GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Problemas Métricos
Distância entre Dois Planos
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
A distância entre dois planos é medida numa recta ortogonal aos dois
planos, para planos paralelos entre si. A distância entre dois planos é a
distância entre quaisquer dois pontos dos planos (um ponto de cada plano)
contidos numa mesma recta ortogonal aos planos.
α
A
δ
d
p
B
Distância entre Dois Planos Projectantes
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
fα
p2
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como os planos são projectantes
frontais, as intersecções são
determinadas nos cruzamentos da
projecção frontal da recta com os
traços frontais dos planos.
A distância de A a B é a distância entre
os dois planos. O segmento de recta
[AB] é um segmento de recta frontal,
pelo que a V.G. de AB está na
projecção frontal de AB, A2B2.
A2
fδ
V.G.
B2
x
p1
B1
A1
hα
hδ
São dados dois planos verticais, α e γ . O plano α faz um diedro de 45º (a.d.)
com o Plano Frontal de Projecção. O plano γ corta o eixo x num ponto situado 4
cm para a direita do ponto de intersecção do plano α com o eixo x. Determina
as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
fγ
fα
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
p2
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como os planos são projectantes
horizontais, as intersecções são
determinadas nos cruzamentos da
projecção horizontal da recta com os
traços horizontais dos planos.
A2
B2
x
B1
V.G.
A distância de A a B é a distância
entre os dois planos. O segmento de
recta [AB] é um segmento de recta
horizontal, pelo que a V.G. de AB está
na projecção horizontal de AB, A1B1.
A1
p1
hα
hγ
Distância entre Dois Planos Oblíquos
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
fγ
fα
p2
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como nem a recta nem os planos são
projectantes, as intersecções são
determinadas pelos cruzamentos dos
traços dos planos com as projecções da
recta, através do plano auxiliar γ, que é
projectante horizontal e contém a
recta p.
A distância de A a B é a distância entre
os dois planos. O segmento de recta
[AB] é um segmento de recta oblíquo,
pelo que a V.G. de AB tem que ser
obtida pelo processo de rebatimento.
fθ
i’2
F2
B2
i2
(fυ) ≡ e2
A2
x
H2
H’2
H’1
p1 ≡ hγ ≡ i1 ≡ i’ ≡ e1
1
hα
B1
H1
A1≡ Ar
V.G.
Br
hθ
F1
É dado um plano oblíquo α, ortogonal ao β1,3. O traço frontal do plano α faz um
ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano μ, paralelo ao plano α. O
plano μ corta o eixo x num ponto situado 8 cm para a esquerda do ponto de
intersecção do plano α com o eixo x. Determina as projecções e a V.G. da
distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a
recta p.
Depois, são determinados os pontos
de intersecção da recta p com os
planos. Como nem a recta nem os
planos são projectantes, as
intersecções são determinadas
pelos cruzamentos dos traços dos
planos com as projecções da recta,
através do plano auxiliar θ, que é
projectante frontal e contém a
recta p.
p2 ≡ fθ≡ i ≡ i’ ≡ e
2
2
2
fα
F’2
Br
fμ
B2
V.G.
x
(hφ) ≡ e1
H2
F2
A2 ≡ A
r
A1
F1
F’1
H1
A distância de A a B é a distância
entre os dois planos. O segmento
de recta [AB] é um segmento de
recta oblíquo, pelo que a V.G. de
AB tem que ser obtida pelo
processo de rebatimento.
B1
hμ
i1
i’1
p1
hθ
hα
São dados dois planos oblíquos e paralelos, θ e δ. O plano θ corta o eixo x num
ponto com -4 cm de abcissa, com o seu traço horizontal a fazer um ângulo de
45º (a.e.) com o eixo x, e o seu traço frontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.)
com o eixo x. O plano δ corta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa.
Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
y≡ z
fα
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a
recta p.
Depois, são determinados os pontos
de intersecção da recta p com os
planos. Como nem a recta nem os
planos são projectantes, as
intersecções são determinadas
pelos cruzamentos dos traços dos
planos com as projecções da recta,
através do plano auxiliar α, que é
projectante horizontal e contém a
recta p.
A distância de A a B é a distância
entre os dois planos. O segmento
de recta [AB] é um segmento de
recta oblíquo, pelo que a V.G. de
AB tem que ser obtida pelo
processo de rebatimento.
fδ
i2
p2
i’2
A2
(fυ) ≡ e2
B2
F1
x
H’2
H2
H1
A1≡ Ar
V.G.
hδ
F2
hθ
H’1
Br
B1
p1 ≡ hα ≡ i1 ≡ i’ ≡ e
1
1
fθ
Distância entre Dois Planos de Rampa via Rebatimento
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
Depois, são determinados os pontos
de intersecção da recta p com os
planos. Como nem a recta nem os
planos são projectantes, as
intersecções são determinadas pelos
cruzamentos dos traços dos planos
com as projecções da recta, através
do plano auxiliar π, que é plano de
perfil e contém a recta p.
Para se determinar os pontos A e B é
necessário recorrer ao processo de
rebatimento.
ArBr é a V.G. da distância entre os dois
planos.
Invertendo o rebatimento do plano π,
obtêm-se as projecções dos pontos A e
B, e do segmento de recta [AB].
p1 ≡ p2≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ hπr
fσ
F’2
fρ
F2
B2
A2
H2≡ F1 ≡ F’1 ≡ (e2)
x ≡ fπr
A1
B1
hρ
hσ
Ar
ir
i’r
H1 ≡ Hr
Fr
F’r
V.G.
Br
pr
São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ. O traço frontal do
plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de
afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois
planos.
p1 ≡ p2 ≡ fπ ≡ hπ≡ i1 ≡ i2 ≡ i’1 ≡ i’2 ≡ e1 ≡ h
πr
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a
recta p.
fσ
Depois, são determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos.
Como nem a recta nem os planos são
projectantes, as intersecções são
determinadas pelos cruzamentos dos
traços dos planos com as projecções
da recta, através do plano auxiliar π,
que é plano de perfil e contém a recta
p.
Para se determinar os pontos A e B é
necessário recorrer ao processo de
rebatimento.
F’2
ir
B2 F
2
fρ
A2
x ≡ fπr
A1
hρ
H2 ≡ F1 ≡ F’1 ≡ H’2≡ (e2)
Ar
F’r
i’r
V.G.
≡ Hr
B1 H1
ArBr é a V.G. da distância entre os dois
planos.
Invertendo o rebatimento do plano π, obtêmse as projecções dos pontos A e B, e do
segmento de recta [AB].
Fr
Br
pr
hσ
H’1 ≡ H’r
Distância entre Dois Planos de Rampa via Mudança de
Diedro de Projecção
Pretende-se as projecções e a V.G. da distância entre os dois planos.
2
4
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a recta p.
p1 ≡ p2
São determinados os pontos de
intersecção da recta p com os planos,
depois de transformar os dois planos
em planos projectantes via a mudança
de diedro de projecção. Um ponto
auxiliar P, que pertence a hρ, vai
permitir determinar h4ρ, que passa por
P4 e é concorrente com fρ no eixo x’.
fρ
A4 V.G.
P4
B4
B2
A2
P2
Invertendo a mudança de diedro de
projecção, obtêm-se as projecções dos
pontos A e B, e do segmento de recta
[AB].
A1
hρ
P1
B1
hσ
x’
A4B4 é a V.G. da distância entre os dois
planos, pois os dois planos são
projectantes horizontais, no novo
diedro de projecção.
h4ρ
x
h4σ
p4
fσ
2
1
São dados dois planos de rampa paralelos ao β2,4 , ρ e σ. O traço frontal do
plano ρ tem 2 cm de cota e o traço horizontal do plano σ tem 5 cm de
afastamento. Determina as projecções e a V.G. da distância entre os dois
planos.
p1 ≡ p2
2
4
Primeiro, é conduzido uma recta
ortogonal aos dois planos, a
recta p.
fσ
São determinados os pontos de intersecção
da recta p com os planos, depois de
transformar os dois planos em planos
projectantes via a mudança de diedro de
projecção. Um ponto auxiliar P, que pertence
a hρ, vai permitir determinar h4ρ, que passa
por P4 e é concorrente com fρ no eixo x’.
A4
A2
P2
h4ρ
P4
x
A1
Invertendo a mudança de diedro de
projecção, obtêm-se as projecções dos
pontos A e B, e do segmento de recta
[AB].
hρ
hσ
P1
B1
x’
A4B4 é a V.G. da distância entre os dois
planos, pois os dois planos são
projectantes horizontais, no novo diedro
de projecção.
h4σ
fρ
B4
V.G.
B2
2
1