Aula Teórica
Formas Integrais das Leis Fundamentais .
As três leis básicas. Sistema material e
volume de controlo. Fluxo advectivo e
derivada convectiva.
Valores típicos da difusividade
• A difusividade é o produto da velocidade não resolvida pelo
modelo (browniana, turbulenta ou de subescala) pelo
comprimento do percurso que uma molécula/porção de
fluido faz até mudar de velocidade.
• No caso molecular, para a água a difusividade é da ordem dos
10E-6 m2/s e para o ar de 10E-5 m2/s. Num escoamento
turbulento a difusividade é da ordem de 10E-2 m2/s e num
modelo depende do passo espacial.
• Num modelo onde a velocidade não descrita pela velocidade
média for 0.1m/s e o passo espacial for 100 m, a difusividade
será da ordem de 10 m2/s. Num modelo oceânico com
velocidades da ordem de 0.01 e passos de 10km, a
difusividade seria de 100 m2/s.
Difusão: Balanço a um volume de controlo
Cij+1
Fluxos Horizontais:
Cij  Ci1 j
FDE  AE
x
Ci 1 j  Cij
FDD   AD
FDI  AI
FDS  AS
x
Cij  Ci 1 j
y
Ci 1 j  Cij
y
Ci-1j
Cij
Ci+1j
Cij-1
Taxa de acumulação:
Volijt t C t ijt Volijt C ijt
t
Mas….
Vol
Vol  Al  l 
 x  y
A
Cijt  t  Cijt
t
 Cit1 j  2Cijt  Cit1 j
 
2


x


 Cijt 1  2Cijt  Cijt 1 
  
  kCijt
2




x



Se Δt, Δx e Δy tenderem para zero:
dC
 2C
 2C
  2   2  kC
dt
x
y
Que é a equação de difusão 2D com decaimento de 1ª ordem.
No caso geral (3D)
dC
 2C
 2C
 2C
  2   2   2  kC
dt
x
y
z
dC
 2C
  2  kC
dt
xi
Porquê a derivada total?
Porque estamos a falar de um sistema material, i.e. o fluido
que está dentro do volume de controlo é o mesmo dentro da
aproximação do fluido como meio contínuo. A derivada só
seria parcial se existisse velocidade, que implicaria que o
fluido que está dentro do volume de controlo fosse
substituído ao longo do tempo.
Teorema de Reynolds
• A taxa de variação de uma propriedade num
“sistema de fluido” é igual à taxa de variação
da propriedade num volume de controlo
ocupado pelo fluido mais o fluxo que entra,
menos o que sai:

d
d
dVol   dVol    v.n dS

dt sistema
dt VC
SC
Derivada total e parcial
Taxas de Variação
BsistemaI 
 BsistemaI
t
t0  t
No sistema
Bvc 
 Bvc 
t
t 0  t
No volume de controlo
t0
No instante inicial o sistema era coincidente com o volume de controlo
Bvc 
t0
 Bsistema 2 
t0

t0
Situação em t+dt
Três porções de fluido (sistemas 1,
2 e 3) no instante inicial T0.
Vol. de
controlo
O sistema 2 coincide com o
volume de controlo.
(vc)
Sistema 1
Sistema 2
Sistema 3
Bvc t t  Bsistema 2 t t  massa_ que _ entra  massa_ que _ sai
0
0
Fazendo o Balanço por unidade de tempo e
usando a definição de propriedade específica
Bvc 
 Bvc 

t
t0  t
B
t0
t  t
t




B
sistema 2
sistema 2
0
t
dB

dV
B   dV
0
  quantidade _ que _ entra  quantidade _ que _ sai
t
Fluxo advectivo

adv B    v .n dA
Balanço integral

t

d
dV 
dV   v .n dA


dt sistema
vc
surface
Volume infinitesimal

t

d
dV 
dV   v .n dA


dt sistema
vc
surface
 
 

d
V 
V  v .n Aentrada  v .n Asaida
t
dt
d ( V )
d(  )
d ( V )
d(  )
u
 V

 V
 V k
dt
dt
dt
dt
xk
Derivada total
  dV 
x1x2 x3

  x2 x3 v1 x1  x2 x3 v1 x  x 
t  t 
x1x3 v 2 x 2  x1x3 v 2 x   2  x1x2 v3 x 3  x1x2 v3 x
1
2
1
 d
v

v j 

 k 
t
dt
xk x j
d  v j
v k



dt
t
x j
xk
d 


vj
dt
t
x j
1
3  x 3
É a equação de evolução fica
dC
C
C
C
  2   2   2  kC
dt
x
y
z
2
2
2
dC
C
  2  kC
dt
xi
2
dC C
C
C

 vi
  2  kC
dt
t
xi
xi
2