estrutura semântica do problema influencia nos processos de solução, pois os alunos interagem de forma diferente ante problemas de diferentes estruturas semânticas. Os autores destacam que, na resolução de problemas, o resolvedor usa dois caminhos distintos para compreender um texto; um aluno que usa a abordagem de tradução direta baseia sua solução em palavras-chave; enquanto aquele que usa um modelo de abordagem do problema tem uma rica representação em que baseia o plano de solução. Independentemente de qual caminho é escolhido, a tarefa de compreender o problema é a mais crítica e representa o limiar de soluções de sucesso. Para Valetin e Sam (2004), a representação mental dos problemas é formada a partir de compreenção das diferentes relações de quantidades postas no problema, o que é a base da escolha da operação. Valentin e Sam (2004, p. 10), ao analisarem as respostas dos alunos, nos problemas aritméticos aditivos e multiplicativos, observaram que os alunos apresentaram mais facilidade nos probelmas aditivos do que nos multiplicativos. Os autores também perceberam uma forte tendência dos alunos para selecionar a operação de adição quando não conseguiam identificar a operação correta. Também identificaram que as respostas corretas mostraram três modelos intuitivos emergindo de problemas de multiplicação (contagem direta, adição repetida, operação multiplicativa) e quatro, dos problemas de divisão (contagem direta, adição repetida, subtração repetida, a operação multiplicativa). Sendo que os problemas de divisão do tipo partição foram os mais conhecidos entre os alunos, e os problemas do tipo cotação estavam entre os menos populares. Nos estudos que discutem sobre resolução de problemas, seus autores defendem que a compreensão da estrutura semântica dos problemas, assim como a modelagem da situação que os representa, possibilita aos alunos uma melhor 92 habilidade para resolver problema aritméticos. Desse modo, compreender as diferenças entre os vários tipos de problema é fundamental para o sucesso em sua resolução, visto que a dificuldade de um problema é determinada não apenas pela situação, mas também pelas operações de pensamento que são realizadas para a sua resolução. Como exemplo, os problemas abaixo: Paulo tinha 7 bolinhas de gude antes de jogar. Ganhou 4 bolinhas no jogo. Quantas bolinhas tem agora? Paulo tinha 7 bolinhas de gude antes de jogar. Perdeu 4 bolinhas no jogo. Quantas bolinhas tem agora? Tais problemas são apontados por alguns dos estudos supracitados como sendo fáceis para as crianças e que não apresentam dificuldade em sua resolução, por serem problemas diretos, nos quais as operações necessárias para resolvê-los aparecem expressas de forma clara no enunciado. Contudo, ao se depararem com problemas que exigem outro tipo de raciocínio e com palavras como ganhou ou perdeu que não representam necessariamente uma adição ou uma subtração, os alunos são levados ao erro. Nesse tipo de problema é exigida a utilização da operação inversa para sua resolução. Tomemos como exemplo o problema a seguir. Paulo tinha algumas bolinhas de gude. Ganhou 4 bolinhas no jogo e agora possui 10 bolinhas. Quantas bolinhas tinha antes do jogo? Nesse tipo de problema, os alunos tendem a pensar que devem fazer uma adição, por causa da palavra “ganhou”, entretanto, o problema exige na sua solução uma subtração. Problemas como esse apresentam dificuldades para os alunos compreenderem o enunciado e seu significado. No enunciado a quantidade inicial não é indicada, porém, na interpretação desse tipo de problema, os alunos, em geral, compreendem que o que se pede é o total, e dessa forma adicionam os dados do problema, não percebendo que é preciso trabalhar com a ideia da operação inversa. Problemas como esses, nos quais as palavras não indicam a operação a ser utilizada, e é necessário utilizar a operação inversa para resolvêlos, foram classificados por Nunes et al. (2005) em problemas inversos porque a situação descrita envolve um esquema de ação, mas a solução exige a aplicação de um esquema inverso. Outro tipo de problema que foi apontado como difícil para os alunos são os que apresentam a ideia de comparação entre duas medidas estáticas. 93 Paulo tem 8 bolinhas de gude. Tiago tem 4 bolinhas. Quantas bolinhas Paulo tem a mais que Tiago? Os estudos de Nunes e Bryant (1997), Vergnaud (2009a), Nunes et al. (2005), Valentin e Sam (2004) apontaram esses problemas como de difícil resolução para os alunos. Estão entre aqueles que podem levar o aluno à compreensão de que se trata de um problema de adição, por causa do indicativo “a mais”, porém, a solução do problema exige uma subtração. Nesse tipo de problema, o aluno tende a apresentar dificuldade em quantificar uma comparação. Acredita-se que essa dificuldade seja explicada pelas concepções que os alunos possam ter de adição e de subtração, visto que indicam mudança de quantidade. Como os problemas que apresentam uma comparação não indicam tais mudanças, os alunos sentem dificuldade em raciocinar sobre eles. De forma geral, não percebemos nos livros didáticos um cuidado especial em mostrar diferentes categorias de problemas nem em apresentar diferentes soluções. Os problemas nos livros didáticos aparecem como se todos eles fossem homogêneos e sua resolução fosse a mesma. Entretanto, percebemos que os alunos apresentam dificuldade em resolver certos problemas, mais do que outros. Segundo Vasconcelos (1998, p. 55), os livros didáticos e as práticas escolares tendem a classificar os problemas aditivos naqueles que envolvem adição e naqueles que envolvem subtração, não distinguindo classes ou categorias de problemas segundo uma estrutura semântica, lógica ou sintática. O mesmo se observa para os do tipo multiplicativo. Desse ponto de vista, os problemas passam a ser homogêneos, como se todos pudessem ser resolvidos da mesma forma e com a utilização do mesmo raciocínio lógico matemático. 3.3.1 Os campos conceituais aditivo e multiplicativo Vergnaud (1990), ao desenvolver a teoria dos campos conceituais, destaca a necessidade de considerar o desenvolvimento, a longo prazo, das concepções e competências dos alunos, caracterizado por continuidades e descontinuidades; assim como as emergências a curto prazo (por descoberta, invenção ou aprendizagem) de novas concepções e competências quando 94 confrontados por novas situações. Segundo Vergnaud (1990, p.7), campo conceitual é um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes, mas intimamente relacionados. Assim sendo, o conhecimento está constituído de campos conceituais cujo domínio por parte do sujeito ocorre ao longo do período de tempo, através de experiência, maturidade e aprendizagem. A teoria dos campos conceituais fornece um quadro para compreender o desenvolvimento progressivo de saberes e saber-fazer no interior de um vasto conjunto de situações de diferentes níveis e competências. Para Levain e Vergnaud (1995, p. 57) a teoria dos campos conceituais permite categorizar as diferentes situações, analisar os procedimentos utilizados pelos alunos e compreender erros, assim como estuda as principais representações simbólicas utilizadas pelos alunos. Vergnaud (1990), nos estudos referentes à teoria dos campos conceituais, se concentra em trabalhar em especial com dois campos conceituais: o das estruturas aditivas e o das estruturas multiplicativas. Apesar de as estruturas aditivas terem alguma relação com as estruturas multiplicativas, Vergnaud (1990, p. 7) destaca uma organização intrínseca própria das estruturas multiplicativas, não redutível aos aspectos aditivos. Assim, considera as especificidades nos problemas cognitivos levantados pelas estruturas aditivas, bem como nos levantados pelas estruturas multiplicativas, permitindo o estudo separado desses dois campos conceituais. A partir das especificidades próprias de cada estrutura, ele apresenta uma classificação para vários problemas segundo sua estrutura semântica. Essa classificação mostra as diferenças entre os diversos tipos de problemas e a complexidade que eles apresentam, assim como as estratégias necessárias para a sua solução. Para Vergnaud (1990, p.8), o campo conceitual das estruturas aditivas é o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias adições, ou subtrações, e o conjunto de conceitos e teoremas que permite analisar essas situações como tarefas matemáticas. Desse modo, são elementos constitutivos das estruturas aditivas: o conceito de cardinal e de medidas, de transformação temporal por aumento ou diminuição, de relação de comparação quantificada, de composição binária de operação unitária, de inversão, de número natural, de número relativo, e de abscissa. 95 O autor coloca que o campo conceitual das estruturas multiplicativas consiste de todas as situações cujo tratamento implica uma ou várias multiplicações ou divisões, e o conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações: proporção simples e múltipla, função linear e não linear razão escalar direta e inversa, quociente e produto de dimensões combinação linear e aplicação linear, fração, razão, número racional, múltiplos e divisores (VERGNAUD, 1990, p.9). Também Nunes et al. (2005) trazem discussões sobre as diferenças entre as estruturas aditivas e multiplicativas. Esses autores destacam que o raciocínio aditivo baseia-se na coordenação de três esquemas de ação: juntar, separar e colocar em correspondência um a um. Dessa forma, o raciocínio aditivo refere-se a situações que podem ser analisadas a partir de um axioma básico: o todo é igual à soma das partes. Se queremos saber o valor do todo, somamos as partes; se queremos saber o valor de uma parte, subtraímos a outra parte do todo; se queremos comparar duas quantidades, analisamos que parte da maior quantidade sobra se retiramos dela uma certa quantidade determinada. Por essa razão, diz-se que o invariante conceitual do raciocínio aditivo é a relação parte-todo. Por conseguinte, os autores destacam que o conceito primitivo de multiplicação baseia-se na ideia de adição repetida de parcelas iguais. Entretanto, do ponto de vista conceitual, existe uma diferença significativa entre adição e multiplicação. O invariante conceitual do raciocínio multiplicativo é a existência de uma relação fixa entre duas variáveis (ou duas grandezas ou quantidades). Nos problemas de raciocínio multiplicativo, busca-se um valor, uma variável que corresponda a um valor dado na outra variável. A relação constante entre as duas variáveis é que possibilita a dedução na resolução de problema de raciocínio multiplicativo. Nos problemas de raciocínio multiplicativo, aparecem dois esquemas de ação: a correspondência um a muitos e a distribuição equitativa. (NUNES et al., 2005, p.85). 96 3.3.1.1 Problemas aritméticos das estruturas aditivas Vergnaud (2009a, p. 200) classifica os problemas envolvidos na estrutura aditiva em seis grandes categorias. Essas categorias mostram que existem vários tipos de adições e subtrações e que essas diferenças não são feitas no ensino básico. As relações aditivas são relações ternárias que podem ser encadeadas de diversas maneiras e resultar em uma grande variedade de estruturas aditivas. Utilizamos para exemplificar cada categoria alguns problemas propostos por Vergnaud (2009a, p.202). 1ª categoria – Composição de medidas: duas medidas de mesma natureza se compõem para resultar em uma medida. Essa categoria envolve situações que envolvem parte e todo. Como exemplo, temos: Paulo tem 6 bolinhas de gude de vidro e 6 bolinhas de gude de metal. Quantas bolinhas ele tem? A sentença que modela o problema é a + b = ? (onde c é total procurado). Figura 5- Composições de medidas Fonte: Vergnaud (1976). 2ª categoria - Uma transformação de medidas: uma transformação se opera sobre uma medida para resultar em outra medida. Nessa categoria de problemas, a ideia temporal está sempre envolvida, isto é, no estado inicial, há uma quantidade que se transforma (com perda/ganho, acréscimo/decréscimo etc.), chegando ao estado final com outra quantidade. Como exemplo, temos: Paulo tinha algumas bolinhas de gude antes de jogar. Ganhou 4 bolinhas. Ele agora tem 11. A sentença que modela o problema é ? + b = c (a é parte procurada). 97 Figura 6- Transformações de medidas Fonte: Vergnaud (1976). 3ª categoria – Comparação: uma relação (quantificada) liga duas medidas: esse tipo de problema apresenta uma reciprocidade das relações quantificadas “n mais que” e “n menos que”. Como exemplo: Paulo tem 8 bolinhas de gude. Tiago tem 5 menos que Paulo. Quantas bolinhas tem Tiago? Figura 7- Comparação de medidas Fonte: Vergnaud (1990). 4ª categoria – Transformação de transformação: duas transformações se compõem para resultar em uma outra transformação. Como exemplo: Paulo ganho ontem 6 bolinhas de gude e hoje perdeu 9 bolinhas. Quantas bolinhas ele perdeu? Figura 8- Transformações de transformação Fonte: Vergnaud (1976). 5ª categoria - Uma transformação opera sobre um estado relativo para resultar em um estado relativo. Como exemplo: Paulo devia 6 bolinhas de gude para Henrique. Ele devolveu 4. Quantas bolinhas ele deve agora? 98 Figura 9- Transformações de um estado Fonte: Vergnaud (1976). 6ª categoria - Dois estados relativos se compõem para resultar em um estado relativo. Como exemplo, temos: Paulo deve 6 bolinhas de gude a Henrique, mas Henrique lhe deve 4. Quantas bolinhas Paulo deve a Henrique? Figura 10- Composições de dois estados relativos Fonte: Vergnaud (1976). Vergnaud (2009a), ao realizar a diferenciação das classes dos problemas, define a complexidade e dificuldade de cada classe de problemas e destaca as dificuldades encontradas pelos alunos ao resolverem problemas das duas últimas categorias, entretanto, aponta que a quarta categoria se mostra como a que apresenta maior dificuldade para os alunos. Também Nunes e Bryant (1997) apontam as diferentes concepções que o conceito das operações de adição e subtração podem assumir para cada tipo problema aditivo. Os autores destacam que nas situações de transformação (em que coisas são somadas ou retiradas), parte todo e comparação, essas operações assumem conceitos diferentes, e que algumas se mostram mais difíceis que outras. Em situações de parte todo, os números se referem a conjuntos de objetos, não há transformação para qualquer quantidade. Diferentemente dos problemas de transformações, em que a quantidade inicial sofre uma modificação. Como mostra os problemas a seguir: (1) Joe tinha cinco bolinhas de gude. Tom lhe deu algumas bolinhas de gude. Agora Joe possui 8 bolinhas. Quantas bolinhas Tom deu para Joe? 99 (2) Joe tinha algumas bolinhas de gude. Tom lhe deu mais 5 bolinhas. Agora Joe tem 8 bolinhas. Quantas bolinhas Joe tinha no começo? Os problemas de transformação em que o transformador é desconhecido, problema (1) ou que o início do problema é desconhecido, problema (2) requerem operações de pensamento diferentes antes que a operação aritmética possa ser determinada. Uma das estratégias de resolução para esses problemas está relacionada com a capacidade das operações de pensamento desenvolvida pelas crianças. No problema (1), a compreensão de uma invariável da adição/subtração, a relação de inverso; no problema (2), uma invariável da adição, a comutatividade. Para os autores, a análise das invariáveis permite prever que problemas de transformação são mais difíceis do que problemas de transformação, nos quais a abordagem direta da situação conduz à solução correta, mesmo quando a soma que as crianças precisam fazer é basicamente a mesma. Em vista disso, os autores inferem que a necessidade de efetuar uma operação de pensamento com base na propriedade inversa da adição e subtração aumentou significantemente a dificuldade dos problemas. Outro tipo de problemas que os autores discutem são os de comparação, uma situação de comparação envolve dois conjuntos e uma relação estática. Um problema de comparação pode, portanto, ter uma relação estática ou quaisquer dos conjuntos como a incógnita. Nas situações de comparação, os problemas são muito diferentes dependendo de qual dos subconjuntos é o desconhecido. Em uma situação de comparação, um dos conjuntos funciona como referente da comparação, quando esse referente é o desconhecido, o problema tende a ser mais difícil. Nunes e Bryant (1997) apontam dois tipos diferentes de problemas de comparação. No problema (3), temos uma situação de comparação no qual o referente é desconhecido e no problema (4), temos uma situação de comparação, no qual o referente é conhecido. (3) Joe tem 8 bolinhas de gude. Ele tem 5 a mais que Tom. Quantas bolinhas tem Tom? (4) Joe tem 3 bolinhas de gude. Tom tem 5 bolinhas de gude a mais que Joe. Quantas bolinhas tem Tom? As situações de comparação, de uma forma geral, são mais difíceis porque nada é somado ou retirado da situação. As conexões entre a situação e a 100 operação sobre objetos simbólicos que conduzem à resolução do problema não são tão evidentes. Para Nunes e Bryant (1997, p. 133), os erros e as dificuldades dos alunos nos problemas de comparação estão relacionados aos conceitos de adição e subtração que as crianças desenvolvem no início da escolarização. Esses conceitos estão relacionados a unir ou separar os elementos de um conjunto, o que não é facilmente conectado ao sentido de número como medida de uma relação estática. Tanto nos estudos de Nunes e Bryant (1997) como nos de Nunes et al. (2005), está posto que os problemas de comparação de medidas estáticas podem ser transformados em problemas de transformação, em que a criança é levada a pensar em uma transformação que conecta duas medidas estáticas, de tal forma que o problema passa a ter mais significado para criança. Outro estudo que discute os problemas aditivos, é de Slavit (1999), que discute a transição do pensamento aritmético para o algébrico. O autor apresenta uma ideia do sentido da operação com base na análise da compreensão da aritmética, em conexão com o desenvolvimento da compreensão algébrica. Nesse sentido, ele utiliza o sentido de operação para discutir a compreensão algébrica, e alega que isso é necessário para a discussão de operações matemáticas em geral; para explorar os entendimentos de adição; para a compreensão de como as competências iniciais das crianças em aritmética podem ser vistas como raízes para as formas do pensamento algébrico. Para Slavit (1999, p.10), a exploração das propriedades e a relação com outras operações são importantes para a resolução de problemas. O autor destaca, por exemplo, a comutatividade que pode ser usada para alterar uma tarefa aditiva de termo desconhecido (_+ b = c) para uma tarefa mais fácil (b+_= c). A reversibilidade, ou inversa, pode permitir que a mesma tarefa seja transformada em uma tarefa de subtração (c - b =_). Para o autor, não só essas ações levam a comportamentos de resolução de problemas avançados, mas, a partir da perspectiva do sentido da operação, essas ações mostram raízes do pensamento algébrico em duas dimensões. Em primeiro lugar, a compreensão das propriedades da adição é usada para obter um sentido mais geral da operação, como um objeto que possui várias propriedades, levando a uma visão mais generalizada da computação. Em segundo lugar, esses comportamentos de resolução de problemas, eventualmente, envolvem atos de computação que são independentes 101 de valores de entrada específicos. Essas duas dimensões ilustram que crianças pequenas conseguem dominar situações algébricas nas tarefas aritméticas. Também Damm (2003, p. 35) aponta discussões sobre os problemas aditivos, pois esses descrevem nos enunciados, em geral, uma situação social ou econômica muito simples (jogo de bola, compra, deslocamento) e a resolução pede somente a utilização das operações de adição e subtração. A autora distingue dois planos para os problemas aditivos: A existência de uma ou duas operações de adição e subtração sobre os números dados no enunciado. Sempre que propomos um problema aditivo, acreditamos que os alunos sabem adicionar e subtrair os números propostos; O plano da representação da redação do texto. O enunciado indica uma situação na qual os números dados assumem um valor informativo de ganho, perda, diferença, preço etc. Levando em consideração esses dois planos, a autora apresenta dois fenômenos que devem ser levados em consideração nas tarefas de resolução de problemas. O primeiro, se refere à operação realizada que pode se referir a diferentes enunciados de problemas, e que pode ser evocada no texto por diversas situações extra matemáticas (jogo, compra, venda etc.); o segundo, se refere à conversão entre dois registros de representação que o enunciado do problema pode exigir, isto é, que o aluno seja capaz de passar do texto à escrita da operação aditiva a ser efetuada. Para efetuar uma conversão é necessário: Selecionar, no enunciado, os dados pertinentes para a resolução: os números indicados; Organizar esses dados de tal forma que a operação matemática a ser efetuada se torne evidente. Sobre as dificuldades na resolução dos problemas aditivos, Damm (2003) coloca que: As dificuldades não são referentes aos aspectos numéricos e pragmáticos, mas se encontram na compreensão da ordem temporal, indicadas no enunciado e no sentido dos verbos portadores de informações numéricas e sobre os quais se encontram prioritariamente as dificuldades. (DAMM, 2003, p. 37) 102 Na conversão do enunciado do problema para a escrita do tratamento aritmético, devem ser analisados os dados que servirão para fazer a conversão de registro. Nos dois registros de representação dos problemas aditivos, é importante distinguir o tratamento aditivo e a organização redacional. O tratamento aditivo é constituído por um conjunto de números, e cada um deles pode ser encontrado por meio de uma operação de adição ou subtração. A organização redacional do enunciado do problema aditivo, segundo Damm (2003, p.40), comporta três tipos de dados: Os dados referentes à situação extra matemática descrita; Os dados que determinam o valor operatório dos números e que dão a esses números um valor de estado ou de transformação. Esses valores operatórios são atribuídos pelos verbos, que, no enunciado, são portadores de informações numéricas; Os dados concernentes às relações entre os dados operatórios. Para a autora, esses dados são importantes para extrair os critérios aos quais a representação deve corresponder, para permitir a seleção e a organização dos dados pertinentes. A partir da extração e análise desses dados o problema poderá ser representado ou modelado de forma aritmética. Damm (2003, p.41) ressalta que o ponto importante nesse tratamento aditivo do enunciado do problema é a escolha da operação de “+” ou “–“, e que a dificuldade dessa escolha vai depender do caráter congruente ou não congruente do problema. Damm (2003, p.41), com base nos estudos de representação semiótica de Durval (2003), aponta três fatores determinantes para que os problemas sejam congruentes ou não congruentes: A necessidade ou não de se efetuar uma inversão em relação ao dado final; A polarização dos verbos que possuem um valor operatório de transformação. Existe uma correspondência direta entre o sentido do verbo e a operação (ganhar é “+”, perder é “–“ ); Presença ou ausência de verbos antônimos no enunciado (ganhar/perder) o que reforça a não congruência. Nesse sentido, a autora define que um problema aditivo é estritamente congruente, quando, de um lado, existe a correspondência e, do outro, não exige a 103 inversão e não exige a presença de verbos antônimos no enunciado. Nas atividades de conversão de registro, na resolução de problemas, nos quais é realizada a passagem da língua natural para uma representação numérica, podem aparecer as variações de congruência e de não congruência. As variações de congruência e não congruência são expostas por Durval (2003, 2009), ao tratar das conversões de representações e mudanças de registro. Conforme Durval (2009, p. 58), “converter é transformar a representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num outro registro.” Para o autor, o que se designa pelos termos de tradução, ilustração, transposição, Interpretação, codificação etc. são operações de uma representação de registro que corresponde a outra representação em outro registro. A conversão é uma transformação externa em relação ao registro da representação de partida. Durval (2009, p. 59) chama atenção para a importância de se perceber a diferença entre o conteúdo da representação e aquilo que ele representa, pois, sem essa percepção, a atividade de conversão torna-se impossível ou incompreensível. No caso da adição de decimais e das frações decimais, por mais que os alunos saibam calculá-la, costumam fracassar ao tentarem converter a escritura decimal na fracionária (e vice-versa) quando isso se torna necessário no cálculo, afinal, a representação decimal, fracionária ou a escrita com expoente constituem três registros diferentes de representação numérica. Na escritura de um número, é importante distinguir a significação operatória fixada no significante e o número representado. Assim, a significação operatória 0,25; ¼ e 25.10-2 não é a mesma porque os procedimentos de tratamento não são os mesmos para efetuar as adições. Cada um desses significantes tem uma situação operatória diferente, apesar de representarem o mesmo número. 0,25 + 0,25 = 0,5; ¼ + ¼ = ½ ; 25.10-2 + 25.10-2 = 50.10-2 Segundo esse preceito, para verificar se existe congruência ou não congruência, basta analisarmos a atividade de conversão, ou seja, comparar a representação do registro de partida com a representação final do registro de chegada. Nesse caso, segundo Durval (2003, p.19), duas situações podem ocorrer, ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão está próxima de uma situação de simples codificação, nesse caso, dizemos que há 104 congruência. Ou ela não transparece absolutamente, nesse caso, dizemos que não há congruência. Levando em conta o que foi exposto, a dificuldade na resolução de problemas aritméticos, de forma geral, pode ser explicada pelo caráter congruente ou não da conversão de um enunciado em um modelo que permita resolver o problema. Isso porque as resoluções de problemas aditivos constituem um exemplo de tarefa de conversão, pois trata-se de passar de um enunciado à escritura da equação aritmética que modela o problema e dá a solução. De acordo com Durval (2009), a ordem dessas dificuldades, regularmente observada entre as diferentes categorias de problemas, corresponde muito exatamente ao que permite prever de uma análise de congruência e não congruência. O autor aponta três fatores que comandam a dificuldade de conversão do enunciado à escritura da equação aritmética, e que dizem respeito à operação escolhida que será feita entre os dois números do enunciado: Há identidade, ou não identidade, entre a operação semanticamente sugerida pelos verbos portadores de informação numérica no enunciado e a operação aritmética a ser feita: ganha 3 = + 3, perde 3 = - 3; Os verbos do enunciado são portadores de informação numérica, não são verbos antônimos, ou, ao contrário, trata-se desse tipo de verbo (ganhar/perder, subir/descer). Nesse caso, não há univocidade semântica terminal. (Perde) 3 + (ganha) 6 = ?; A ordem de apresentação dos dados numéricos no enunciado pode ser conservada, ou, ao contrário, é preciso invertê-la partindo do dado final. (Ganha) 8 ? (Ganha) 3 = ?. Durval (2009, p.71) assinala que quando não há inversão, a ordem de arrumação e de representação das unidades significantes pertinentes é a mesma no enunciado e na equação aritmética, dando imediatamente a solução. Ele conclui que quando há congruência, os problemas são mais rapidamente resolvidos pelos alunos, todavia, quando a taxa de não congruência é máxima, os alunos têm muita dificuldade em resolver os problemas. Em suma, as relações de congruência ou não congruência influenciam na compreensão e representação dos problemas aritméticos, de tal forma que os congruentes, por serem problemas diretos na sua representação, tornam-se mais fácies para os alunos, ao contrário dos não 105 congruentes, cujas representações não são tão simples e exigem a utilização da operação inversa para a sua solução. 3.3.1.2 Os problemas da estrutura multiplicativa Para Levain e Vergnaud (1995, p.57), a complexidade e a diversidade em relação ao domínio das relações multiplicativas podem ser representadas por um conjunto de problemas complexos, sendo assim, a relação de multiplicação não constitui uma relação binária, mas quaternária, que conduz a três classes de estruturas diferentes no conjunto de situações das estruturas multiplicativas: isomorfismo de medidas, produto de medidas e proporção múltipla. Essa classificação se apoia sobre a análise da estrutura matemática do problema, isto é, das relações que envolve as questões e os diferentes dados do enunciado. Conforme aduz Vergnaud (2009a, p.239), o isomorfismo de medidas envolve uma relação quaternária, isto é, uma proporção simples entre duas grandezas M1 e M2. Esses tipos de problemas também descrevem um grande número de situações corriqueiras da vida, bem como de ordem técnica. Levain e Vergnaud (1995, p.59) definem três grandes tipos de problemas em função do lugar ocupado pelo valor desconhecido. Multiplicação: achar f(x); Divisão do tipo partição: achar f (1); Divisão do tipo cotação: achar x. Essas classes de problemas elementares são representadas pelo esquema da Figura 11. Figura 11- problemas de Isomorfismos de medidas Fonte: Levain e Vergnaud (1995). 106 Levain (1992), Levain e Vergnaud (1995) e Vergnaud (2009a), colocam que estes problemas apresentam dificuldades muito distintas segundo os valores numéricos. Para os autores, os alunos possuem menos dificuldade com este tipo de problema quando os dados envolvem números inteiros do que com os números decimais. Observa-se um maior grau de dificuldade com os números decimais, dificuldades na multiplicação e na divisão por um decimal, sobretudo por um decimal menor que 1. Em efeito, em relação aos números decimais, apesar da comutatividade da multiplicação, o número decimal ao assumir o papel de multiplicador ou de multiplicando oferecem dificuldades diferentes. Pois segundo Levain (1992, p. 142) os alunos têm menos dificuldade em resolver um problema de multiplicação onde é preciso multiplicar “0,6F por 18 lápis” (0,6 × 18), do que quando se trata de multiplicar “43F por 0,7kg” (43 × 0,7). Os problemas de multiplicação, como isomorfismo de medidas, consistem numa relação quaternária na qual os alunos têm de extrair uma relação terciária. Esse tipo de problema é exemplificado a seguir: Tenho três pacotes de iogurte. Há 4 iogurtes em cada pacote. Quanto iogurte eu tenho? (VERGNAUD, 2009a p. 239). Em que a = 4 e b = 3, M1 = número de pacotes e M2 = número de iogurtes. Figura 12- Isomorfismo de medida para a multiplicação Fonte: Vergnaud, 1988. Para a resolução desse tipo de situação, Vergnaud (1988) considera a existência de dois processos com caráter multiplicativo. No primeiro processo, o produto a × b, em que a e b são números e não grandezas; 107 No segundo processo, o produto a × b, em que a e b são grandezas. Nesse último caso, temos dois procedimentos diferentes: o operador escalar e o operador funcional. Operador escalar: para Vergnaud (1988, p145.), os alunos recorrem ao operador escalar quando aplicam um operador vertical (× b) dentro do mesmo espaço de medidas (a × b = x). Nesse caso, trata-se de uma razão entre valores da mesma grandeza e não possui dimensão. Figura 13 - Operador escalar Fonte: Vergnaud (1983). Operador funcional: o autor considera que os alunos recorrem ao operador funcional quando aplicam um operador horizontal (× a) entre diferentes espaços de medida (b × a = x). Trata-se do coeficiente da função linear de M1 a M2, cuja dimensão é o quociente de outras duas dimensões. Figura 14 - Operador funcional Fonte: Vergnaud (1983). No caso da divisão, como isomorfismo de medida, temos dois casos: divisão como partição e divisão como cotação. O 1º tipo é a divisão como partição, cujo objetivo é encontrar o valor unitário f(1), ou seja, o mesmo objetivo da divisão como partilha. Nesse tipo de problema, precisamos encontrar o valor unitário, conhecendo o elo de 108 correspondência entre duas grandezas de naturezas diferentes. O problema a seguir exemplifica a situação: Paguei R$12,00 por 3 garrafas de vinho. Quanto custa cada garrafa? A sentença que modela este tipo de problema é a × ? = c (b é a unidade desconhecida). Figura 15 - Isomorfismo de medida para o 1º tipo de divisão Fonte: Vergnaud (1983). Segundo Vergnaud (2009b), esse tipo de situação pode ser resolvido por aplicação da inversão de um operador escalar, ou seja, b = c ÷ a. Sendo assim, o problema proposto pode ser resolvido por aplicação da inversão de um operador escalar (÷ 3), que reproduz na coluna da direita o que se passa na esquerda. O operador (÷ 3) é o inverso do operador (×3), que faz passar de uma garrafa para três garrafas. O autor salienta o fato de alguns alunos optarem pelo procedimento do fator em falta, ou seja, por tentativa e erro, tentam encontrar o fator cujo produto por b é c, por terem dificuldades na compreensão da inversão do operador escalar. Figura 16 - Inversão do operador escalar Fonte: Vergnaud (1983). O 2º tipo é a divisão como cotação, cujo objetivo é encontrar x, conhecendo f(x) e f(1), ou seja, o mesmo objetivo da divisão como medida. Nesse tipo de problema, o valor unitário é dado e é preciso encontrar o número de unidades da primeira espécie correspondente a uma grandeza dada de outra 109 espécie. O problema a seguir exemplifica a situação: Pedro tem R$12,00. Ele quer comprar pacotes de bala que custam R$4,00 o pacote. Quantos pacotes poderá comprar? A modelação do problema é ? × b = x. (a é o número de unidades). Figura 17 - Isomorfismo de medidas para o 2º tipo de divisão Fonte: Vergnaud (1983). Segundo o autor, essa situação é geralmente resolvida por inversão do operador funcional, ou seja, c ÷ b. Salienta a dificuldade desse procedimento, não só por implicar a inversão do operador funcional, mas também o raciocínio em termos de quocientes inversos das grandezas. Justifica, assim, o fato de os alunos preferirem descobrir “quantas vezes b cabe em c”, aplicando o operador escalar em M1, procedimento que ocorre, principalmente, em situações que envolvem números inteiros grandes. Na resolução desse tipo de situação também surgem procedimentos aditivos, quando os alunos adicionam b até chegarem a c, seguindose a contagem do número de vezes que adicionaram b. Figura 18 - Inversão do operador funcional Fonte: Vergnaud (1983). A outra classe de problemas é o produto de medidas, que envolve uma relação ternária entre três quantidades, isto é, a composição de dois espaços de medidas em relação a uma terceira medida, tanto no plano numérico como no plano dimensional. Para Levain e Vergnaud (1995, p.60), essa estrutura envolve a 110 composição cartesiana de dois espaços de M1 e M2 e uma terceira medida M3 (área, volume, combinatória, produto cartesiano). É importante destacarmos que o isomorfismo de medidas e o produto de medidas incluem diferentes tipos de multiplicação e divisão, os quais diferem em grau de complexidade. Para o produto de medidas somente existe dois tipos de problemas. Multiplicação: são dadas duas medidas elementares e se pede o produto dessas medidas. Ou seja achar f (x1, x2) conhecendo-se x1 e x2. Exemplo deste tipo de problema de Multiplicação: Qual é a área de um quarto retangular que tem 6,5 m de comprimento e 4 m de largura? Divisão: encontrar as medidas elementares, conhecendo-se uma delas e a medida produto. Ou seja, achar x1, conhecendo-se x2 e f (x1, x 2). Exemplo deste tipo de problema de Divisão: Um retângulo tem uma superfície de 18,66m2 e uma largura de 3,23m. Qual é seu comprimento? Segundo Vergnaud (1995, p. 60) como por definição f (1,1) = 1 (1m x 1m = 1m2) não existe a divisão do tipo 1 do isomorfismo de medida. A terceira classe de problemas é o da proporção múltipla, no qual se destacam os problemas de produto cartesiano. O autor refere que, nas situações de multiplicação como proporção múltipla, todos os procedimentos são multiplicativos. O autor apresenta três subclasses de situações para a proporção múltipla: multiplicação e dois tipos de divisão. Exemplo de problema de Multiplicação: Uma família de 4 pessoas quer passar 15 dias de férias num hotel de turismo. A despesa diária, por pessoa é de 91 €. Quanto pagará a família pela estadia? 1.º Tipo de divisão. As situações desse tipo de divisão como proporção múltipla consideradas pelo autor requerem que se determine o valor unitário f (1,1). Por exemplo: Um agricultor quer calcular a produção média de leite das suas vacas nos 180 melhores dias do ano. Dezessete vacas produziram 70.340 litros de leite durante esse período. Qual foi a produção média de leite por vaca, em cada um daqueles dias? 2.º Tipo de divisão. Esse tipo de divisão como proporção múltipla requer que se determine x sabendo que f (x, a) = b e f (1, 1). Como exemplo: Um acampamento de escoteiros tem 500 kg de cereal para distribuir 0,6 kg por pessoa, 111 em cada semana. Há 236 pessoas por quem vai ser distribuído o cereal. Para quanto tempo dará o cereal? Para Vergnaud (2009a, p. 265) o estudo das relações multiplicativas mostra que há diferentes tipos de multiplicação e divisão, ou melhor que existem várias classes de problemas cuja a solução pede uma multiplicação ou divisão. O autor também chama a atenção para a identificação de outras subclasses conforme as propriedades dos números empregados (inteiros, decimais, números grandes, números inferiores a 1), e aos conceitos que eles remetem. Também o estudo de Greer (1992) analisa as complexidades semânticas para os problemas que envolvem multiplicação e divisão. Em seu estudo, o autor destaca quatro classes de situações para os problemas: grupos equivalente, comparação multiplicativa, área retangular e produto cartesiano. A partir dessa classificação, o autor, distingue dois tipos de multiplicação. As multiplicações assimétricas e as simétricas. A cada um desses tipos semânticos são associados os correspondentes para a operação de divisão. Segundo Greer (1992), as multiplicações assimétricas vão acontecer nos problemas que pertencem às classes de grupos equivalentes e comparação multiplicativa. Para este tipo de multiplicação, o multiplicador e o multiplicando assumem papeis distintos e consequentemente são distinguidos dois tipos de situações para a divisão. Por outro lado, na multiplicação simétrica, não é possível distinguir entre multiplicador e multiplicando. Por isso, esta situação de multiplicação só admite um tipo de situação de divisão. Este tipo de multiplicação acontece na classe de problemas que pertence à área retangular e produto cartesiano. O autor explica que em uma situação assimétrica de multiplicação, existe um certo número de grupos de objetos, com o mesmo número de objetos em cada grupo, como, por exemplo: 3 crianças têm 4 biscoitos cada. Quantos biscoitos elas têm ao todo?. Dentro dessa concepção, os dois números assumem papéis diferentes, o número de crianças é o multiplicador que opera sobre o número de biscoitos – o multiplicando, para produzir a resposta. Segundo Greer (1992, p.276), a consequência para essa assimetria é que dois tipos de divisão podem ser distinguidos. Divisão de partição, na qual dividimos o total pelo número de grupos para obtermos o número em cada grupo. E a divisão cotação, na qual dividimos o total pelo número em cada grupo para sabermos o número de grupo. 112 Em síntese, levando em consideração os diferentes papéis que a incógnita assume no modelo a x b = c, nas situações assimétricas de multiplicação, o multiplicador e o multiplicando podem ser diferenciados, ou seja, o multiplicador a opera em termos conceituais sobre o multiplicando b, para obter o produto c (a x b = ?), esse tipo de multiplicação gera dois tipos distintos de divisão, a divisão pelo multiplicador a – divisão partitiva ( a x ? = c); e a divisão pelo multiplicando b – divisão cotativa (? x b = c). As situações multiplicativas, assimétricas e simétricas, descritas por Greer (1992), nos permitem distinguir estas situações para as classes de problemas classificados pelo autor. Nas situações multiplicativas assimétricas, temos os problemas que pertencem aos grupos equivalentes e comparação multiplicativa; e nas situações multiplicativas simétricas, temos as situações para os problemas produto cartesiano e área retangular. Na classe de problemas, Grupos Equivalentes, os problemas em geral, têm o número de cada grupo multiplicado pelo número de grupos para encontrar o número total. Como o problema seguinte: A multiplicação: 3 crianças têm cada uma 4 laranjas. Quantas laranjas têm ao todo? Observa-se que no problema de multiplicação, está implícita, nessa concepção, uma relação invariável que liga número de crianças e número de laranjas; a situação descrita no exemplo é a instanciação particular dessa relação quando o número de crianças é 3. Observa-se que este tipo de problema gera dois outros problemas com a operação de divisão: Divisão como partição (multiplicador): Foram distribuídas igualmente 12 laranjas por 3 crianças. Quantas laranjas recebeu cada uma? Divisão como cotação (multiplicando): Se tivermos 12 laranjas, a quantas crianças podemos dar 4 laranjas? Na classe de problemas, Comparação multiplicativa, os problemas têm um tipo diferente de aplicação, que é verbalmente expressa por "n vezes tantos como". Aqui o fator multiplicativo pode ser concebido como o multiplicador. No entanto, também é possível ver a situação em termos de uma relação de correspondência muitos a um. Também nessa situação existem dois tipos de divisão. 113 Multiplicação: O ferro é 0,88 vezes mais pesado que o cobre. Se uma peça de cobre pesa 4,2 kg, quanto pesará uma peça de ferro do mesmo tamanho? Divisão como partição (multiplicador): O ferro é 0,88 vezes mais pesado que o cobre. Se uma peça de ferro pesa 3,7 kg, quanto pesa uma peça de cobre do mesmo tamanho? Divisão como cotação (multiplicando): Se duas peças do mesmo tamanho de ferro e cobre pesam, respectivamente, 3,7 kg e 4,2 kg, qual e o peso do ferro em relação ao do cobre? A classe de problemas, Produto cartesiano, tem um contexto bem diferente daquele da multiplicação de números naturais. Essa classe de situações corresponde à definição formal de mxn, em termos de diferentes números de pares ordenados que podem ser formados quando o primeiro membro de cada par pertence a um conjunto de elementos de m e a segunda a um conjunto de n elementos. Essa forma sofisticada de definir a multiplicação de números inteiros foi formalizada relativamente há pouco tempo em termos históricos. Observamos que existe uma simetria entre os números, e, portanto, somente um tipo de divisão. Multiplicação: Existem três caminhos de A para B, e quatro caminhos de B para C, de quantas maneiras diferentes podemos ir de A para C? Divisão: Existem três diferentes caminhos de A para C via B e três caminhos de A para B, quantos caminhos tem de B para C? A classe de problemas, Área retangular, é a situação final a ser considerada em que os lados do retângulo são inteiros, se diz 4 cm por 3 cm. Nesse caso, o retângulo pode ser dividido em pequenos quadrados de lado medindo 1cm, para que a área possa ser encontrada por contagem dos pequenos quadrados, que será literalmente 12 cm2 . Tal como acontece com produto cartesiano, os dois números multiplicados desempenham papéis equivalentes, para que eles não sejam distinguíveis como multiplicando e multiplicador e, consequentemente, não haja dois tipos distintos de problemas de divisão. Multiplicação: Qual é área de um retângulo com 3,3 metros de comprimento por 4,2 metro de largura? Divisão: Se a área de um retângulo é de 13,9m2 e a altura mede 3,3 m. Qual é a base? 114 Greer (1992, p.278) amplia sua classificação para além do conjunto numérico dos números naturais, para o conjunto dos racionais positivos, e além dos modelos de situações expostos anteriormente, são identificados mais seis tipos: situações de medidas equivalente, situação de razão, situação de conversão de medidas, situação parte/todo, situação mudança multiplicativa e situação de produto de medidas. Para uma grande variedade de contextos, podem ser descritos problemas que envolvem os números decimais. Para Greer (1992), as situações em que se pode utilizar um procedimento aditivo são generalizadas como situações de grupos equivalentes e medidas equivalentes, pois o multiplicador é um número inteiro. As demais situações, como a situação parte todo, conversão de medidas, alteração multiplicativa, são generalizados aos procedimentos promovidos pela comparação multiplicativa, pois o multiplicador é um número racional na forma de fração ou decimal, e para esse tipo de multiplicador, o procedimento de adições repetidas não pode ser utilizado. O autor destaca que as situações em que o procedimento aditivo não pode ser utilizado são as mais difíceis para os alunos, e isso aliado ao fato de desenvolverem concepções equivocadas sobre a multiplicação, de que essa sempre aumenta, e sobre a divisão, de que essa sempre diminui e que isso provém do fato de trabalharmos apenas a ideia de multiplicação como grupos equivalentes e da divisão como partilha. Para a justificação desses procedimentos predominantes, recorremos aos modelos implícitos e intuitivos apontados por Fischbein et al. (1985), que defendem que o modelo intuitivo primitivo para a multiplicação é a adição repetida e para a divisão é a partilha, sendo o modelo de divisão como cotação, um modelo adquirido pela instrução. Outro estudo analisado foi o de Roditi (2001) que apresenta um quadro comparativo das situações multiplicativas com base no estudo de Vergnaud e as relaciona com as diversas representações dos números racionais e dos decimais, a fim de analisar as possíveis situações que podem ser mobilizadas em uma situação multiplicativa. Ele mostra algumas maneiras de pensar os números decimais: decimal medida, decimal abscissa e decimal sistema métrico. 115 Figura 19: Representações dos decimais Fonte: Roditi (2001) Roditi (2001) apresenta que os problemas com decimais que envolvem as situações do cotidiano são do tipo isomorfismo de medidas. No entanto, o autor não realizou um estudo empírico para investigar as dificuldades dos alunos em relação a esses modelos. Os resultados apontados estão baseados nos sistemas de avaliações da aprendizagem francesa. Por conseguinte, o quadro permite-nos visualizar as representações dos decimais que podemos mobilizar seguindo cada situação multiplicativa. Estabelecendo uma comparação com a classificação dos problemas apresentados por Greer (1992) e Vergnaud (2009), temos que os problemas de grupos equivalentes são problemas do tipo isomorfismo de medidas; problemas de área retangular e produto cartesiano são problemas do tipo produto de medidas. Os problemas de multiplicação comparativa de Greer (1992) não foram classificados por Vergnaud. Assim, com base no quadro apresentado por Roditi (2001), temos decimal como medida e decimal sistema métrico, que se encontram na categoria isomorfismo de medida e produto de medida proposto por Vergnaud (2009). Na classificação de Greer (1992), temos o decimal como medida, pertencente a medidas equivalentes; o decimal abcissa, que faz parte da classe de produto cartesiano; e o decimal como sistema métrico pertence à classe da área retangular. Em relação às questões pertinentes aos problemas aditivos e multiplicativos, Sá (2003) realizou um estudo sobre a dificuldade dos alunos em reconhecer as operações nos problemas aritméticos, tanto no campo aditivo como 116 no multiplicativo. Com base nos estudos que já haviam sido realizados e na análise dos resultados desses estudos, Sá (2003) percebeu que a dificuldade dos alunos estava relacionada à estrutura semântica dos problemas, e nos tipos de problemas que lhes eram apresentados. Assim como Slavit (1999), Sá (2003) levou em consideração o desenvolvimento do pensamento algébrico na estrutura semântica dos problemas. Ao analisar problemas com números naturais e fracionários, Sá (ibid.) observou que alguns problemas pareciam ser mais difíceis que outros, e que essa dificuldade estava implícita na estrutura semântica dos problemas. Ele observou que em alguns problemas a modelação era direta, ou seja, o enunciado do problema indicava a operação a ser usada. No entanto, em outros, havia a necessidade de utilizar um pensamento algébrico para analisar a modelação sugerida pelos problemas, de tal forma que nesses problemas os alunos precisariam utilizar as operações inversas para resolvê-los. Assim, Sá (2003) apresenta os problemas que envolvem uma operação em dois grupos, os quais ele classificou como problemas aritméticos e os algébricos: Os problemas Aritméticos são aqueles problemas que, em sua resolução operacional, não são usadas de maneira implícita ou explicita as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade. Os problemas algébricos são aqueles problemas em que, na sua resolução operacional, são usadas de maneira explícita ou implícita as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade. (SÁ, 2003, p. 82-83) Na apresentação do autor, nos problemas aritméticos, a pergunta a ser respondida (ou o termo desconhecido) se encontra isolada em um dos membros da igualdade. Nesses problemas, normalmente, a igualdade é utilizada para indicar o resultado da operação realizada, ou seja, a igualdade é usada para representar transformações, as operações são realizadas com base na conotação semântica da operação. E a modelação do problema sempre resulta numa expressão em que o valor desconhecido fica isolado no segundo membro da igualdade. Diferentemente, nos problemas algébricos, a pergunta (ou termo desconhecido) não está isolada em uns dos membros da igualdade, após sua modelagem. Nesses problemas, a igualdade é utilizada para indicar a relação de equilíbrio exigida entre os dados, ou seja, a igualdade é utilizada para indicar equilíbrio, a modelação resulta numa expressão no qual a incógnita não fica 117 isolada. O quadro 2 apresenta a modelagem ou sentença dos problemas aritméticos e algébricos propostos por Sá (2003). Quadro 2 - Modelagem dos problemas aritméticos e algébricos propostos por Sá (2003) Problemas aritméticos Problemas algébricos c + b =? ? + c=b c b =? c+ ?=b c b =? ?– c=b c b =? c ?=b - c ?=b - c ?=b - ? c=b Fonte: Sá (2003, p.82-83). Nos problemas algébricos, ao contrário do que acontece com os aritméticos, a escolha da operação é feita com base na propriedade da operação inversa, sendo que esse tipo de problema é mais difícil para os alunos, pois na resolução dos problemas do 1º tipo as propriedades aditivas e multiplicativas da igualdade não são usadas, enquanto, que nos problemas do 2º tipo essas propriedades são utilizadas. Para o autor, os problemas aditivos podem ser chamados de diretos e são mais fáceis para os alunos, em contrapartida, nos algébricos, os alunos apresentam mais dificuldade na modelação e resolução. Estabelecendo uma relação entre a classificação proposta por Sá(2003), de problemas aritméticos e algébricos, e de Durval(2003), de problemas congruentes e não congruentes, podemos concluir que os problemas aritméticos são problemas congruentes, pois no seu enunciado não é exigida uma inversão de operação, ou seja, as operações que aparecem nas sentenças serão as utilizadas; e os problemas algébricos são problemas não congruentes, pois o enunciado do problemas exige que se faça uma inversão de operação. 118 3.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A contribuição dos estudos de Ausubel (2003) para este trabalho foi a discussão sobre a importância da utilização dos conhecimentos prévios para a construção de um novo conhecimento. Concordamos que os conhecimentos anteriores ou prévios dos alunos podem influenciar de forma significativa para a aprendizagem de novos conhecimentos. Porém, vale ressaltarmos que esses conhecimentos prévios, se não forem construídos adequadamente, podem se tornar obstáculos de aprendizagem, evitando que o novo conhecimento se estabeleça, daí a importância de avaliarmos quais conhecimentos são úteis e servem de subsunçores para o novo conhecimento. No caso dos decimais, defendemos que o conhecimento dos números naturais, assim como das frações decimais, são subsunçores necessários para a construção dos decimais. Outros estudos, como o sentido de número e operação, de McIntosh (1992) e Slavit (1999), trouxeram contribuições importantes para traçar o caminhar desta investigação. Na exposição dos estudos sobre as dificuldades dos alunos em resolver problemas, percebemos que algumas competências são necessárias, tais como o conhecimento conceitual e processual expostos por Hiebert e Lefevre (1987), pois o conhecimento conceitual está relacionado ao sentido de número e operação, assim como o conhecimento processual, que se refere à habilidade em desenvolver o algoritmo das operações. Os estudos sobre a estrutura semântica dos problemas nos deram contribuições para reconhecermos que existem vários tipos de problemas e, consequentemente, diferentes formas de pensá-los e irmos em busca de sua solução e que cada tipo de problema apresenta uma dificuldade própria, visto que não serem homogêneos. Com esse olhar e com base nos estudos de Vergnaud (1983, 1988, 2009a) e Sá (2003), elaboramos os problemas que foram utilizados nesta pesquisa. Assim, seguindo as categorias de Vergnaud (1976, 1983,1988, 2009a) para o campo aditivo, utilizamos os problemas das 2ª e 3ª classes, transformação de duas medidas e comparação de medidas. Do campo multiplicativo, os problemas foram do tipo isomorfismo de medida. A justificativa para não usarmos problemas do tipo produto de medidas é que os alunos não tinham estudado alguns conteúdos matemáticos que seriam necessários para a resolução de problemas com essa classe de problemas. 119 4 METODOLOGIA DE PESQUISA O presente capítulo abordará a metodologia de pesquisa e a forma como conduzimos este estudo. Fazemos a descrição do desenho metodológico, do universo da pesquisa e da amostra, dos instrumentos utilizados para a coleta de dados, assim como mostramos como foi realizado o tratamento dos dados coletados e a análise dos resultados. 4.1 OBJETIVO DA PESQUISA Investigar o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolver problemas aritméticos com os números decimais, no campo aditivo e multiplicativo. Como objetivos específicos destacamos: Verificar se os conhecimentos prévios dos alunos com os números naturais influência na aprendizagem dos decimais; Verificar o desempenho dos alunos em problemas do campo aditivo e multiplicativo com os decimais; Investigar quais habilidades os alunos apresentam na resolução de problemas com os decimais. Desse modo, objetivamos com este estudo estabelecer relações do ensino e aprendizagem dos números decimais com a aprendizagem dos números naturais, a fim de oferecermos um modelo que contemple uma abordagem pedagógica, na perspectiva da teoria da aprendizagem significativa e de uma metodologia com atividades de ensino. 4.2 OPÇÕES METODOLÓGICAS Esta pesquisa apresenta tanto alguns aspectos de uma abordagem qualitativa como de uma quantitativa. Essas abordagens se caracterizam por duas visões centrais que alicerçam as definições metodológicas da pesquisa em ciências 120 humanas. São elas: a visão realista/objetiva (quantitativa) e a visão idealista/subjetiva (qualitativa). Apesar das duas correntes apresentarem aspectos diferentes, elas não são excludentes, pelo contrário, elas se complementam, pois, segundo Santos Filho (2001), os pesquisadores têm reconhecido que a complementaridade entre os métodos qualitativos e quantitativos existe e é fundamental, tendo em vista os vários e distintos objetivos da pesquisa em ciências humanas, cujos propósitos não podem ser alcançados por uma única abordagem metodológica. Assim sendo, podemos inferir que os métodos quantitativos e qualitativos, na verdade, se complementam, e a escolha de uma ou outra abordagem está associada diretamente aos objetivos e finalidades de cada pesquisa. Para Günther (2006, p. 207), Enquanto participante do processo de construção de conhecimento, idealmente, o pesquisador não deveria escolher entre um método ou outro, mas utilizar as várias abordagens, qualitativas e quantitativas que se adequam à sua questão de pesquisa. Do ponto de vista prático existem razões de ordens diversas que podem induzir um pesquisador a escolher uma abordagem, ou outra. Também Morais e Neves (2007, p. 77) descrevem como é que a abordagem quantitativa permite identificar sujeitos para um estudo qualitativo; como entrevistas qualitativas podem fornecer elementos adicionais a processos identificados através de análise quantitativa; como a análise qualitativa pode gerar hipóteses para estudos quantitativos; e como se pode recolher simultaneamente dados quantitativos e qualitativos. Assim sendo, as autoras complementam que as duas formas de inquérito não são incompatíveis e que, por isso, podem ser usadas sequencialmente ou simultaneamente, em função da natureza das questões de investigação que se pretende levantar e dos dados que se pretende obter. Para Creswell e Clark (2013, p.21), a pesquisa de métodos mistos apresenta pontos fortes que compensam os pontos fracos da pesquisa qualitativa ou quantitativa, pois ajuda a responder perguntas que não podem ser respondidas apenas pelas abordagens quantitativas ou qualitativas. Questões como “os resultados das entrevistas convergem ou divergem dos instrumentos padronizados?” ou “de que maneira as entrevistas qualitativas explicam os resultados quantitativos?” somente podem ser respondidas pela utilização do 121 método misto. Além do que, a pesquisa com métodos mistos proporciona mais evidências para o estudo de um problema do que os métodos em questão separados, pois o pesquisador fica capacitado a usar todas as ferramentas de coletas de dados disponíveis em vez de ficar restringido aos tipos de coletas de dados normalmente associados à pesquisa qualitativa ou quantitativa. (CRESWELL E CLARK, 2013, p. 28). Como termos necessidade de descrever os processos realizados pelos sujeitos da pesquisa, transcrever entrevistas, apresentar as produções dos sujeitos, entendemos que a pesquisa qualitativa nos daria o suporte necessário para relatar esses fatos. Ludke e André (1986, p. 12-13) descrevem algumas características de uma pesquisa qualitativa, a saber, tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador como seu principal instrumento; nessa abordagem, o pesquisador tem contato direto e prolongado com o ambiente e com a situação que está sendo investigada; os dados coletados são predominantemente descritivos, como transcrição de entrevistas, fotos e desenhos. Além disso, a preocupação com o processo é muito maior do que com o produto, pois o interesse do pesquisador ao estudar um certo problema é verificar como ele se manifesta nas atividades e nos procedimentos, e a análise dos dados tende a seguir um processo indutivo. Diante do exposto, nesta pesquisa, utilizamos alguns aspectos da pesquisa qualitativa, como a observação e a entrevista; e da quantitativa, a saber, testes individuais e atividades. Essa escolha metodológica pode ser vista como uma metodologia mista que se expressa não no sentido de integrar as duas formas de investigação, mas no sentido de utilizar características associadas a cada uma delas. 4.3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A coleta de dados ocorreu durante os meses de março a junho de 2014. O desenvolvimento desta pesquisa teve como elementos norteadores a elaboração e a aplicação de atividades de ensino voltadas para o ensino dos números decimais. E de tal maneira que, por meio dessas atividades de ensino, poderíamos investigar como os alunos mobilizariam seus conhecimentos prévios de números 122 naturais para desenvolverem o novo conhecimento que estava sendo proposto, os números decimais. 4.3.1 Estudos preliminares Inicialmente, realizamos uma revisão dos estudos desenvolvidos no Brasil e no exterior sobre o ensino dos números decimais, com o intuito de conhecermos a problemática dos números decimais. Além disso, buscamos suporte teórico nos estudos de Ausubel (2003) sobre aprendizagem significativa; de McIntosh et al. (1992) e de Slavit (1999) sobre o sentido de número e operação; os estudos de Vergnaud (1976, 1983, 1988, 2009) e de Sá (2003) sobre a estrutura semântica dos problemas. 4.3.2 Universos do estudo e a amostra O universo de estudo foi uma escola pública do ensino fundamental situada em um bairro classe média da cidade de Belém do Pará. Apesar de ter uma grande área livre, o prédio da escola é pequeno, há 8 salas de ensino Fundamental I e 6 salas de ensino Fundamental II, o funcionamento ocorre nos períodos da manhã e da tarde. As instalações físicas são precárias, as salas são quentes e os alunos ficam expostos ao sol durante uma parte da manhã, pois as salas não são totalmente fechadas, e isso gera outro problema, os barulhos externos que perturbam as aulas. A amostra escolhida foi a turma 701, com 36 alunos, sendo 17 homens e 19 mulheres, na faixa etária de 11 a 13 anos. A escolha da escola e da turma se justifica por terem feito parte de uma pesquisa anterior, cujo objetivo foi o de desenvolver a habilidade com resolução de problemas com os números naturais, em que tivemos a oportunidade de acompanhar algumas das suas atividades, ver o desempenho da turma e analisar o material que fora produzido neste período. E isso de tal forma que o trabalho desenvolvido anteriormente favoreceu os objetivos 123 desta pesquisa, além do que conhecíamos a professora que trabalha nessa escola e que, gentilmente, concordou em ceder a turma para participar da pesquisa. A turma escolhida se encontra no 7º ano, entretanto, por causa da greve dos professores do estado no ano de 2013, os alunos não conseguiram estudar os números decimais no 6º ano, de tal forma que acordamos com a professora da turma que iniciaríamos o ano letivo de 2014 estudando esse conteúdo. A turma apresentou um comportamento muito agitado, sendo inquieta e barulhenta. Tivemos muita dificuldade para desenvolver as atividades, pois os alunos conversavam intensamente e não prestavam atenção nas explicações. A organização dos grupos de trabalho se deu sempre em meio à confusão e discussão. No desenvolvimento das atividades, enquanto orientávamos um grupo, alguns alunos costumavam circular pela sala, perturbando outros colegas que vinham se queixar. Apesar desse cenário, alguns alunos conseguiram trabalhar bem, mesmo que de forma pouco organizada, e tinham interesse em realizar as atividades, outros, porém, se mostravam desinteressados e apresentavam dificuldades para realizar as atividades. Outro ponto a destacarmos é que fazê-los trabalhar em grupo foi muito difícil, pois não estavam acostumados a esse tipo de atividades, entregávamos os roteiros e eles procuravam trabalhar sozinhos, de tal forma que tínhamos sempre que lembrá-los que o trabalho era em grupo e que eles precisavam discutir a resolução das questões. No decorrer do tempo, alguns grupos melhoraram sua participação e passaram a discutir as questões, outros ficavam apenas conversando, e tínhamos que intervir a cada instante para que fizessem as questões. Por essa razão, a turma apresentou um descompasso em relação ao desenvolvimento das atividades, visto que alguns grupos finalizavam suas atividades rapidamente, enquanto outros eram mais lentos. Observamos que esse descompasso era provocado mais pelo desinteresse dos alunos do que por dificuldades em realizar a atividade, o que, em algumas situações, comprometeu o andamento das atividades. 124 4.3.3 Procedimentos da coleta de dados Com a amostra definida, passamos para a fase seguinte, a coleta de dados. Para descrevermos as etapas que foram seguidas, usamos como base o modelo de Creswell e Clark (2013, p.115) para coleta de dados de métodos mistos. Quadro 3 - Etapas da coleta de dados Fase Coleta dos dados quantitativos Análise dos dados quantitativos Coleta dos dados qualitativos Análise dos dados qualitativos Integração dos dados qualitativos e quantitativos Procedimento Testes diagnósticos Produto Dados numéricos Tabulação Resultados numéricos Aplicação da atividade, entrevista individual / grupo, observação do grupo/ fotos Codificação dos dados Dados de texto, dados de imagem Interpretação e explanação dos resultados Discussão, Implicações, relatório final Categorias de análise 4.3.4 Instrumentos de pesquisa Os instrumentos de pesquisa utilizados foram testes escritos, entrevista e observação, além das atividades de ensino. Durante o desenvolvimento das atividades, as conversas entre a pesquisadora e os alunos foram gravadas em áudio, de forma que não fossem perdidas informações relevantes para a pesquisa e também para que pudéssemos ter uma visão geral do trabalho realizado durante o dia. Ao final de cada dia, foram feitas as transcrições para que pudéssemos analisar e avaliar os resultados da atividade realizada, de tal forma que serviriam para repensar as atividades seguintes. Os testes diagnósticos tinham dois objetivos, primeiramente (pré-teste), investigar os conhecimentos prévios dos alunos sobre os números Naturais e decimais; e num segundo momento (pós teste), avaliar a aprendizagem dos alunos dos decimais após aplicação das atividades de ensino. As atividades de ensino tinham por objetivo promover a aprendizagem dos números decimais. As 125 observações e conversas informais (gravadas) foram feitas durante o desenvolvimento das atividades e a entrevista individual foi feita somente com alguns alunos, após a aplicação do pós-teste. 4.3.4.1 Instrumentos diagnósticos Elaboramos quatro testes (dois sobre números naturais e dois sobre os números decimais) com o objetivo de investigarmos os conhecimentos prévios dos alunos sobre os números naturais e decimais. Os problemas propostos foram escolhidos com base nos estudos das estruturas aditivas e multiplicativas de Vergnaud (1983, 1988, 2009) e na classificação de problemas algébricos e aritmética proposta por Sá (2003). Os testes aplicados se compuseram de duas partes: a primeira envolvendo apenas algoritmos com números naturais/decimais, e a segunda, com situações problemas. O objetivo dessa separação foi verificar onde os alunos apresentavam maior dificuldade, se no desenvolvimento dos algoritmos ou na resolução de problemas. Após as atividades de ensino, aplicamos o pós-teste para averiguar os avanços, retrocessos e dificuldades dos alunos em relação aos decimais. Assim como, de que forma os números naturais contribuem para a aprendizagem dos decimais. 4.3.4.2 Testes do campo aditivo Objetivo era diagnosticar como os alunos resolvem as operações e problemas com os números naturais e decimais do campo aditivo Teste com os naturais: o teste diagnóstico com naturais é composto por cinco operações envolvendo adição e subtração e seis situações-problema da estrutura aditiva. 126 Questões com as operações: A) 56 + 24 B) 102 + 23 C) 76 – 43 D) 125 – 87 E) 80 – 23 Quadro 4 - Problemas aditivos com os números naturais Situações-Problemas com os números Sentença naturais 1) Paulo tem 6 bolinhas de gude azuis e 14 bolinhas verdes. Quantas bolinhas 6 + 14 = ? Paulo têm? 2) Tiago tem 12 bolinhas de gude. Lucas tem 5 a menos que Tiago. Quantas 12 – 5 = ? bolinhas tem Lucas? 3) João tem 40 bombons. Ele deu 18 para sua irmã. Com quantos ele ficou? 40 - 18 = ? 4) Luiza tinha alguns brincos. Ela ganhou 5 de sua prima e agora possui 12. ? + 5 = 12 Quantos brincos tinha Luiza antes? 5) Um comerciante possuía 200 metros de arame. Após vender alguns metros, sobraram 78 metros. Quantos metros de ? + 78 = 200 arame ele vendeu? 6) Meu pai tinha certa quantia em seu cofre. Depois de guardar R$ 27,00 ? + 27= 146 passou a ter R$ 146,00. Quanto ele tinha no início? Classificação segundo Sá (2004) Problema Aritmético Problema Aritmético Problema Aritmético Problema Algébrico Problema Algébrico Problema Algébrico Fonte: produção nossa O teste com os números decimais: o teste aditivo apresenta seis operações envolvendo adição e subtração e dez situações-problema que envolvem as estruturas aditivas. Nessa primeira parte, tínhamos por objetivo investigar como os alunos resolvem as operações de adição e subtração com os números decimais. Esperávamos que nas operações de adição de decimais os alunos não apresentassem dificuldades, porém os erros esperados foram em relação ao posicionamento da vírgula no resultado e na adição de inteiro por decimal, pois os alunos poderiam esquecer de completar com zeros. Nas operações de subtração, os erros esperados foram em relação aos empréstimos de uma casa para outra, a 127 complementação das casas decimais com zeros, e a subtração de um inteiro por um decimal. Questões com as operações: A) 1,23 + 3,55 B) 3,7 + 0,34 D) 7,9 – 2,5 E) 8,3 – 2, 07 C) 8 + 3,5 F) 6 – 1,26 Na segunda parte, tínhamos por objetivo investigar como os alunos resolveriam os problemas que envolvem os números decimais. Esperávamos que os alunos tivessem pouca dificuldade para resolver os problemas do tipo aditivo, pois são mais simples na sua estrutura. Esperamos mais dificuldades dos alunos nos problemas do tipo algébrico do que nos aritméticos, já que nesses a estrutura dos problemas é mais simples, enquanto naqueles os alunos deveriam utilizar a operação inversa para resolver os problemas. O quadro 4 mostra as questões do teste aditivo, sua sentença e classificação. 128 Quadro 5 - problemas aditivos com os números decimais Sentença do Situação - Problema problema 01) Lucia possuía 80,50 m de fitas e gastou 40,30m das fitas em um vestido. 80,50 - 40,30 =? Quanto de fita Lucia possui agora? 02) Maria tinha R$ 17,50. Achou R$ 8,00 na rua. Quanto ela possui agora? 17,50 + 8,00 =? 03) Pedro tem algum dinheiro. Raul tem R$ 3,45 a mais que Pedro. Sabendo que Raul tem 22,65. Quanto possui Pedro? 04) Fui ao shopping com certa quantia em dinheiro. Após gastar R$ 40,50 percebi que ainda tinha R$ 12, 25 reais. Quanto eu tinha antes? 05) Pedro e Marcus tem juntos R$ 28, 60 reais. Pedro tem R$ 16,30. Quantos reais tem Marcus? 06) Carlos tinha 18,75 em seu cofrinho. Hoje ele colocou R$ 5,60. Quanto ele tem agora? 07) Henrique achou R$ 7,50 na rua. Ele tem agora R$ 12,90. Quanto ele tinha antes de encontrar o dinheiro? 08) Luciana tinha 45,7 metros de fitas. Ela cortou 23,6 metros e deu para Julia. Quantos metros de fita tem Luciana agora? 09) Sofia tem 1,60 metros de altura e sua irmã Júlia tem 1,06 metros de altura. Qual a diferença de altura entre as duas? 10) Carlos possui alguns metros de fio elétrico. Vai usar na instalação de sua casa 21,34 m e ainda sobrará 12,5m. Quantos metros de fio Carlos possui? Fonte: produção nossa Classificação segundo Sá (2004) Problema aritmético Problema aritmético 22,65 + 3,45 =? Problema algébrico ? - 40,50= 12,25. Problema algébrico ? + 16,30 = 28,60 Problema algébrico 18,75 + 5,60 =? Problema aritmético ? + 7,50 = 12,90 Problema algébrico 45,7 – 23,6 = ? Problema aritmético 1,60 – 1,06 =? Problema aritmético ? - 21,34 = 12,5 Problema algébrico 129 4.3.5.3 Testes do campo multiplicativo Objetivo era diagnosticar como os alunos resolvem as operações e problemas com os números naturais e decimais do campo multiplicativo. Teste com os naturais: o teste diagnóstico com naturais é composto por quatro operações envolvendo multiplicação e divisão e seis situações-problema da estrutura multiplicativa. Questões das operações: A) 74 x 23 B) 126 x 32 E) 648 ÷ 6 F) 672 ÷ 12 Quadro 6 - Problemas multiplicativos com os números naturais Situações Problemas com os números naturais 1) Carlos tem 96 quilogramas farinha que será distribuída igualmente entre 6 famílias. Quanto receberá cada família? 2) Comprei uma bolsa e vou pagá-la em 5 prestações iguais de R$ 18,00. Quanto custou essa bolsa? 3) Doze canetas custam R$ 24,00. Quanto custa uma caneta? 4) Tenho 12 pacotes de bombons. Em cada pacote há 25 bombons. Quantos bombons eu tenho? 5) Pedro tem R$12,00. Ele quer comprar algumas canetas que custam R$ 4,00 cada uma. Quantas canetas ele pode comprar? 6) Paguei R$ 78,00 por 26 garrafas de refrigerantes. Quanto custa uma garrafa de refrigerante? Sentença ? x 6 = 96 18 x 5 = ? 12 x ? = 24 12 x 25=? Classificação segundo Sá (2004) Problema Algébrico Problema aritmético Problema Algébrico Problema aritmético ? x 4 = 12 Problema Algébrico 26 x ? = 78 Problema Algébrico Fonte: produção nossa O teste com os decimais: O teste multiplicativo dos decimais apresenta seis operações envolvendo multiplicação e divisão e dez situações-problema que envolve estruturas multiplicativas. 130 Na 1ª parte, tínhamos por objetivo investigar como os alunos resolvem as operações de multiplicação e divisão com os números decimais. Nessas operações, os erros esperados teriam relação com o desenvolvimento do algoritmo da multiplicação e a colocação da vírgula no produto, além de possíveis erros de tabuada. Na divisão, as dificuldades esperadas seriam em relação ao desenvolvimento do algoritmo da divisão e ao posicionamento da vírgula no quociente. Questões com as operações: A) 1,2 x 5 B) 3,7 x 1,2 C) 0,8 x 0,5 D) 7 ÷ 5 E) 1, 2 ÷ 0,6 F) 0,24 ÷ 0,6 Na 2ª parte, tínhamos por objetivo investigar como os alunos resolvem os problemas multiplicativos com os decimais. Acreditamos que as dificuldades dos alunos, nesses problemas seriam maiores, pois as questões envolvem multiplicações e divisões, operações apontadas nos estudos supracitados como sendo as mais difíceis para os alunos. O quadro 5 mostra os problemas utilizados nos testes com os decimais, sua modelação e classificação como algébricos e aritméticos. 131 Quadro 7 - Problemas multiplicativos com os decimais Situação – problema Sentença do Classificação problema segundo Sá (2004) 01 - Carla precisa comprar 6,5 metros de tecido para fazer uniformes para 6,5 x 4,25 = ? seus filhos. O metro do tecido custa R$ 4,25. Quanto Carla irá gastar? 02 - Débora encheu 8 garrafas de leite. Cada garrafa tinha a capacidade de 1,5 8 x 1,5 = ? litro. Quantos litros de leite foram usados? 03 – Laura fez 3,5 kg de doce de leite. Ela pretende vender o quilo por R$ 8,5 x 3,75 = ? 2,25. Quanto Laura conseguirá apurar se vender todo o doce de leite? 04 – Temos 2,8 litros de óleo. O óleo será colocado em latas iguais com ? x 0,7 = 2,8. capacidade para 0,7 litro. Quantas latas vão ser usadas? 05 – tenho 7,5 metros de tecido para fazer uniformes. Vou gastar 1,25 ? x 1,25 = 7,5. metros em cada uniforme. Quantos uniformes poderei fazer? 06 – José tem 2,5 litros de coca cola para colocar em copos de 0,5 litros. ? x 0,5 = 2,5. Quantos copos serão usados? 07 – Foram distribuídos igualmente 9 quilos de arroz para 4 famílias. 4x?=9 Quantos quilogramas receberá cada família? 08 – Tenho 4,5 metros de tecido. Preciso cortar em 9 pedaços do mesmo 9 x ? = 4,5. tamanho. Quantos metros terá cada pedaço? 09 – Carlos vendeu 25 bombons de cupuaçu e no final apurou R$ 12,50. 25 x ? = 12,50. Quanto custa um bombom? 10 - Paulo comprou 5,5 quilogramas de carne e pagou R$ 31,24. Quanto 5,5 x ? = 31,24. custa um quilo de carne? Fonte: produção nossa Problema aritmético Problema aritmético Problema aritmético Problema algébrico Problema algébrico Problema algébrico Problema algébrico Problema algébrico Problema algébrico Problema algébrico 132 4.4 ATIVIDADES DE ENSINO DESENVOLVIDAS NA PESQUISA Para atingirmos os objetivos específicos da pesquisa, seguimos a trajetória apresentada no Quadro 8. Quadro 8 - Trajetória da pesquisa realizada na turma Tópicos trabalhados Estrutura aditiva com números naturais Estruturas multiplicativas com os números naturais Estrutura aditiva com os decimais Estrutura multiplicativa com decimais Introdução aos números decimais Adição de números decimais Subtração de números decimais Multiplicação de números decimais Divisão de números inteiros que resulta em decimais Divisão de dois números decimais Resolução de problemas aditivos Resolução de problemas multiplicativos Estrutura aditiva com números decimais Estrutura multiplicativa com números decimais Estrutura aditiva/ multiplicativa com números decimais Tarefas Teste Metodologia Individual Tempo 90’ Teste Individual 90’ Pré-teste Pré-teste Individual Individual 90’ 90’ Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 Atividade 4 Grupo Grupo Grupo Grupo 90’ 90’ 90’ 90’ Atividade 5 Grupo 90’ Atividade 6 Atividade 7 Atividade 8 Grupo Grupo Grupo 90’ 90’ 90’ Pós-teste Individual 90’ Pós-teste Individual 90’ Entrevista durante as atividades Individual/grupo 90’ Fonte: produção nossa 4.4.1. Descrição e análise a priori das atividades de ensino Alguns dos modelos das atividades de ensino utilizadas nesta investigação são do trabalho de Jucá (2008), com exceção das atividades de multiplicação e divisão de números decimais, que foram modificadas, optamos em utilizar atividades com as frações decimais, para que os alunos pudessem 133 compreender as regras dessas operações. Além das atividades de resolução de problemas. Dividimos as atividades de ensino em dois grupos, atividades da estrutura aditiva e atividades da estrutura multiplicativa. A escolha por essa divisão se justifica porque essas duas estruturas apresentam características distintas e suas análises merecem uma atenção especial. No desenvolvimento das atividades de ensino, pensamos em um modelo ou em uma trajetória de ensino. Assim, os desenvolvimentos das atividades de ensino para aprendizagem dos decimais seguiram as seguintes etapas do modelo. Figura 20 - Etapas de desenvolvimento das atividades de ensino Proposta da atividade pela pesquisadora Resolução da atividade em pequenos grupos Mobilização dos conhecimentos prévios dos números naturais Discussões das atividades nos grupos Mediações da pesquisadora Os grupos expõem suas conclusões Os alunos escrevem suas conclusões das atividades A pesquisadora formaliza as conclusões dos alunos Fonte: Produção nossa. Auxílio da pesquisadora na produção escrita 134 Pensamos que essa forma de organização do desenvolvimento das atividades poderia propiciar aos alunos uma aprendizagem mais eficaz, pois eles poderiam desenvolver seus conhecimentos sobre números decimais, tendo as necessárias mediações da pesquisadora quando se fizesse necessário. 4.4.1.1 Atividades de ensino da estrutura aditiva Cada atividade foi apresentada aos alunos, esses receberam orientações de como deveriam resolver e, ao final, deveriam apresentar a conclusão a que chegaram no tocante à atividade. Atividade 1 – Introdução dos decimais Iniciamos a atividade relembrando as frações decimais. Após falarmos acerca das frações decimais, os alunos realizaram a Atividade 1. O objetivo da atividade era levá-los perceber a relação entre as frações decimais e os números decimais. Figura 21- 1ª parte das atividades introdutórias com os decimais 1ª parte: Transforme as frações decimais em números decimais usando a calculadora 𝟏) 𝟒 𝟏𝟎 𝟑) 𝟐𝟑 𝟓) 𝟐) = 𝟏𝟎 𝟕𝟔 𝟗 = 𝟗 𝟕) 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟗) = 𝟒) 𝟏𝟎𝟎 = = 𝟏𝟎𝟎 𝟖 𝟏𝟎 𝟐𝟑𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟒𝟖 𝟔) 𝟏𝟎𝟎 = 𝟖) 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟓𝟏 𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎𝟎 Escreva de que maneira podemos transformar as frações decimais em números decimais sem a calculadora. Fonte: Produção nossa. 135 Figura 22 - 2ª parte das atividades introdutórias com os decimais 2ª parte: Faça as transformações números decimais em frações decimais 1) 0,6 = 2) 0,8 = 3) 2, 5 = 4) 0,09 = 5) 3,45 = 6) 2,08 = 7) 0,546 = 8)1,349 = 9) 0,008 = 10) 98,987 = Escreva de que maneira podemos transformar os números decimais em frações decimais. Fonte: Produção nossa. Atividade 2 – comparação dos decimais O objetivo dessa atividade é levar o aluno a compreender a comparação dos decimais. 1. Observe os números decimais, digite os números na calculadora e aperte a tecla ‘=”. a) 0,50 = b) 0,500 = c) 0,5000 = d) 0,60 = e) 0,600 = f) 0,60000 = O que acontece? 2. Observe os números decimais e escreva a palavra maior ou menor. a) 0, 8 .................................... 0, 7 b) 0, 9..................................... 0,5 c) 0,42 ................................... 0,23 d) 0,50 ................................... 0,49 e) 0,50 ................................... 0,05 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? Como faço para saber quando um número decimal é maior que outro decimal? Conclusão: 136 3. Observe os números decimais e escreva a palavra maior ou menor. a) 1, 23 ................................ 1, 023 b) 1, 345 .............................. 1,344 c) 1, 081 .............................. 1,708 d) 1,023 .............................. 1,23 e) 1,45 ................................. 1,657 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? Como faço para saber quando um número decimal é maior que outro decimal? Conclusão: 4. Compare os números decimais, escreva a palavra maior ou menor. a) 1, 8 .................................. 0,7 b) 2, 9................................... 1,5 c) 1,42 .................................0,238 d) 2,50 ................................. 0,50 e) 1,50 ................................. 2,05 f) 2,45 ................................. 1,234 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? Como faço para saber quando um número decimal é maior do que outro decimal? Atividade 3 – Adição com os decimais O objetivo dessa atividade é levar o aluno a perceber como realizar a operação de adição com os decimais. Figura 23- Atividades de adição com os decimais Efetue as operações: 1) 0,4 + 0, 5 2) 1,25 + 3,54 3) 23,45 + 45,34 4) 19,98 + 14,36 5) 7,60 + 8,08 6) 13,4 + 12,67 7) 5,67 + 8,981 8) 8,345 + 54,56 9) 8,09 + 4,3 10) 6 + 3,34 Como podemos fazer a adição dos decimais? Fonte: Produção nossa 137 Atividade 4 – Subtração com números decimais O objetivo dessa atividade é levar o aluno a perceber como realizar a operação de subtração com os decimais. Figura 24- Atividades de subtração com os decimais Efetue as operações: 1) 0,9 - 0,3 2) 2,59 – 1,34 3) 4,58 – 2,28 4) 6) 89,405 – 34,56 5) 24, 794 – 12,563 8) 9 – 3,2 9) 18 – 12,34 10) 15,604 – 6,34 7) 7,08 – 4,6 11) 9,67 – 5,09 Escreva como podemos fazer a subtração dos decimais Fonte: Produção nossa. Atividade 5: Resolver problemas aditivos com números decimais O objetivo dessa atividade é investigar as dificuldades dos alunos na resolução de problemas aditivos. Para a resolução dos problemas multiplicativos, esperamos que os alunos mobilizassem seus conhecimentos prévios com os números naturais. Os problemas propostos aos alunos foram elaborados com base na classificação de Vergnaud (2009), isomorfismo de medida, e divididos em três grupos de problemas, seguindo a classificação de Sá (2003) e Durval (2003). O 1º grupo de problemas (questão de 1 a 4) refere-se a problemas que envolvem uma adição ou uma subtração, cuja modelação ou sentença é: a + b = ? ou a – b = ? O 2º grupo de problemas (questão de 5 a 8) diz respeito a problemas que envolvem uma adição ou uma subtração, cuja modelação ou sentença é: a + ? = c ou a – ? = c. 138 O 3º grupo de problemas (questão 9 a 12) relaciona-se a problemas que envolvem uma adição ou uma subtração, cuja modelação ou sentença é: ? + b = c ou ? – b = c. O 1º grupo de problemas é do tipo aritmético, trata-se de problemas diretos e que, segundo Vergnaud (2009) e Sá (2003), são problemas fáceis para os alunos. Assim, esperamos que os alunos não apresentassem dificuldades ao resolvê-los, os erros esperados teriam a ver com o desenvolvimento da subtração. Todavia, os 2º e 3º grupos apresentam problemas em que é necessária a utilização das operações inversas, que, de acordo com Vergnaud (2009) e Sá (2003), são problemas mais difíceis de serem resolvidos pelos alunos. Para resolverem os problemas das atividades de ensino, os alunos foram levados a responder vários questionamentos relacionados ao problema, o intuito era leva-los a perceber os dados dos problemas e não pular as etapas que os ajudariam a compreender o enunciado dos problemas, de tal forma que pudessem fazer a modelação e escolher a operação correta a ser usada. 1. Uma empresa transportou 23,47 toneladas de carga pela manhã e 21,51 toneladas à tarde. Quantas toneladas foram transportadas no total? a) Quanto foi transportado pela manhã? b) Quanto foi transportado pela tarde? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Qual a quantidade de toneladas foi transportada? 2. Paulo carregou uma caixa com laranjas que pesava 8,20kg. Uma caixa com mangas que pesava 6,19kg. Qual o peso total que Paulo carregou? a) Quanto pesava a caixa com as laranjas? b) Quanto pesava a caixa com as mangas? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o peso carregado por Paulo? 139 3. Uma costureira possuía 6,5 metros de tecido. Ela gastou 2,8 metros. Quantos metros ela possui agora? a) Quantos metros a costureira tinha? b) Quantos metros ela gastou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos metros ela tem agora? 4. João tem R$ 12,60 e deu R$ 5,80 para sua irmãzinha. Quanto tem João agora? a) Quanto João tem? b) Quanto ele deu para usa irmã? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto João tem agora? 5. Paulo tinha R$ 13,70. Ele ganhou algumas moedas de sua mãe. Agora ele possui R$28,00. Quanto ele ganhou? a) Quanto Paulo tinha? b) Quanto ele possui agora? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto ele ganhou? 140 6. Um atleta correu 123,85 quilômetros no primeiro dia. No segundo dia, ele correu alguns quilômetros. No total, ele correu nos dois dias 321,29 quilômetros. Quantos quilômetros ele correu no segundo dia? a) Quantos quilômetros o atleta correu no primeiro dia? b) Quantos quilômetros ele correu no total? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos quilômetros ele correu no segundo dia? 7. Um caminhão possuía uma carga de 5,5 toneladas. Foi descarregada uma certa quantidade da carga. Agora, a carga do caminhão é de 3,27 toneladas. Qual a carga que foi descarregada? a) Quantas toneladas tinha a carga do caminhão? b) Qual a carga que ele possui agora? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto pesa a carga que foi descarregada? 8. Dona Juju é costureira e possuía 9,2 metros de tecido. Ela gastou alguns metros para fazer uma colcha. Agora ela tem 3,75 metros de tecido. Quantos metros ela usou para fazer a colcha? a) Quantos metros Dona Juju tinha? b) Quantos metros ela tem agora? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos metros ela usou? 9. Eu tinha certa quantia em dinheiro. Recebi R$ 20,50 de meu irmão. Agora possuo R$ 35,60. Quanto eu tinha antes? a) Quanto eu recebi? b) Com quanto fiquei? 141 c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o valor que eu tinha antes? 10. Paulo tinha certa quantidade de arroz em seu mercadinho. Ele comprou 6,89 quilogramas. Agora ele tem 48,9 quilogramas. Quantos quilos de arroz ele tinha antes? a) Quantos quilograma ele comprou? b) Quanto ele tem agora? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Quantos quilograma de arroz ele tinha antes? 11. Fui ao Mercado com certa quantia em dinheiro. Após gastar R$ 50,50 percebi que ainda tinha R$ 15,60. Quanto eu tinha antes? a) Quanto eu gastei? b) Com quanto fiquei? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o valor que eu tinha antes? 12. Paulo comprou certa quantidade de arroz para seu mercadinho. Vendeu 6,8 quilogramas no primeiro dia. Agora ele possui 18,9 quilogramas. Quantos quilos de arroz ele comprou? a) Quanto quilogramas de arroz ele vendeu? b) Com quanto quilograma de arroz ele ficou? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual a quantidade de arroz que ele comprou? 142 Quadro 9 - Análise dos problemas aditivos segundo a classificação de Sá (2003) e Durval (2003) 1ª Sentença do problema 23,47 + 21,51=? Operação realizada Adição Tipo de problema (Sá, 2003) Aritmético 2ª 8,20 + 6,19 = ? Adição Aritmético Congruente 3ª 6,5 – 2,8 = ? Subtração Aritmético Congruente 4ª 12,60 – 5,80 = ? Subtração Aritmético Congruente 5ª 13,70 + ? = 28 Subtração Algébrico 6ª Subtração Algébrico 7ª 123,85 + ? = 321,29 5,5 - ? = 3,27 Adição Algébrico 8ª 9,2 - ? = 3,75 Adição Algébrico 9ª ? + 20,50 = 35,60 Subtração Algébrico 10ª ? + 6,89 = 48,9 Subtração Algébrico 11ª ? – 50,50 = 15,60 Adição Algébrico 12ª ? – 6,8 = 18,9 Adição Algébrico Questão Tipo de problema (Durval, 2003) Congruente Não congruente Não congruente Não congruente Não congruente Não congruente Não congruente Não congruente Não congruente Fonte: Produção nossa. 4.4.1.2 Atividades de ensino da estrutura multiplicativa Atividade 6 - Multiplicação com números decimais O objetivo dessa atividade é levar o aluno a perceber como realizar a operação de multiplicação com os decimais. 143 Figura 25 - Atividades de multiplicação com decimais Efetue as operações: 1) 0,2 x 0,4 2) 0,3 X 0,3 3) 0,8 x 0,3 4) 0,9 x 0,4 5) 2,3, x 1,5 6) 0,4 x 1,24 7) 0,25 x 2,3 8) 2,14 x 3,2 9) 2,45 x 3,4 10) 1,56 x 2,5 Escreva como podemos fazer a multiplicação dos decimais Fonte: Produção nossa. Essa atividade foi realizada em de duas etapas. Na primeira etapa, cada grupo recebeu um roteiro para efetuar as multiplicações de decimais e perceber a regra. Foi apresentado um modelo de multiplicação de decimais com as frações decimais como sugestão para que o aluno pudesse perceber o posicionamento da vírgula na multiplicação. Na segunda etapa, solicitamos aos alunos que resolvessem as multiplicações no caderno. Esperamos que os alunos mobilizassem os conhecimentos prévios com a multiplicação com os naturais para resolverem as questões. A atividade da 1ª etapa serviria para ajudar na justificação do posicionamento da vírgula no produto das multiplicações. Atividade 7: Divisão de inteiros que resulta em decimal O objetivo dessa atividade é levar o aluno a perceber como realizar a operação de divisão que resulta em decimais. 144 Figura 26 - Atividades de divisão de inteiros que resulta em decimal Efetue as operações: 1) 5 ÷ 2 2) 7 ÷ 4 3) 9 ÷ 5 4) 52 ÷ 8 5) 54 ÷ 5 6) 26 ÷ 7 7) 72 ÷ 11 8) 4 ÷ 5 9) 2 ÷ 4 10) 5 ÷ 8 Fonte: Produção nossa. Nessa atividade, os alunos receberam uma lista com questões de divisão de dois inteiros resultando em decimais. Inicialmente, solicitamos que eles resolvessem as divisões com seus conhecimentos prévios acerca dos números naturais. Esperamos que os alunos fizessem a divisão até encontrarem um resto. Em seguida, mostramos aos alunos que esse tipo de divisão tem continuidade e como realizar a operação. Atividade 8: Divisão de dois decimais O objetivo dessa atividade é levar o aluno a perceber como realizar a operação de divisão de dois decimais. Essa atividade foi dividida em duas partes. A primeira, com a divisão de decimais com quantidades de casas decimais iguais e a segunda, com a divisão de decimais com quantidades de casas decimais diferentes. 145 Figura 27- Atividades de divisão de dois decimais 1ª parte: divisão com decimais com quantidades de casas decimais iguais 1) 1,2 ÷ 0,6 2) 4,8 ÷ 0,8 3) 1,4 ÷ 2,8 4) 3,6 ÷ 1,2 5) 0,24 ÷ 0,06 6) 0,64 ÷ 0,08 7) 1,25 ÷ 0,25 8) 0,016 ÷ 0,004 9) 0,028 ÷ 0,014 10) 0,045 ÷ 0,005 Escreva uma maneira de dividir os números decimais 2ª parte: divisão com decimais com quantidades de casas decimais diferentes 1) 1,2 ÷ 0,06 2) 6,4 ÷ 0,08 3) 0,24 ÷ 0,004 4) 0,32 ÷ 0,016 5) 2,48 ÷ 0,004 6) 7,2 ÷ 0,08 7) 0,63 ÷ 0,9 8) 0,25 ÷ 2,5 9) 0, 28 ÷ 0,014 10) 21, 4 ÷ 2,14 Escreva uma maneira de dividir os números decimais Fonte: Produção nossa. Nessas atividades, os alunos receberam uma lista com questões de divisão de dois decimais. Foi apresentado um modelo de divisão de decimais, utilizando as frações decimais, como sugestão para que o aluno pudesse realizar a 146 operação. Essa 1ª parte se justifica para que o aluno possa perceber o posicionamento da vírgula no quociente. Atividade 9: Resolução de problemas multiplicativos O objetivo dessa atividade foi investigar as dificuldades dos alunos na resolução de problemas multiplicativos. Para a resolução dos problemas multiplicativos, esperamos que os alunos mobilizassem seus conhecimentos prévios com os números naturais. Os problemas foram divididos em três grupos, de acordo com a classificação de Vergnaud (2009), Sá (2003) e Durval (2003): O 1º grupo (questão de 1 a 3) é constituído de problemas cuja sentença ou modelação é a x b = ?, exige, portanto, uma multiplicação. Trata-se de problemas diretos, sendo, assim, mais fáceis de os alunos resolverem, pois precisariam utilizar a operação de multiplicação. Esperamos que os alunos não tivessem dificuldades na escolha da operação, mas sabíamos que poderiam apresentar erros no desenvolvimento do algoritmo. Na classificação de Sá (2003), esses são problemas aritméticos e na de Durval (2003), são problemas congruentes. O 2º grupo (questão de 4 a 6) é formado por problemas cuja sentença ou modelação é a x ? = c, utiliza, dessa feita, a divisão. Esse tipo de problemas exige o uso da operação inversa para sua resolução. Segundo a classificação de Vergnaud (2009) e Greer (1992), são problemas de divisão como partição, nos quais deseja-se encontrar o valor da unidade. Esperamos algumas dificuldades, tanto para escolher a operação quanto para efetuar o algoritmo da divisão, principalmente na divisão com decimais. Na classificação de Sá (2003), são problemas algébricos e na de Durval (2003), são problemas não congruentes. Considerados mais difíceis para os alunos compreenderem e modelarem a situação. O 3º grupo (questão de 7 a 9) apresenta problemas cuja sentença ou modelação é ? x b = a, também utilizam a divisão. Exigem, de igual modo, a aplicação da operação inversa para a sua resolução. Segundo a classificação de Vergnaud (2009) e Greer (1992), são problemas de divisão como cotação, nos quais deseja-se encontrar a quantidade de unidades. Na classificação de Sá 147 (2003), são problemas algébricos e na de Durval (2003), são problemas não congruentes. São considerados mais difíceis para os alunos compreenderem e modelarem a situação, assim, esperamos que os alunos tivessem dificuldade em resolvê-los. No desenvolvimento da atividade, os alunos receberam uma lista de problemas aritméticos envolvendo a multiplicação ou a divisão de decimais. Os grupos resolveram os problemas e, ao final, cada grupo apresentou no quadro a resposta para dois problemas, sendo um aritmético e outro algébrico, que foram analisados pela pesquisadora junto com a turma. Assim como nos problemas do campo aditivo, os problemas do campo multiplicativo também apresentaram questionamentos para que os alunos percebessem os dados e pudessem fazer a modelação e encontrar a operação capaz de resolvê-los. 1. O litro da gasolina custa R$ 2,95. Antônio colocou 18,5 litros de gasolina no seu carro. Quanto ele irá pagar? a) Quanto custa o litro de gasolina? b) Quantos litros de gasolina Antônio colocou no carro? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o valor a ser pago. 2. No supermercado, um quilograma de arroz custa R$ 2,50. Tereza comprou 4,5 quilogramas. Quanto ela pagou? a) Quanto custa 1quilograma de arroz? b) Quantos quilograma Tereza comprou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o quanto Tereza pagou no total. 3. Em um supermercado, o preço do quilograma do queijo é R$ 5,25. Paulo comprou 2,5 quilogramas de queijo. Quanto ele pagou? a) Quanto custa o quilograma do queijo? 148 b) Quantos quilogramas de queijo ele comprou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto Paulo pagou no total. 4. Paguei R$ 15,40 por 3,5 quilogramas de carne. Quanto custa um quilograma de carne? a) Quanto paguei por 3,5 quilograma de carne? b) Que quantidade de carne eu comprei? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de 1 quilograma de carne? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa um quilograma de carne. 5. Paulo comprou 3,5 quilogramas de maniçoba e pagou R$ 19,25. Quanto custa um quilograma de maniçoba? a) Quantos quilogramas de maniçoba Paulo comprou? b) Quanto ele pagou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de 1 quilograma de maniçoba? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa um quilograma de maniçoba. 6. Um marceneiro comprou 2,4 quilos de pregos. Ele pagou R$ 3,60. Quanto custa o quilograma de pregos? a) Quantos quilogramas de pregos ele comprou? b) Quanto ele pagou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de o quilograma de prego? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa o quilograma de pregos. 149 7. Carlos tinha uma certa quantidade de picolé para vender. Cada picolé custava R$ 2,75. Ao final do dia, ele apurou R$ 33,25. Quantos picolés ele vendeu? a) Quanto custava um picolé? b) Quanto ele apurou ao final do dia? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a quantidade de picolé vendidos? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quantos picolés ele vendeu no total. 8. Lucas gastou R$ 15,50 comprando álbuns de figurinhas. Cada álbum custou R$ 3,50. Quantos álbuns Lucas comprou? a) Quanto Lucas gastou nos álbuns? b) Quanto custou casa álbum? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a quantidade de álbuns ele comprou? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quantos álbuns ele comprou. 9. Tenho 18,9 metros de tecido. Vou cortá-lo em pedaços iguais de 0,9 metros. Quantos pedaços vou obter? a) Quantos metros de tecido tenho? b) Qual o tamanho de cada pedaço? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o número de pedaços que vou obter. 150 Quadro 10 - Análise dos problemas multiplicativos segundo a classificação de Sá (2003) e Durval (2003) Questão Sentença Operação Tipo de Tipo de problema problema (Sá,2003) (Durval, 2003) 1ª 18,5 x 2,95 = ? Multiplicação Aritmético Congruente 2ª 4,5 x 2,50 = ? Multiplicação Aritmético Congruente 3ª 2,5 x 5,25 = ? Multiplicação Aritmético Congruente 4ª 3,5 x ? = 15,40 Divisão Algébrico 5ª 3,5 x ? = 19,25 Divisão Algébrico Não congruente 6ª 2,4 x ? = 3,60 Divisão Algébrico Não congruente 7ª ? x 2,75 = 33,25 Divisão Algébrico Não congruente 8ª ? x 3,30 = 15,50 Divisão Algébrico Não congruente 9ª ? x 0,85 = 4,93 Divisão Algébrico Não congruente Não congruente Esperamos que ao final os alunos conseguissem perceber a relação entre ‘quantidade de unidades x unidade = valor total’, que serve para resolver esse tipo de problema. 4.5 A ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Para as análises dos dados, seguimos alguns princípios da pesquisa mista, com a organização dos dados qualitativos e dos dados quantitativos, sendo que cada um recebeu o tratamento adequado a cada método. Para Ludke e André (1986, p. 45), analisar os dados qualitativos significa trabalhar todo o material obtido durante a pesquisa, a saber, os relatos das observações, transcrições de entrevistas, análise de documentos e as demais informações disponíveis. As autoras colocam que a tarefa de uma análise implica, num primeiro momento, a organização do todo material, dividindo-o em partes e relacionando essas partes. Além disso, a construção de um conjunto de categorias descritivas é necessária. 151 De posse dessas recomendações, organizamos todo o trabalho de modo que o primeiro momento de análise dos dados ocorresse durante o desenrolar da pesquisa de campo. Uma análise dos dados quantitativos se fez necessária no primeiro momento da pesquisa de campo, para o desenrolar da coleta de dados qualitativos. Na análise qualitativa, foram observados os conhecimentos prévios utilizados pelos alunos na resolução das atividades de ensino; o modo como a aprendizagem com os decimais se desenvolvia; a evolução das produções escritas dos alunos, que é um processo de transformação gradual que se opera ao longo de determinado período de tempo; as dificuldades manifestadas; e as potencialidades das atividades de ensino. Todas essas observações foram sendo registradas no diário de bordo ou nas gravações diárias de sala de aula, nas entrevistas com os grupos ou nas entrevistas individuais. Na realização dessas observações e anotações, procuramos sempre manter o foco na questão de investigação e na literatura revisada, fossem as referentes aos decimais ou aos números naturais. Na análise quantitativa, realizamos a tabulação dos dados dos testes aplicados, utilizamos os resultados globais dessa análise para o cotejamento com os dados referentes à análise qualitativa, com o fim de procedermos posteriormente à validação. Após a finalização da recolha do material empírico, iniciamos a parte que consideramos a mais difícil, a análise geral do material. Assim, em um primeiro momento, procuramos selecionar o material que seria relevante para a análise dos dados e poderiam responder à questão da pesquisa. Em um segundo momento, selecionamos o material, dividindo-o em grupos, o que ajudaria nas análises. Em relação aos alunos, esses foram divididos em dois grupos para análise, os alunos que dominavam as operações aritméticas, assim como os que apresentavam bom desempenho na resolução de problemas no campo dos naturais e os que não dominavam as operações e não apresentavam bom rendimento na resolução de problemas. No momento seguinte, procuramos, com base na revisão dos estudos correlatos de decimais e dos estudos que serviriam como aporte teórico, criar as categorias de análise. As categorias de análise seriam estabelecidas em relação ao sentido de número e operação de decimal, assim como e em relação à 152 habilidade em resolver problemas com decimais. Tais categorias serviriam para, de acordo com as características gerais das atividades propostas, analisar não só as transformações no sentido da progressão dos alunos, mas, também, as transformações que corresponderiam a regressões ou a estabilizações dos alunos referentes ao campo aditivo, como também do campo multiplicativo, tanto em relação às operações, como à resolução de problemas. Com a finalização dessa etapa de seleção os dados receberam uma análise qualitativa e quantitativa e os resultados serão apresentados no capítulo seguinte. 153 5 DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO Neste capítulo, apresentamos o desenvolvimento da investigação realizada junto aos alunos do 7º ano. A pesquisa de campo se constituiu em quatro momentos: no primeiro, procedemos à aplicação dos testes diagnósticos; no segundo, à aplicação das atividades que se referiam às questões conceituais dos decimais; o terceiro momento foi o da aplicação das atividades do campo aditivo; e o quarto momento, o da aplicação das atividades do campo multiplicativo. Para manter a identidade dos alunos, optamos por identificá-los nos diálogos por A, referindo-nos à fala de um aluno; G, ao grupo de alunos; e P, à pesquisadora. 5.1 APLICAÇÃO DOS TESTES DIAGNÓSTICOS DOS NÚMEROS NATURAIS E DECIMAIS No dia 24/03/2014, ocorreu o primeiro encontro. Nesse dia, aplicamos aos trinta e seis alunos presentes um teste que continha quatro operações e seis problemas com adição e subtração de números naturais, para verificarmos os conhecimentos prévios dos alunos em relação a esse assunto. No dia 25/03/2014, ocorreu o segundo encontro, e, nesse dia, aplicamos aos trinta e seis alunos presentes um teste que continha quatro questões de operações e seis problemas no campo multiplicativo com os números naturais. No dia 26/03/2014 ocorreu o terceiro encontro, quando realizamos a aplicação do pré-teste aditivo com os decimais. Nesse dia, aplicamos aos trinta e seis alunos presentes um pré-teste contendo seis operações e dez problemas envolvendo adição e subtração de números decimais. O objetivo era verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre os números decimais no campo aditivo. Em 31/03/2014 ocorreu o quarto encontro, quando aplicamos o pré-teste multiplicativo aos trinta e seis alunos presentes. O pré-teste continha seis operações de multiplicação e divisão com números decimais e dez problemas com multiplicação e divisão de números decimais. O objetivo era verificar o 154 conhecimento prévio dos alunos sobre os números decimais no campo multiplicativo. 5.2 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES CONCEITUAIS DOS NÚMEROS DECIMAIS Nesta subseção, apresentamos as atividades levadas a termo com os alunos, sujeitos desta pesquisa, referentes aos aspectos conceituais dos números decimais. 5.2.1 Atividade 1: Transformação de frações decimais em números decimais No dia 01/04/2014, ocorreu o quinto encontro, quando realizamos a Atividade 1: transformação de frações decimais em números decimais. Nesse dia, compareceram os trinta e seis alunos, que foram divididos em nove grupos. Cada aluno do grupo recebeu um roteiro da atividade e uma calculadora. O objetivo da atividade era fazer com que o aluno a percebesse a representação da fração decimal em número decimal. Iniciamos fazendo uma apresentação das frações decimais, na qual mostramos o significado dos décimos, centésimos e milésimos com a utilização do material multibase. Em seguida, os alunos formaram os grupos e receberam o roteiro para realizar a atividade. A atividade exigia que o aluno realizasse a divisão das frações decimais com a calculadora, para obter um número decimal. 155 Figura 28- Atividade de transformações das frações decimais em números decimais Fonte: Protocolo do grupo. Durante a realização das atividades, orientamos os grupos quanto à realização da atividade e procuramos sanar as possíveis dúvidas. Quando os grupos terminaram a atividade, solicitamos que observassem os resultados obtidos e escrevessem uma conclusão de como poderíamos transformar uma fração decimal em número decimais, sem a calculadora. Inicialmente, os alunos apresentaram dificuldade para explicitar e escrever suas ideias, de tal forma que tivemos que ajudá-los a organizar seu pensamento para poderem escrever a conclusão. Apresentamos o diálogo que ocorreu em um dos grupos (o mesmo ocorreu nos demais grupos). P: Vocês fizeram as divisões? G: Sim. P: Quando dividimos por 10, quantos números aparecem depois vírgula? G: Um. P: Quando dividimos por 100, quantos números aparecem depois vírgula? 156 G: Dois. P: Quando dividimos por 1000, quantos números aparecem depois vírgula? G: Três. P: Então, o que temos que observar para saber se fica um número após a vírgula, dois números após a vírgula ou três números após a vírgula? Os alunos pensaram e um deles respondeu. A: A quantidade de zeros. P: Muito bem! P: Agora, tentem escrever a conclusão do grupo. Nessa atividade, os alunos tiveram dificuldade em perceber a relação entre o denominador das frações e as casas decimais após a vírgula. Tivemos que fazê-los prestar atenção ao número de zeros no denominador para que pudessem perceber a relação. Após todos os grupos terem finalizado a atividade, recolhemos os protocolos dos grupos e colocamos no quadro suas respostas para fazermos uma análise. Inicialmente, pensamos em deixar que os alunos colocassem suas respostas no quadro, mas isso gerou certa confusão entre eles, além do que, o espaço do quadro se mostrou pequeno, uma vez que os alunos não conseguiam escrever no topo do quadro, por isso, optamos por colocar a resposta deles no quadro, facilitando o desenvolvimento das atividades. Apresentamos algumas das produções dos grupos referentes à primeira parte da atividade 1. Figura 29- Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Fonte: Protocolo do grupo. 157 Figura 30- Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Fonte: Protocolo do grupo. Figura 31- Produção do grupo da atividade de transformação de frações decimais Fonte: Protocolo do grupo. Após analisarmos com a turma as respostas que estavam no quadro branco, fizemos a formalização da regra. Após essa etapa, apresentamos os números decimais, mostramos aos alunos que são constituídos por uma parte inteira e outra decimal e que fazem parte do conjunto dos números racionais (frações) e não do conjunto dos naturais. Como o tempo de aula acabou, deixamos para finalizar a atividade no encontro seguinte. No dia 02/04/2014, ocorreu o sexto encontro; realizamos a segunda parte da Atividade 1: transformação de números decimais em frações decimais. Nosso intuito foi de que os alunos percebessem as diversas representações dos decimais, a forma fracionária e decimal. Nesse dia compareceram os trinta e seis alunos que formaram os mesmos grupos do dia anterior. Inicialmente, fizemos uma breve revisão do conteúdo do encontro anterior e, após entregarmos os roteiros aos grupos, explicamos como seria a atividade: transformar os decimais em frações decimais. Alguns grupos conseguiram perceber imediatamente como deveria ser feita a transformação de 158 número decimal para fração decimal, outros precisaram de ajuda para poderem compreender a atividade. Figura 32- Atividade transformação de números decimais Fonte: Protocolo do grupo. Após os alunos terem finalizado a atividade, solicitamos que os grupos escrevessem como fazer a representação dos números decimais em frações decimais. Alguns grupos escreveram respostas sem sentido, não conseguindo expressar o que estavam pensando, apesar de conseguirem fazê-lo oralmente. As figuras 33,34,35 apresentam algumas das respostas dos grupos. Figura 33- Produções do grupo de transformação dos números decimais Fonte: Protocolo do grupo 159 Figura 34- Produções do grupo 9 transformações dos números decimais Fonte: Protocolo do grupo Figura 35- Produções do grupo 2 transformações dos números decimais Fonte: Protocolo do grupo Após os grupos terem finalizado a atividade, recolhemos os protocolos, e colocamos as respostas dos grupos no quadro branco para fazermos uma análise geral das respostas e a formalização das conclusões. Alguns alunos tiveram dificuldade para entender que os milésimos são menores que os décimos, pois fizeram comparação entre o milhar, dezenas e centenas dos números naturais. Recorremos ao material multibase para explicarmos a ideia de décimos, centésimos e milésimos. 160 Figura 36- Material multibase Fonte: Acervo pessoal. P: Imaginem que este cubo é um chocolate inteiro, agora eu vou dividilo em 10 partes iguais e tirar uma parte do chocolate (mostramos a placa). Este pedaço (a placa) é um pedaço dos 10, certo? A: Sim. P: Ele representa a décima parte do chocolate? A: Sim. P: Agora vou dividir a placa (um pedaço) em 10 barrinhas iguais. Se eu tenho 10 placas iguais a essa, eu terei quantas barrinhas? Os alunos pensam e dão algumas respostas: A: 20. A: 30. A: 100? P: Muito bem! Será 100. Isso significa que eu preciso de 100 barrinhas para ter o chocolate inteiro. P: Imaginem eu colocando as 100 barrinhas aqui dentro do cubo, então uma barrinha é a centésima parte do chocolate, entenderam? A: Sim! P: Agora, se eu dividir essa barrinha em 10 pedacinhos (o cubinho) e for montar o chocolate, eu preciso de 1000 cubinhos para ter o chocolate inteiro. Então o cubinho é a milésima parte. Entenderam? A: Sim! Então, se esse cubo fosse um chocolate de verdade, qual pedaço vocês escolheriam? A: A placa. 161 P: Por quê? A: Porque é maior. P: O que ela representa do cubo? A: O décimo. P: Quem é a milésima parte do cubo? A: O cubinho. P: E a barra o que ela representa do cubo? A: O centésimo. P: Entenderam o que representa um décimo, um centésimo, um milésimo? A: Sim! P: Então vamos continuar! Aproveitamos também para falar do sistema decimal posicional e mostramos a diferença entre a posição dos números naturais e dos decimais, a comparação entre os números decimais. Em seguida, os alunos fizeram a Atividade 2, comparações de decimais. 5.2.2 Atividade 2: Comparações de decimais Nessa atividade, tínhamos por interesse que os alunos conseguissem comparar números decimais, e compreendessem a ordem dos décimos, centésimos e milésimos. Alguns grupos deram respostas incompletas, ou responderam “temos que olhar para o número decimal” ao se referirem a parte decimal, o que demonstrou que o sentido de número decimal não ficou claro para eles. Outros cometeram erros como acharem que 1,45 é menor que 1,657, como na Figura 37, no entanto, acertaram ao comparar 1,23 como sendo maior que 1,023. 162 Figura 37- Atividades de comparações de decimais Fonte: Protocolo do grupo 5.3 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DO CAMPO ADITIVO COM OS DECIMAIS Nesta subseção, apresentamos as atividades do campo aditivo que foram aplicadas aos alunos, sujeitos da pesquisa. 163 5.3.1 Atividade 3: Adição com os números decimais No dia 07/04/2014, ocorreu o sétimo encontro e realizamos a Atividade 3: adição de números decimais. Nesse dia, compareceram trinta seis alunos, que foram divididos nos mesmos grupos da atividade anterior. Cada aluno recebeu o roteiro de atividade e uma calculadora. O objetivo da atividade era fazer os alunos construírem a regra para a adição dos decimais. Iniciamos com uma breve revisão dos decimais e sua representação com a vírgula e retomamos a ideia dos décimos, centésimos e milésimos. Em seguida, os alunos receberam os roteiros para realizarem atividade de adição dos decimais. Inicialmente, solicitamos que tentassem resolver as operações utilizando seu conhecimento prévio de adição com os números naturais, depois, receberam a calculadora para efetuar as operações e verificar os resultados. Figura 38- Atividades de adição de decimais Fonte: Protocolo do grupo. 164 Após os alunos terem corrigido os resultados e posicionado corretamente a vírgula, solicitamos que observassem os cálculos que tinham feito e que escrevessem como poderíamos realizar a adição de decimais sem utilizar a calculadora. Observamos que alguns grupos tiveram dificuldade para escrever suas conclusões e fizemos as mediações necessárias, pois, apesar de conseguirem executar a atividade, não conseguiam explicitar oralmente o que fizeram. Fizemos diversas mediações para que os alunos conseguissem organizar seu pensamento. Ao final, eles conseguiram expressar oralmente, mas ainda tinham dificuldade em escrever. P: Vocês fizeram as adições? A: Sim. P: Corrigiram com a calculadora? A: Sim. P: Então, como vocês fizeram para adicionar os números decimais? A: Colocamos um sobre o outro e somamos. P: Como vocês somaram? Algumas repostas dadas pelos alunos: A1: Temos que fazer igual como a gente faz com os números sem a vírgula. A2: Coloco vírgula embaixo de vírgula. A4: Números inteiros antes da vírgula. A5: Somar décimos com décimos, centésimos com centésimos, milésimos com milésimos. P: E as unidades? A5: Somar unidade com unidade. A6: Somar inteiro com inteiro e decimal com decimal. A7: Separar a parte inteira dos centésimos. Após verificarmos que todos os grupos tinham escrito suas respostas, colocamos as respostas no quadro branco e as analisamos junto com os alunos para escolhermos a resposta mais completa. A turma fez sua escolha e juntos fizemos a formalização da regra para adicionar os decimais. Após a formalização, 165 fizemos a justificação da regra, utilizando as frações decimais, para que os alunos compreendessem o porquê da vírgula naquela posição. Figura 39- Produções dos alunos da atividade adição Fonte: Protocolo do grupo. Figura 40- Produções dos alunos da atividade adição Fonte: Protocolo do grupo. Figura 41- Produções dos alunos da atividade adição Fonte: Protocolo do grupo. 166 5.3.2 Atividade 4: Subtração com os números decimais No dia 08/04/2014 ocorreu o oitavo encontro, realizou-se a atividade 4: subtração de números decimais. Nesse dia, compareceram trinta seis alunos que formaram os mesmos grupos. Os alunos receberam o roteiro da atividade e uma calculadora. O objetivo da atividade era que os alunos percebessem a regra da subtração dos números decimais. Os grupos receberam os roteiros e as orientações para o desenvolvimento da atividade e, como tinham realizado a atividade da adição, entenderam que era igual, realizaram-na sem problemas iniciais. As dificuldades surgiram quando tiveram que subtrair de zero ou subtrair um número menor de um maior, fomos, então, ao quadro e relembramos essas regras da subtração, utilizando o sistema posicional decimal. Os alunos compreenderam e voltaram a fazer a atividade sem problemas. Após fazerem as subtrações, receberam a calculadora para conferir e corrigir os resultados das operações. Figura 42- Atividade de subtração de números decimais Fonte: Protocolo do grupo. 167 Ao final da atividade, perguntamos aos alunos como poderíamos fazer para subtrair número decimais. Após verificarmos que todos os grupos tinham escrito suas respostas, as colocamos no quadro branco e fomos verificar junto com a turma a resposta mais completa. A turma escolheu uma resposta e, ao final, fizemos a formalização e a justificação da regra com as frações decimais. Algumas respostas dos grupos estão nas figuras 43,44 e 45. Figura 43- Produções do grupo 8 da atividade 4 Fonte: Protocolo do grupo. Figura 44- Produções do grupo 1 da atividade 4 Fonte: Protocolo do grupo. Figura 45- Produções do grupo 9 da atividade 4 Fonte: Protocolo do grupo. 168 5.3.3 Resolução de problemas aditivos No dia 09/04/2014, ocorreu o nono encontro com a resolução da Atividade 5 resolução de problemas com adição e subtração de decimais. Nesse dia, compareceram trinta e seis alunos que formaram os mesmos grupos. O objetivo da atividade era desenvolver habilidades nos alunos para resolver problemas. Inicialmente, os alunos receberam uma lista com doze problemas aditivos para resolver. Os alunos tinham que responder as várias perguntas relacionadas a cada problema, o objetivo das perguntas era ajudá-los a organizar suas ideias para que pudessem modelar o problema e escolher a operação adequada que o resolvesse. Decidimos fazer juntos com os alunos o primeiro problema, pois alguns achavam que era para marcar e não para responder. Íamos fazendo as perguntas e os alunos respondiam, mostramos como podiam fazer a modelação do problema e como perceber a operação correta para resolvê-lo. Após as explicações, os alunos conseguiram resolver os demais problemas. Importante ressaltarmos que os alunos discutiam em seus grupos a solução para os problemas e nos chamavam quando o grupo não conseguia chegar a uma conclusão, nessa hora, fazíamos as devidas mediações para que pudessem chegar às suas conclusões sozinhos. As dúvidas foram surgindo no decorrer da atividade, principalmente na escolha da operação para resolver os problemas. Em um primeiro momento, os alunos procuraram “palavras-chave” no enunciado para resolver o problema e em alguns escolhiam a operação errada. Tivemos que fazer algumas mediações para ajudá-los a pensar na sentença dos problemas e escolher a operação. Como o tempo da aula finalizou, tivemos que recolher as atividades e dar prosseguimento no encontro seguinte. No dia 14.04.2014, ocorreu o décimo encontro, continuação da Atividade 5. Os alunos receberam a lista de problemas para dar continuação à atividade anterior. Fizemos as devidas mediações nos grupos que apresentavam dificuldade para compreender as questões. Alguns problemas ofereceram maior dificuldade do que outros (isso era esperado). Observamos que nos problemas diretos (que não utilizam a operação inversa), os alunos não tiveram dificuldade para perceber a 169 operação a ser usada e resolvê-los, entretanto, nos problemas que necessitavam da operação inversa para serem resolvidos, os alunos sentiram dificuldade na compreensão do enunciado e na escolha da operação. Ao observarmos as estratégias de resolução e as dificuldades expostas pelos alunos, sugerimos que fizessem a sentença dos problemas, fomos, então, ao quadro e mostramos como poderia ser feito. Nossa proposta era que os alunos pudessem utilizar o modelo a + b = c ou a – b = c e pudessem perceber a operação a ser usada a partir da modelação do problema. Depois de um certo tempo, os alunos começaram a escrever as sentenças e as dificuldades com a escolha da operação foram sendo reduzidas. Apresentamos alguns dos problemas que foram trabalhados e a resposta dada por um dos grupos. Os problemas 1,2,3,4 eram problemas diretos do tipo aritmético, e sua modelação ou sentença é a + b = ? ou a – b = ?, como no problema 2. Figura 46- Resposta do grupo aos problemas aditivos Fonte: Protocolo do grupo. Observamos que o grupo modelou e resolveu corretamente o problema. Os demais grupos não tiveram dificuldade com esse tipo de problema. Os problemas de 5 a 12 eram algébricos, exigiam a utilização da operação inversa. A modelação dos problemas de 5 a 8 era do tipo a + ? = c ou a ? = c, como é o caso do problema 5. 170 Figura 47- Resposta do grupo aos problemas aditivos Fonte: Protocolo do grupo. Os problemas de 9 a 12 apresentavam a sentença do tipo ? + b = c ou ? – b = c. Como é o caso do problema 9. Figura 48- Resposta do grupo aos problemas aditivos Fonte: Protocolo do grupo. Ao final da atividade, os alunos colocaram no quadro a resposta dos problemas, que haviam sido sorteados anteriormente, como mostra a Figura 49. 171 Figura 49- Respostas dos alunos para os problemas aditivos Fonte: Protocolo do grupo. Alguns erros observados foram em relação à realização da subtração, os alunos continuavam a colocar o subtraendo embaixo do minuendo ou se equivocavam quanto aos empréstimos de uma casa para outra. Ao final da atividade, fizemos juntamente com os alunos um quadro que apresentava a sentença e a operação de cada problema, cada grupo deu a sentença e a operação do problema que foi sorteado, os demais problemas foram feitos em conjunto com a turma. Figura 50- Modelação dos problemas aditivos Fonte: Protocolo do grupo. 172 Nessa atividade, percebemos os avanços dos alunos, tanto na compreensão do problema, quanto no desenvolvimento das operações de adição e subtração com os decimais. Além disso, os alunos apresentaram um desenvolvimento em relação aos trabalhos em grupo, uma vez que passaram a discutir e comparar seus resultados. No dia 15.04.2014, fizemos uma revisão com os alunos do conteúdo trabalhado. No dia 16.04.2014, ocorreu o décimo primeiro encontro, no qual aplicamos o pós-teste aditivo. Tivemos que interromper a pesquisa por algumas semanas por causa do calendário das avaliações, paralisações dos professores, e atividade pedagógicas da escola, retomamos no dia 12.05.2014. 5.4 APLICAÇÃO DAS ATIVIDADES DE ENSINO DO CAMPO MULTIPLICATIVO Nesta subseção, apresentamos as atividades do campo multiplicativo com os decimais que foram aplicadas aos alunos, sujeitos da pesquisa. 5.4.1 Multiplicação dos números decimais No dia 13.05.2014 ocorreu o décimo-segundo encontro, no qual realizamos a Atividade 6: multiplicação de números decimais. Compareceram nesse dia trinta e três alunos que trabalharam em grupos. O objetivo da atividade era fazer o aluno perceber a regra da multiplicação dos decimais. Todos os alunos receberam uma cópia da tabuada de multiplicação que podiam usar durante as atividades. Para o desenvolvimento dessa atividade, os alunos precisariam dos conhecimentos prévios de multiplicação de frações, transformação de decimal em fração e vice-versa, e multiplicação com os números naturais, por isso, inicialmente, fizemos uma revisão da multiplicação de frações e das transformações dos 173 números decimais em frações. Em seguida, o roteiro da atividade foi entregue aos grupos e explicado como seria a atividade. Os alunos deveriam fazer primeiramente as transformações de número decimal em frações decimais, efetuar a operação de multiplicação com as frações e, ao final, transformar o resultado em número decimal. Figura 51- Atividade multiplicação de decimais Fonte: Protocolo do grupo. No decorrer da atividade, foram surgindo algumas dificuldades e dúvidas que foram sendo superadas com as mediações que fazíamos nos grupos. Ao final da atividade, pedimos aos alunos que escrevessem de que forma poderíamos multiplicar os decimais sem usar as frações. Iniciamos o diálogo nos grupos. P: Como posso fazer para multiplicar 0,2 por 0,4 sem usar as frações? A: Multiplica e dá 0,08. P: Olhem para a multiplicação (apontei a multiplicação 0,2 x 0,4). Quantas casas decimais tem neste número 0,2? A: Uma. P: Quantas casas decimais tem neste número 0,4? 174 A: Uma. P: No resultado apareceram quantas casas decimais? A: Duas. P: Então, como apareceram as duas casas decimais? (Os alunos pensam, mas não respondem nada) P: Vamos olhar outra multiplicação. Quantas casas decimais tem neste número 0,4? A: Uma. P: Quantas casas decimais tem neste número 1,24? A: Duas. P: O resultado tem quantas casas decimais? A: Três. P: Então, como fazemos para multiplicar os números decimais? A: Eu multiplico e vejo quantas vírgulas (a aluna se referia às casas decimais) tem aqui (apontava para as casas decimais) e ponho no resultado. P: Ok, mais não é vírgula. São casas decimais. Outras respostas que surgiram nos outros grupos para as mesmas questões: G4: Primeiro multiplica depois observa as casas depois da vírgula. G5: Multiplica e vê quantas casas tem após as vírgulas. Observamos que as respostas dos alunos foram incompletas, como mostra a Figura 52. Percebemos uma grande dificuldade dos alunos em escrever como efetuar uma multiplicação. As respostas eram curtas e algumas vezes sem sentido. Foram necessárias várias mediações nos grupos para que os alunos pudessem perceber a regra. Após a finalização da atividade, recolhemos os protocolos e colocamos as respostas no quadro branco. 175 Figura 52- Respostas dos alunos para a multiplicação de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Ao final, analisamos as respostas junto com a turma para verificarmos quais estavam mais completas, em seguida, procedemos à sua formalização. O objetivo de trabalhar inicialmente com as frações decimais foi que os alunos pudessem compreender o posicionamento da vírgula no resultado. Figura 53- Produção do grupo 5 para a atividade 6 Fonte: Protocolo do grupo. Figura 54- Produção do grupo 3 para a atividade 6 Fonte: Protocolo do grupo. 176 Figura 55- Produção do grupo 2 para atividade 6 Fonte: Protocolo do grupo. Após essa etapa, pedimos que os alunos resolvessem as mesmas questões utilizando o algoritmo da multiplicação. As orientações foram para que eles multiplicassem normalmente como se fossem os números inteiros naturais, e somente colocassem a vírgula no resultado. As Figuras 56 e 57 apresentam algumas repostas dos alunos. Figura 56- Produção dos alunos para multiplicação de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Figura 57- Produção dos alunos para multiplicação de decimais Fonte: Protocolo do grupo. 177 Percebemos que alguns alunos sentiram dificuldade, pois não sabiam o algoritmo da multiplicação com os naturais, logo, tivemos que fazer algumas mediações e ajudá-los. Os alunos que sabiam utilizar o algoritmo da multiplicação não tiveram problemas em resolver as multiplicações com os decimais. As questões e dúvidas surgiram no posicionamento da vírgula, pedimos, então, que olhassem a atividade com as frações e observassem como havia ficado a posição da vírgula no resultado. Após isso, os alunos conseguiram posicionar a vírgula sem problemas. 5.4.2 Atividade de divisão dos decimais No dia 19.05.2014, ocorreu o décimo terceiro encontro com a Atividade 7: divisão de dois inteiros resultando em decimais. Nesse dia, compareceram trinta e três alunos que trabalharam em grupos. O objetivo era desenvolver a habilidade dos alunos em dividir dois inteiros resultando em um decimal. Entregamos o roteiro com as questões aos alunos e solicitamos que resolvessem as divisões. Eles mobilizaram seus conhecimentos com a divisão de números naturais, mas, em certo momento, esse conhecimento mostrou-se insuficiente, pois os alunos paravam a divisão quando aparecia o resto. Nesse momento, fomos ao quadro, fizemos alguns exemplos e mostramos que eles podiam continuar a divisão, em seguida, pedimos que retomassem a atividade e continuassem as divisões, eles resolveram as questões sem problemas. Observamos que os alunos que não sabiam realizar a operação de divisão com naturais apresentaram dificuldades e tivemos que fazer as mediações para ajudá-los. 178 Figura 58 - Produção dos alunos para divisão de inteiros Fonte: Protocolo do grupo. No dia 21.05.2014, ocorreu o décimo quarto encontro com a Atividade 8, divisão de dois números decimais. Nesse dia, compareceram trinta e seis alunos que trabalharam em grupos. O objetivo da atividade era fazê-los perceber a regra da divisão com dois decimais. Essa atividade foi dividida em duas partes, a 1ª parte era a divisão de dois decimais com a mesma quantidade de casas decimais; a 2ª parte, com quantidade de casas decimais diferentes. Nessa atividade, inicialmente, os alunos usariam os conhecimentos prévios de divisão de frações decimais e transformações de frações, o objetivo de trabalhar com as frações decimais era para justificar o posicionamento da vírgula no resultado, assim, fizemos uma revisão antes da atividade. Em um segundo momento, precisariam do conhecimento de divisão com os naturais. 179 Figura 59 - Atividade de divisão de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Entregamos o roteiro de atividade para os alunos e explicamos como os alunos deveriam realizar as divisões. Algumas dúvidas e dificuldades foram surgindo no decorrer da atividade e fomos realizando as mediações para saná-las. Os alunos conseguiram desenvolver a atividade sem problemas, a dificuldade maior foi para escrever suas observações ao final. Nas produções dos grupos, percebemos que seus pensamentos não eram lineares, pois quando perguntávamos a eles como realizar as divisões de decimais, sem ter que usar as frações, vinham respostas diversas. P: Como posso fazer para dividir os dois decimais 1,2 ÷ 0,6 sem precisar fazer todo esse cálculo com as frações? Alguma sugestão? A: Vai juntar o 1 com 2 e fica 12 e junta 0 com 6 fica 6, aí divide 12 por 6 e o resultado é 2. P: Ok, mas não é juntar. 180 (Eles pensam mais um pouco, peço para eles olharem para o número 1,2 que agora é 12, e pergunto o que aconteceu com ele). A: Tirou a vírgula e dividiu. P: Ok, ele perdeu a vírgula, mas, para eliminar a vírgula, é preciso observar algo antes. P: Vamos olhar as frações, você tinha 1,2 ficou 12/10, aqui é 0,6 ficou 6/10, estes dois números são décimos? A: São. P: Aqui temos 0,24 ficou 24/100 e 0,06 ficou 6 /100, os dois números são centésimos? A: Sim. P: Este outro 0,028 ficou 28/1000 e 0,014 ficou 14/1000, os dois números são milésimos? A: Sim. P: Então, para dividir dois decimais, o que eu preciso observar primeiro? A: Se os dois números têm décimos, centésimos e milésimos. P: Certo, então como faço para dividir dois decimais? A: Tem que observar se os dois números têm décimos, centésimos ou milésimos, depois tira a vírgula e faz a divisão. P: Observem, quantas casas decimais tem este número 0,028? A: Três. P: E este 0,014? A: Três. P: Tem a mesma quantidade de casas decimais? A: Tem. P: O que eu devo fazer então? A: Tira a vírgula e divide (um dos alunos responde). P: Muito bem! Entenderam o que deve ser feito? A: Sim. P: Ok, então escrevam a conclusão de vocês. Algumas respostas iniciais dos outros grupos foram: Tirar a vírgula e faz a conta; Eliminar a vírgula e dividir; Tem que eliminar a vírgula. 181 Apesar de os alunos conseguirem perceber uma forma mais simples de fazer as divisões, tivemos que chamar a atenção para o fato de que antes de tirar a vírgula era preciso observar se os números possuíam a mesma quantidade de casas decimais. Para isso, tomamos como base o cálculo com frações que eles tinham feito, fomos mostrando como os números decimais tinham sua representação nas frações, como décimos, centésimos e milésimos e que por isso eles possuíam a mesma quantidade de casas decimais, após isso, eles refizeram suas observações e passaram a dar respostas mais completas. Como o horário terminou, ficamos de continuar no próximo encontro. As figuras 60, 61 e 62 apresentam algumas conclusões dos grupos: Figura 60- Produção do grupo 4 para atividade 7 Fonte: Protocolo do grupo. Figura 61- Produção do grupo 8 para a atividade 7 Fonte: Protocolo do grupo. 182 Figura 62- Produção do grupo 7 para a atividade 7 Fonte: Protocolo do grupo. No dia 26.05.2014, ocorreu o décimo quinto encontro, finalizamos a 1ª etapa da atividade de divisão da aula anterior, fizemos a formalização da regra e mostramos que se os números decimais tivessem a mesma quantidade de casas decimais, bastava tirar a vírgula e dividir normalmente. Em seguida, pedimos aos alunos que fizessem as divisões sem utilizar as frações decimais, a atividade foi realizada sem problemas. Observamos que mesmo os alunos que tinham sentido dificuldade com a 1ª atividade de divisão tiveram um desempenho bem melhor nessa última atividade. Um fator importante foi que os números eram fáceis para dividir, então, os alunos não apresentaram problemas para resolver as divisões. 27.05.2014 e 28.05.2014, não houve aula, devido à paralisação dos professores e atividades pedagógicas na escola, respectivamente. No dia 02.06.2014, ocorreu o décimo sexto encontro, quando realizamos a 2ª parte da atividade de divisão de dois decimais. A atividade era para dividir decimais com a quantidade de casas decimais diferentes. Participaram dessa atividade trinta e cinco alunos que trabalharam em grupos. Inicialmente, relembramos a regra da divisão de decimais com a mesma quantidade de casas decimais, logo em seguida, entregamos o roteiro de atividade e explicamos como essa seria, utilizamos, para isso, dois exemplos no quadro que tinham frações decimais. 183 Figura 63- Atividade de divisão de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Após algumas explicações e orientações nos grupos, os alunos iniciaram a atividade e percebemos que, dessa vez, eles apresentaram menos dificuldades para realizar a atividade com as frações decimais e conseguiram fazê-la em menos tempo do que a atividade anterior. A atividade agora parecia estar fazendo sentido para os alunos. A produção escrita foi a parte mais difícil para os alunos, mas com as devidas mediações conseguiram expor suas ideias de forma mais rápida do que das outras vezes. Colocamos as respostas no quadro e fizemos a formalização da regra da divisão de dois decimais. 184 Figura 64- Produção do grupo 5 para divisão de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Figura 65- Produção do grupo 1 para divisão de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Figura 66- Produção do grupo 5 para divisão de decimais Fonte: Protocolo do grupo. Terminada essa etapa, pedimos que eles resolvessem as questões utilizando o algoritmo da divisão, sem usar as frações. Os alunos não apresentaram dificuldade em compreender como deveriam fazer as divisões, acreditamos que isso ocorreu pelo desenvolvimento da 1ª etapa da atividade e também porque os números eram fáceis para dividir. 185 Em 03.06.2014, não houve aula. No dia 04.06.2014, ocorreu o décimo sétimo encontro, no qual realizamos uma revisão da resolução de problemas multiplicativos com os números naturais, e aproveitamos para enfatizar os algoritmos e esclarecer dúvidas. Os alunos receberam uma lista de problemas multiplicativos com os números naturais, fomos verificando suas dificuldades e ajudando a superá-las. As figuras 67, 66 e 68 apresentam alguns dos problemas propostos. Figura 67- Produção dos alunos para os problemas multiplicativos dos números naturais Fonte: Protocolo do grupo. 186 Figura 68 - Produção dos alunos para os problemas de divisão dos números naturais Fonte: Protocolo do grupo. Figura 69- Produção dos alunos para os problemas de divisão dos números naturais Fonte: Protocolo do grupo. 187 Durante a realização dos problemas, não observamos dificuldade dos alunos em resolver os problemas, conseguiram identificar a operação e realizar as operações. No dia 09.06.2014, ocorreu o décimo oitavo encontro, fizemos uma revisão dos algoritmos da multiplicação e divisão de números decimais. No dia 10.06.2014, ocorreu o décimo nono encontro, trabalhamos a Atividade 8: resolução de problemas multiplicativos com os decimais. Os alunos trabalharam em grupos na realização dessa atividade. Os alunos receberam uma lista com nove problemas do campo multiplicativo com decimais, sendo três problemas de multiplicação, três problemas de divisão como partilha e três problemas de divisão como cotação. Durante a realização da atividade, algumas dúvidas ainda persistiam, principalmente na escolha da operação, então, sugerimos que os alunos tentassem fazer as sentenças dos problemas, como havíamos feito nos problemas para adição e subtração. O problema apresentava algumas perguntas que o aluno tinha que responder até chegar a solução, o objetivo era ajudar os alunos a organizarem suas ideias e compreenderem melhor o enunciando do problema, chegando à sua modelação e solução correta. Mostramos que a sentença agora seria a x b = c, resolvemos um problema modelo para que eles pudessem entender. Em seguida, os alunos passaram a escrever as sentenças e fomos aos grupos fazendo as mediações necessárias, visto que algumas dificuldades persistiam na representação da sentença e na realização das as operações. Aos poucos observamos que as dificuldades em relação à compreensão dos problemas foram sendo amenizadas e que já não eram tão comuns. Algumas dúvidas surgiram em relação ao desenvolvimento dos algoritmos, foram necessárias algumas mediações para sanar essas dúvidas, alguns alunos conseguiram superar as dificuldades e resolver corretamente as questões. Como o tempo de aula encerrou, recolhemos as atividades para continuarmos no próximo encontro. Os problemas de 1 a 3 eram de multiplicação, como apresentamos na Figura 70. 188 Figura 70- Atividade da resolução de problema de multiplicação com decimais Fonte: Protocolo do grupo. Nos problemas de multiplicação, os alunos não encontraram dificuldades para realizarem a modelação e perceberem a operação, no entanto, ainda ocorreram alguns erros na realização do algoritmo da multiplicação e posicionamento da vírgula. Os problemas de 4 a 6 eram de divisão como partição, como apresentamos na Figura 71. 189 Figura 71- Atividades de resolução de problemas de divisão como partição Fonte: Protocolo do grupo. Os problemas de 7 a 9 eram de divisão como cotação como apresentamos na Figura 72. Figura 72- Atividade de resolução de problemas de divisão como cotação Fonte: Protocolo do grupo. 190 Na resolução dos problemas de divisão, os alunos conseguiram perceber a operação e resolver as divisões. Não percebemos dificuldade dos alunos em relação ao tipo de problema, por ser uma divisão como partição ou como cotação. Porém, alguns erros ainda foram observados no desenvolvimento do algoritmo da divisão e na escolha da operação. No dia 11.06.2014, ocorreu o vigésimo encontro, quando retomamos a atividade anterior para que os alunos a finalizassem. Ao final, pedimos que cada grupo desse a resposta para os problemas, assim, um aluno do grupo dizia a sentença e a operação escolhida pelo grupo, e nós íamos colocando no quadro. Cada grupo ficou responsável para dar a resposta do problema que correspondia ao número do seu grupo. A Figura 73 mostra a resposta dos alunos para os problemas. Figura 73- Modelação dos problemas pelos alunos Fonte: Protocolo do grupo. Ao final dessa etapa, perguntamos como poderíamos escrever a sentença em palavras e o que cada termo da sentença representava. Fizemos a leitura dos problemas e fomos fazendo a análise de cada termo. Nossa intenção era que os alunos pudessem perceber a relação implícita da sentença, que a quantidade de unidades x a unidade = total. Um dos alunos pediu para ir ao quadro escrever a resposta que seu grupo pensou. Como mostra a figura 74. 191 Figura 74 - Produção dos alunos Fonte: Protocolo do grupo. O grupo apresentou como resultado que a sentença dos problemas representa a quantidade x uma parte = total, esse foi o esquema de raciocínio de um grupo. O grupo que apresentou esse resultado era um dos mais envolvidos nas atividades, eles fizeram questão de apresentar a sua conclusão para a representação da sentença. Ao final, fizemos as correções dos cálculos dos problemas no quadro. No dia 13.06.2014, ocorreu o vigésimo primeiro encontro com a aplicação do pós-teste aos trinta e seis alunos presentes. 5.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES No desenvolvimento das atividades, fomos percebendo algumas situações sobre o processo de aprendizagem dos alunos, que se mostrou lento nos primeiros dias, pois os alunos sentiam dificuldade em produzir as conclusões das atividades. Acreditamos que isso ocorreu pelo excessivo uso do método tradicional de ensino, em que eles se tornam dependentes do professor e apenas reproduzem suas respostas, sem ter que pensar e escrever suas conclusões. Como consequência, os alunos apresentaram dificuldade em expressar por escrito suas conclusões, apesar de algumas vezes terem expressado oralmente o novo conhecimento construído. Observamos que as produções escritas dos alunos eram incompletas e seus pensamentos não apresentavam uma linearidade, e sim muitas rupturas. Isso é explicado por Vergnaud (1990), ao afirmar que os alunos têm dificuldade em 192 explicar ou expressar os conhecimentos implícitos, mas isso não significa que tal conhecimento não possa ser explicitado. Esses conhecimentos implícitos são os teoremas em ação e conceitos em ação mobilizados pelos alunos. Essa quebra de pensamento, nas produções dos alunos, repercutiu nas conclusões incompletas e sem sentido, e isso, segundo Moreira (2004, p.15), se explica porque a construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, tortuoso, demorado, com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas. Continuidades e rupturas não são, no entanto, excludentes, são indicativos da construção do conhecimento e fazem parte do processo de aprendizagem. Além disso, observamos que alguns alunos avançaram mais que outros no desenvolvimento das atividades, claro que não podemos descartar o fator interesse por parte deles. No entanto, mesmo os alunos que mostraram interesse em realizar as atividades de ensino caminhavam mais lento que outros, acreditamos, portanto, que esse descompasso entre o desenvolvimento da aprendizagem dos alunos se justifica pelos conhecimentos prévios que eles possuem, pois, segundo Vergnaud (1990, p.40), o conhecimento está organizado em campos conceituais, cujo domínio, por parte do aprendiz, ocorre ao longo de um largo período de tempo, através de experiência, maturidade e aprendizagem. E isso foi observado no desenrolar das atividades, pois percebemos uma melhora na escrita e formalização dos alunos, suas respostas começaram a ficar mais completas. Retomamos a definição de campo conceitual, como sendo, em primeiro lugar, um conjunto de situações cujo domínio requer, por sua vez, o domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de naturezas distintas (VERGNAUD, 1990, p. 146). Nesse sentido, podemos considerar os números naturais e as frações decimais como campos conceituais. Partindo desse pressuposto, os campos conceituais, segundo Vergnaud (1990), ou conhecimentos prévios, segundo Ausubel (2003), influenciaram de forma positiva na construção do novo conhecimento, visto que os alunos que tinham o domínio das operações no campo dos números naturais desenvolveram as atividades mais rapidamente e apresentaram uma melhor compreensão das regras das operações com os decimais e se saíram melhor na resolução dos problemas. 193 Para Ausubel (2003), na aprendizagem significativa entre os dois conhecimentos (antigo – novo) estabelece-se uma troca, já que além de se obter um novo conhecimento significativo, o conhecimento antigo adquire uma nova dimensão, se modifica e adquire um novo significado para o aluno. Provavelmente os números naturais adquiriram novos significados, no momento em que os alunos se apropriaram do conhecimento de números decimais. E isso pôde ser verificado no domínio que os alunos foram adquirindo das operações com os naturais. Algumas variáveis influenciaram nos resultados da pesquisa, uma delas foi a faixa etária enquanto um fator relevante no desenvolvimento das atividades, pois os alunos mais jovens, na faixa dos 10 – 12 anos, se mostravam mais interessados no desenvolvimento das atividades, do que os alunos mais velhos, 13 anos. De tal forma que os resultados das atividades e dos testes dos alunos mais jovens foram bem melhores que os dos alunos mais velhos. Outra variável relaciona-se ao fato de que, à época da aplicação das atividades do campo multiplicativo, tiveram início os jogos da copa do mundo, e percebemos que os alunos, muito envolvidos com os jogos, já não demonstravam interesse na realização das atividades, além do que as atividades da escola, como avaliações e festa junina e os jogos da copa, provocaram uma alteração no calendário escolar e a aplicação das atividades do campo multiplicativo foi comprometida em vista do pouco tempo que tivemos para finalizar a pesquisa. Assim, acreditamos que se tivéssemos trabalhado com o tempo planejado os resultados do teste do campo multiplicativo teriam sido melhores. 194 6 ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS O objetivo deste capítulo é apresentar as análises e a discussão dos resultados dos testes com os números naturais e decimais no campo aditivo e multiplicativo, assim como os resultados observados durante a realização das atividades propostas. Para isso, desenvolvemos três categorias de análise que subsidiarão as análises do desempenho dos 36 alunos. 6.1 APRESENTAÇÃO DAS CATEGORIAS DE ANÁLISE Com base nos estudos revisados sobre sentido de número e operação e a estrutura semântica dos problemas, desenvolvemos três categorias de análise que norteiam a discussão dos resultados. Habilidades com as operações; Habilidade para modelar a situação do problema; Habilidade para reconhecer a operação utilizada no problema. Para o componente habilidades com as operações, esperamos que os alunos tenham conhecimento conceitual e processual das operações e habilidade com os números envolvidos nas operações, desenvolvam o algoritmo formal das operações ou outra estratégia para resolver as operações e consigam raciocinar sobre os resultados. Para a componente habilidade para modelar a situação do problema, esperamos que o aluno tenha a habilidade para modelar a situação que representa o problema por meio de uma sentença a + b = c ou a x b = c. Para o componente reconhecer a operação que resolve o problema, esperamos que o aluno consiga reconhecer e utilizar corretamente a operação que resolve o problema e analisar os resultados obtidos, evitando respostas inadequadas. As análises dos resultados, do campo aditivo e multiplicativo, utilizando tais categorias, serão feitas separadamente. 195 6.2 ANÁLISES DOS RESULTADOS DOS TESTES DA ESTRUTURA ADITIVA Apresentaremos os resultados do desempenho dos alunos nos testes do campo aditivo, com os números naturais e decimais, analisando dentro das categorias de análise estabelecidas. 6.2.1. Habilidade com as operações Em relação a esta categoria, analisamos o desempenho dos alunos nos testes com os naturais e decimais. O Quadro 11 apresenta a tabulação dos resultados* do desempenho dos alunos nas operações com os decimais do campo aditivo no pré- e pós-teste. Usamos as siglas (QCDI) para especificar quantidades de casas decimais iguais, e (QCDF) para quantidades de casas decimais diferentes nas operações. Quadro 11 - Comparativo dos resultados dos testes do campo aditivo com decimais Acerto % Erro % Não fez % Questão Operação Pré- Pós- Pré- Pós- PréPósteste teste teste teste teste Teste A Adição com 55 100 19 00 26 00 decimais(QCDI) B Adição com 22 94 53 06 25 00 decimais(QCDF) C Adição de inteiro com 19 83 53 17 28 00 decimal D Subtração com 36 97 36 03 28 00 decimais (QCDI) E Subtração de 8 92 56 08 36 00 decimais (QCDI) Subtração de F inteiro com 00 67 58 33 42 00 decimal Fonte: Pré- e pós-teste dos alunos. 196 Na correção das questões, consideramos que o acerto seria o desenvolvimento correto do algoritmo e o posicionamento correto da vírgula no resultado, e o erro seria o desenvolvimento errado do algoritmo e posicionamento incorreto da vírgula. A questão A: 1,23 + 3,55 é uma adição de decimais. No pré-teste, o número de acerto foi 55%. Apesar de não terem estudado os decimais nos anos anteriores, os alunos apresentaram uma porcentagem de acerto razoável. No pósteste, tivemos 100% de acertos nessa questão. Percebemos que as questões de adição de decimais com QCDI são relativamente fáceis para os alunos. A questão B: 3,7 + 0,34 é uma adição de decimais com QCDF, que exigiu do aluno que ele completasse as casas decimais antes de efetuar a operação. No pós-teste, o índice de acertos foi de 94%, e os erros detectados foram de cálculo ou em relação ao posicionamento da vírgula no resultado, erros esses que acreditamos estarem relacionados a esquecimento ou distração. Figura 76- Resposta do A9 Fonte: Protocolo dos alunos. Figura 77- Resposta do A20 Fonte: Protocolo dos alunos. A questão C: 8 + 3,5 é uma adição de inteiro e decimal, as previsões eram de que os alunos cometeriam erros nessa questão ao esquecerem de completar as casas decimais. No pós-teste, o índice de acertos foi de 83% e o de erros, 17%. Essa questão foi considerada difícil para os alunos por se tratar de operações com números de campos numéricos diferentes, em que os alunos costumam adicionar os décimos com o inteiro, como mostra a resposta da aluna A36. Nesse tipo de erro, percebemos que o conceito de número decimal não foi apreendido pelo aluno. 197 Figura 78 - Resposta do A36 Fonte: Protocolo dos alunos. A questão D: 7,9 – 2,5 é uma subtração de números decimais com QCDI, previmos que os alunos não teriam dificuldades nessa questão. No pós-teste, o índice de acertos foi de 97% e o percentual de erros foi pequeno. Os erros detectados foram em relação ao posicionamento da vírgula no resultado, talvez por esquecimento. A questão E: 8,34 – 2,07 é uma subtração de números decimais QCDI e as previsões foram no sentido de que os alunos teriam dificuldade, pois, além de precisarem igualar as casas decimais antes de efetuar a operação, eles necessitavam realizar os empréstimos de uma casa para outra. Tais erros também foram detectados nas operações com os números naturais. No pós-teste, o índice de acertos foi relativamente alto 92%. Os erros detectados foram de cálculo, esquecimento de empréstimos de uma casa decimal para a outra, ou de posicionamento da vírgula no resultado. Nas respostas dos alunos A25 e A9, temos alguns erros de cálculo que mostram a dificuldade dos alunos em relação à operação de subtração. Tais dificuldades também foram observadas no campo dos números naturais. Figura 79- Resposta do A25 Fonte: Protocolo dos alunos Figura 80- Resposta do A9 Fonte: protocolo dos alunos 198 A questão F: 6 – 1,26 é uma subtração de um número inteiro e um decimal, esperávamos um número de erros relativamente alto nessa questão, pelo fato de ela envolver um inteiro e um decimal. Os alunos precisavam inicialmente igualar as casas decimais e depois efetuar a operação. No pós-teste, o índice de acertos foi de 67% e o de erros foi de 33%. Observamos nessa questão vários tipos de erros, tanto de ordem conceitual quanto processual. Os alunos A9 e A24 cometeram erros conceituais, pois subtraíram o inteiro do centésimo e do décimo, respectivamente. Os alunos A25 e A20 conseguiram fazer o procedimento de completar as casas decimais com zeros antes da subtração, mas não conseguiram efetuar as subtrações corretamente, cometendo erros do tipo processual. Outros erros observados foram o esquecimento da vírgula no resultado. Figura 81- Resposta do A25 Fonte: Protocolo dos alunos Figura 83- Resposta do A9 Fonte: Protocolo dos alunos Figura 82- Resposta do A20 Fonte: Protocolo dos alunos Figura 84- Resposta do A24 Fonte: Protocolo dos alunos Realizamos um comparativo do desempenho individual dos trinta e seis alunos nas operações com números naturais e decimais, os resultados das questões com naturais são do teste diagnóstico e o resultados das questões com decimais são do pós-teste. Os resultados são apontados no Quadro 12. 199 Quadro 12 - Desempenho individual dos alunos nas operações do campo aditivo com os números naturais e decimais Adição com Subtração Adição com Subtração com os números com números números números naturais decimais decimais Aluno naturais A) 56 + 24 C)76 – 43 A)1,23+3,55 D) 7,9 – 2,5 B) 102 + 23 D) 125 – 87 B) 3,7+0,34 E) 8,3 – 2,07 E) 80 – 23 C) 8 + 3,5 F) 6 – 1,26 A1 Acertou Acertou Acertou Acertou A2 Acertou Acertou Acertou Acertou A3 Acertou Acertou Acertou Acertou A4 Acertou Acertou Acertou Acertou A5 Acertou Acertou Acertou Acertou A6 Acertou Acertou Acertou Acertou A7 Acertou Acertou Acertou Acertou A8 Acertou Acertou Acertou Acertou A9 Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente A10 Acertou Acertou Acertou Acertou A11 Acertou Acertou Acertou Acertou A12 Acertou Acertou Acertou Acertou A13 Acertou Acertou Acertou Acertou A14 Acertou Acertou Acertou Acertou A15 Acertou Acertou Acertou Acertou A16 Acertou Acertou Acertou Acertou A17 Acertou Acertou Acertou Acertou A18 Acertou Não fez Acertou Acertou A19 Acertou Não fez Acertou Acertou A20 Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente 200 A21 Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou A22 Acertou Acertou Acertou Acertou A23 Acertou Acertou Acertou Acertou A24 Acertou Acertou Acertou Acertou parcialmente A25 Acertou Acertou Acertou Acertou A26 Acertou Acertou Acertou Acertou A27 Acertou Acertou Acertou Acertou A28 Acertou Acertou Acertou Acertou A29 Acertou Acertou Acertou Acertou A30 Acertou Acertou Acertou Acertou A31 Acertou Acertou Acertou Acertou parcialmente A32 Acertou Acertou Acertou Acertou A33 Acertou Acertou Acertou Acertou A34 Acertou Acertou Acertou Acertou A35 Acertou Acertou Acertou Acertou A36 Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou Fonte: Testes dos alunos. No Quadro 12, temos uma análise individual de todos os alunos que participaram da pesquisa, o que nos permite observar que, de uma forma geral, os alunos tiveram um bom desempenho nas operações com os naturais e, consequentemente, apresentaram bons resultados nas operações com os números decimais no pós-teste. O aluno A36 mostrou domínio parcial das operações, teve erros de falta de atenção nas operações de adição, pois, em vez de somar, ele multiplicou. Na subtração, erros de empréstimos de uma casa para outra foram muito comuns entre os alunos, os alunos A3, A7, A11, A21, A14, A18, A19, A25 apresentaram esses 201 erros. Subtrações de um número por zero, geralmente, levaram os alunos ao erro, como no caso da questão 6 – 1,26, na qual os alunos precisavam completar com zero para efetuar as subtrações. Nesse tipo de questão, os alunos, geralmente, ou esquecem de completar ou de fazer os devidos “empréstimos” para efetuar as subtrações. Os alunos A20, A28, A31 mostraram um bom domino das operações de adição e subtração, todavia, na adição e subtração de decimal por inteiro, eles mostraram dificuldade em efetuar essas operações. Durante o desenvolvimento das atividades, observamos que os alunos apresentavam dúvidas em relação à subtração, como nos empréstimos de uma casa para outra, ou na subtração por zeros. Procuramos sanar essas dúvidas durante as atividades, mas, no pós-teste, elas ainda persistiram. Erros desses tipos parecem estar enraizados nos alunos e é necessário tempo para que esses obstáculos sejam superados, pois são erros persistentes, e segundo Brousseau (2004, p. 121), tais erros não são necessariamente explicáveis. O que acontece é que não desaparecem de uma vez, eles resistem, persistem e, então, reaparecem. Quadro 13 - Comparativo do desempenho dos alunos nas operações do campo aditivo com números Naturais e Decimais Questões % % % em Questões % % % em com os Acerto Erro com os Acerto Erro branco branco naturais decimais A) 56 + 27 97 03 00 A) 1,23+3,55 100 00 00 B) 102+23 97 03 00 B) 3,7+0,34 94 06 00 - - - C) 8 + 3,5 83 17 00 C) 76 - 43 94 03 03 D) 7,9 – 2,5 97 03 00 D) 125 - 87 78 19 03 E) 8,3 – 2,07 92 08 00 E) 80 - 23 84 08 08 F) 6 – 1,26 67 33 00 - Fonte: testes dos alunos. O quadro 13 apresenta a comparação do percentual do desempenho dos alunos em relação as operações com números naturais e decimais, observamos que os alunos tiveram um excelente desempenho com as operações 202 com os naturais e decimais. Percebe-se que na operação de subtração com os números naturais o índice de erro é maior, pois os alunos apresentam dificuldade em efetuar subtrações com reserva. Todas as dificuldades observadas durante a realização das atividades de ensino foram apontadas nos estudos Em relação à categoria habilidade com as operações, observamos que os alunos, de forma geral, têm uma compreensão mais processual do que conceitual dos números decimais, visto terem mostrado uma compreensão parcial do sentido de número decimal que precisa ser melhorada. Todavia, nas operações da estrutura aditiva, apresentaram um domínio processual das operações, tanto no campo dos números naturais quanto no campo dos números decimais. Entretanto, observamos que os alunos que tinham domínio das operações de adição e subtração no campo dos naturais apresentaram um desempenho melhor na realização das atividades da pesquisa, pois mobilizaram esses conhecimentos para poderem construir as regras dessas operações com os decimais. Alguns alunos, ao resolverem a operação, aplicavam a operação inversa (prova real) para verificar se seus cálculos estavam corretos. Observamos também que, na operação de subtração, os alunos que tinham dificuldade ou dúvidas para realizar os empréstimos de uma casa para outra quando se fazia necessário, no campo nos naturais também, apresentaram a mesma dificuldade no campo dos decimais. Essas dificuldades apareceram também no pós-teste. Apesar de termos trabalhado e esclarecido essas dúvidas durante as atividades, percebemos que esse conhecimento ainda não tinha se estabelecido na estrutura cognitiva dos alunos. 6.2.2 Habilidades em modelar o problema e reconhecer a operação para resolver o problema Em relação a estas categorias, o quadro 14, mostra os resultados comparativos do pré-teste e pós-teste da resolução de problemas com os decimais e, na sequência, uma análise dos problemas e dificuldades observadas. 203 Quadro 14 – Comparativo dos resultados dos testes de decimais na resolução de problemas do campo aditivo ACERTOS % ERROS % Problema Tipo de Operação problema utilizada Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste 01 Aritmético Subtração 83 97 08 03 02 Aritmético Adição 78 94 14 06 03 Algébrico Subtração 39 92 33 08 04 Algébrico Adição 64 83 22 17 05 Algébrico Subtração 53 92 17 08 06 Aritmético Adição 75 83 14 17 07 Algébrico Subtração 47 92 28 08 08 Aritmético Subtração 64 94 17 06 09 Aritmético Subtração 14 86 47 14 10 Algébrico Adição 44 81 28 19 Fonte: Pré- e pós-teste dos alunos. Optamos em contabilizar somente os acertos e erros e desprezamos os resultados dos testes que foram deixados em branco. Observamos que, no préteste, os alunos apresentaram um bom desempenho dos problemas aditivos, mesmo sem terem estudado problemas com decimais. Acreditamos que isso se explique pelo conhecimento dos alunos na resolução de problemas no campo dos naturais, já que a maior parte da turma havia participado de um trabalho anterior com resolução de problemas com os números naturais. No entanto, mesmo os alunos que não participaram desse estudo tiveram um bom desempenho. Nessa análise, não levamos em consideração as questões deixadas em branco no préteste, vale ressaltarmos que no pós-teste não houve questões em branco. 204 Quadro 15 - Tipos de erros no teste do campo aditivo com os decimais Erros na escolha da operação Erros de cálculo Tipo de problema Operação utilizada Pré-teste Pós-teste 01 Aritmético Subtração 02 01 01 00 02 Aritmético Adição 00 00 04 02 03 Algébrico Subtração 09 01 04 02 04 Algébrico Adição 05 05 01 01 05 Algébrico Subtração 03 02 02 01 06 Aritmético Adição 00 03 02 05 07 Algébrico Subtração 02 00 08 04 08 Aritmético Subtração 02 02 02 01 09 Aritmético Subtração 10 02 08 04 10 Algébrico Adição 05 05 06 03 Pré-teste Pós-teste Fonte: Pré- e pós-teste dos alunos. Os dados do quadro 15 estão em valores absolutos, pois contamos o mesmo aluno quando esse cometia os dois tipos de erros. Observamos que muitos erros no pré-teste se referiam à escolha da operação, já no pós-teste, percebemos que esses erros diminuíram razoavelmente. Os erros de cálculo também se apresentaram maiores no pré-teste, havendo no pós-teste uma melhora significativa. Assim, apresentamos uma análise por problemas das dificuldades dos alunos, seus avanços e estabilizações. Questão 01- Lúcia possuía 80,50 m de fitas e gastou 40,30m das fitas em um vestido. Quanto de fita Lúcia possui agora? Esse é um problema aritmético, a sentença do problema é 80,50 - 40,30 = ? e exigia uma subtração sem reserva, de tal forma que esperávamos que os alunos não tivessem dificuldade em resolvê-lo. Esse tipo de problema é considerado fácil para o aluno, por ser do tipo direto, ou seja, não precisa usar a operação inversa para resolvê-lo. O índice de acertos, no pós-teste foi 97%, 205 considerado muito bom. Os erros, no pós-teste, foram de cálculo e referentes à escolha da operação, como no caso do aluno A7 que escolheu a operação errada. Figura 85- Produção do A7 Fonte: Protocolo dos alunos. Questão 02 - Maria tinha R$ 17,50. Achou R$ 8,00 na rua. Quanto ela possui agora? Esse é um problema aritmético, a sentença do problema é 17,50 + 8,00 = ? e exigia a operação de adição. No pós-teste, o índice de acerto foi de 92%, um resultado excelente. Não houve erros na escolha da operação, somente erros de cálculo, como mostra a resposta do aluno A8. Percebemos que o aluno teve dificuldade em armar a operação, ao adicionar unidades com as dezenas, e que errou este tipo de cálculo nos demais problemas. Ele não conseguiu perceber que deveria adicionar 17 a 8, e não somente o 1. Este tipo de erro está relacionado a questão conceitual de número decimal, pois o aluno parece desconhecer o sistema posicional decimal, e embora o problema apresentasse uma situação rotineira que envolve o sistema monetário, o aluno não conseguiu ter um bom desempenho, não conseguiu refletir sobre os valores dados e no resultado apresentado. Figura 86- Produção do A8 Fonte: Protocolo dos alunos. 206 Questão 03- Pedro tem algum dinheiro. Raul tem R$ 3,45 a mais que Pedro. Sabendo que Raul tem 22,65. Quanto possui Pedro? Esse é um problema do tipo relacional, considerado por Vergnaud (2009), Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005), Greer (1992), como sendo difícil para os alunos resolverem. A sentença do problema é 22,65 - 3,45 = ? O índice de acerto no pós-teste foi de 92%. Mesmo sendo um problema considerado difícil, observamos que o índice de acerto no pós-teste foi muito bom. Os erros observados foram de cálculos, como no caso do aluno A9, pois tentou subtrair um número menor de um maior, o aluno buscou utilizar os dados do problema na ordem em que aparecem, o que parece indicar que ele desconhece as regras para efetuar uma subtração, e também não refletiu sobre a situação dada no problema. Figura 87- Produção do A9 Fonte: Protocolo dos alunos. Questão 04 – Fui ao shopping com certa quantia em dinheiro. Após gastar R$ 40,50 percebi que ainda tinha R$ 12, 25 reais. Quanto eu tinha antes? Esse problema é do tipo algébrico, cuja sentença é ? - 40,50 = 12,25, e é um tipo de problema considerado difícil por Vergnaud (2009), Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005), Greer (1992), Sá (2003), Durval (2003), Damm (2003), pois exige a utilização da operação inversa. A operação a ser utilizada é uma adição. O índice de acerto no pós-teste, foi de 83%. Os erros observados foram relativos à escolha da operação. Essa questão nos trouxe algumas respostas e estratégias interessantes dos alunos. 207 Figura 88 - Resposta do A31 Fonte: Protocolo dos alunos. O aluno A31 acertou a questão. Ele apresentou uma sentença diferente do problema e utilizou a estratégia da prova real para verificar se o resultado estava correto. Importante ressaltarmos que essa forma de modelação do problema, não foi ensinada durante as atividades, acreditamos que o aluno mobilizou seus conhecimentos prévios para resolver problemas com os números naturais. Figura 89 - Resposta do A18 Fonte: Protocolo dos alunos. O aluno A18 acertou o problema, observa-se que o aluno conseguiu modelar a situação e resolver corretamente o problema. Questão 05 - Pedro e Marcus tem juntos R$ 28,60 reais. Pedro tem R$ 16,30. Quantos reais tem Marcus? Esse problema é do tipo algébrico e sua sentença é: ? + 16,30 = 28,60, e apresenta um certo grau de dificuldade para os alunos. O índice de acerto no pós- 208 teste foi de 83%, considerado bom. Os erros observados foram na escolha da operação e erros de cálculo. Figura 90 - Resposta do A24 Fonte: Protocolo dos alunos O Aluno A24 escreveu incorretamente a sentença do problema e, no cálculo fez uma adição, apesar de ter usado a prova real, não conseguiu perceber a incoerência com o resultado obtido 25,30, efetuou a subtração de forma incorreta. Figura 91- Resposta do A31 . Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A31 escolheu a operação errada, tentou tirar a prova real e apresentou um resultado incoerente, visto que deu como resposta um valor maior, 44,90, que é, na realidade, a soma dos dois valores. Questão 06 – Carlos tinha 18,75 em seu cofrinho. Hoje ele colocou R$ 5,60. Quanto ele tem agora? Trata-se de um problema aritmético, sua sentença é 18,75 + 5,60 =? Um problema considerado fácil para os alunos, pois não exige a utilização da operação 209 inversa. O índice de acerto no pós-teste, foi de 78%, considerado bom. Os erros que foram observados referem-se à escolha da operação e ao desenvolvimento do cálculo. Figura 92- Resposta do A17 Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A17 não conseguiu efetuar corretamente a operação de subtração, observamos que ele não compreendeu que o número a ser adicionado era 18 e não apenas 1. Percebe-se que o aluno não apreendeu o conceito de número decimal, pois desconhece o sistema posicional decimal, não reconhece os décimos, centésimos e milésimos no número. Figura 93- Resposta do A18 Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A18 escreveu a sentença corretamente, escolheu a operação correta, mas, ao efetuar o cálculo, o fez de forma incorreta, pois subtraiu os números. Questão 07 – Henrique achou R$ 7,50 na rua. Ele tem agora R$ 12,90. Quanto ele tinha antes de encontrar o dinheiro? Esse é um problema algébrico, sua sentença é ? + 7,50 = 12,90. A operação usada para resolvê-lo é a subtração. Foi apontado pelos estudos 210 revisados de Vergnaud (2009), Nunes e Bryant (1997), Nunes et al. (2005), Greer (1992), Sá (2003), Durval (2003), Damm (2003), como difícil para os alunos, pois faz-se necessário utilizar a operação inversa. O índice de acerto no pós-teste, foi de 89%, considerado bom. No pós-teste, não houve erros na escolha da operação, apenas erros de cálculo. Figura 94 - Resposta do A18 Fonte: Protocolo dos alunos. O aluno A18 apresentou erros de cálculo na resolução do problema, apesar de ter indicado que faria uma subtração, o aluno adicionou os dados do problema. Nos parece que foi apenas falta de atenção. Figura 95 - Resposta do A17 Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A17 apresentou problemas conceituais com os decimais, pois considerou que deveria subtrair apenas o número 1, adicionando o 2, do 12 inteiro, aos 5 décimos. Questão 08 - Luciana tinha 45,8 metros de fitas. Ela cortou 23,6 metros e deu para Julia. Quantos metros de fita tem Luciana agora? 211 Trata-se de um problema aritmético, sua sentença é 45,7 – 23,6 = ?, o problema exigia a operação de subtração. O índice de acerto no pós-teste, foi de 81%, considerado bom. Os erros observados no pós-teste foram na escolha da operação e cálculo. Figura 96 - Resposta do A31 Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A31 escreveu o número 45,7 como 45,08, e 23,6 como 23,06. Não conseguimos entender o motivo de ele ter acrescentado zeros, no entanto, ficou claro que o aluno não tem domínio conceitual. Questão 09 - Sofia tem 1,60 metros de altura e sua irmã Júlia tem 1,06 metros de altura. Qual a diferença de altura entre as duas? Esse é um problema aritmético, a sentença esperada é: 1,60 – 1,06 =? a operação exigida era uma subtração. O índice de acerto no pós-teste, foi de 81%. Os erros observados foram em relação à escolha da operação e de cálculo. O aluno A22 errou tanto ao efetuar a subtração quanto a adição de decimais. Observou-se a dificuldade dos alunos em subtrair com estes valores, pois além de aparecer o zero, era uma subtração com reserva. 212 Figura 97- Resposta do A22 Fonte: Protocolo dos alunos Questão 10 - Carlos possui alguns metros de fio elétrico. Vai usar na instalação de sua casa 21,34 m e ainda sobrará 12,5m. Quantos metros de fio Carlos possui? É um problema algébrico, a sentença esperada é: ? - 21,34 = 12,5, a operação que resolve o problema é uma adição. Apesar de ser considerado como um problema difícil para os alunos resolverem, observamos que o índice de acerto no pós-teste, foi de 75%, considerado bom. Os erros observados no pós-teste foram em relação à escolha da operação e de cálculo, como no caso do aluno A9, em que observamos que o aluno subtraiu milésimos dos décimos, apresentando um erro de ordem conceitual. Figura 98 - Resposta do A9 Fonte: Protocolo dos alunos O Quadro 16 apresenta uma análise individual comparando o desempenho dos alunos, tanto na resolução de problemas do campo dos números naturais como dos decimais. No teste diagnóstico com os números naturais, apresentamos seis problemas e, dez problemas com os decimais. 213 Quadro 16 - Desempenho dos alunos na resolução de problemas no campo aditivo com números naturais e decimais Alunos Problemas aditivos com números naturais Problemas aditivos com números decimais A1 A2 A3 A4 A5 Acertou Acertou Acertou Acertou Acertou Acertou Acertou Acertou Erros na escolha da operação no 10 Acertou A6 Acertou A8 Erros no cálculo da subtração no problema 6 Acertou apenas os problemas 1 e 2. Erros na escolha das operações. Acertou A9 Acertou A10 Acertou A11 A12 A13 A14 Acertou Acertou Acertou Erros na escolha da operação do 2 e 6. Acertou Acertou Erros de cálculo na subtração dos problemas 5 e 6. A7 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25 Erros na escolha da operação do 6. Não fez o 4 e 5 Não fez o problema 6 Acertou Erros na escolha da operação no problema 5 Erros na escolha da operação no problema 6 Acertou Erros de cálculo no problema 5. Erros na escolha da operação do 6 Acertou Erros na escolha da operação no problema 1, 4, 6. Erros na escolha da operação no problema 10 Erros de cálculo nos problemas 2,6 e 7. Erros na escolha da operação no problema 9. Erros de cálculo nos problemas 4, 6, 7, 10 Errou na escolha da operação no problema 4 Acertou Acertou Acertou Erros na escolha da operação no 5 e 6 Acertou Erros no cálculo de subtração no 9. Erros na escolha da operação nos problemas 3 e 6. Erros de cálculo de subtração no 7. Erros de cálculo de subtração no 3. Erros na escolha da operação do problema 3 Acertou Acertou Erros na escolha da operação no problema 4 e 9. Acertou Erros na escolha da operação e de cálculo do problema 5 Acertou 214 A26 Erros de cálculo no 5 e 6 A27 A28 Acertou Erros de cálculo nos problemas 2 e 4, e na escolha da operação do 5 Acertou Acertou Erros no cálculo dos problemas 5e6 Acertou Acertou Erros na escolha da operação do problema 5 Acertou Erros na escolha da operação do problema 2 e 6. A29 A30 A31 A32 A33 A34 A35 A36 Erros na escolha da operação no problema 4 e 8. Acertou Erros de cálculo nos problemas 2 e 9. Acertou Acertou Erros na escolha da operação no 5 Erros na escolha da operação no 10 Acertou Acertou Acertou Erros na escolha da operação no 10 Fonte: Protocolo dos alunos. Alguns erros dos alunos são fruto da distração, como é o caso do A18, que, no problema 3, escolheu corretamente a adição, mas executou uma subtração, e errou seu cálculo. O A24, no problema 10, escolheu a operação e a executou de forma correta, mas utilizou a prova real para verificar o resultado e, ao final, apresentou como resposta um dos dados do problema. Ficou, assim, a dúvida se o aluno não refletiu sobre o resultado encontrado, ou se não compreendeu a razão da prova real, ou, ainda, se foi distração. De uma forma geral, observamos que, nos problemas com os números naturais, os alunos tiveram alguns erros persistentes de cálculo nas subtrações, já com os problemas que envolviam adição, não percebemos problemas. A maior parte dos alunos acertou na escolha da operação dos problemas, mesmo nos algébricos que são considerados mais difíceis, pois exigem o uso da operação inversa, não obstante, eles apresentaram bom desempenho. Tal desempenho por parte dos alunos influenciou de forma substancial na resolução de problema com os decimais, pois observamos que aqueles que acertaram os problemas com os números naturais também acertaram com os decimais, e alguns erros que foram cometidos nos problemas com os naturais também foram cometidos nos problemas com os decimais. Em relação a categoria, habilidade para modelar a situação do problema, vimos que, nos problemas aditivos com os decimais, os alunos tiveram 215 um desempenho satisfatório para modelar as situações problema, e isso, de certa forma, os ajudou a compreender melhor os problemas, pois já não faziam mais as tradicionais perguntas sobre qual seria a operação a ser usada. Essa facilidade em modelar as operações no campo dos decimais foi privilegiada pelos conhecimentos prévios dos alunos no campo dos naturais, uma vez que os alunos que dominavam essa habilidade no campo dos naturais não tiveram dificuldade em compreender a organização das sentenças no campo dos decimais. Em relação a categoria, habilidade para reconhecer a operação e usála corretamente nos problemas, percebemos pelo Quadro 7 que os índices de erros na escolha da operação foram pequenos nos problemas. Mesmo nos problemas que são considerados mais difíceis para os alunos, como os algébricos, observamos que os alunos apresentaram um bom desempenho ao escolherem as operações. Também percebemos que os alunos apresentaram poucos erros relacionados aos cálculos das operações, na comparação do pré- e pós-teste, os erros foram poucos. Acreditamos que esses erros estão mais relacionados à distração do que à falta de compreensão das operações com os decimais. Ressaltamos que o domínio da resolução de problemas no campo dos naturais foi importante para que os alunos tivessem um bom desempenho no campo dos decimais. 6.3 ANÁLISES DOS MULTIPLICATIVA RESULTADOS DOS TESTES DA ESTRUTURA Apresentaremos os resultados do desempenho dos alunos nos testes do campo multiplicativo, com os números naturais e decimais, analisando dentro das categorias de análise estabelecidas. 6.3.1. Habilidades com as operações Em relação a esta categoria, analisamos o desempenho dos alunos nos testes com os naturais e decimais. O quadro 17 apresenta o comparativo dos 216 resultados do pré- e pós-testes com decimais nas operações do campo multiplicativo. Destacamos que foi considerado como acerto o desenvolvimento correto do algoritmo, o acerto de cálculo e a colocação da vírgula do resultado. Durante a realização do teste, os alunos utilizaram a tabuada, a qual poderiam consultar sempre que fosse necessário, visto não estarmos avaliando esse conhecimento. Quadro 17 - Comparativo dos resultados dos testes do campo multiplicativo com decimais ACERTOS ERROS NÃO FEZ QUESTÃO OPERAÇÃO PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS Multiplicação de inteiro com decimal Multiplicação de decimais > 1 Multiplicação de decimais < 1 Divisão de inteiros Divisão de decimais(QCDI) Divisão de decimais(QCDF) A B C D E F % 41 % 76 % 50 % 24 % 9 % 00 9 53 82 41 9 00 00 56 91 35 9 00 00 59 59 6 38 6 32 91 24 6 44 3 3 32 38 65 59 3 Fonte: Teste dos alunos A questão A: 1,2 x 5 é uma multiplicação de um decimal por um inteiro, esperávamos que os alunos não tivessem problema em resolver essa operação. O índice de acerto no pré-teste foi de 41%. No pós-teste, o índice de acerto foi de 76%, considerado, portanto, bom. Os erros observados no pós-teste foram erros de cálculo ou de posicionamento da vírgula. Nessa questão, muitos alunos posicionaram a vírgula de forma errada, mas efetuaram corretamente a multiplicação. A questão B: 3,7 x 1,2 é uma multiplicação de dois decimais maiores que 1, o índice de acerto no pós-teste, de 53%. Muitos erros no pós- teste foram de cálculo e posicionamento da vírgula . Alguns alunos apresentaram dificuldade em realizar a multiplicação, como é possível perceber pelas respostas dos alunos A28 e A12, que não souberam utilizar corretamente o algoritmo, e isso foi observado 217 nas demais multiplicações realizadas por esses alunos. O aluno A18 colocou a vírgula no lugar errado. Figura 99- Resposta do A28 Figura 100- Resposta do A18 Figura 101- Resposta do A12 Fonte: Teste dos alunos. A questão C: 0,8 x 0,5 é uma multiplicação de decimais menores que 1, o índice de acertos no pós-teste foi de 56%. Esperávamos que os alunos tivessem dificuldade nessa questão por causa da multiplicação com os zeros. Os erros detectados no pós-teste foram nos cálculos com o zero, em que observamos que os alunos tiveram dificuldade para compreender esta multiplicação, outro erro recorrente foi no posicionamento da vírgula no resultado. Os estudos revisados Fischbein et al. (1986), Behr e Post (1992), Bell e Greer (1989) apontaram esse tipo de multiplicação como sendo difícil para os alunos. Os autores colocam que, ao estudarem a multiplicação dos números inteiros, os alunos criam misconceptions ou falsas generalizações, como a que multiplicar sempre implica aumentar, o que pode gerar algumas dificuldades para os alunos compreenderem que a multiplicação de dois decimais produz como resultado um número menor. Observamos ainda uma estratégia usada pelo aluno 218 A28 para resolver a multiplicação, e essa foi a adição repetida, o que parece demonstrar sua falta de domínio do algoritmo. Já o aluno A18 errou posicionamento da vírgula. Figura 102- Resposta do A18 Fonte: Teste dos alunos Figura 103- Resposta do A28 Fonte: Teste dos alunos A questão D: 7 ÷ 5 é uma divisão de inteiros que resulta em um decimal, no pós-teste, o índice de acerto foi razoável, 59%. Observamos que a maior parte dos erros ocorreram pois os alunos iniciavam a divisão mas não conseguiam finalizar, ou quando esqueciam de colocar a vírgula no quociente. Percebemos aqui uma dificuldade dos alunos em dividir com os números naturais, pois em alguns casos não conseguiram prosseguir com a divisão. Figura 104- Resposta do A21 Fonte: teste dos alunos Figura 105- Resposta do A26 Fonte: Teste dos alunos A questão E: 1,2 ÷ 0,6 é uma divisão de dois decimais com a mesma quantidade de casas decimais, no pós-teste, o índice de acerto foi de 91% e o índice de erro foi bem pequeno, alguns erros detectados foram na aplicação da regra para dividir decimais, como nas respostas dos alunos A8 e A11. O aluno A8 apesar de 219 retirar as virgulas não conseguiu realizar a divisão corretamente, e o A11 mostrou que desconhece totalmente a regra da divisão e dois decimais. Figura 106- Resposta do A8 Fonte: Teste dos alunos Figura 107- Resposta do A11 Fonte: Teste dos alunos A questão F: 0,24 ÷ 0,6 é uma divisão de dois decimais com a quantidade de casas decimais diferentes, assim, esperávamos que os alunos tivessem dificuldade nessa divisão, o que foi confirmado pelo resultado do pós-teste, 32% de acerto. Os erros cometidos estão relacionados ao esquecimento dos alunos de, inicialmente, igualarem as casas decimais para, depois, efetuarem a divisão. Segundo Bell et al. (1981), nesse tipo de divisão, os alunos tendem a fazer “evaporação das vírgulas”, sem prestarem atenção para o processo de igualar as casas decimais. Pareceu-nos que nem o processo conceitual dos números decimais nem o processual ficaram claros para os alunos, e podemos perceber isso pelas respostas dos alunos A26, A11 e A7. Figura 108- Resposta do A26 Fonte: Teste dos alunos O A26 igual as casas decimais, mas parece não perceber que ficou com a divisão de um número menor por outro maior. Parece que este tipo de divisão não faz sentido para os alunos. 220 Figura 109- Resposta do A11 Fonte: Teste dos alunos O A11 corta apenas um zero e faz uma divisão sem sentido. Mostrando total desconhecimento da operação e das regras para dividir decimais. Figura 110- Resposta do A7 Fonte: Teste dos alunos O A7 ignora a diferença entre as quantidades de casas decimais e realiza a divisão como se fosse uma divisão de decimais com quantidades de casas iguais. Em síntese, com essas análises, percebemos as dificuldades dos alunos com a multiplicação e a divisão. O processo dessas operações parece não ter sido construído no campo dos naturais, pois as respostas mostraram que os alunos não souberam realizar as operações, o que nos leva a concluir que uma das dificuldades desses alunos nas operações de multiplicação e divisão com os decimais está relacionada à fragilidade desse conhecimento no campo dos números naturais. O Quadro 18 mostra uma análise individual do desempenho dos alunos nessas operações nos dois campos numéricos. 221 Quadro 18: Desempenho dos alunos nas operações do campo os números naturais e decimais Multiplicação Multiplicação Divisão com com os com os números Alunos números Decimais naturais Naturais (A) 1,2 x 5 (E) 648 ÷ 6 (A) 74 x 23 (B) 3,7 x 1,2 (F) 672 ÷ 12 (B) 126 x 32 (C) 0,8 x 0,5 A1 A2 Acertou Acertou A3 A6 Errou as operações Acertou Acertou parcialmente Acertou A7 Acertou A8 Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou Acertou multiplicativo com Divisão com os decimais (D) 7 ÷ 5 (E) 1, 2 ÷ 0,6 (F) 0,24 ÷ 0,6 Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou Acertou Errou as operações Não fez Não fez Acertou Não fez Não fez Acertou parcialmente Não fez Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Domínio parcial Acertou Acertou parcialmente A12 Acertou parcialmente Errou as operações Acertou parcialmente Acertou A13 Acertou Acertou Acertou Acertou A14 Acertou A15 Acertou Acertou parcialmente Acertou A16 Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Não fez A17 A18 Acertou parcialmente Acertou A19 Acertou A20 Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Não fez A21 Acertou A4 A5 A9 A10 A11 Acertou parcialmente Errou as operações Não fez Acertou Errou as operações Errou as operações Não fez Não fez Acertou parcialmente Não fez Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Domínio parcial Acertou Errou as operações Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente, 222 A22 Acertou A23 A24 Acertou Errou A25 A26 A27 A28 Errou Acertou Acertou Acertou A29 A30 A31 A33 Acertou Acertou Domínio parcial Acertou parcialmente Acertou A34 A35 A36 A32 Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Errou Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Acertou Não fez Errou Errou Acertou Não fez Acertou Acertou Não fez Não fez Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Acertou Domínio parcial Errou Errou Acertou Acertou parcialmente Acertou Acertou Acertou parcialmente Domínio parcial Acertou parcialmente Acertou parcialmente Acertou Acertou parcialmente Fonte: Teste dos alunos. O aluno A3 errou as multiplicações e divisões, mas, nos problemas, acertou estas operações, acreditamos, portanto, que os erros estão relacionados ao tamanho dos números. O aluno A5, apesar de ter errado uma das multiplicações, conseguiu resolvê-las nos problemas propostos, mostrando ter domínio. Na divisão, não nos foi possível analisar o desempenho do aluno, uma vez que deixou as questões algorítmicas e os problemas que envolviam divisão em branco. O aluno A7 não apresentou domínios das operações no campo dos naturais, pois errou estas operações também nos problemas. A aluna A12, apesar de ter errado as questões de divisão, conseguiu resolver as divisões nos problemas. A aluna A18, apesar de não ter feito as questões de divisão nos sete problemas que envolviam essa operação, conseguiu acertar três dos problemas. O aluno A4 não resolveu as divisões com os naturais (648 ÷ 6 e 672÷12), mas resolveu as divisões com os decimais, acreditamos que isso ocorreu justamente porque os números decimais possuíam valores menores. 223 Quadro 19 - Comparativo do desempenho dos alunos nas operações do campo multiplicativo com números naturais e decimais Questões com os números naturais 74 x 23 % Acerto % Erros % em % Acerto % Erros 06 Questões com os números decimais 1,2 x 5 Branco 58 36 126 x 32 64 - % em 76 24 00 25 11 3,7 x 1,2 53 41 00 - - - 0,8 x 0,5 56 35 00 648 ÷ 6 19 50 31 7÷5 59 06 06 672 ÷ 12 31 28 41 1, 2 ÷ 0,6 91 06 03 - - - - 0,24 ÷ 0,6 32 65 03 Branco Fonte: Teste dos alunos. O quadro 19 nos apresenta o percentual de acertos das operações de multiplicação e divisão com os números naturais e decimais, no qual podemos constatar que em relação à multiplicação dos números naturais, observamos alguns erros recorrentes, cuja explicação nos parece ter mais a ver com distração do que com falta de conhecimento, pois os alunos esquecem de que, ao multiplicar o número que está na casa das dezenas, o resultado deve ficar na casa das dezenas. O desempenho dos alunos na multiplicação com os números decimais foi bom, mas observamos alguns erros relacionados a colocação da vírgula no resultado, alguns alunos a esqueceram e outros a posicionaram de forma errada, este tipo de erro é do tipo conceitual, pois o conceito de número decimal não ficou claro para o aluno. No desenvolvimento do algoritmo, os alunos apresentaram menos erros, mas aqueles que erraram na multiplicação dos naturais também erraram o algoritmo na multiplicação dos decimais. Na divisão dos números naturais, alguns alunos deixaram as questões em branco, outros apresentaram erros de tabuada, e outros iniciaram as divisões mas não conseguiram continuar. Acreditamos que isso ocorreu porque os números eram da ordem das centenas e isso parece ser difícil para os alunos, como afirma o estudo de Fischbein et al. (1986). A questão F, divisão que apresentava dois números no divisor, também foi outra dificuldade para os alunos. Percebemos que, 224 nos problemas que envolviam divisão, como os números eram “menores”, eles se mostraram mais fáceis para os alunos dividirem. A divisão dos números decimais apresentou erros na aplicação da regra, principalmente na questão F. Alguns alunos completavam as casas corretamente, mas erravam ao prosseguir na divisão, ao completarem as casas decimais, o dividendo ficava menor que o divisor, então, eles esqueciam o procedimento que deveriam usar ou não atentavam para isso. Esse tipo de divisão foi considerado difícil nos estudos revisados. De forma geral, entretanto, os alunos que acertaram as divisões com os naturais conseguiram ter um desempenho melhor na divisão com os decimais, visto que muitos erros ocorreram na aplicação das regras para a divisão dos decimais. Porém, quando os alunos aplicavam corretamente as regras conseguiam realizar a divisão. Observamos também que os alunos, nas divisões com os decimais, se saíram melhor. E isso se justifica porque os números apresentavam valores “pequenos” e eram mais fáceis, de tal forma que isso facilitou a divisão para os alunos. No problema 10, no entanto, que envolvia uma divisão com decimais com números de maior valor, os alunos tiveram mais dificuldade em realizar. Em suma, em relação a categoria, Habilidades com as operações, observamos muitas dificuldades dos alunos no posicionamento da vírgula no resultado da multiplicação, como também na realização das operações, de tal forma que nos pareceu que o sentido de número decimal não ficou claro para os alunos nessas operações. A multiplicação, dois decimais maiores que 1, ofereceu menor dificuldades para os alunos, do que a multiplicação de dois decimais menores que 1. Isso se dá porque os alunos tiveram dificuldade em entender os zeros que aparecem na parte inteira, o que os levou a respostas erradas. Percebemos uma quase paralisação do aluno quando se deparava com o zero, visto não saber o que fazer. Outro ponto de dificuldade observado, foi no desenvolvimento do algoritmo da multiplicação, todavia, percebemos que aqueles que dominavam o algoritmo da multiplicação com os naturais tiveram mais facilidade para aprender a multiplicação com os decimais. O uso das frações decimais para ensinar a multiplicação de dois decimais ajudou na justificação das regras, mas não favoreceu uma aprendizagem significativa para a operação de multiplicação dos decimais, talvez pelo pouco tempo que os alunos tiveram para desenvolver a 225 aprendizagem desse conhecimento. Estas dificuldades com o posicionamento da virgula no resultado também foi apontado no estudo de Roditi (2001), pois nas situações multiplicativas, os domínios das técnicas operatórias aparecem de forma bastante frágil, visto que não ter o domínio das técnicas incapacita o aluno para resolver a operação. Na divisão, tivemos resultados variados. Na divisão de dois inteiros resultando em um decimal, as dificuldades observadas foram no desenvolvimento da divisão, pois os alunos iniciavam, mas não conseguiam prosseguir a operação. Na divisão de dois decimais com quantidades de casas decimais iguais, observamos que os alunos não tiveram dificuldades, uma vez que mobilizaram seus conhecimentos dos números naturais e como os números eram de fácil manipulação os alunos não tiveram dificuldade para dividi-los. Na divisão de dois decimais com quantidades de casas decimais diferentes, os alunos esqueceram de igualar as casas decimais antes de efetuar a divisão. Durante a entrevista com alguns dos alunos que erraram esse tipo de divisão, percebemos que o erro do aluno tinha sido por distração, pois quando perguntamos o que estava errado na questão, após um tempo pensando, o aluno conseguiu corrigir a questão, outros porém, não sabiam o que deviam fazer, evidenciando, assim, que esse procedimento não tinha ficado claro ou que precisavam de mais tempo para aprendê-lo. Na divisão de inteiro por decimal ou de decimal por inteiro, as dificuldades foram maiores, mas, podemos salientar que os alunos que dominavam a operação de divisão com os números naturais tiveram mais facilidade para compreender esse tipo de divisão, além do que esse é um dos casos mais complexos para os alunos, o que foi apontado por alguns dos estudos revisados. Ressaltamos que, na divisão, muitos alunos utilizaram como estratégia a adição repetida, outros utilizaram a multiplicação para achar o número do quociente, além das subtrações sucessivas. Percebemos que os alunos que não tinham nenhuma estratégia para resolver as operações de divisão com os naturais não conseguiram efetuar as divisões com os decimais. Durante as atividades, os alunos que não tinham nenhuma estratégia de solução para a divisão foram ensinados a resolver as divisões com os naturais, esses alunos apresentaram no pós-teste um resultado um pouco melhor, pois tentaram resolver as questões, mas 226 tiveram alguns erros, mostrando que o domínio das operações no campo dos naturais era insuficiente. Uma das dificuldades observadas na operação de divisão, seja com os números naturais, seja como os decimais, se refere ao “tamanho” dos números, e isso foi apontado nos estudos de Fischbein et al. (1986) e Mendes (2012), ou seja, a dificuldade dos alunos em dividir com números na ordem das centenas e milhar. Pois os alunos conseguem iniciar a divisão, mas muitos deles sentem dificuldade em prosseguir com a mesma. De forma geral, percebemos que o conhecimento dos números naturais facilitou a aprendizagem das operações no campo dos decimais, visto que os alunos que dominavam a multiplicação e divisão dos números naturais tiveram melhor desempenho na multiplicação e divisão no campo dos decimais. E isso ocorre, segundo Ausubel (2003), porque no processo de assimilação da aprendizagem significativa existe a ancoragem seletiva do material de aprendizagem às ideias relevantes existentes na estrutura cognitiva do aluno. Esses resultados também mostraram que os alunos apresentavam um frágil conhecimento conceitual de número decimal, pois cometeram erros relacionados ao posicionamento da vírgula. E esta falta do conhecimento conceitual de certa forma interfere no desenvolvimento correto dos algoritmos das operações, pois segundo Hiebert e Lefevre (1987, p.8), ligações críticas entre conhecimento conceitual e processual não só evita esses casos de déficit de desenvolvimento, mas ambém contribui de muitas outras formas para o desenvolvimento de uma sólida base de conhecimentos. 6.3. Habilidades em modelar e reconhecer a operação no problema Em relação as categorias relacionadas a resolução de problemas: habilidades para modelar as situações problemas e habilidade para reconhecer a operação utilizada no problema, o quadro 20 apresenta os resultados do desempenho geral dos alunos nos problemas. Consideramos como acerto a escolha correta da operação e o desenvolvimento correto dos cálculos nas operações. 227 Quadro 20 - Comparativo dos resultados dos testes de decimais na resolução de problemas do campo multiplicativo ACERTOS % Problema Tipo de problema Operação utilizada 01 Aritmético 02 ERROS % Multiplicação Préteste 00 Pósteste 64 Préteste 88 Pósteste 36 Aritmético Multiplicação 06 44 71 56 03 Aritmético Multiplicação 00 62 68 38 04 Algébrico Divisão 12 82 76 18 05 Algébrico Divisão 03 47 76 53 06 Algébrico Divisão 15 82 59 18 07 Algébrico Divisão 00 44 68 56 08 Algébrico Divisão 03 14 62 80 09 Algébrico Divisão 03 15 47 76 10 Algébrico Divisão 00 26 41 65 Fonte: Teste dos alunos. No pré-teste, os alunos apresentaram muitos erros na escolha da operação e principalmente nos cálculos. Observamos que, no pré-teste, os alunos tiveram dificuldade em realizar a operação de multiplicação, pois não sabiam como desenvolver o algoritmo. No pós-teste, houve poucos erros na escolha da operação e percebemos uma melhora razoável em relação às operações; alguns erros foram no posicionamento da vírgula no resultado. O quadro 21 mostra os erros que foram detectados tanto no pré- quanto no pós-teste. 228 Quadro 21 – Tipos de erros na resolução dos problemas multiplicativos Erros na escolha da operação % PréPósteste teste Erros de cálculo % Erros de colocação da vírgula % PósPósTeste Teste Tipo de problema Operação Utilizada 01 Aritmético Multiplicação 38 09 74 24 06 02 Aritmético Multiplicação 44 06 59 06 38 03 Aritmético Multiplicação 47 06 50 15 21 04 Algébrico Divisão 71 09 38 15 - 05 Algébrico Divisão 59 29 38 32 03 06 Algébrico Divisão 41 15 32 12 03 07 Algébrico Divisão 26 09 47 41 06 08 Algébrico Divisão 35 18 44 74 03 09 Algébrico Divisão 41 18 29 68 - 10 Algébrico Divisão 32 24 29 41 - Préteste Fonte: Protocolo dos alunos. É importante salientarmos que, no pré-teste, quase todos os alunos que erraram na escolha da operação também erraram no cálculo da operação escolhida. No pré-teste, houve muitos erros de posicionamento de vírgula, assim, eles foram contabilizados junto com os erros de cálculo. Escolhemos mostrar o índice de erros de posicionamento da vírgula, separado dos erros de cálculo, somente no pós-teste, pois nesse, os alunos já haviam estudado a multiplicação dos decimais e poderíamos analisar os erros de forma mais detalhada. Observamos que os problemas que envolviam a multiplicação de dois decimais foram os que mais apresentaram erros de posicionamento da vírgula. Em relação aos erros de cálculos, os problemas 8 e 9 foram os mais difíceis para os alunos, pois envolviam a divisão de inteiro por decimal e decimal por inteiro, e esse tipo de divisão, além de ser considerada mais difícil para os alunos, foi pouco explorada nas atividades. Outro fator que podemos considerar como influenciador nos erros dos alunos é que esses problemas envolvem uma divisão como cotação, e foram considerados por Vergnaud (2009), Greer (1992), Fischbein et al, (1986) 229 como sendo problemas difíceis para os alunos por não fazerem parte da prática escolar. De forma geral, os alunos tiveram um bom desempenho na escolha das operações no pós-teste, pois o número de erros foi pequeno. Somente a questão 5 apresentou um alto número de erros. Todavia, mesmo escolhendo a operação correta, o número de erros dos alunos nos cálculos foi elevado. Esses erros se relacionavam ao desenvolvimento do algoritmo da multiplicação ou ao posicionamento da vírgula. Apresentamos, então, uma análise dos problemas e sua resolução pelos alunos. Questão 01 - Carla precisa comprar 6,5 metros de tecido para fazer uniformes para seus filhos. O metro do tecido custa R$ 4,25. Quanto Carla irá gastar? Esse é um problema aritmético, a sentença que o modela é: 6,5 x 4,25 = ? Esperávamos que os alunos tivessem dificuldade para desenvolver a operação de multiplicação de dois decimais, o que se confirmou. Tais dificuldades foram observadas durante as atividades e nas pesquisas anteriormente desenvolvidas por Jucá (2004, 2008). No pós-teste, os alunos tiveram um índice de acerto de 68%, considerado razoável para esse problema. Os erros detectados foram relacionados ao cálculo da operação, principalmente, no desenvolvimento do algoritmo da multiplicação. Entre os erros detectados, destacamos os dos alunos A9 e A16. Figura 111- Resposta do A9 Fonte: Teste dos alunos Tanto o A9 como o A16, tentaram organizar a adição dos resultados das multiplicações aplicando a regra da adição dos decimais, cometendo o erro no resultado final. 230 Figura 112- Resposta do A16 Fonte: Teste dos alunos. Percebemos que esses alunos não tinham o conhecimento da operação de multiplicação, pois além de não conseguirem desenvolver o algoritmo de forma correta, também não compreenderam o sentido dos décimos e centésimos nos números, posicionando a virgula no resultado de forma incorreta. Questão 02 - Debora encheu 8 garrafas de leite. Cada garrafa tinha a capacidade de 1,5 litros. Quantos litros de leite foram usados? Esse é um problema aritmético, a sentença que o modela é: 8 x 1,5 = ?. A operação que resolve o problema é uma multiplicação. No pós-teste, o desempenho dos alunos foi razoável, 44% de acerto, o índice de erro na escolha da operação foi pequeno. Tivemos muitos erros relacionados ao cálculo da multiplicação, à colocação inadequada e esquecimento da vírgula no resultado, como na resposta dos alunos A22 e A27. Percebemos que os alunos escreveram corretamente a sentença do problema, mas erraram a operação de multiplicação. Figura 113- Resposta do A22 Fonte: Teste dos alunos. 231 O aluno A27, apesar de ter acertado uma operação desse tipo na 1ª parte do pós-teste, efetuou a multiplicação de forma errada. Ele multiplicou corretamente 5 x 8 e levou o zero ao invés do 4, o que nos fez concluir tratar-se de um erro por distração. Figura 114- Resposta do A27 Fonte: Teste dos alunos. Questão 03 – Laura fez 3,5 kg de doce de leite. Ela pretende vender o quilo por R$ 2,25. Quanto Laura conseguirá apurar se vender todo o doce de leite? Esse é um problema aritmético, a sentença que o modela é: 8,5 x 3,75 = ?. Trata-se de um problema que envolve uma multiplicação. O índice de acerto no pós-teste foi de 62%, considerado razoável. Ocorreram poucos erros na escolha correta da operação a ser utilizada no problema, mas observamos muitos erros no desenvolvimento correto da operação, como mostram as respostas dos alunos A9 e A12. Figura 115- Resposta do A9 Fonte: Teste dos alunos. 232 Figura 116- Resposta do A12 Fonte: Teste dos alunos. Os problemas de 04 a 06, a seguir, são problemas de divisão como partição, problemas considerados fáceis por Vergnaud (2009) e Greer (1992) porque são utilizados com mais frequência na prática escolar. Questão 04 – Temos 2,8 litros de óleo. O óleo será colocado em latas iguais com capacidade para 0,7 litro. Quantas latas vão ser usadas? Esse é um problema algébrico, a sentença que o modela é ? x 0,7 = 2,8. Esse é um tipo de problema no qual se utiliza a operação inversa na sua resolução, nesse caso, a divisão de 2,8 por 0,7. Na classificação de Durval (2003), é um problema não congruente. Problemas assim foram considerados difíceis por alguns autores, como Sá (2003), Durval (2003), Nunes et al. (2007). No entanto, o índice de erros na escolha da operação no pós-teste foi baixo, somente nove alunos erraram. Observamos que o índice de acertos no pós-teste foi de 82%, considerado muito bom para a complexidade do problema. Tivemos poucos erros de cálculo, por se tratar da divisão de dois decimais com a mesma quantidade de casas decimais. Acreditamos que por ser um problema do tipo de divisão partição, mais comum para os alunos, o desempenho deles foi melhor. No entanto, verificamos alguns erros, como trocar de posição do dividendo e do divisor, sendo esse o caso do aluno A17, e erros no cálculo da divisão, como a resposta do aluno A11. 233 Figura 117- Resposta do A17 Fonte: Teste dos alunos O A17 trocou a posição do dividendo e divisor não compreendendo o significado do problema. Figura 118- Resposta do A11 Fonte: Teste dos alunos. Questão 05 – Tenho 7,5 metros de tecido para fazer uniformes. Vou gastar 1,25 metros em cada uniforme. Quantos uniformes poderei fazer? Esse é um problema algébrico, a sentença que o modela é: ? x 1,25 = 7,5. Este tipo de problema é considerado difícil para os alunos, pois se utiliza a operação inversa na sua resolução, neste caso a divisão. Os alunos deveriam dividir 7,5 por 1,25. O índice de acertos no pós-teste, foi razoável, 47%, contudo, o índice de erros ainda foi elevado 53%. Tivemos que 29% dos alunos erraram a escolha da operação. Em relação ao desenvolvimento da operação, é um tipo de divisão considerada difícil para os alunos, pois é a divisão de decimais com quantidades de casas decimais diferentes. Os alunos tinham que, inicialmente, igualar as casas decimais para, depois, efetuarem a divisão, mas acreditamos que muitos alunos esqueceram de assim proceder. Os erros foram relacionados ao desenvolvimento da operação de divisão ou na inversão do dividendo pelo divisor, 234 como no caso do aluno A4, que dividiu 1,25 por 7,5; outros conseguiram igualar as casas decimais, mas fizeram a divisão de forma incorreta, como o aluno A10. Figura 119- Resposta do A10 Fonte: Teste dos alunos. Figura 120- Resposta do A4 Fonte: Teste dos alunos. Questão 06 – José tem 2,5 litros de coca cola para colocar em copos de 0,5 litros. Quantos copos serão usados? Esse é um problema algébrico, a sentença que o modela é: ? x 0,5 = 2,5, exige a utilização da operação inversa, o aluno deveria fazer a divisão de 2,5 por 0,5. Esse também é um problema de divisão como partição, pois pede o valor da quantidade (conjunto de unidades). No pós-teste, o índice de acerto foi muito bom 82%. Acreditamos que esse problema foi relativamente fácil para os alunos, por se tratar de um problema de divisão como partição, comum na prática escolar, e também por ser uma divisão de decimais com quantidades de casas decimais iguais. Os erros na escolha da operação foram de 15%, no entanto, houve erros de cálculos como nas repostas dos alunos A8 e A2. O aluno A8, mesmo entendendo que bastava retirar a vírgula para dividir, não conseguiu fazer a divisão. 235 Figura 121- Resposta do A8 Fonte: Teste dos alunos. O aluno A2 inverteu dividendo e divisor, apesar de ter feito corretamente a sentença do problema. Figura 122- Resposta do A2 Fonte: teste dos alunos Os problemas de 07 a 10 são problemas que envolvem a divisão como cotação, considerados por Vergnaud (2009) e Greer (1992) um tipo de divisão difícil para os alunos. Esses problemas foram os que apontaram o maior índice de erros. Questão 07 – Foram distribuídos igualmente 9 quilos de arroz para 4 famílias. Quanto receberá cada família? Esse é um problema algébrico, a sentença que o modela é 4 x ? = 9. Exigia a utilização da operação inversa, uma divisão de dois inteiros, 9 por 4, que resultava em um decimal. Não houve acertos no pré-teste. O número de acertos no pós-teste foi razoável, 44%, tivemos apenas 9% de erros na escolha da operação. Em relação ao desenvolvimento correto da operação, a questão D, que exigia o mesmo tipo de divisão, os alunos mostraram um desempenho médio. Pareceu-nos que esse tipo de divisão não ficou claro para os alunos, observamos 236 um índice elevado de erros nos cálculos desse tipo de divisão. As respostas dos alunos A2 e A27 mostram que os alunos escolheram corretamente a operação, todavia, não dominaram o algoritmo da divisão para dar prosseguimento a operação. Figura 123 - Resposta do A2 Fonte: Protocolo dos alunos Figura 124 - Resposta do A27 Fonte: Protocolo dos alunos Questão 08 – Tenho 4,5 metros de tecido. Preciso cortar em 9 pedaços do mesmo tamanho. Quantos metros terá cada pedaço? Esse é um problema algébrico, a sentença que o modela é 9 x ? = 4,5. Exigia a utilização da operação inversa, a divisão de 4,5 por 9. No pós-teste, o índice de acerto foi de 12%, muito baixo. Os erros na escolha da operação foram somente de 18%. A maior parte dos erros 74% se relacionaram ao desenvolvimento da operação, e talvez isso se justifique por ser uma divisão difícil para os alunos, pois deveriam dividir um decimal por um inteiro. Alguns alunos fizeram a “evaporação da vírgula”, ao dividir 45 por 9 e não 4,5, esquecendo assim 237 de completar as casas decimais. Talvez o alto índice de erros se justifique porque esse tipo de divisão foi pouco explorado nas atividades da pesquisa. As respostas do aluno A27 mostra que ele esqueceu de igualar as casas decimais. Figura 125 - Resposta do A27 Fonte: Protocolo dos alunos. O aluno A3 resolveu o problema e apresentou primeiramente a resposta 3,5. Durante a entrevista individual com esse aluno, mostramos o teste e perguntamos se ele sabia o que estava errado na questão, ele não soube responder por que havia respondido daquele jeito. Então, pedimos que ele resolvesse novamente, e ele nos apresentou o resultado correto, que está ao lado esquerdo. Parece que o erro do aluno foi por distração e não por falta de conhecimento. Figura 126 - Resposta do A3 Fonte: Protocolo dos alunos Questão 09 – Carlos vendeu 25 bombons de cupuaçu e no final apurou R$ 12,50. Quanto custa um bombom? Esse problema é parecido com o problema 8. É um problema algébrico, a sentença que modela esse problema é 25 x ? = 12,50. E que exige a utilização 238 da operação inversa, neste caso a divisão de 12,50 por 25. O índice de acerto no pós-teste, foi de apenas 15%, ou seja, muito baixo. O índice de erros na escolha da operação foi apenas de 18%, mostrando que o maior índice de erros, 68% foi no desenvolvimento da operação. As mesmas dificuldades que apareceram no problema 8, apareceram nesse, pois os alunos tinham que dividir um decimal por um número inteiro, além do que era uma divisão com dois números no divisor (na ordem das dezenas), o que, no campo dos naturais, é uma divisão considerada difícil para os alunos. Talvez esse alto índice de erros se justifique pelo fato de os alunos terem feito poucas atividades com esse tipo de divisão. O Aluno A24 percebeu que precisaria igualar as casas decimais, mas não conseguiu prosseguir na divisão. Figura 127- Resposta do A24 Fonte: Protocolo dos alunos O aluno A26, simplesmente, ignorou as vírgulas e dividiu como se fosse uma operação com número naturais, mostrando que não compreendeu a regra da divisão de decimais. Figura 128- Resposta do A26 Fonte: Teste dos alunos 239 O aluno A29, durante a realização do pós-teste, errou a questão, pois esqueceu de igualar as casas decimais. Quando da entrevista individual, mostramos seus cálculos e perguntamos se ele sabia o que tinha feito de errado, após algum tempo pensando, respondeu que precisava completar com zeros. Pedimos que ele resolvesse novamente a questão, e ele fez o cálculo correto que está à direita. Sua estratégia de solução foi a adição repetida. Figura 129- Resposta do A29 Fonte: Teste dos alunos Questão 10 - Paulo comprou 5,5 quilogramas de carne e pagou R$ 31,24. Quanto custa um quilo de carne? Esse é um problema algébrico, a sentença que modela esse problema é 5,5 x ? = 31,24. O problema exigia a utilização da operação inversa, neste caso a divisão de 31, 24 por 5,5. No pós-teste, o índice de acerto foi de 26%, considerado baixo. Os erros na escolha da operação foram de 24%, considerado pequeno, o maior índice de erros está no desenvolvimento da operação, pois trata-se de uma operação difícil para os alunos, pois eles precisavam dominar o algoritmo da divisão no campo dos naturais para poder resolvê-lo. Observamos que os alunos iniciaram a operação aplicando corretamente as regras da divisão dos decimais, igualaram as casas decimais, retiraram as virgulas, mas não conseguiram prosseguir na divisão, por ser uma divisão na ordem das centenas. Como é o caso do aluno A24 que iniciou a divisão, mas não conseguiu prosseguir. 240 Figura 130- Resposta do A24 Fonte: Teste dos alunos. O aluno A26 conseguiu modelar o problema e escolher corretamente a operação, mas não conseguiu utiliza-la corretamente para resolver o problema. Figura 131- Resposta do A26 Fonte: Teste dos alunos. Observamos que o aluno A29 trocou o dividendo pelo divisor, de tal forma que concluímos que o aluno demonstrou não possuir a compreensão do problema, pois na sentença ele inverteu os valores. Figura 132 - Resposta do A29 Fonte: Teste dos alunos. 241 O aluno A33, durante o pós-teste apresentou a resposta 5,0 para o problema e, no decurso da entrevista individual, mostramos seus cálculos e perguntamos se saberia resolver a divisão. O aluno disse que sim, e apresentou o cálculo que está à direita, com a resposta 5,68, que é a correta. Observamos como ele resolvia a questão e as estratégias de cálculo que utilizava, vimos que usou a adição repetida e subtrações sucessivas para poder realizar a divisão. Isso comprova que os alunos que têm algum tipo de estratégia para a divisão com os naturais conseguem ter um desempenho melhor com os decimais. Figura 133 - Resposta do A33 Fonte: Teste dos alunos. Figura 134 - Estratégia do A33 Fonte: Teste dos alunos. Apresentamos no quadro 22 um comparativo do desempenho dos 36 alunos na resolução de problemas com os números naturais e decimais, destacando seus erros. 242 Quadro 22 – Desempenho dos alunos na resolução dos problemas do campo multiplicativo com números naturais e decimais Alunos Problemas com números naturais Erros na escolha da operação nos problemas 3,4,5,6. Não conseguiu resolver a divisão dos problemas 8, 9, 10. A2 Erros no cálculo de divisão no problema 1 e 6. Erros nos cálculos dos problemas de 6 a 10. A3 Erros na escolha da operação no problema 3, e cálculo de divisão no problema 6. Erros na divisão do problema 1 e 3. Não fez 2, 5, 6. Acertou A1 A4 A5 Só fez os problemas 2 e 4 A6 A7 Não fez. Erros na escolha das operações e cálculo em todos os problemas. Somente acertou o problema 1. Erros na escolha da operação e cálculo de todos os problemas. Erros na escolha da operação e cálculo nos problemas 1 e 3. Não fez 4,5,6. Erros na escolha da operação no problema 2, não conseguiu fazer a divisão do 6, não fez o 4. Erros na escolha da operação e nos cálculos dos problemas 1, 3, 4,5,6. A8 A9 A10 A11 A12 Acertou A13 Acertou A14 Erros na escolha da operação e no cálculo de todos os problemas. A15 A16 A17 Acertou Erros na escolha da operação e cálculo no problema 2. Erros na escolha de operação no 4,5,6. Problemas com números decimais Errou na escolha da operação e cálculo no problema 1. Nos problemas 5,7, 8, 9,10 não conseguiu efetuar as divisões. Erros na divisão no problema 7. Erros nas divisões do 5,8,9,10. Erros na escolha da operação no problema 1, 5, 9,10. Erros de cálculo de divisão no 7 e 8. Erros na escolha de operação nos problemas 2,5,9,10. Erros na divisão no 4 e 6. Erros de cálculo nos problemas 1,2,3,7 mas errou os cálculos. Não fez o 10. Erros escolha de operação nos problemas 5,8,9. Erros de cálculo no 5, 8, 9. Erros na escolha da operação e nos cálculos dos problemas 2,3,5,6, 8, 9,10. Erros de cálculo de multiplicação nos problemas 1,2 e divisão no 8,9,10. Erros no cálculo das divisões dos problemas 8 e 9. Erros na escolha da operação e cálculo no 3 e 10.Errou a divisão no 7. Não fez 8 e 9 Erros de cálculo das divisões no 8 e 9. Erros na escolha de operação no 5, 7, 9 e 10. Errou divisão no 8. Erros de cálculo no 4 e 10. 243 Erros nos cálculos do 1,2 e 3. A18 Erros na escolha da operação do 6. Não fez o 3 e 5. A19 Não fez o 3, 5 e 6. A20 Erros de cálculo no problema 8. não fez os cálculos dos problemas 9 e 10. Erros de escolha da operação nos problemas 5 e 8. Erros de cálculo no 7, não fez o 10. Erros cálculo no 8 e 9 A22 Erros na escolha da operação nos problemas 3, 5,6. Erros de cálculo no 1. Erros na escolha da operação dos problemas 1,5,6. Erros de cálculo no 2 e 5 A23 Acertou A24 Erros na escolha da operação e cálculo no 3,4, 5,6. Não fez o 1. Erros nas divisões do 5,8, 9, 10. A25 Erros na escolha da operação e no cálculo dos problemas. Erros na escolha da operação em todos os problemas. Erros o cálculo e na escolha das operações dos problemas 3,5,6. Erros na escolha da operação e no cálculo do 4,5,6. Erros de cálculo no 1 Acertou Erros na escolha da operação como os cálculos de todos os problemas. Erros na escolha da operação e nos cálculos nos problemas 1, 5, 6, 7, 8. Erros o cálculo da divisão do problema 7 e 8. Erros na escolha da operação e cálculo de todos os problemas de 4 a 10. Erros de cálculo no 1 e 3. Acertou Acertou Erros na escolha da operação e nos cálculos dos problemas 1,3,4,5,6. Erros na escolha da operação no 1 e 4. Não fez a divisão no 6. Acertou Erros de cálculo nos 1, 2, 3, 7, 8, 10. A33 A34 A35 Não fez os problemas 2,4,5,6. Acertou Acertou Erros na divisão do 8, 9, 10. Erros na divisão do 8 e 9. Acertou A36 Não fez. Erros na divisão do 5, 8 e 9. A21 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32 Somente não fez o problema 10. Erros de cálculos nos problemas 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10. Acertou Erros na divisão do 7, 8, 9,10. Fonte: Teste dos alunos. Em relação a categoria, habilidade para modelar a situação do problema, os alunos que optaram por fazer a modelação dos problemas apresentaram um melhor desempenho, uma vez que conseguiram refletir sobre a operação que deveriam utilizar, os que não fizeram a sentença ou não conseguiram 244 fazer apresentaram mais erros na escolha da operação. Sendo assim, a atividade da resolução de problemas, por meio da modelação do problema, apresentou bons resultados. Em relação a categoria, habilidade para reconhecer a operação que resolve o problema e utilizá-la corretamente, observou-se que o índice de erros na escolha da operação foi pequeno. Percebemos que no pré-teste os alunos apresentaram um maior índice de erros na escolha da operação, e que no pós-teste houve uma melhora significativa. Nos problemas que envolviam multiplicação, o índice de acerto foi razoável, detectando-se poucos erros na escolha da operação que resolvia os problemas, e mais erros na utilização correta da operação, pois houve alguns erros de cálculo e principalmente de posicionamento de vírgula no resultado. Nos problemas que envolviam uma divisão, o índice de acertos foi razoável, os erros na escolha da operação não foram muito acentuados, destacando-se mais o índice de erros no desenvolvimento das operações, percebeu-se que o maior índice de erros foi na divisão de decimal e inteiro e de dois decimais com quantidades de casas decimais diferentes. Em algumas situações, acreditamos que o erro tenha acontecido devido ao esquecimento, pois, na entrevista realizada com alguns alunos após o pós-teste, observamos que eles perceberam o erro e demonstraram saber como efetuar o algoritmo. Percebemos que os alunos que dominavam o algoritmo da divisão com naturais conseguiram resolver o problema 10, considerado o mais difícil, por exigir divisões sucessivas. Outros alunos iniciaram a divisão, encontraram o primeiro valor, mas não conseguiram prosseguir por desconhecerem como fazê-lo, conforme relataram durante a entrevista. De forma geral, acreditamos que os alunos tiveram um desempenho razoável na utilização da operação no problema, mas poucos alunos se preocuparam em revisar seus cálculos e confirmar seus resultados. Em síntese, podemos notar que na resolução de problemas multiplicativos no campo dos números naturais os alunos apresentaram dificuldade na escolha da operação e em efetuar as operações de multiplicação e principalmente de divisão. No campo dos decimais, os resultados na escolha da operação tiveram uma melhora significativa, e isso se justifica porque, antes de trabalharmos problemas com os decimais, trabalhamos a resolução de problemas 245 com os números naturais, de tal forma que os alunos puderam tirar dúvidas e avançar um pouco mais nesse conhecimento. Realizamos uma análise geral dos alunos dentro das categorias estabelecidas, levando em consideração as análises do campo aditivo (C.A) e multiplicativo (C.M). Quadro 23 - Habilidades dos alunos na resolução de problemas com os decimais Alunos A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32 A33 A34 A35 A36 Habilidade com as operações Sim Sim Sim Sim Sim Sim Não Parcial no C. M Não Sim Sim Sim Sim Não Parcial no C. M Sim Parcial no C.M Não Parcial no C. M Sim Parcial no C.M Não no C.M Sim Parcial no C.M Não Parcial no C. M Sim Não no C. M Sim Sim Parcial no C. M Parcial no C.M Parcial no C.M Sim Sim Parcial no C.M Fonte: Teste dos alunos Habilidade reconhecer Habilidade para a operação utilizada modelar o problema no problema Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Parcial Parcial Parcial Parcial Sim Sim Sim no C.A. Sim no C.A. Sim Sim Sim Sim Parcial Parcial Sim Sim Parcial no C. M Parcial no C. M Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Não Não Não Não Sim Sim Não no C.M Não no C.M Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim 246 Os resultados do Quadro 23 mostram que os alunos que conseguiram ter um bom desempenho nas operações, na modelação do problema e na escolha da operação, também tiveram sucesso com o desenvolvimento da operação dentro do problema; não obstante, os alunos que tiveram desempenho parcial nas operações, mesmo que tenham acertado a escolha operação, tiveram resultado parcial na utilização da operação dentro do problema. Esses resultados parecem confirmar o que foi apontado no estudo de Hiebert e Wearne (1988), sobre os conhecimentos conceituais e processuais dos alunos. Segundo esses autores, uma explicação para o mau desempenho dos alunos seria que eles são levados a memorizar um grande número de regras de manipulação de símbolos que têm pouco conteúdo conceitual para eles. Sem significado conceitual para apoiar as regras, elas são frequentemente esquecidas ou distorcidas e rigidamente aplicadas. Nesse caso, os alunos podem verificar uma resposta apenas por reexecutar uma regra, mas não por avaliar a razoabilidade da solução. Concordamos com Hiebert e Lefevre (1986, p. 21), segundo o qual, embora as habilidades processuais rotineiras sejam essenciais para a resolução de problemas, o conhecimento conceitual é necessário para se obter a estabilidade e eficácia de procedimentos. Nas análises das respostas, os alunos tiveram erros processuais nas operações, de tal forma que nos pareceu que os conhecimentos conceituais de números decimais não foram apreendidos pelos alunos, mostrando com isso que as atividades utilizadas para esse fim não foram potencialmente adequadas, e que o tempo não foi sufiente para que essa aprendizagem se estabilizasse. 247 6.5 DISCUSSÕES GERAIS DOS RESULTADOS De forma geral, foi-nos possível inferir que as atividades de resolução de problemas, tanto do campo aditivo como do campo multiplicativo, tiveram resultados satisfatórios, pois a maior parte dos alunos conseguiu representar por uma sentença a situação apresentada no problema e identificar a operação que deveria ser utilizada. No pré-teste, não percebemos nenhuma estratégia diferente dos alunos para resolver os problemas. Mesmo que as questões estivessem relacionadas a fatos do cotidiano, não houve estratégias diferentes dos formais algoritmos que aprenderam na escola. Apenas uma aluna apresentou uma sentença diferente da que foi trabalhada nas atividades de resolução de problemas. No pós-teste, entretanto, observamos que, em alguns momentos, os alunos mobilizaram as estratégias que haviam visto nas atividades para tentarem responder as questões, uma vez que procuraram escrever as sentenças dos problemas da forma como haviam feito nas atividades de resolução de problemas. O desempenho dos alunos com as operações do campo aditivo foi melhor. Porém, o desempenho no campo multiplicativo continuou a mostrar-se difíceis para os alunos desenvolverem. Diferentemente dos trabalhos anteriores de Jucá (2004, 2008), pareceu-nos que o fato de termos optado em trabalhar com as frações decimais nas atividades não ajudou na compreensão das regras das operações de multiplicação e divisão, pois houve muitos erros de posicionamento da vírgula na multiplicação e no desenvolvimento da divisão no teste. Pelo visto, os alunos não conseguiram perceber a relação entre multiplicação e divisão dos decimais com a multiplicação e divisão das frações decimais, talvez o pouco tempo dado à atividade possa ter influenciado no processo de aprendizagem. Sendo assim, inferimos que as dificuldades nestas operações foram relacionadas mais à falta de compreensão conceitual dos decimais do que à questão processual. Outra situação observada, foi que nos problemas que envolvia uma multiplicação, alguns alunos utilizaram a adição repetida para resolver as questões, assim como nas questões que envolviam uma divisão, mas, em alguns casos, essa estratégia era abandonada porque os alunos perceberam que não levava a uma resposta satisfatória. Por não saber realizar o algoritmo da multiplicação e divisão 248 os alunos optaram pela modelo da adição repetidas citado por Fischbein et al (1986) como sendo o modelo implícito da multiplicação. Isso posto, observamos que a fragilidade conceitual sobre decimais pode ter levado os alunos às dificuldades com as operações. Pois os estudos de Brousseau (1980, 1981, 1987, 1998), Perrin Glorian (1986), Padovan (2000), Biachinni (2001), Cunha (2002), e Vieira(2005), Fonseca (2005), Silva (2006), Roditi (2007), Mestre (2009), Mendes (2012), Şengül e Gülbağcl (2012) apontaram que a deficiência conceitual de número decimal pode levar as dificuldades com as operações, e sugerem uma forte construção conceitual dos decimais antes de trabalhar as operações e a resolução de problemas. Para Hiebert e Wearne (1988), o conhecimento conceitual é essencial e, sem ele, os alunos são levados a memorizar as regras processuais que aplicam de forma inadequada e isso ocorre porque os alunos não possuem significado conceitual para apoiar as regras que utilizam. E isso corrobora os resultados obtidos neste e em outros trabalhos. Assim, conforme Hiebert e Wearne (1988, p.3), se tornar competente com números decimais é se tornar competente com um novo sistema de símbolos, no contexto de outros sistemas que possam apoiar o desenvolvimento de tais competências. A ausência de relações entre conceitos e procedimentos é tão extensa e profunda que os dois tipos de conhecimentos poderiam ser caracterizados como constituindo dois mundos mentais distintos. Diante desse quadro e das análise dos resultados, podemos concluir que para que os alunos possam ter competências para resolver problemas com os números decimais, é necessário desenvolver habilidades com as operações, habilidades para modelar a situação do problema e habilidade para reconhecer e utilizar a operação na resolução do problema, visto que os alunos, desta pesquisa, que apresentaram tais habilidades tiveram um desempenho melhor na resolução dos problemas. Em vista disso, defendemos que, para que os alunos possam apresentar competência para resolver problemas aritméticos, eles devem possuir certos conhecimentos e habilidades. E que tanto os conhecimentos conceituais e processuais são necessários para o desenvolvimento dessas habilidades. Apoiados nos estudos de Ausubel (2003) e Vergnaud (1990, 2009b) sobre a importância do conhecimento conceitual para uma aprendizagem efetiva, defendemos que o conhecimento conceitual dos decimais estabelece relações com 249 as competências dos números naturais e das frações decimais, além do conhecimento processual, visto conter as habilidades necessárias para desenvolver competência com as operações e na resolução de problemas. Como a estrutura curricular da Educação básica e a Matriz de Referência de Matemática do Sistema de Avaliação da Educação Básica – Saeb é pautada em competências e habilidades, fomos buscar um significado para cada uma delas. Segundo o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisa Educacional – INEP. Competências são as modalidades estruturais da inteligência, ou melhor, ações e operações que utilizamos para estabelecer relações com e entre objetos, situações, fenômenos e pessoas que desejamos conhecer. As habilidades decorrem das competências adquiridas e referem-se ao plano imediato do ‘saber fazer’. Por meio das ações e operações, as habilidades aperfeiçoam-se e articulam-se, possibilitando nova reorganização das competências (INEP, 1999, p.7). Sendo assim, competências são aqui entendidas como um conjunto de habilidades para alcançar um objetivo. Partindo desse pressuposto, e a partir das análises dos resultados, vislumbramos um modelo que cumula para um campo de competência para resolver problemas com os decimais. A competência plena se desenvolve quando os alunos atingem cada uma das habilidades necessárias. O modelo apresentado está pautado no conhecimento conceitual e processual, que vai gerar habilidades, tais como: (1) habilidade com as operações; (2) habilidade para modelar as sentenças que representam a situação do problema; (3) habilidade para reconhecer a operação que resolve o problema; (4) habilidade para utilizar a operação no problema. De tal sorte que o modelo que segue mostra as relações que são estabelecidas entre essas habilidades para o desenvolvimento do campo de competência desejada. 250 Figura 135 - Modelo do campo de competência para a resolução de problemas com os decimais Situação com os decimais Conhecimento Processual Conhecimento Conceitual Competência com os números Naturais Competência com Frações decimais Competência com os números decimais Habilidade com as operações Habilidade em Modelar o problema Habilidade em reconhecer a operação Competência em resolver problema Fonte: Modelo nosso. Consideramos o conceito de situação apresentada neste modelo, como sendo o de tarefa, abordado por Vergnaud (1990, p.23), ou seja, uma situação complexa pode ser analisada como uma combinação de tarefas “[...] cuja natureza e dificuldades específicas devem ser bem conhecidas”. A partir de uma situação (uma tarefa) com os decimais, dois conhecimentos são mobilizados, o conceitual e o processual. O conhecimento conceitual é o nível 1 e o conhecimento processual é e o nível 2. A partir de uma dada situação, os conhecimentos conceituais e processuais estabelecem uma relação de complementariedade, de tal forma que 251 ambos os conhecimentos são necessários para o desenvolvimento de uma aprendizagem efetiva com os decimais. O modelo apresenta um caráter sequencial, pois, para atingir os objetivos inerentes a um determinado subnível, é necessário que o aluno já tenha se apropriado das estratégias dos subníveis anteriores. No nível 1, temos o conhecimento conceitual que envolve dois subníveis, a que chamamos de subnível A, conhecimento de números naturais; e subnível B, conhecimento das frações decimais. A composição do conhecimento conceitual tem como base as ideias expostas por Hiebert e Levefre (1987) e a compreensão de sentido de número defendido por McIntosh (1992). O subnível A, compreende competência com os números naturais, corresponde ao conhecimento do sistema de posição decimal, ao conhecimento e habilidade com as operações, habilidade com os algoritmos formais, e a resolução de problemas. O subnível B, compreende competência com as frações decimais, corresponde à compreensão da fração decimal e sua representação decimal, compreensão do sentido das operações, habilidade em realizar as operações com as frações decimais. Este conhecimento com as frações decimais também é defendido por Hiebert e Wearne (1988) e Behr e Post (1992), que sustentam que as frações decimais são necessários para a aprendizagem dos números decimais. Além disso, as frações decimais estão relacionadas a questões históricas e epistemológicas dos decimais, de tal forma que seu conhecimento é importante para a aprendizagem dos decimais. Em suma, a compreensão das operações com os números naturais facilita a compreensão das operações e dos algoritmos das operações no campo dos decimais, uma vez que essa ampliação das operações com os números naturais aos números decimais evitaria ao aluno a criação de equívocos conceituais relacionados à multiplicação e divisão, os quais já foram apontados anteriormente nos estudos revisados, assim como a compreensão das operações com as frações decimais leva à compreensão das regras utilizadas nas operações com os números decimais (décimos adicionados a décimos, décimos multiplicados por décimos resulta em centésimos etc.). Essa competência com os números decimais envolve tanto o conhecimento conceitual desses números como a habilidades nas operações. 252 No nível 2, temos o conhecimento processual. Esse nível envolve três subníveis: subnível A, habilidades com as operações; subnível B, habilidades em modelar o problema; e subnível C, habilidade em reconhecer e utilizar corretamente a operação no problema. Para composição deste conhecimento utilizamos as ideias de conhecimento processual exposto por Hiebert e Levefre (1987), e o sentido de operação defendido por MacIntosh (1992) e Slavit (1999). O subnível A, habilidades com as operações, está implicitamente relacionado ao conhecimento conceitual e corresponde à habilidade dos alunos em terem domínio dos procedimentos das operações com os números decimais, aplicarem corretamente as regras das operações e terem compreensão dessas. No subnível B, habilidades em modelar o problema, os alunos precisam desenvolver habilidades para lidar com os problemas aritméticos e algébricos, classificados por Sá (2003), pois é nesse nível que está a maior dificuldade dos alunos, porque, dependendo da estrutura semântica dos problemas, esses podem exigir ou não a utilização da operação inversa. Convém-nos evidenciar que os alunos, uma vez que tenham desenvolvido a habilidade do subnível B, podem, ao longo do tempo, ultrapassar esse nível e ir direto para o nível C, já que conseguirão escolher a operação sem precisar fazer a modelação do problema. Nesse caso, o aluno terá conseguido construir uma estrutura cognitiva para avançar no processo. O subnível C, neste subnível agrupamos duas habilidades, quais sejam, habilidades em reconhecer o problema e habilidade em utilizar corretamente a operação para resolver o problema, visto que a habilidade com as operações, não necessariamente conduz o aluno a utilizá-la correntemente para resolver um problema. A habilidade para reconhecer a operação, compreende a capacidade de reconhecer a operação que deve ser usada no problema e raciocinar sobre o efeito da operação no problema; corresponde ao momento do conhecimento processual no qual o aluno já possui estrutura cognitiva para compreender se os resultados obtidos são eficazes para a resolução do problema. E para isso pode utilizar estratégias para verificação dos resultados, evitando assim resultados absurdos. No entanto, isso somente ocorrerá se o aluno tiver compreensão dos conhecimentos processual e conceitual. Para concluir, o desenvolvimento dessas habilidades levaria o aluno a desenvolver um campo de competência em resolver problemas com os decimais. Pois entendemos que essas habilidades estão relacionadas entre si e se 253 complementam. De tal forma que somente o domínio de uma dessas habilidade não garante a resolução do problema. As análises dos resultados confirmaram tal afirmação, pois os alunos que dominavam as operações, mas que não tinham as demais habilidades, não conseguiram resolver os problemas. Assim como os alunos que conseguiram escolher corretamente a operação, mas que não tinham domínio das operações, também não tiveram sucesso nos problemas. Os alunos que dominavam as operações e acertaram a escolha da operação no problema não conseguiram usar corretamente a operação no problema, pois não raciocinaram sobre seus resultados e deram uma resposta absurda 254 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS Com o presente trabalho, tivemos o objetivo de Investigar o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolver problemas aritméticos com os números decimais, no campo aditivo e multiplicativo, e queríamos responder à seguinte questão de pesquisa: Qual o campo de competência que os alunos do 6º ano do ensino fundamental devem possuir para resolver problemas com os números decimais? Dessa forma, com a presente investigação, buscamos defender que os alunos precisam adquirir competência para resolver problemas com números decimais e que essas competências estão relacionadas aos conhecimentos com os números naturais, visto que defendermos que tais conhecimentos são subsunçores para a aprendizagem dos decimais. Segundo Ausubel (2003, p.3), a aprendizagem potencialmente significativa se relaciona e interage com ideias relevantes existentes na estrutura cognitiva. De tal sorte que se os alunos tiverem conhecimento suficiente das operações no campo dos naturais, tais conhecimentos poderão ser estendidos para a aprendizagem das operações com os decimais, e nessa nova aprendizagem podem ser mostradas as diferenças existentes entre o campo dos números naturais e decimais, explorando propriedades que se aplicam a um campo numérico, mas que não se aplicam a outro, e isso possibilitaria uma ampliação das ideias do campo numérico dos naturais e dos decimais. Segundo Moreira (2011, p. 26), a clareza, a estabilidade e a organização do conhecimento prévio em um dado corpo de conhecimentos é o que mais influencia a aquisição de um novo conhecimento. Trata-se de um processo interativo, no qual o novo conhecimento ganha significados, se integra e se diferencia em relação ao já existente, que, por sua vez, adquire novos significados, fica mais estável, mais diferenciado e mais rico. Esse tipo de interação entre o antigo e novo conhecimento evitaria os obstáculos didáticos que os números naturais impõem aos números decimais e que foram expostos em alguns dos estudos revisados, entre eles, o de Brousseau (1981, 2004). Observamos, no currículo escolar, a existência de uma espécie de “empacotamento” dos conteúdos que não permite que os conhecimentos anteriormente trabalhados sejam relacionados ao novo conhecimento a ser 255 aprendido. Porém, é importante ressaltarmos que esse “empacotamento” dos conteúdos não acontece na estrutura cognitiva dos alunos, porque eles tendem a transferir os conhecimentos previamente adquiridos para o novo conhecimento, e, dessa forma, sem um esclarecimento necessário das devidas diferenças e limitações dos conhecimentos em questão, surgem os obstáculos de aprendizagem. As realizações das atividades das operações proporcionaram aos alunos a oportunidade de construírem o seu conhecimento com os decimais na aprendizagem das operações formais e dos procedimentos. E as atividades de resolução de problema, permitiram aos alunos compreender a modelação de um problema e desempenharam funções importantes de apoio ao raciocínio da escolha correta da operação. Apesar das atividades desenvolvidas terem potencial de ensino, precisamos pensar em atividades que trabalhem melhor o aspecto conceitual dos decimais, pois percebemos muitos erros relacionados a esse aspecto. Outro ponto a destacar relaciona-se ao fato de que seria necessário um tempo maior para que as atividades da multiplicação e divisão de decimais fossem melhor desenvolvidas, pois, durante as atividades, percebemos um bom resultado dos alunos, todavia, não houve um tempo hábil para que o conhecimento novo fosse bem assimilado. Nesse caso, o pouco tempo foi um dos fatores que influenciaram no resultado do desempenho dos alunos em relação às atividades do campo multiplicativo, principalmente na resolução dos problemas. Em relação às operações com os decimais, observamos que, durante o desenvolvimento das atividades para construir as regras das operações com os decimais, os conhecimentos e habilidades dos alunos com as operações com os números naturais favoreceu a aprendizagem das operações com os números decimais, visto que os alunos que não possuíam tais habilidades com as operações com os naturais tiveram dificuldade para construir e compreender as regras das operações com os decimais, o que veio confirmar as observações do estudo Jucá (2008). Sobre as atividades de resolução de problemas, observamos que, no desenvolvimento das atividades, os alunos conseguiram ter um bom desempenho na resolução dos problemas aditivos com os decimais, porque tinham um bom desempenho com os problemas com os naturais. Entretanto, nos problemas multiplicativos, o desempenho dos alunos em resolver os problemas com os 256 decimais não foi tão bom, visto que os alunos também apresentaram dificuldade em resolver problemas com os números naturais, e, nesse caso, a dificuldade estava na falta de habilidade com as operações com os naturais. Assim sendo, nesta pesquisa, percebemos que o conhecimento dos números naturais influenciou de forma significativa a aprendizagem dos números decimais, pois os alunos que tinham habilidade nas operações e na resolução de problemas com os naturais não apresentaram dificuldade em aprender as operações e resolver problemas com os decimais. De posse de tais resultados, inferimos que a competência para resolver problemas com os decimais é que os alunos inicialmente tenham competência com os números naturais, e isso envolve habilidades com as operações e com a resolução de problemas. Destacamos aqui, que outras competências são necessárias para resolver problemas com os decimais, como as competências do conhecimento conceitual e processual. Percebemos que essas duas competências estão interligadas de tal forma que ambas se completam, o conhecimento conceitual é necessário para que os alunos possam compreender o porquê das regras e procedimentos que utilizam, assim como o conhecimento processual é necessário para que os alunos possam entender os conceitos envolvidos nos processos de resolução. Conforme dispõe Ausubel (2003), os conceitos constituem um aspecto importante da teoria da assimilação, pois a compreensão e a resolução significativas de problemas dependem amplamente da disponibilidade de conceitos subordinantes e de conceitos subordinados. Em vista dos resultados obtidos, desenvolvemos um modelo que representa um campo de competência para que os alunos possam resolver problemas com os números decimais, quais sejam: (1) habilidade com as operações; (2) habilidade para modelar o problema; (3) habilidade para reconhecer e utilizar a operação corretamente no problema. Sendo assim, se os alunos adquirirem tais habilidades terão competência para resolver os problemas com os decimais, seja no campo aditivo como no multiplicativo. É oportuno ressaltarmos que os problemas trabalhados nesta investigação pertencem à classificação de Vergnaud (2009): transformação de medida e comparação de duas medidas, no campo aditivo; e isomorfismo de medida no campo multiplicativo. Sendo assim, deste estudo, emerge um conjunto de sugestões relativas a outras pesquisas que podem ser desenvolvidas no campo 257 dos números decimais, como investigar o desempenho dos alunos em problemas com decimais nas demais categorias propostas por Vergnaud ou investigar a potencialidade do trabalho das frações decimais no ensino dos números decimais, principalmente no que se refere às operações. 258 REFERÊNCIAS ALVES, B. & GOMES, A. Operações com números decimais: o conhecimento dos professores do 1º ano do C.E.B. 2007. Disponível em www.apm.pt/files/_co_Alves_Gomes_4871295e5f03d.pd. Acesso em dezembro de 2013. AUSUBEL, D. P. Aquisição e retenção de conhecimentos: uma perspectiva cognitiva. Lisboa: Paralelo Editora, 2003. BELL, A.; SWAN, M.; TAYLOR, G. Choice of operation in verbal problems with decimal numbers. IN: Education studies in mathematics. V. 12, 399-420p. 1981. BEHR, M. & POST, T. Teaching rational number and decimal concepts. In: POST, T. 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Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 2005. 263 APÊNDICES 264 APÊNDICE A- Teste (pré- e pós-) aditivo com os números decimais 1ª parte: arme e resolva as operações: A)1,23 + 3,55 B)3,7 + 0,34 C) 8 + 3,5 D) 7,9 – 2,5 E) 8,34 – 2, 07 F) 6 – 1,26 2ª parte: resolva os problemas Questão 01- Lucia possuía 80,50 m de fitas e gastou 40,30m das fitas em um vestido. Quanto de fita Lucia possui agora? Questão 02 - Maria comprou um caderno por R$ 7,50 e ficou com R$ 18 reais. Quanto ela possuía antes? Questão 03- Pedro tem algum dinheiro e Raul tem R$ 3,45 a mais que Pedro. Sabendo que Raul tem 22,65. Quanto possui Pedro? Questão 04 – Fui ao shopping com certa quantia em dinheiro. Após gastar R$ 40,50 percebi que ainda tinha R$ 12, 25 reais. Quanto eu tinha antes? Questão 05 - Pedro e Marcus tem juntos R$ 28,60 reais. Pedro tem R$ 16,30 reais. Quantos reais tem Marcus? Questão 06 – Carlos tinha 18,75 em seu cofrinho. Hoje ele colocou R$ 5,60. Quanto ele tem agora? Questão 07 – Henrique achou R$ 7,50 na rua. Ele tem agora R$ 12,90. Quanto ele tinha antes? Questão 08 - Luciana tinha 45 metros de fitas. Ela cortou 23,6 metros e deu para Julia. Quantos metros de fita tem Luciana agora? Questão 09 - Sofia tem 1, 60 metros de altura e sua irmã Júlia tem 1,06 metros de altura. Qual a diferença de altura entre as duas? Questão 10 - Carlos possui alguns metros de fio elétrico. Vai usar na instalação de sua casa 21,34 m e ainda sobrará 12, 5m. Quantos metros de fio Carlos possui? 265 APÊNDICE B- Teste (pré- e pós-) multiplicativo com os números decimais 1ª parte: arme e resolva as operações abaixo: A) 1,2 x 5 B) 3,7 x 1,2 C) 0,8 x 0,5 D) 7 ÷ 5 E) 1, 2 ÷ 0,6 F) 0,24 ÷ 0,6 2a parte: resolva os problemas Questão 01 - Carla precisa comprar 6,3 metros de tecido para fazer uniformes para seus filhos. O metro do tecido custa R$ 4,25. Quanto Carla irá gastar? Questão 02 - Debora encheu 8 garrafas de leite. Cada garrafa tinha a capacidade de 1,5 litros. Quantos litros de leite foram usados? Questão 03 – Laura fez 3,5 kg de doce de leite. Ela pretende vender o quilo por R$ 2,25. Quanto Laura conseguirá apurar se vender todo o doce de leite? Questão 04 – Temos 2,8 litros de óleo. O óleo será distribuído em latas iguais com capacidade para 0,7 litro. Quantas latas vão ser usadas? Questão 05 - Tenho 18,75 quilogramas de farinha. Vou colocar em sacos que cabem 0,75 kg. Quantos sacos vou usar? Questão 06 – Lucas gastou R$ 15,50 com álbuns de figurinhas. Cada álbum custou R$ 3,50. Quantos álbuns Lucas comprou? Questão 07 – Foram distribuídos igualmente 9 quilos de arroz para 4 famílias. Quanto receberá cada família? Questão 08 – Tenho 4,5 metros de tecido. Preciso cortar em 9 pedaços do mesmo tamanho. Quantos metros terá cada pedaço? Questão 09 – Carlos vendeu 25 bombons de cupuaçu. Ele apurou no total R$ 12,50. Quanto custa um bombom? Questão 10 - Paulo comprou 5,5 quilogramas de carne e pagou R$ 31,24. Quanto custa um quilo de carne? 266 APÊNDICE C- Teste aditivo com os números naturais I. Efetue as operações: A) 56 + 24 B) 102 + 23 D) 125 – 87 E) 80 – 23 C) 76 – 43 II. Resolva os problemas: 1) Paulo tem 6 bolinhas de gude azuis e 14 bolinhas verdes. Quantas bolinhas Paulo tem? 2) Tiago tem 12 bolinhas de gude. Lucas tem 5 a menos que Tiago. Quantas bolinhas tem Lucas? 3) João tem 40 bombons. Ele deu 18 para sua irmã. Com quantos ele ficou? 4) Luiza tinha alguns brincos. Ela ganhou 5 de sua prima e agora possui 12. Quantos brincos tinha Luiza antes? 5) Um comerciante possuía 200 metros de arame. Após vender alguns metros, sobraram 78 metros. Quantos metros de arame ele vendeu? 6) Meu pai tinha certa quantia em seu cofre. Depois de guardar R$ 27,00 passou a ter R$ 146,00. Quanto ele tinha no início? 267 APÊNDICE D- Teste multiplicativo com os números naturais I. Efetue as operações: A) 74 x 23 B) 126 x 32 E) 648 ÷ 6 F) 672 ÷ 12 II. Resolva os problemas: 1) Carlos tem 96 quilogramas farinha que será distribuída igualmente entre 6 pessoas. Quanto receberá cada família? 2) Comprei uma bolsa e vou pagá-la em 5 prestações iguais de R$ 18,00. Quanto custou essa bolsa? 3) Doze canetas custam R$ 24,00. Quanto custa uma caneta? 4) Tenho 12 pacotes de bombons. Em cada pacote há 25 bombons. Quantos bombons eu tenho? 5) Pedro tem R$12,00. Ele quer comprar algumas canetas que custam R$ 4,00 cada uma. Quantas canetas ele pode comprar? 6) Paguei R$ 78,00 por 26 garrafas de refrigerantes. Quanto custa uma garrafa de refrigerante? 268 APÊNDICE E- Atividades ensino com os números decimais Atividade 1: 1ª parte: Transformar as frações decimais em números decimais Usando a calculadora faça a divisão 𝟏) 𝟒 = 𝟏𝟎 𝟐𝟑 𝟑) 𝟏𝟎 𝟓) 𝟕) 𝟗) 𝟐) = 𝟕𝟔 𝟏𝟎𝟎 𝟗 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟑𝟒 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟒) 𝟖 𝟏𝟎 = 𝟗 𝟏𝟎𝟎 𝟔𝟒𝟖 = 𝟔) = 𝟖) = 𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝟎 = = 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟒𝟓𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 Escreva como podemos transformar as frações decimais em números decimais sem usar a calculadora. 269 Atividade 1: 2ª parte Transformar os números decimais em frações decimais Faça as transformações números decimais em frações decimais 1) 0,6= 2) 0,8 = 3) 2, 5 = 4) 0,09 = 5) 3,45 = 10) 2,08 = 11) 0,546 = 12) 1,349 = 13) 0,008 = 10) 98,987 = Escreva como podemos transforma os números decimais em frações decimais sem usar a calculadora. 270 Atividade 2: comparação dos decimais Objetivo: fazer o aluno compreender a relação de comparação dos decimais 1. Observe os números decimais, digite os números na calculadora e aperte a tecla ‘=”. g) 0,50 = h) 0,500 = i) 0,5000 = j) 0,60 = k) 0,600 = l) 0,60000 = O que acontece? 2. f) g) h) i) j) Observe os números decimais e escreva a palavra maior ou menor. 0, 8 .................................... 0, 7 0, 9..................................... 0,5 0,42 ................................... 0,23 0,50 ................................... 0,49 0,50 ................................... 0,05 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? Como faço para saber quando um número decimal é maior que outro decimal? Conclusão: 3. f) g) h) i) j) Observe os números decimais e escreva a palavra maior ou menor. 1, 23 ................................ 1, 023 1, 345 .............................. 1,344 1, 081 .............................. 1,708 1,023 .............................. 1,23 1,45 ................................. 1,657 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? Como faço para saber quando um número decimal é maior que outro decimal? Conclusão: 4. g) h) i) j) k) l) Compare os números decimais, escreva a palavra maior ou menor. 1, 8 .................................. 0,7 2, 9................................... 1,5 1,42 .................................0,238 2,50 ................................. 0,50 1,50 ................................. 2,05 2,45 ................................. 1,234 Estes números têm partes inteiras iguais ou diferentes? 271 Atividade 3: adição de números decimais Objetivo: construir a regra da adição de decimais Efetue as operações: 1) 0,4 + 0, 5 2) 1,25 + 3,54 3) 23,45 + 45,34 4) 19,98 + 14,36 5) 7,60 + 8,08 6) 13,4 + 12,67 7) 5,67 + 8,981 8) 8,345 + 54,56 9) 8,09 + 4,3 10) 6 + 3,34 Escreva uma maneira de adicionar números decimais. 272 Atividade 4: subtração de números decimais Objetivo: construir a regra da subtração de decimais Efetue as operações: 1) 0,9 - 0,3 2) 59 – 1,34 3) 4,58 – 2,28 4) 24, 794 – 12,563 5) 89,405 – 34,56 6) 7,08 – 4,6 7) 9 – 3,2 8) 18 – 12,34 9) 15,604 – 6,34 10) 9,67 – 5,09 Escreva uma maneira de subtrair números decimais. 273 Atividade 5: resolução de problemas aditivos com os decimais Objetivo: desenvolver habilidade na resolução de problemas aditivos 1. Uma empresa transportou 23,47 toneladas de carga pela manhã e 21,51 toneladas à tarde. Quantas toneladas foram transportadas no total? a) Quanto foi transportado pela manhã? b) Quanto foi transportado a tarde? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Qual a quantidade de toneladas transportada? 2. Paulo carregou uma caixa com laranjas que pesava 8,20kg e uma caixa com mangas que pesava 6,19kg. Qual o peso total que Paulo carregou? a) Quanto pesava a caixa com as laranjas? b) Quanto pesava a caixa com as mangas? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o peso carregado por Paulo? 3. Uma costureira possuía 6,5 metros de tecido. Ela gastou 2,8 metros. Quantos metros ela possui agora? a) Quantos metros a costureira tinha? b) Quantos metros ela gastou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos metros ela tem agora? 274 4. João tem R$ 12,60 e deu R$ 5,80 para sua irmãzinha. Quanto tem João agora? a) Quanto João tem? b) Quanto ele deu para usa irmã? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto João tem agora? 5. Paulo tinha R$ 13,70. Ele ganhou algumas moedas de sua mãe. Agora ele possui R$28,00. Quanto ele ganhou? a) Quanto Paulo tinha? b) Quanto ele possui agora? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto ele ganhou? 6. Um atleta correu 123,85 quilômetros no primeiro dia. No segundo dia, ele correu alguns quilômetros. No total, ele correu nos dois dias 321,29 quilômetros. Quantos quilômetros ele correu no segundo dia? a) Quantos quilômetros o atleta correu no primeiro dia? b) Quantos quilômetros ele correu no total? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos quilômetros ele correu no segundo dia? 275 7. Um caminhão possuía uma carga de 5,5 toneladas. Foi descarregada uma certa quantidade da carga. Agora, a carga do caminhão é de 3,27 toneladas. Qual a carga que foi descarregada? a) Quantas toneladas tinha a carga do caminhão? b) Qual a carga agora? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quanto pesa a carga que foi descarregada? 8. Dona Juju é costureira e possuía 9,2 metros de tecido. Ela gastou alguns metros para fazer uma colcha. Agora ela tem 3,75 metros de tecido. Quantos metros ela usou para fazer a colcha? a) Quantos metros Dona Juju tinha? b) Quantos metros ela tem agora? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Quantos metros ela usou? 9. Eu tinha certa quantia em dinheiro. Recebi R$ 20,50 de meu irmão. Agora possuo R$ 35,60. Quanto eu tinha antes? a) Quanto eu recebi? b) Com quanto fiquei? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o valor que eu tinha antes? 276 10. Paulo tinha certa quantidade de arroz em seu mercadinho. comprou Ele 6,89 quilogramas. Agora ele tem 48,9 quilogramas. Quantos quilos de arroz ele tinha antes? a) Quantos quilograma ele comprou? b) Quanto ele tem agora? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Quantos quilograma de arroz ele tinha antes? 11. Fui ao Mercado com certa quantia em dinheiro. Após gastar R$ 50,50 percebi que ainda tinha R$ 15,60. Quanto eu tinha antes? a) Quanto eu gastei? b) Com quanto fiquei? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual o valor que eu tinha antes? 12. Paulo comprou certa quantidade de arroz para seu mercadinho. Vendeu 6,8 quilogramas no primeiro dia. Agora ele possui 18,9 quilogramas. Quantos quilos de arroz ele comprou? a) Quanto ele vendeu? b) Com quanto ele ficou? c) O que a questão pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver a questão? f) Qual a quantidade de arroz que ele comprou? 277 Atividade 6: multiplicação com os decimais Objetivo: construir a regra da multiplicação dos decimais Efetue as operações: 1) 0,2 x 0,4 2) 0,3 X 0,3 3) 0,8 x 0,3 4) 0,9 x 0,4 5) 2,3, x 1,5 6) 0,4 x 1,24 7) 0,25 x 2,3 8) 2,14 x 3,2 9) 2,45 x 3,4 10) 1,56 x 2,5 Escreva uma maneira de multiplicar os números decimais. 278 Atividade 7: divisão de inteiros Objetivo: desenvolver habilidade na divisão de inteiros resultando em decimal Efetue as operações: 1) 5 ÷ 2 2) 7 ÷ 4 3) 9 ÷ 5 4) 52 ÷ 8 5) 54 ÷ 5 6) 26 ÷ 7 7) 72 ÷ 11 8) 4 ÷ 5 9) 2 ÷ 4 10) 5 ÷ 8 279 Atividade 8: divisão de números decimais Objetivo: construir as regras da divisão dos decimais 1ª parte: divisão com decimais com quantidades de casas decimais iguais 1) 1,2 ÷ 0,6 2) 4,8 ÷ 0,8 3) 1,4 ÷ 2,8 4) 3,6 ÷ 1,2 5) 0,24 ÷ 0,06 6) 0,64 ÷ 0,08 7) 1,25 ÷ 0,25 8) 0,016 ÷ 0,004 9) 0,028 ÷ 0,014 10) 0,045 ÷ 0,005 Escreva uma maneira de dividir os números decimais 2ª parte: divisão com decimais com quantidades de casas decimais diferentes 1) 1,2 ÷ 0,06 2) 6,4 ÷ 0,08 3) 0,24 ÷ 0,004 4) 0,32 ÷ 0,016 5) 2,48 ÷ 0,004 6) 7,2 ÷ 0,08 7) 0,63 ÷ 0,9 8) 0,25 ÷ 2,5 9) 0, 28 ÷ 0,014 10) 21, 4 ÷ 2,14 Escreva uma maneira de dividir os números decimais 280 Atividade 9: resolução de problemas multiplicativos com os decimais Objetivo: desenvolver multiplicativos habilidade para resolver problemas 1. O litro da gasolina custa R$ 2,95. Antônio colocou 18,5 litros de gasolina no seu carro. Quanto ele irá pagar? a) Quanto custa o litro de gasolina? b) Quantos litros de gasolina Antônio colocou no carro? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o valor a ser pago. 2. No supermercado, um quilograma de arroz custa R$ 2,50. Tereza comprou 4,5 quilogramas. Quanto ela pagou? a) Quanto custa 1quilograma de arroz? b) Quantos quilograma Tereza comprou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o quanto Tereza pagou no total. 3. Em um supermercado, o preço do quilograma do queijo é R$ 5,25. Paulo comprou 2,5 quilogramas de queijo. Quanto ele pagou? a) Quanto custa o quilograma do queijo? b) Quantos quilogramas de queijo ele comprou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor a ser pago? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto Paulo pagou no total. 281 4. Paguei R$ 15,40 por 3,5 quilogramas de carne. Quanto custa um quilograma de carne? a) Quanto paguei por 3,5 quilograma de carne? b) Que quantidade de carne eu comprei? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de 1 quilograma de carne? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa um quilograma de carne. 5. Paulo comprou 3,5 quilogramas de maniçoba e pagou R$ 19,25. Quanto custa um quilograma de maniçoba? a) Quantos quilogramas de maniçoba Paulo comprou? b) Quanto ele pagou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de 1 quilograma de maniçoba? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa um quilograma de maniçoba. 6. Um marceneiro comprou 2,4 quilos de pregos. Ele pagou R$ 3,60. Quanto custa o quilograma de pregos? a) Quantos quilogramas de pregos ele comprou? b) Quanto ele pagou? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa o valor de o quilograma de prego? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quanto custa o quilograma de pregos. 282 7. Carlos tinha uma certa quantidade de picolé para vender. Cada picolé custava R$ 2,75. Ao final do dia, ele apurou R$ 33,25. Quantos picolés ele vendeu? a) Quanto custava um picolé? b) Quanto ele apurou ao final do dia? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a quantidade de picolé vendidos? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quantos picolés ele vendeu no total. 8. Lucas gastou R$ 15,50 comprando álbuns de figurinhas. Cada álbum custou R$ 3,50. Quantos álbuns Lucas comprou? a) Quanto Lucas gastou nos álbuns? b) Quanto custou casa álbum? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a quantidade de álbuns ele comprou? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule quantos álbuns ele comprou. 9. Tenho 18,9 metros de tecido. Vou cortá-lo em pedaços iguais de 0,9 metros. Quantos pedaços vou obter? a) Quantos metros de tecido tenho? b) Qual o tamanho de cada pedaço? c) O que o problema pede? d) Qual é a sentença que representa a situação? e) Qual é a operação usada para resolver o problema? f) Calcule o número de pedaços que vou obter.
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