Integral
Autores:
Sílvia Maria Medeiros Caporale
João Paulo Rezende
Karine Angélica de Deus
Colaboradores:
José Antônio Araújo Andrade
Marielle Aparecida Silva
Uma ideia intuitiva do conceito de integral pode
surgir de um procedimento simples, porém
engenhoso, desenvolvido por Arquimedes na
Grécia Antiga.
O cálculo de áreas de figuras planas pode
ser trivial, quando se trata de uma figura
conhecida como um quadrado, por
exemplo.
O problema é que em diversas situações temos que
calcular áreas de superfícies totalmente irregulares
como essa que vocês vêem.
Arquimedes resolveu esse problema, aproximando a
área da figura irregular à soma de áreas de figuras
conhecidas.
No nosso exemplo, utilizaremos o quadrado. Sobrepondo
diversos quadrados sobre a figura dada, podemos dizer que
sua área se aproxima da soma das áreas de todos os
quadrados inscritos na figura.
Mas parece
que nossa
aproximação
não é das
melhores.
Porém, se
reduzirmos o
tamanho dos
quadrados,
podemos
perceber que a
aproximação fica
um pouco,
melhor.
Procedendo
assim,
sucessivamente,
pode-se obter
uma
aproximação tão
precisa quanto
se queira.
Procedendo
assim,
sucessivamente,
pode-se obter
uma
aproximação tão
precisa quanto
se queira.
Veremos adiante, o quanto esse procedimento
pode nos ser útil para compreendermos a idéia
intuitiva de Integral definida. Mas antes, vejamos
um exemplo que norteará nossas discussões.
Diversas
situações
cotidianas
podem
ser descritas
através
O
ato de
encontrar
esse
modelo,
que
pode
ser umase
equação
Imagine
um carro,
ao longo
de uma
estrada,
deouuma
ousemodelo
umarelação
função,
chamamatemático.
modelagem.
movendo
com
uma
velocidade
constante.
Singapore Flyer,
165 metros de
altura.
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação
da distância com relação ao tempo,
S
V  Vm 
t
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação
da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a
distância percorrida, analisando o
comportamento da velocidade.
S
V  Vm 
t
Sabendo que a velocidade é a taxa de variação
da distância com relação ao tempo,
podemos encontrar modelos, que descrevem a
distancia percorrida, analisando o
comportamento da velocidade.
Isolando
S o ∆S, teremos:
V  Vm 
t
S  V .t
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade
constante de
e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade
constante de
e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por
este carro?
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade
constante de
e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por
este carro?
Suponha que esse carro esteja a uma velocidade
constante de
e viaja, com a mesma
velocidade, por .
Nesse caso, qual seria a distância percorrida por
este carro?
Tempo (s)
1
2
3
4
Velocidade (m/s)
20
20
20
20
S  V .t
Logo, a distância percorrida
por esse carro:
Vejamos o gráfico dessa
situação...
Observe que a distância
percorrida é exatamente
a área da figura sob o
gráfico, logo:
E quando a velocidade
não for constante?
É interessante analisarmos essa situação pois,
normalmente os carros tem velocidades que
variam de acordo com o tempo.
Voltemos ao nosso exemplo:
Imagine que depois dos quatro
segundos, nosso carro aumente
a cada instante de tempo sua
velocidade em
Tempo
(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
Velocidade
(m/s)
20
20
20
20
24
28
32
36
Tempo
(s)
Velocidade
(m/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
20 20 20
20
24
28
32
36
Assim, a velocidade entre
4 e 8 segundos será dado pela
expressão:
Vejamos o gráfico dessa
situação...
Observe que a distância
percorrida é exatamente
a área da figura sob o
gráfico, logo:
Como calcular a
distância percorrida,
ou seja, como determinar
a área sob o gráfico?
Área de um
polígono inscrito.
Isto nos sugere fazer tender a largura dos
retângulos a zero e assumir a área sobre o gráfico
como um valor limite da soma das área
.
Vejamos:
Seja
o número de
subintervalos que dividimos
,ou seja
, para nosso
caso.
Dessa forma, a largura dos
retângulos é dado por:
Podemos aumentar cada
vez mais a quantidade de
subintervalos (n)
e assim, teremos que a
área será o limite das
aproximações da
área
quando os subintervalos
(n) crescem sem parar.
Logo, a área sob a curva é dada por:
Integral definida
Resolver a Integral definida acima é
encontrar uma função F(x) cuja derivada
resulta na f(x), e substituir em F(x), x = b
e x = a.