Um modelo de
mínimos quadrados
para a audição
humana
CIn - UFPE
Lucas Vicente Tenório
Rafael Farias Marinheiro
Tomás Arruda de Almeida
Método dos mínimos quadrados
• O método tem como objetivo calcular a melhor função
considerando que a média do quadrado das distancias
entre os pontos e a função seja a menor possível.
A função

 ,  =
 −  − 
2
=1
rege a curva que satisfaz os objetivos do método.
Sendo:
 e 
coordenadas dos pontos iniciais.
e
coeficientes.
•  e  definidos por:
 =  − 
=

=1( − )( −

=1( − )²
)
Onde  é a média amostral de  e  é a média amostral de  .
Séries de Fourier
Combinações lineares
• Seja g uma função real contínua em ,  . Suponha que exista
um conjunto de funções reais contínuas em ,  , chamado
de 
 = 1, 2, 3, …
tal que
 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + …
 existe? Como encontrar os coeficientes da
combinação linear?
Produto interno
• Dadas duas funções  e  pertencentes ao espaços das
funções reais contínuas em [, ]. Podemos definir

,  =
    

onde ,  é o produto interno de  e . Essa expressão satisfaz
todas as mesmas condições do produto interno com vetores em
ℝ .
Projeções
• Seja  = 1 , 2 , 3 , … uma base ortogonal de um espaço 
munido de produto interno. Tome o vetor   . Podemos
escrever  da seguinte forma:
 = 1 1 + 2 2 + 3 3 + …
Fazendo o produto interno de  com  , obtemos:
, 
 =
 , 
Projeções
• Considerando que exista uma base ortogonal  para o espaço
das funções reais contínuas em ,  , então podemos aplicar
o resultado que foi explicitado:
, 
 =
 , 
 =


 


 
   
   
Séries dos cossenos
• O conjunto
1

2

2 , cos  , cos  , … , cos  , …
é uma base ortogonal para o espaço das funções reais
contínuas em 0,  .
∞

  : 0, 
ℝ
  = 0 +
 cos

=1




cos

0

 =


cos²

0

Séries dos senos
• O conjunto

2

sen , sen
, … , sen
,…



é uma base ortogonal para o espaço das funções reais
contínuas em 0,  .
∞

  : 0, 
ℝ
  =
 sen

=1




sen

0

 =


sen²

0

Séries de Fourier
• O conjunto
1

2


2

2 , cos  , cos  , … , cos  , … , sen  , sen  , … , sen  , …
é uma base ortogonal para o espaço das funções reais contínuas em
−,  .
∞
∞


  : −, 
ℝ
  = 0 +
 cos
+
 sen


=1
 =




cos

−



cos²

−

 =
=1




sen

−



sen²

−

Exemplo
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