Conjuntos
Zenão de Eléia (filósofo grego) , viveu entre 490 e 430 a.
C., já estudava e se preocupava com o conceito de
conjuntos e a sua imensidão.
Em 1872 Georg Cantor (1845 – 1918), definiu
e classificou os conjuntos através da “Teoria
dos conjuntos”.
Além da definição e de muitas outras
contribuições, a teoria dos conjuntos unificou a
linguagem em todos os ramos da matemática.
Definição
Conjunto: representa uma coleção de objetos, geralmente
representado por letras maiúsculas;
Ex: A = {1, 2, 3}, “está entre chaves”
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto,
geralmente representado por letras minúsculas.
Ex: 1, 2, 3 “não tem chaves”
Pertinências
 Pertence
ou não pertence (
)
É usado entre elemento e conjunto.
 Contido ou não contido (
)
É usado entre subconjunto e conjunto.
 Contém e não contém (
)
É usado entre conjunto e subconjunto.
Igualdade de
conjuntos
 Dois
conjuntos são iguais quando possuem
os mesmos elementos.
Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}
OBS:
A quantidade de vezes que os elementos
dos conjuntos aparem não importa.
Conjuntos vazio
unitário e Universo
Conjunto
vazio ( { } ou Ø )
É o conjunto que não possui elementos.
Conjunto
Unitário ( { a }, { Ø } )
É conjunto formado por um elemento.
Conjunto
Universo ( U )
É conjunto formado por todos
elementos de um assunto trabalhado.
os
Subconjuntos e a
relação de inclusão

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de
outro conjunto B quando todos os elementos de A
também pertencem a B. Por exemplo:
A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
 Nesse caso A é subconjunto de B, (
).
 O conjunto B é subconjunto de si mesmo, pois
todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
 OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é um
subconjunto de todos os conjuntos.
Conjunto das partes
ou potência
Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, P(A) , como o conjunto
que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio
conjunto A).
Uma maneira prática de determinar P(A) é pensar em todos os subconjuntos com um
e
l
e
m
e
n
t
o
,
d
e
p
o
i
s
t
o
d
o
s
o
s
s
u
b
c
o
n
j
u
n
t
o
s
c
o
m
d
o
i
s
e
l
e
m
e
n
t
o
s
,
e
a
s
s
i
m
p
o
r
d
i
a
n
t
e
.
Exemplo:
S
e
A
=
{
1
,
2
,
3
}
,
e
n
t
ã
o
P
(
A
)
=
{
, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
Observação:
S
e
o
c
o
n
j
u
n
t
o
A tem n elementos, o conjunto P(A) terá 2n elementos. Ou seja:
n
P(A) = 2
Complementar de um
conjunto
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o
conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a
A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja
subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a
A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo .
Matematicamente:
Exemplo:
Dados U = {1, 2, 3,4} e A = {1, 2} determine
:
={3, 4}
Operações entre
conjuntos
União ou reunião
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses
conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:


{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
{n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições
de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois
candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos
elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto
nos leva à seguinte definição geral.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B
(ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
 OBS:Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento
comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras,
dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao
conjunto vazio.
Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos
eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições
de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em
Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o
conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:



{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø
Número de elementos
da reunião de
conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o
número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com
cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o
número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a
seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B)