DEFINIÇÃO DE VETOR; REPRESENTAÇÃO
GEOMÉTRICA DE VETORES; OPERAÇÕES COM
VETORES; VETORES DA BASE CANÔNICA.
AULA 2
AFINAL DE CONTAS...
NOÇÃO INTUITIVA
• Grandezas escalares: ficam completamente definidas por
apenas um número real ( acompanhado de uma unidade
adequada). Exemplos: Comprimento, área, volume, etc.
• Grandezas Vetoriais: não ficam completamente definidas pelo
seu módulo, ou seja, pelo seu número e sua unidade
correspondente. Assim, precisamos conhecer seu módulo (ou
comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido.
Exemplos: Força, Velocidade, aceleração, etc.
NOÇÃO DE DIREÇÃO E SENTIDO
Observe as figuras a seguir:
Observações:
• A noção de direção é dada por uma reta e por toda as que lhe são
paralelas. Ou seja, retas paralelas tem mesma direção;
• A cada direção podemos associar dois sentidos.
DEFINIÇÃO DE VETOR E
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados, ou seja, é o
conjunto de todos os segmentos equipolentes a um segmento orientado AB, que foi
dado. O vetor nulo é aquele representado por todos os segmentos orientados nulos.
B
A
𝑣
NOTAÇÕES UTILIZADAS
O vetor determinado pelo segmento orientado AB é indicado, usualmente, por 𝑣 =
AB ou pela notação de Grassmann 𝑣 = (B – A), que corresponde a uma diferença
simbólica entre a extremidade e a origem do vetor.
B
𝑣 = AB = (B – A)
A
IGUALDADE DE VETORES
Dois vetores AB e CD são iguais (ou são o mesmo vetor) se, e somente se, os
segmentos orientados AB e CD são equipolentes. Como todos os segmentos nulos
são equipolentes entre si, eles determinam um único vetor, chamado vetor nulo e
indicado por 0.
A
B
C
D
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
É a distância da origem à extremidade de um segmento orientado que o represente.
y
dAB = |AB| =
B
y2
y2 – y1
y1 A
O x1
y
x2 – x1
x2
x
𝑥2 − 𝑥1
2
+ (𝑦2 − 𝑦1)²
MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR
Exemplo
Dados os vetores 𝑢 = (−1, 3) e 𝑣 = (−2, −1), determinar
a) |𝑢|
b) |𝑢 + 𝑣|
OPERAÇÕES COM VETORES
Multiplicação de um vetor por um escalar
Dado um vetor 𝑣 (não nulo) e um escalar k (não nulo), a multiplicação de k por
𝑣 resulta o vetor k𝑣, múltiplo escalar de 𝑣, determinado da seguinte maneira:
 k𝑣 possui a mesma direção de 𝑣;
 se k > 0, então k𝑣 tem o mesmo sentido de 𝑣; se k < 0, então k𝑣 tem sentido
oposto ao de 𝑣;
 a magnitude de k𝑣 vale |k| vezes a magnitude de 𝑣, isto é, |k𝑣 |=|k||𝑣|.
1
𝑣
2
𝑣
−1𝑣 = −𝑣
−3𝑣
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de vetores
Definimos a adição de vetores 𝑢 e 𝑣 (não nulos) da seguinte maneira:
posicionamos os vetores de modo que suas origens coincidam e formamos um
paralelogramo. Esta regra para a adição de vetores é conhecida como regra do
paralelogramo.
𝑣
𝑢+𝑣
𝑢
OPERAÇÕES COM VETORES
De maneira semelhante à regra do paralelogramo, podemos também definir a
adição dos vetores 𝑢 e 𝑣 da seguinte maneira: posicionamos a origem de 𝑣 sobre a
extremidade de 𝑢, o vetor soma 𝑢 + 𝑣 é o vetor cuja origem é a origem de 𝑢 e
extremidade é a extremidade de 𝑣.
𝑢+𝑣
𝑣
𝑢
OPERAÇÕES COM VETORES
Podemos também adicionar 𝑢 e 𝑣 posicionando a origem de 𝑢 sobre a extremidade
de 𝑣, o vetor soma 𝑣 + 𝑢 é o vetor cuja origem é a origem de 𝑣 e extremidade é a
extremidade de 𝑢
𝑢
𝑣
𝑣+𝑢
OPERAÇÕES COM VETORES
A subtração de vetores não é definida. A expressão 𝑣 – 𝑢 deve ser entendida como
a adição do vetor 𝑣 com o vetor oposto de 𝑢, isto é,
𝑣 – 𝑢 = 𝑣 + (– 𝑢)
𝑣
𝑣−𝑢
−𝑢
VETORES EM V3
Três vetores em V3 tem papel especial.
Sejam
𝑖 = (1, 0, 0)
𝑗 = (0, 1, 0)
𝑘 = (0, 0, 1)
VETORES DA BASE CANÔNICA
 Estes vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘 são chamados vetores da base canônica.
 Ele tem comprimento 1 e direção e sentido dos eixos x, y e z positivos.
VETORES DA BASE CANÔNICA
 Da mesma forma, em duas dimensões, definimos:
𝑖 = (1, 0)
𝑗 = (0, 1)
VETORES DA BASE CANÔNICA
 Se 𝑎 = (a1, a2, a3), então podemos escrever:
𝑎 = (a1, a2, a3)
𝑎 = (a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, a3)
𝑎 = a1(1, 0, 0) + a2(0, 1, 0) + a3(0, 0, 1)
𝑎 = a1𝑖 + a2𝑗 + a3𝑘
VETORES DA BASE CANÔNICA
 Assim, qualquer vetor em V3 pode ser expresso em ternos de 𝑖, 𝑗 e 𝑘.
Por exemplo,
(1, −2, 6) = 𝑖 − 2𝑗 + 6𝑘
VETORES DA BASE CANÔNICA
 Da mesma forma, em duas dimensões, podemos escrever
𝑎 = (a1, a2)
𝑎 = a1𝑖 + a2𝑗
REFERÊNCIAS
LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e
exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books,
2000.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009.
CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro:
Interciência, 2006.
CENGAGE LEARNING 2010.