MATEMÁTICA
TEORIA DOS CONJUNTOS
Conjuntos: Lista, coleção, agrupamento ou classe de objetos bem definidos
Objetos: Qualquer coisa: números, pessoas, letras, rios, etc... .
Elementos ou membros de um conjunto
Exemplos :
1. Os números 1, 3, 7 e 10
2. As vogais do alfabeto: a, e, i, o e u
3. As pessoas que habitam a Terra
4. Os alunos que faltaram à aula
5. Os times de futebol do estado de São Paulo
6. Os números 2, 4, 6, 8, ...
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Notação:
Conjuntos: Letras maiúsculas: A, B, X, Y, ...
Elementos: Letras minúsculas: a, b, x, y, ...
A  a, e, i, o, u
• Descrição pela citação dos elementos:
B  1,3,7,10
X  2, 4,6,8,...
A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra }
• Descrição por uma propriedade: B = { x I x é um rio do Brasil }
X = { x I x é um número primo positivo }
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Diagrama de Euler - Venn:
A  a, e, i, o, u
B  1,3,7,10
A
a e i
o u
B
1 3 7
10
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A
b A
e A
w A
a
A  a, e, i, o, u
• a pertence ao conjunto A
• b NÃO pertence ao conjunto A
X
8 X
13  X
1 X
2
X = { x I x é um número primo positivo }
1 Não é um número primo
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U
A
a e i
o u
Conjunto
Universo
A
bA
e A
w A
a
b
w
É o conjunto mais amplo em que está inserido o conjunto em estudo
Ex:
U pode ser o conjunto das letras do alfabeto e A o conjunto das vogais
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• Conjunto Unitário : Aquele que possui um único elemento
B
A={2}
a
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• Conjunto Vazio : Aquele que não possui nenhum elemento
A={}
ou
A=Ǿ
A = { x I x é um habitante da Terra com mais de 200 anos }
OBS:
A = {Ǿ } Conjunto unitário da letra norueguesa Ǿ
Não representa um conjunto vazio
A=Ǿ
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• Conjuntos Iguais :
Dois conjuntos são iguais se, e somente se,
possuem os mesmos elementos
A  B  x  x  A  x  B 
Ex:
A = { a, b, c, d, e }
B = { a, b, c, d, e }
A=B
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• A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 1, 4, 2 }
A=B
• C = { 5, 6, 5, 7 }
D = { 7, 5, 7, 6 }
C=D
•A
1 5 9
7 10
B
1 5 8
7 10
A≠B
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• Subconjuntos : A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A
é também elemento do conjunto B .
A é subconjunto de B
 x  x  A  x  B 
U
B
9
7 A 1
10
A é subconjunto de B
5
A B
A está contido em B
BA
B contém A
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U
B
A é subconjunto de B
c
d A a
b
e
C = { 5, 6, 3, 2 }
A B
A está contido em B
BA
B contém A
D = { 3, 5, 7, 6 }
CD
C não é subconjunto de D
C não está contido em D
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OBS :
• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
 A
A
• Qualquer conjunto é subconjunto dele mesmo
A A
A A
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Conjunto das Partes: Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A
e representamos por P(A), o conjunto de todos os
subconjuntos do conjunto A.
C = { x, y, z }
P(A) = { Ǿ, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y. z}, {x, y, z} }
n(A) = número de elementos de A = 3
n(P(A)) = número de elementos do conjunto das Partes de A = 2n(A) = 23 = 8
n(P(A)) = 2n(A)