Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Projecto de Controladores
Compensação série
Projecto no domínio da frequência
Compensação por avanço de fase
Compensação por atraso de fase
Compensação por moldagem do ganho de malha
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação série
Objectivo: Modificação das características de um sistema (resposta em frequência
e/ou resposta no tempo) por forma a satisfazer determinadas especificações, tais
como:
 Exatidão
 Estabilidade relativa
 Rapidez de resposta
Exemplo de especificações de projecto:


DEEC / IST
na frequência
margem de fase
margem de ganho
largura de banda
etc…
no tempo
tempo de crescimento
tempo de estabelecimento
sobre-elevação
etc…
Diagrama de Bode
e/ou de Nyquist
Root-locus
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Esquema geral de compensação série
Rs 

K
C s 
G s 
Y s 

H s 
 Introdução na cadeia de acção de um bloco de compensação – C(s) – alteração dos
polos/zeros do sistema em cadeia aberta
 Especificações na frequência – diagramas de Bode e/ou de Nyquist
 Objectivo – modificar a resposta em frequência do sistema em cadeia aberta
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Esquema geral de compensação série
Amplitude (dB):
Amplitude (dB)
sistema a controlar: KG(s)H(s)
C j dB  KG jH  j dB
sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)
0
MG>0
controlador: C(s)
MG>0

• MF e MG aumentaram
• Estabilidade relativa aumentou
Argumento (º)
0
 180
Argumento(º):
MF>0
MF>0
sistema a controlar: KG(s)H(s)
DEEC / IST

argC j   argKG j H  j 
sistema controlado: KC(s)G(s)H(s)
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Exemplo
Compensação série
Rs 
1ª tentativa: Cs   K  0

C s 

80
G s  
K 1
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
s2
40
G j  dB
0
G j1 dB  0 dB
 40
argG j1  180º
 80
MF  0º
argG j   180
sistema em cadeia fechada
marginalmente estável
10 2
DEEC / IST
10 1
10 0

10 1
10 2
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Exemplo (cont.)
Compensação série
Rs 

1ª tentativa: Cs   K  0
Im
  
G s  
Y s 
1
s2

A imagem do contorno
passa pelo ponto  1
Plano s
C s 
1
- sistema instável
s2
C
  0
Plano KG

Projecto apoiado no root-locus:
Im
Re
  0
1
Ims 
Re
  

 


 

  : G j  C j   1  arg G j  C j   180 º
   
1  G j C j  0

Re s 
j é polo em malha fechada
sistema em cadeia fechada marginalmente estável
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Rs 
Compensação série

C s 
Y s 
1
s2

Exemplo (cont.)
G s  
2ª tentativa:
C s   K
1
- sistema instável
2
s
80
sz
z
K 1
z  0.1 rad/s
C j G j  dB
40
Projecto apoiado no root-locus
Ims 

Res 
0
 90
argC j G j   135
 180
10 2
DEEC / IST
MF  90 º
10 1
10 0

10 1
10 2
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Rs 
Compensação série
Exemplo (cont.)
Im

C s 

2ª tentativa:
Plano s
C s   K
  
sz
z
G s  
Y s 
1
s2
1
- sistema instável
2
s
C
  0

  0
sistema original
Re
Plano KGC
  
O compensador por
avanço de fase
afasta o diagrama
do ponto  1
  0
1
 0
argC  j 

1
  0
MF  90 º
DEEC / IST
Re
  
Im
  
Im
90 º
Re
  
benefício de
avanço de fase
45 º
0º
z

Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Projecto no domínio da frequência
Compensadores de fase
K – ganho
C(s) – compensador de fase
G(s) – sistema a controlar
Rs 

K
C s 
G s 
Y s 

H s 
Os compensadores de fase, C(s), apresentados com ganho estático unitário, são controladores
simples de 1ª ordem, com um polo e um zero, que permitem melhorar a estabilidade relativa do
sistema em malha fechada ao serem projectados com o objectivo de obter uma Margem de Fase
conveniente – modificam as características dinâmicas do sistema.
O ajuste do ganho K irá determinar os erros em regime permanente.
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Im s 
Compensador de avanço de fase

1
s
1
T
C s  
 s 1
T
1

T
Re s 
1
T
C j  dB
0    1
 20log 
 20log 
0
1
T
Com o controlador de avanço de fase
pretende-se introduzir fase positiva
na vizinhança da frequência de corte
a 0 dB de modo a aumentar a
Margem de Fase, não esquecendo
que o compensador também introduz
ganho.

1
T
argC j (º )
m 
90
1
T 
sin m 
m
1
1 
0
1
T
DEEC / IST
m
m
1
T

Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensador de avanço de fase
Localização do controlador
c - frequência de corte a 0 dB
m  c / 10 - pequena influência na MF
m  10c - pequena influência na MF
sistema
compensado
40
sistema não
compensado
amplitude (dB)
amplitude (dB)
60
0
controlador
sistema
compensado
0
controlador
 60
sistema não
compensado
 40
0
fase (º)
fase (º)
0
 90
 90
MF
MF
MF
 180
10 2
DEEC / IST
10 1
10 0

MF
101
10 2
 180
10 2
10 1
10 0

101
10 2
10 3
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensador de avanço de fase
Localização do controlador
c - frequência de corte a 0 dB
m  c - MF aumenta
60
amplitude (dB)
sistema
compensado
controlador
Devido ao ganho do controlador,
frequência de corte a 0 dB
aumenta
0
 60
sistema não
compensado
fase (º)
0
Devido ao aumento da
frequência de corte a 0dB, a
MF aumenta de um valor
ligeiramente inferior a m
 90
MF
MF
 180
10 2
DEEC / IST
10 1
10 0

101
10 2
10 3
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por avanço de fase
Rs 
1. Determinar o ganho K da função de
transferência em cadeia aberta do
sistema a controlar – KG(s)H(s) – de
modo a satisfazer as especificações
relativas aos erros estáticos.
Dimensionamento

K
C s 
G s 
Y s 

H s 
2. Com o ganho K obtido, calcular a margem de fase (MF) do sistema a controlar.
3. Determinar o avanço de fase m que é necessário adicionar ao sistema a controlar
m  MFreq  MF  e
MF requerida nas especificações de projecto
MF do sistema a controlar – KG(s)H(s)
Como o compensador introduz ganho, a frequência de
corte a 0 dB do sistema compensado desloca-se; a
esse novo valor da frequência corresponderia no
sistema original uma MF diferente pelo que é preciso
introduzir a correcção e
4. A partir de m determinar o parâmetro  do controlador
sin m 
DEEC / IST
1
1 
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por avanço de fase
Dimensionamento
5. Determinar m de modo a coincidir com a nova frequência de corte a 0dB. Nessa
frequência o compensador introduz um ganho em dB de  20log  pelo que a
frequência m deverá ser aquela à qual o sistema não compensado apresenta um
ganho de
KG jm H  jm  dB  20log 
m é a nova frequência de corte a 0 dB
6. Para  e m obtidos, determinar o parâmetro T
m 
1
T 
7. Verificar se as especificações foram satisfeitas!
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por avanço de fase
Rs 
Dimensionar K e uma malha de avanço
de fase C(s) tal que:
Exemplo

K
C s 

• Erro estático de velocidade: ev  0.05
• Margem de fase: MF  50 º
• Margem de Ganho: MG  10 dB
4
ss  2
Y s 
2. Margens de fase e de ganho:
40
1. Ganho K (C(s)=1):
1
ev  0.05 
 K v  20
Kv
4
K v  lim sKG s   lim sK
 2K
s 0
s 0
ss  2
K  10
40
KG s  
ss  2
20
KG j dB
0
 20
 40
 90
MG  
arg KG j   135
MF  18º
 180
10 0
DEEC / IST
101

10 2
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por avanço de fase
Exemplo (cont)
KG s  
3. Avanço de fase m:
40
ss  2
m  MFreq  MF  e  50º18ºe  32ºe  m  38º
4. Cálculo de :
1
sin m 
1 
1
 sin 38º 
1 
1
1
T
C s  
 s 1
T
s
   0.24
5. Determinação de m:
KG jm  dB  20log 
40
m   4
2
m
 20log
40
m   4
2
m
 20log 0.24
C s   4.2
 0.24  m  9 rad/s
s  4.41
s  18.4
6. Determinação de T:
m 
DEEC / IST
1
T 

1
1
 m   9 0.24 
 4.41
T
T

1
 18.4
T
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por avanço de fase
Especificações:
• Erro estático de velocidade: ev  0.05
• Margem de fase: MF  50 º
• Margem de Ganho: MG  10 dB
7. Verificação de resultados
20
controlador
amplitude (dB)
Im
0
 20
 40
sistema
compensado
sistema
compensado
sistema não
compensado
sistema não
compensado
MG  
45
1
18 º
fase (º)
0
Re
controlador
 45
 90
50 .5º
sistema
compensado
 135
sistema não
 180 compensado
10 0
DEEC / IST
MF  50.5º
101

10 2
Isabel Lourtie
Fundamentos de Controlo
Projecto de Controladores
Compensação por avanço de fase
Compensadores de avanço de fase são filtros passa-alto utilizados para introduzir fase
positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0 dB do sistema original.
Consequentemente, compensação por avanço de fase permite
 aumentar a margem de fase melhorando a estabilidade relativa
 aumentar a largura de banda o que diminui o tempo de estabelecimento tornando o
sistema mais rápido
mas conduz ao
 aumento do ganho de alta frequência diminuindo a capacidade de rejeição de
perturbações de alta frequência
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Im s 
Compensador de atraso de fase
1

T
1
s
1
T
C s  
 s 1
T

1
Re s 
T
C j  dB
0
  1
 20log 
 20log 
Com o controlador de atraso de fase
pretende-se tirar partido da
atenuação introduzida pelo
compensador na alta frequência de
modo a deslocar a frequência de
cruzamento a 0 dB para a frequência
que conduz à margem de fase
desejada
DEEC / IST
1
T
m
1
T
argC j (º )

m 
1
T 
0
sin m 
m
 90
1
T
m
1
T
1 
1 

Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensador de atraso de fase
Localização do controlador
80
amplitude (dB)
sistema não
compensado
Objectivo: escolher para
frequência de corte a 0 dB a
frequência c da resposta em
frequência do sistema a controlar
cuja fase conduza à margem de fase
pretendida
0
fase (º)
 80
 90
MF pretendida
 270
10 2
DEEC / IST
10 1
10 0

Onde localizar o controlador?
MF=0
 180
101
10 2
10 3
c pretendida
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensador de atraso de fase
Localização do controlador
Variação de fase no controlador afecta fase na c pretendida
zero do controlador na frequência c pretendida
80
amplitude (dB)
sistema
compensado
sistema não
compensado
0
controlador
0
 80
0
 80
0
 90
 90
MF pretendida
 180
 270
10 2
DEEC / IST
fase (º)
fase (º)
amplitude (dB)
80
zero do controlador numa frequência entre 1 década
antes e a c pretendida
não satisfaz
MF pretendida
 180
10 1
10 0

101
10 2
c pretendida
10 3
 270
10 2
ainda não
satisfaz
10 1
10 0

101
10 2
10 3
c pretendida
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensador de atraso de fase
Localização do controlador
zero do controlador mais de 1 década antes de c
pretendida, maior redução no ganho de baixa frequência
zero do controlador 1 década antes de c pretendida
amplitude (dB)
80
0
0
 80
0
 80
0
 90
 90
MF pretendida
 180
 270
10 2
DEEC / IST
10 1
10 0

fase (º)
fase (º)
amplitude (dB)
80
satisfaz
101
10 2
c pretendida
10 3
MF pretendida
 180
 270
10 2
10 1
10 0

satisfaz
101
10 2
10 3
c pretendida
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por atraso de fase
1. Determinar o ganho K da função
de transferência em cadeia aberta
do sistema a controlar –
KG(s)H(s) – de modo a satisfazer
as especificações relativas aos
erros estáticos.
Rs 
Dimensionamento

K
C s 
Y s 
G s 

H s 
2. Com o ganho K obtido, calcular as margens de ganho (MG) e de fase (MF) do
sistema a controlar.
3. Se MF e MG não satisfazem as especificações, determinar c (“nova” frequência de
corte a 0 dB), tal que
argKG jc H  jc   180ºMFreq  e
MF requerida nas especificações de projecto
DEEC / IST
Destina-se a compensar a fase
negativa que o controlador irá
introduzir na nova frequência de
corte a 0 dB
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por atraso de fase
Dimensionamento
4. Como o ganho do controlador na alta frequência é de  20log  , para que o
ganho do sistema controlado na frequência c seja de 0 dB, determinar  tal
que
KG jc H  jc  dB  20log 
5. Para que não haja perturbação significativa na fase da nova frequência de corte
a 0 dB, e para simultaneamente utilizar a máxima atenuação introduzível, o
zero do controlador é colocado uma década abaixo da frequência c:
1 c

T 10
6. Verificar se as especificações foram satisfeitas!
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por atraso de fase
Rs 
Dimensionar K e uma malha de atraso
C(s) tal que:
Exemplo

K
C s 

• Erro estático de velocidade: ev  0.2
• Margem de fase: MF  40 º
• Margem de Ganho: MG  10 dB
Y s 
2
ss  1s  2
2. Margens de fase e de ganho:
40
1. Ganho K (C(s)=1):
ev  0.2 
K 5
KG j dB
1
 Kv  5
Kv
K v  lim sKG s   lim sK
s 0
20
s 0
KG s  
MG  4.5 dB
0
 20
2
K
ss  1s  2
 40
 90
10
arg KG j   180
ss  1s  2
MF  20º
 270
MF<0º, MG<0 dB – sistema em anel fechado instável
DEEC / IST
10 1
10 0

101
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por atraso de fase
Exemplo (cont.)
KG s  
3. Determinar c (“nova” frequência de corte a 0 dB), tal que
argKG jc H  jc   180ºMFreq  e
40
MFreq  40º  MFreq  e  50º

20
KG j dB
c  0.5 rad/s
10
ss  1s  2
0
 20
4. Determinar  tal que
KG j0.5H  j0.5 dB  20log   20

arg KG j 
 40
 90
50 º
 180
  10
 270
5. Localização do zero e do polo do
controlador
1 c
1
0.05

 0.05 

 0.005
T 10
T
10
DEEC / IST
10 1
5.10 1
1
s
1
T
C s  
 s 1
T
101
10 0

C s   0.1
s  0.05
s  0.005
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Compensação por atraso de fase
Especificações:
• Erro estático de velocidade: ev  0.2
• Margem de fase: MF  40 º
• Margem de Ganho: MG  10 dB
6. Verificação de resultados
80
sistema não
compensado
amplitude (dB)
Im
sistema
compensado
40
sistema
compensado
controlador
0
MG  15 dB
sistema não
compensado
 40
1
0
fase (º)
controlador
Re
 90
 180
 270
sistema
compensado
MF  47 º
sistema não
compensado
10 4
DEEC / IST
10 3
10 2

10 1
10 0
101
Isabel Lourtie
Fundamentos de Controlo
Projecto de Controladores
Compensação por atraso de fase
Compensadores de atraso de fase são essencialmente filtros passa-baixo.
Consequentemente, compensação por atraso de fase permite
 ganho elevado para as baixas frequências o que melhora a exactidão (erro estático)
 ganho baixo para as altas frequências o que aumenta a estabilidade relativa
(margem de fase)
mas conduz à
 diminuição da largura de banda o que aumenta o tempo de estabelecimento do
sistema tornando o sistema mais lento
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
r


e
K s 
u
Gs 


d
y


n
Pretende-se:
 um bom seguimento do sinal de referência, cuja ocupação espectral se situa habitualmente em
frequências relativamente baixas,
 uma boa rejeição das perturbações que incidem no sistema a controlar e cujo espectro de
frequência se situa habitualmente no domínio das baixas e médias frequências,
 uma boa rejeição do ruído com origem nos sensores localizados na cadeia de retroacção e
com ocupação espectral em frequências relativamente altas,
 uma boa e robusta estabilidade relativa.
Definição de um perfil desejado para a resposta em frequência da malha aberta
DEEC / IST
Isabel Lourtie
Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Resposta em malha fechada
r


e
K s 
Gs 
u


d
y


Princípio da sobreposição
n
Y s   G1 s Rs   G2 s Ds   G3 s N s 
Seguimento da referência r:
Influência da perturbação d na saída y:
Y s 
K s Gs 
G1 s  

Rs  d 0,n 0 1  K s Gs 
G2 s  
Y s 
1

Ds  r 0,n0 1  K s Gs 
Influência do ruído n na saída y:
G3 s  
DEEC / IST
Y s 
K s Gs 

N s  r 0,d 0
1  K s Gs 
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Fundamentos de Controlo
Caracterização dos sinais
Sinais caracterizados pela sua ocupação espectral, i.e., modelizados como processos
estocásticos estacionários com densidade espectral de potência F(j).
Seja xt  um processo estocástico (sinal aleatório) ergódico estacionário.
Função de autocorrelação de xt  :     lim
T 
Potência média de xt  :  0   lim
1
T  T

T 2
T 2
1
T

T 2
T 2
xt xt   dt
x 2 t dt
 j
d
Densidade espectral de potência de xt  : F j   T F        e


DEEC / IST
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xt 
Sinais estocásticos e SLITs
H  j 
yt 
xt , yt  - processos estocásticos ergódicos estacionários
H  j  - resposta em frequência do SLIT
Relação entre os espectros de potência dos sinais de saída e de entrada
F y  j   F x  j  H  j 
2
 F y  j 
2


10 log

10
log
H
j

 20 log H  j   H  j  dB

 F x  j  

DEEC / IST

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Moldagem do ganho de malha
r

e

K s 
u
Gs 


d
y


n
Nos processos físicos reais a potência está concentrada em bandas de frequência
limitadas sendo F j   0 fora dessas bandas de frequência.
(r – baixas frequências, d – baixas e médias frequências, n – altas frequências)
Especificações de projecto
Condições impostas ao módulo da resposta em frequência de cada uma das funções de transferência
E s 
Rs  d 0,n 0
Y s 
D s  r  0 , n  0
Y s 
N s  r  0 , d  0
em bandas de frequência especificadas
DEEC / IST
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Moldagem do ganho de malha
r
1. Bom seguimento do sinal de referência

e
G s 

r – sinal de baixa frequência
E s 
1

Rs  1  K s Gs 
  r , F r  j   0
F r  j 
K s 
y
Especificação de projecto:
r
0
0
20loge r
DEEC / IST
E  j 
R j  dB

E j 
1

 e r  1 ,   0, r 
R j  1  K  j G j 
r

E  j 
 20loge r ,   0, r 
R j  dB
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Moldagem do ganho de malha
1. Bom seguimento do sinal
de referência
1
K  j G j  dB  20 log
 er
Especificação de projecto:
E  j 
1

 e r  1,   0, r 
R j  1  K  j G j 

 ,   0, r 

K  j G j  dB
1
20 log
 er
1  K  j G j  
1
er
 1
Constrição no ganho de malha:
K  j G j  



1
er
 1,   0, r 
0
r
DEEC / IST

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Moldagem do ganho de malha
r

K s 
e

u
G s 


Fd  j 
d
  d , Fd  j   0


Y s 
1

Ds  1  K s Gs 
d
0
0
20loge d
DEEC / IST
Y  j 
D j  dB

y

2. Boa rejeição de perturbações no processo
d – sinal de baixa ou média frequência
d
n
y

G s 
K s 
Especificação de projecto:
Y  j 
1

 e d  1 ,   0, d 
D j  1  K  j G j 
d

Y  j 
 20loge d ,   0, d 
D j  dB
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Moldagem do ganho de malha
2. Boa rejeição de perturbações
no processo
1
K  j G j  dB  20log
 ed
Especificação de projecto:
Y  j 
1

 e d  1,   0, d 
D j  1  K  j G j 

 ,   0, d 

K  j G j  dB
1
20 log
 ed
1  K  j G j  
1
ed
 1
Constrição no ganho de malha:
K  j G j  



1
ed
 1,   0, d 
0
d
DEEC / IST

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Moldagem do ganho de malha

r

3. Boa rejeição do ruído nos sensores
n – sinal de alta frequência
1
0
n
0
n
0    1n    2n , Fn  j   0
Fn  j 
Y  j 
N  j  dB
2 
n
DEEC / IST
K s 
G s 
u

y




Y s 
K s Gs 

N s 
1  K s Gs 
K s 
1
G s 
n
y

Especificação de projecto:
Y  j 
K  j G j 

 e n  1 ,   1n , 2n
N  j 
1  K  j G j 

1
n
20loge n
e
d
Y  j 
 20loge n ,   1n , 2n
N  j  dB

2
n



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Moldagem do ganho de malha
3. Boa rejeição do ruído
nos sensores
Especificação de projecto:
Y  j 
K  j G j 

 e n  1 ,   1n , 2n
N  j 
1  K  j G j 

Constrição no ganho de malha:

K  j G j   e n  1,   1n , 2n


K  j G j  dB
0
1
2
n
n

20loge n

K  j G j  dB  20loge n ,   1n , 2n
DEEC / IST

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Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
Objectivo:
K  j G j  dB
Moldar (por escolha adequada de
K(s)) o ganho de malha de modo a
ajustá-lo entre as barreiras,
preservando a estabilidade do sistema
em malha fechada
 20loge r
 20loge d
0
20loge n
r
barreira inferior de baixa
e média frequência
DEEC / IST
d
1
2 
n
n
barreira superior de
alta frequência
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Fundamentos de Controlo
Exemplo 1
Moldagem do ganho de malha
r
Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as
seguintes especificações:
i.
Seguimento da referência r com erro menor
ou igual a -60 dB na banda de frequências
[0,1] rad/s;
ii. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito da
perturbação d sobre a saída y na banda de
frequências [0,10] rad/s;
iii. Atenuação de pelo menos 20 dB do efeito do
ruído n sobre a saída y na banda de
frequências [103,106] rad/s;


e
K s  u G s 

d
y



n
1
G s   2 - sistema instável
s
i.   0,1 rad/s :
E j 
 60 dB
R  j  dB

K j G j  dB  60 dB
iv. Margem de fase de 45º


iii.   103 ,106 rad/s :
Y j 
 20 dB
N j  dB

K  j G  j  dB  20 dB
DEEC / IST
ii.   0,10 rad/s :
Y j 
 40 dB
D j  dB

K j G j  dB  40 dB
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Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
Exemplo 1 (cont.)
G s  
i.  0,1 rad/s : K jG j  dB  60 dB
1
s2
ii.  0,10 rad/s : K jG j dB  40 dB


iii.   103 ,106 rad/s : K j G j  dB  20 dB
G  j dB
Condições i. e ii. não são satisfeitas
80 dB  K dB  100 dB


104  K  105
DEEC / IST
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Moldagem do ganho de malha
10 4
KG s   2
s
Exemplo 1 (cont.)
1º passo:
120
K s   K  104
Condições i., ii. e iii. satisfeitas
Condição
amplitude (dB)
80
DEEC / IST
ii.
i.
 80
fase (º)
não satisfeita
Introduzir malha de avanço de
fase para aumentar a fase de 45º
na frequência de corte a 0 dB
(c=102 rad/s).
0
 40
iv. Margem de fase de 45º
iii.
40
MF=0º
 180
10 1
10 0
101

10 2
10 3
10 4
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Fundamentos de Controlo

10 2 s  10 2
K s G s  
s2
Moldagem do ganho de malha
Exemplo 1 (cont.)
Localização do zero:
~
K  j 
120
amplitude (dB)
sz
~
K s   K K s   10 4
2º passo:
z
Malha de avanço de fase
com ganho estático unitário

80
40
0
dB
 40
 90
0

fase (º)
~
arg K  j 
90 º
45 º
s  102
~
c  10  z  10  K s  
102
DEEC / IST
MF  45º

z
2
 135
2
 180
10 1
10 0
101

10 2
10 3
10 4
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Moldagem do ganho de malha
Exemplo 1 (cont.)

contorno de
Nyquist
Im
10 2 s  10 2
K s G s  
s2
Plano s

  
  0
P0
  0
Re

Sistema em cadeia fechada
estável K  0  MG  
Z NP0
Plano KGC
  
N 0
Im
  
  0
  0
1
Re
  
DEEC / IST
Modelo fisicamente realizável
de K(s) incluiria um polo
adicional localizado pelo menos
uma década acima do zero
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Fundamentos de Controlo
Exemplo 2
Moldagem do ganho de malha
r
Projectar K(s) de modo a serem cumpridas as
seguintes especificações:
i.

K s 
e

u
Erro estático de posição nulo;


n
E j 
 100 dB
R  j  dB

ii.   0,103 rad/s :
iii. Atenuação de pelo menos 60 dB do efeito
da perturbação d sobre a saída y na banda
de frequências [0,10-2] rad/s;

K  j G  j  dB  100 dB
iv. Atenuação de pelo menos 40 dB do efeito
do ruído n sobre a saída y na banda de
frequências [102,103] rad/s;


iii.   0,102 rad/s :
Y j 
 60 dB
D j  dB

Margem de fase maior ou igual a 45º
K j G j  dB  60 dB
vi. Margem de ganho maior ou igual a 20 dB


iv.   102 ,103 rad/s :
DEEC / IST

y

1
G s  
- sistema estável
s 1
ii. Seguimento da referência r com erro
menor ou igual a -100 dB na banda de
frequências [0,10-3] rad/s;
v.
G s 

d
Y j 
 40 dB  K j G j  dB  40 dB
N j  dB
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Exemplo 2
Moldagem do ganho de malha
i.
G s  
Erro estático de posição nulo:
1
s 1
A função de transferência em acadeia aberta tem de ter pelo menos um polo na origem.
1º passo:
K s  

K s G s  
K
s

K
ss  1
ii.   0,103 rad/s : K jG j dB  100dB


iii.   0,102 rad/s : K jG j dB  60 dB


iv.   102 ,103 rad/s : K j G j dB  40 dB
amplitude (dB)
120
K 1
80
Condições ii. e iii. não
são satisfeitas
40
0
 40
 80
 120 4
10
DEEC / IST
10 3
10 2
10 1

10 0
101
10 2
10 3
K dB  40 dB  K  10 2
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Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
10 2
K s G s  
s s  1
Exemplo 2 (cont.)
2
120
2º passo: K  102  K s   10
s
Condição
v.
amplitude (dB)
Condições ii., iii. e iv. satisfeitas
80
Margem de fase maior ou
igual a 45º
DEEC / IST
0
 40
iii.
ii.
 80
 90
fase (º)
não satisfeita
Introduzir malha de atraso de
fase para deslocar a frequência
de corte a 0 dB para a fase de
-135º sem aumentar o ganho de
alta frequência.
iv.
40
 135
MF  0º
 180
10 4
10 3
10 2
10 1

10 0
101
10 2
10 3
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Projecto de Controladores
Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
10 2
10 2
G s  
s
s s  1
Exemplo 2 (cont.)
120
80
amplitude (dB)
1
s
2
2
T
3º passo: K s   10 K~ s   10 1
s
s  s 1
T
Malha de atraso de fase com
ganho estático unitário
 Nova frequência de corte a 0 dB: c  1 rad/s
1 s  101
~
K s   2
10 s  103
DEEC / IST
0
 40
 80
 90
fase (º)
 Determinação de :
10 2
G  jc   20 log   40    10 2
j c
dB
1 
 Localização do zero:  c  10 1
T 10
40
 135
45º
 180
10 4
10 3
10 2
10 1

10 0
101
10 2
10 3
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Fundamentos de Controlo
Moldagem do ganho de malha
Exemplo 2 (cont.)
s  101
K s G s  
s s  103 s  1


120
MG  
1

Im
80

amplitude (dB)
10 ~
s  10
K s  
K s  
s
s s  103
2
Contorno de
Nyquist
  0
  0

Im
40
0
 40
 80
Re
 90
  0
  
  
Z NP0
Re
fase (º)
P0
 135
N 0
Sistema em
cadeia fechada
estável K  0
DEEC / IST
MF  45º
 180
10 4
  0
10 3
10 2
10 1

10 0
101
10 2
10 3
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