9.6 Cálculo de Curvas Polares
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Coeficientes Angulares
Reta Tangente: de uma curva polar r = f (θ), é dada por dy/dx, pois:
x = r cos θ = f (θ) cos θ
e
y = r sen θ = f (θ) sen θ
dx
6= 0, podemos
Se f é diferenciável em θ, x e y também são e, quando
dθ
calcular dy/dx da fórmula paramétrica:
dy/dθ
dy
=
dx
dx/dθ
d
(f (θ)senθ)
dθ
=
d
(f (θ)cosθ)
dθ
df
senθ + f (θ) cos θ
dθ
=
df
cos θ − f (θ) sen(θ)
dθ
Regra do produto para derivadas.
Coeficiente Angular – Definição
Coeficiente angular da curva Polar r = f (θ):
dy
f 0(θ) sen θ + f (θ) cos θ
|(r,θ)= 0
dx
f (θ) cos θ − f 0(θ) sen θ
A curva r = f (θ) tem:
dy
dx
=0e
6= 0;
dθ
dθ
dx
dy
2. Tangente vertical em um ponto onde
=0e
6= 0.
dθ
dθ
dx
dy
3. Se
=0e
= 0, nenhuma conclusão poderá ser dada sem um estudo
dθ
dθ
mais detalhado.
1. Tangente horizontal em um ponto onde
Exemplo (1):
π
, para r = 1 + sen θ.
3
(b) Encontre os pontos na cardeóide onde a reta tangente é horizontal ou
vertical.
(a) Calcule a inclinação da reta tangente quando θ =
Área no Plano
A partir da figura ao lado, a área OT S
é limitada pelos rais θ = α e θ = β e
a curva r = f (θ).
Aproximamos a região com n setores circulares não sobrepostos baseados em uma partição P do ângulo
T OS. O setor tem raio rk = f (θk )
e ângulo central medido em radianos
∆θk . Sua área é:
1
1
2
Ak = rk2 ∆θk = (f (θk )) ∆θk
2
2
A área da regão OT S é aproximadamente
n
X
k=1
Ak =
n
X
1
k=1
2
2
(f (θ)) ∆θk .
Área no Plano (2)
Se f é contı́nua e tomando kP k → 0,
temos:
A = lim
kP k→0
Z
β
=
α
Z
β
n
X
1
k=1
2
2
(f (θ)) ∆θk
1
2
(f (θ)) dθ
2
1 2
r dθ
2
α
que é a área da região entre a origem e a curva r = f (θ) para α ≤ θ ≤ β.
1
A integral acima é a integral do elemento de área: dA = r2dθ.
2
=
Exemplos
Exemplo (2): Cálcule a área limitada por um laço da rosa de quatro pétalas
r = cos 2θ.
A área da região 0 ≤ r1(θ) ≤ r2(θ),
α ≤ θ ≤ β é
Z
A=
α
β
1 2
r dθ −
2 2
Z
α
β
1 2
r dθ
2 1
Exemplo (3): Calcule a área da região que está dentro do cı́rculo r = 3 sen θ
e fora da cardeóide r = 1 + sen θ.
Comprimento de Curva
Curva paramétrica: Considere a curva r = f (θ), α ≤ θ ≤ β, como:
x = r cos θ = f (θ) cos θ
e
y = r sen θ = f (θ) sen θ
Diferenciando em θ e usando a Regra do Pruduto:
dx dr
=
cos θ − r sen θ
dθ dθ
e
dy dr
=
sen θ + r cos θ
dθ dθ
Relação Fundamental: Usando cos2 x + sen2 x = 1
2 2
2
dx
dy
dr
dr
+
=
cos2 θ − 2r cos θ sen θ + r2 sen2 θ
dθ
dθ
dθ
dθ
2
dr
dr
+
sen2 θ + 2r sen θ cos θ + r2 cos2 θ
dθ
dθ
2
dr
=
+ r2
dθ
Comprimento de Curva – Definição
Supondo que f 0 é contı́nua, escrevemos o comprimento de arco como
s
Z β 2 2
dx
dy
L=
+
dθ
dθ
dθ
α
Definição: O comprimento de uma curva polar r = f (θ), α ≤ θ ≤ β é:
s
2
Z β
dr
L=
r2 +
dθ
dθ
α
Exemplo (4): Calcule o comprimento da cardeóide r = 1 + sen θ.
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 163 à 165;
Exercı́cios: 1 à 45.