Clube da Matemática – 1º Teste do 3º Período – 11º ano
ESCOLA SECUNDÁRIA DE CAMILO CASTELO BRANCO
5º Teste de Matemática - 11º Ano – MARÇO
GRUPO I
As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.
Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está
correcta.
Escreva na sua folha de resposta a letra correspondente à alternativa que seleccionar
para cada questão.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo
acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
Não apresente cálculos.
•
•
•
•
•
1.
Na figura estão representados, em referencial o.n. x0y:
• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1
• uma semi-recta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,0)
• um ponto A pertencente a esta semi-recta.
• Um ângulo de amplitude α, cujo lado origem é o semieixo positivo 0x e cujo
•
lado extremidade é a semi-recta 0 A
y
A
a
O
1
x
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de a ?
tg a
2
π tg a
2
π
+
(A)
(B)
(C) π +
(D) π +
+
4
2
tg a
4 tg a
2
2.
Das seguintes afirmações:
I –
II III -
sen 2 20º + cos 2 20º = 1
Existe um ângulo agudo x tal que sen x = 6
sen ( 90º - a ) = cos (2a)
(A) são todas verdadeiras
(C) só I é verdadeira
(B) só I e II são verdadeiras
(D) só I e III são verdadeiras
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3.
4.
Num triângulo isósceles ao lado oblíquo mede 1 cm e o ângulo que o lado oblíquo
forma com a base é x. A área desse triângulo, é dada em função de x por:
(A) tg x
(B) 2 tg x
(C) sen x cos x
(D) 2 sen x cos x
Qual das afirmações seguintes é necessariamente falsa:
(A) sen 2 70 + sen 2 20 = 1
cos 80 º
(B)
= tg 80 º
sen 80 º
tg a • cos a = sen a
sen ( 90º - 2 x ) = cos 2x
(C)
(D)
5.
– 5 + 5 sen 2 x é igual a :
(A)
6.
1 - cos2 x
(B) - 5 cos2 x
(C) 5 cos2 x
- 5 sen2 x
(D)
Na figura junta está parte da representação gráfica de uma função f
f
a
Qual das seguintes afirmações é verdadeira?
f ´( a ) x f ´´( a ) > 0
f ´( a ) x f ´( a ) < 0
(A)
(C)
7.
f ( a ) x f ´( a ) < 0
f ( a ) x f ´´ ( a ) < 0
(B)
(D)
Na figura está a representação gráfica de uma função h e de uma recta t,
tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa a.
A recta t passa pela origem do referencial e
2
pelo ponto de coordenadas ( 6, 2 )
O valor de h´( a ) é :
a
(A)
−
1
3
(B)
3
(C)
1
3
6
(D)
1
6
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GRUPO II
•
Nas questões deste grupo, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.
•
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exacto.
1.
Uma nova empresa de refrigerantes pretende lançar no mercado embalagens de sumo
de fruta, com capacidade de dois litros. Por questão de marketing, as embalagens
deverão ter a forma de um prisma quadrangular regular.
Sumo
de
laranja
1.1. Mostra que a área total da embalagem é dada por:
2x 3 + 8
,
sendo x o comprimento da aresta da base, em dm.
x
Nota: Recorda que 1 litro = 1 dm 3
A ( x ) =
1.2. Prova que A´( x ) =
4x 3 - 8
x2
1.3. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostra que existe um valor de
x para o qual a área total da embalagem é mínima e determina-o. Determina o
valor da área mínima (aproximação às centésimas)
2.
Observa a figura:
B1 e B2 representam dois barcos. EF representa um farol.
Dos dois barcos avista-se o farol sob ângulos de 46º e 78º relativamente ao nível do
mar.
Os dois barcos estão distanciados um do outro 900 metros.
Determina a altura do farol. Apresenta o resultado aproximado ás unidades.
F
farol
78º
46º
B1
B2
E
900 m
Nota: Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva
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no mínimo três casas decimais
3.
4.
5.
Indica o valor lógico das seguintes afirmações e corrige as que forem falsas:
3.1. sen 2 30º + sen 2 30 º = 1
3.2. cos 79 º = cos 1 º
3.3. sen (2x) = cos ( 90 – x )
3.4. o coseno de um ângulo agudo pode tomar qualquer valor no intervalo [0, 2 ]
6
3.5. sen 60 º • cos 45 º =
4
Mostra que :
cos a + sen a • tg a
1
=
tg a
sen a
Observa a figura:
R
4
P
a
2
Q
H
•
a é a amplitude do ângulo RQP;
•
RQ = 4 ;
•
[RH] é a altura relativa ao vértice R ;
•
PH = 2
___
___
5.1. Prova que a área do triângulo [PQR] é dada, em função de a, pela expressão:
A (a) = 8 sen a + 16 sen a cos a
5.2. Se a = 30 º , calcula o valor exacto da área do triângulo.
COTAÇÕES:
GRUPO I : 7 x 8 =
GRUPO II : 1... 37
1.1. 10
1.2. 14
1.3. 13
56
2... 24
3...
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
25
5
5
5
5
5
4... 22
5... 36
5.1. 23
5.2. 13
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