GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Sólidos III
© antónio de campos, 2010
Projecção de uma Pirâmide com Base Contida em Plano Oblíquo
São dados dois pontos, A (4; 0) e B (0; 3), contidos num plano oblíquo α. O traço horizontal do
plano α faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x, enquanto o traço frontal faz um ângulo de 45º
(a.e.) com o eixo x. Os pontos A e B são dois vértices consecutivos de um quadrado [ABCD] e a
base de uma pirâmide quadrangular regular, com 7 cm de altura e situada no 1.º diedro.
Desenha as projecções da pirâmide.
Determinar as projecções do quadrado,
recorrendo do rebatimento do plano α para
o Plano Horizontal de Projecção, com hα
como charneira, para obter a V.G.; e
depois inverter o rebatimento, através de
rectas frontais.
Localizar o ponto O.
Construir a pirâmide, com uma recta
ortogonal p ao plano α, que será o eixo da
pirâmide.
O ponto V é o vértice da pirâmide.
Para obter a V.G. do segmento de recta
[OV], rebater um plano projectante
(plano de topo δ) que contém a recta p,
com hδ como charneira, rebatendo a
própria recta p.
f’2
f2
fα
p2 ≡ fδ
V2
C2
D2
(e’2)≡ H’’2
x ≡ e2 ≡ fδr
f1
Or
B2
O2
H’2 B1
H’’r≡ H’’1
C1
O1
Hr≡ H1
f’1
Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêm-se as projecções de V sobre
as projecções homónimas da recta p, permitindo a construção da pirâmide.
Na determinação da visibilidade, os vértices com menor afastamento estão
menos visíveis em projecção frontal, juntamente com todas as arestas que
nele convergem; os vértices com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas as arestas que nele
convergem.
D1
Br
A1 ≡ Ar
Vr
pr
A2 H2
H’r ≡ H’1
V1
Cr
Dr
hδ ≡ e’1 ≡ hδr
fr
f’r
p1
fαr
hα ≡ e1 ≡ hαr
Desenho à escala de 1:2.
São dados dois pontos, A (-1; 0; 3) e B (1; 3; 0), contidos num plano oblíquo δ, são vértices de
um triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º diedro, é a base de uma pirâmide triangular
regular, situada também no 1.º diedro. O triângulo [ABC] tem 8 cm de altura. O plano δ
intersecta o eixo x num ponto K, com –3 cm de abcissa. Desenha as projecções da pirâmide.
f2
Determinar as projecções do triângulo,
recorrendo do rebatimento do plano δ para
o Plano Horizontal de Projecção, com hα
como charneira, para obter a V.G.; e
depois inverter o rebatimento, através de
rectas frontais.
Localizar o ponto O.
Construir a pirâmide, com uma recta
ortogonal p ao plano δ, que será o eixo da
pirâmide.
O ponto V é o vértice da pirâmide.
Para obter a V.G. do segmento de recta
[OV], rebater um plano projectante
(plano vertical θ) que contém a recta p,
com fθ como charneira, rebatendo a
própria recta p.
f’2
fδ
fθ ≡ e’2 ≡ fθr
y≡ z
Vr
V2
pr
p2
C2
A2
O2
Or1
Fr≡ F1
(e’1) ≡ F1
x ≡ e2 ≡ hθr
A1
B2
K1 ≡ K2
O1
f’1
Invertendo o rebatimento do plano δ, obtêmse as projecções de V sobre as projecções
homónimas da recta p, permitindo a
construção da pirâmide.
Na determinação da visibilidade, os vértices
com menor afastamento estão menos visíveis
em projecção frontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem; os vértices
com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem.
H’2
H2
f1
C1
H’r≡ H’1
Hr≡ H1
B1 ≡ Br
Ar
Or
hδ ≡ e1 ≡ hδr
fδr
p1 ≡ h
θ
Cr
f’r
fr
V1
Projecção de uma Pirâmide com Base
Contida em Plano de Rampa
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr
São dados dois pontos, A (1; 3) e C (5; 0), contidos
num plano de rampa ρ, sendo A0C0 = 3 cm
(situando-se A à esquerda de C). Os pontos A e C
são dois vértices opostos de um quadrado [ABCD]
e a base de uma pirâmide quadrangular regular,
com 8 cm de altura. Desenha as projecções da
pirâmide.
V2
pr
r2
fρ
F2
Determinar as projecções do quadrado,
recorrendo do rebatimento do plano ρ para o
Plano Horizontal de Projecção, com hρ como
charneira, para obter a V.G.; e depois
inverter o rebatimento, através da recta s.
Invertendo o rebatimento, obtêm-se as
projecções de V sobre as projecções
homónimas da recta p, permitindo a
construção da pirâmide.
Na determinação da visibilidade, os
vértices com menor afastamento estão
menos visíveis em projecção frontal,
juntamente com todas as arestas que nele
convergem; os vértices com menor cota
estão menos visíveis em projecção
horizontal, juntamente com todas as
arestas que nele convergem.
F’2 ≡ F’r
A2
F’’2
s2
B2
O2
D2
Fr1
Construir a pirâmide, com uma recta
ortogonal p ao plano ρ, que será o
eixo da pirâmide.
O ponto V é o vértice da pirâmide.
Para obter a V.G. do segmento de
recta [OV], rebater um plano
projectante (plano de perfil π) que
contém a recta p, com fπ como
charneira, rebatendo a própria
recta p.
Vr
x ≡ e2 ≡ hπr
F1
H2
H’2 ≡ F’1 ≡ (e’1)
A1
Or1
ir
C2
H’r
F’’1
s1
B1
O1
D1
Hr ≡ H1
C1 ≡ Cr
H’1
hρ ≡ e1 ≡ hρr
r1
Dr
rr
Ar
fρr
Fr
V1
Or
Br
sr
F’’r
São dados dois pontos, A (-1; 5; 0) e B (-2; 0; 3),
vértices de um triângulo equilátero [ABC], que é a
base de uma pirâmide triangular regular, com 8 cm
de altura, situada no 1.º diedro e contida num plano
de rampa ρ. O vértice C do triângulo está à
esquerda do vértice A. Desenha as projecções da
pirâmide.
x ≡ e2≡ hπr
Invertendo o rebatimento, obtêm-se as
projecções de V sobre as projecções
homónimas da recta p, permitindo a
construção da pirâmide.
Na determinação da visibilidade, os vértices
com menor afastamento estão menos visíveis
em projecção frontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem; os vértices
com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem.
V2
Vr
y≡ z
pr
r2
Determinar as projecções do
triângulo, recorrendo do rebatimento
do plano ρ para o Plano Horizontal de
Projecção, com hρ como charneira,
utilizando o ponto B, para obter a
V.G.; e depois inverter o
rebatimento, através da recta s.
Construir a pirâmide, com
uma recta ortogonal p ao
plano ρ, que será o eixo da
pirâmide.
O ponto V é o vértice da
pirâmide.
Para obter a V.G. do
segmento de recta [OV],
rebater um plano
projectante (plano de perfil
π) que contém a recta p,
com fπ como charneira,
rebatendo a própria recta p.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr
s2
fρ
F’2
C2
B2 ≡ F2
F’’2 ≡ F’’r
O2
Or1
A2
H2
H’2
F’1
H’’2 ≡ F’’1 ≡ (e’1)
ir
B1 ≡ F1
C1
O1
s1
r1
H’r ≡ H’1
hρ ≡ e1 ≡ hρr
Hr ≡ H1
H’’1
A1 ≡ Ar
V1
Cr
Or
rr
sr
fρr
F’r
Br ≡ Fr
Br1
H’’r
Projecção de um Cubo com Base
Contida em Plano Passante
a1 ≡ a2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr
C’2
É dado um plano passante ρ, definido pelo
eixo x e por um ponto A (3; 2). Um cubo com
5 cm de aresta, situado no 1.º diedro, tem o
quadrado [ABCD], uma das faces do sólido,
contido no plano ρ. O lado [AB] do quadrado
faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.
Desenha as projecções do cubo.
D’2
B’2
s2
A’r
Construir o cubo, com uma recta
ortogonal a ao plano ρ, passando pelo
ponto A.
Para obter a V.G. do segmento de recta
[AA’], rebater um plano projectante
(plano de perfil π) que contém a recta a,
com fπ como charneira, para o Plano
Frontal de Projecção, rebatendo a
própria recta a.
Invertendo o rebatimento, obtêm-se as
projecções de A’, B’, C’ e D’, permitindo a
construção do cubo.
Na determinação da visibilidade, os vértices
com menor afastamento estão menos visíveis
em projecção frontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem; os vértices
com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem.
C2
r2
ar
D2
Determinar as projecções do quadrado,
recorrendo do rebatimento do plano ρ para
o Plano Horizontal de Projecção, com hρ
como charneira, para obter a V.G., via
triângulo de rebatimento para o ponto A.
A’2
ir
B2
Ar2
A2
x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr≡ hπr
Ar1
D’1
H1 ≡ H2 ≡ F1 ≡ F2 ≡ (e’1) ≡ Fr
A’1
B’1
A1
Ar
B1
D1
r1
C’1
Dr
C1
rr
s1
Cr
Br
sr
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ ≡ i1 ≡ i2 ≡ e’2 ≡ fπr
Cr
É dado um plano passante ρ que contém o
quadrado [ABCD], uma das faces de um
cubo, situado no 1.º diedro, com 5 cm de
aresta. O ponto A (4; 1) fica à esquerda de
B e tem um afastamento inferior a B. O
lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30º
com o eixo x. Desenha as projecções do
cubo.
rr
Dr
C’2 pr
D’2
Br
B’2
A’r
A’2
sr
s2
Determinar as projecções do quadrado,
recorrendo do rebatimento do plano ρ para
o Plano Frontal de Projecção, com fρ como
charneira, para obter a V.G., via triângulo
de rebatimento para o ponto A.
Ar
C2
r2
D2
B2
Ar1
A2
Construir o cubo, com uma recta
ortogonal a ao plano ρ, passando pelo
ponto A.
Para obter a V.G. do segmento de recta
[AA’], rebater um plano projectante
(plano de perfil π) que contém a recta p,
com fπ como charneira, para o Plano
Frontal de Projecção, rebatendo a
própria recta p.
Invertendo o rebatimento, obtêm-se as
projecções de A’, B’, C’ e D’, permitindo a
construção do cubo.
Na determinação da visibilidade, os vértices
com menor afastamento estão menos visíveis
em projecção frontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem; os vértices
com menor cota estão menos visíveis em
projecção horizontal, juntamente com todas
as arestas que nele convergem.
x ≡ fρ ≡ hρ ≡ e1 ≡ e2 ≡ fρr ≡ hρr ≡ hπr
H1 ≡ H2 ≡ F1 ≡ F2 ≡ (e’1) ≡ Fr
A’1
A1
B’1
r1
B1
D’1
D1
s1
C’1
C1
ir