LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
Parte II
Escoamento Livre
Gilberto Queiroz da Silva
I
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
Parte II
Escoamento Livre
NOVEMBRO DE 2014
II
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
GILBERTO QUEIROZ DA SILVA
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto
Endereço para contato:
Gilberto Queiroz da Silva
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas/UFOP
Campus Universitário do Morro do Cruzeiro
35.400-000 – Ouro Preto, MG
gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546
Copyright  Gilberto Queiroz da Silva
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
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Dedicatória
IV
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Informações sobre o autor:
V
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
CONTEÚDO
Prefácio .............................................................................................................. X
Agradecimentos .................................................................................................XI
Escoamento em Condutos Livres .
...................................................................1
1. Generalidades ..................................................................................................1
1.1. Tipos de Escoamentos .............................................................................7
1.2. Elementos da Seção Transversal ............................................................8
Tipos de seções transversais ...................................................................7
1.3. Variação da pressão na seção transversal .............................................9
1.4. Profundidade média .............................................................................10
1.5. Distribuição de velocidades nos canais ...............................................10
1.5.1. Variação da velocidade numa seção transversal de um canal..11
1.5.2. Variação da velocidade segundo a vertical ............................
1.5.3. Determinação da velocidade média segundo uma vertical ......
2. MÉTODO DE MEDIÇÃO DE VAZÃO EM RIOS....................................
2.1. Método da meia seção para cálculo de vazão nos cursos d´água.......
2.2. Método da seção média para o cálculo da vazão em cursos d´água......
2.3. Método dos flutuadores para a determinação da vazão em
cursos d´água ........................................................................................
2.4. Velocidade média e limites práticos ...................................................
3. CARACTERÍSTICAS DOS ESCOAMENTOS LIVRES ........................
3.1. Tipos de Escoamentos.........................................................................
completar ......
1
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES (CANAIS)
1. Generalidades
O escoamento da água com uma superfície livre sujeita à pressão
atmosférica é um dos problemas que os engenheiros enfrentam e que são
resolvidos com a aplicação de teorias e métodos da hidráulica dos canais
abertos. Tais escoamentos são representados pelos escoamentos que acontecem
em rios, canais, canais de drenagem, canaletas, calhas, condutores de água
pluvial, bueiros e nos pequenos cursos d’água de diversas naturezas. Em tais
escoamentos a determinação do nível da água é parte integrante do problema e o
escoamento formado é denominado escoamento em canais.
O equacionamento dos escoamentos com superfície livre fica mais
complicado visto que está presente um grande número de variáveis que
caracterizam o escoamento real. Assim é preciso fazer hipóteses simplificadoras
de forma a se obter um resultado mais simples e que possa ser compreendido
mais facilmente. As hipóteses simplificadoras serão tanto melhores quanto mais
o resultado obtido se aproximar dos valores reais observados. Em muitos casos,
a complexidade dos problemas pode ser representada pela introdução de
coeficientes empíricos, determinados experimentalmente, que tornam os
resultados teóricos aceitáveis.
São também chamados de escoamento em canais;
• São escoamentos em que o líquido possui uma superfície livre
sujeita à pressão atmosférica;
• O contorno sólido do escoamento não é completamente fechado,
apresentando uma superfície livre em contato com o ar atmosférico;
principal força responsável pelo escoamento
2
força gravitacional
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Exemplos de escoamentos livres:
• cursos d’água, riachos, ribeirões e rios;
• canais artificiais: geração de energia elétrica, irrigação, abastecimento,
drenagem ou controle de cheias;
• galerias pluviais e coletores de esgotos;
• canaletas, calhas e túneis canais.
Na figura xx representa-se os escoamentos em um canal de seção
trapezoidal e em um canal de seção circular.
Fig. xx - Desenho esquemático de escoamentos livre em canais de seção trapezoidal e
em canais de seção circular.
Os escoamentos serão representados pela sua seção transversal ao
escoamento conforme ilustrado na figura xx, nos casos de escoamentos livres e
de escoamento em conduto forçado (caso d).
Fig. xx - Seções transversais para: a) Canal Trapezoidal, b) Canal Circular parcialmente
cheio, c) canal circular a seção plena, d) Duto sob pressão
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
•
A solução exata dos problemas de escoamento em canais é mais
complexa que a dos escoamentos em tubos, devido à forma variável da
seção, à variação do grau de rugosidade das paredes e à variação da
altura na lâmina d’água, declividade do fundo, etc.
1.1. TIPOS DE ESCOAMENTOS:
Escoamentos em condutos livres se classificam em diversas categorias,
principalmente no que diz respeito à variação das grandezas no espaço e no
tempo. Alteração das características do escoamento tais como áltura da lâmina
d´água, área da seção, perímetro molhado, velocidade do escoamento, etc, dá
origem a diferentes tipos de escoamentos, sintetizados no quadro seguinte.
Permanente
Não permanente
Uniforme
CLASSIFICAÇÃO
Variado (não
uniforme)
Laminar
Turbulento
Paralelo
Não paralelo
as grandezas, tais como vazão, velocidade,
profundidade e área não variam com o tempo:
Q = constante.
as grandezas, tais como vazão, velocidade,
profundidade e área variam com o tempo: Q =
variável (onda de cheia).
velocidade, vazão e profundidade
permanecem constantes com a posição.
velocidade, vazão e profundidade variam com
a posição (crista de vertedor): gradualmente e
bruscamente variado.
Fluido escoa em lâminas aproximadamente
paralelas, sendo que uma porção não se
mistura com outras.
Fluido se movimenta de forma complexa,
formando turbilhões.
Filetes fluidos são aproximadamente
paralelos.
Filetes fluidos divergentes ou convergentes.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
No escoamento uniforme a redução da energia potencial devida à queda
na altura ocorre através da dissipação de energia por atrito e por turbulência.
Assim, velocidade, área, vazão e profundidade permanecem constantes. Esse
regime pode acontecer em canais longos, de inclinação e seção reta constantes,
distantes de estruturas de controle da água.
Assim, em qualquer canal com rugosidade, de seção reta
e inclinação constantes, existe, para uma dada vazão,
apenas uma profundidade da água, ho, para a qual o
escoamento será uniforme.
Em canal longo, de forma
geométrica, rugosidade e
inclinação constantes
a água escoa pela ação da
gravidade, com velocidade, V, e
profundidade, h.
Forças que movem o líquido = Forças de atrito (resistência)
Aumento de declividade:
V aumenta
h diminui
Fmov =Fresist;
Vazão constante
Escoamento permanente \
V e H constantes
Escoamento uniforme
linha d’água paralela ao fundo
/
Nos escoamentos permanentes, a vazão e as demais grandezas
envolvidas não variam com o tempo em um dado ponto. Matematicamente,
podemos expressar tal condição afirmando que ∂[grandeza]/∂t = 0. Já nos
escoamentos não permanentes, tanto a vazão como as demais grandezas
presentes no escoamento variam com o tempo em uma dada posição do espaço.
Matematicamente, escreve-se que ∂[grandeza]/∂t ≠ 0. As equações são mais
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
complexas e, em geral não têm uma solução analítica, requerendo o uso de
métodos computacionais que irão fornecer uma solução numérica. Em geral são
escoamentos temporários e que, com o passar do tempo tornam-se permanentes.
É o caso do estudo das enchentes, representados por uma onda de cheia que se
propaga ao longo do canal, tornando o escoamento variável no tempo e variado
no espaço.
Nos escoamentos gradualmente variados as grandezas presentes variam
pouco ao longo do eixo do canal. O nível d’água varia pouco devido a
introdução de uma estrutura destinada a controlar o escoamento. Nesse caso
pode-se admitir que as pressões variam de forma hidrostática (proporcional à
altura da água). É o caso da elevação do nível da água necessária para atravessar
uma represa destinada a armazenar água. Nesse caso, as forças gravitacionais e
as forças devidas à viscosidade podem ser consideradas em equilíbrio para
pequenos trechos do escoamento.
Em muitos casos, o escoamento é bruscamente variado pois mudanças
nas grandezas ocorrem de maneira rápida e em pequenos trechos dos
escoamentos. Esse é o caso da elevação brusca do nível da água que se observa
no ressalto hidráulico ou mesmo na saída de comportas de fundo instaladas em
reservatórios de acumulação de água.
Em todos os casos dos escoamentos em canais, o conhecimento da
seção transversal do escoamento (perpendicular à direção do escoamento) é de
fundamental importância, pois os elementos geométricos envolvidos devem ter
relações definidas com os elementos hidráulicos.
1.2. ELEMENTOS DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Considere uma seção transversal de um curso d’água de forma
arbitrária, conforme ilustrado na Fig. Xx, onde o eixo das abscissas, Ox, é
horizontal e disposto ao longo do eixo do curso d’água (normal à figura). O eixo
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
das ordenadas, Oy, está na horizontal, perpendicularmente ao eixo principal do
escoamento e o eixo das cotas, Oz, é vertical e com sentido contrário ao da
gravidade. A superfície livre é horizontal e está a uma distância h do nível mais
baixo do fundo. Para essa seção transversal foram desenhadas as curvas de igual
velocidade para o escoamento.
Fig. Xx – Esquema de uma seção transversal ao escoamento, de forma genérica, com as
coordenadas usadas na sua definição e as curvas de igual velocidade.
Características da seção transversal:
Profundidade, h: distância vertical entre o ponto mais baixo da seção
transversal do canal e a superfície livre do líquido.
Largura na superfície, B: distância horizontal entre margem esquerda e direita,
medida na superfície livre.
Área Molhada, A: área da seção transversal perpendicular à direção do
escoamento.
Perímetro molhado, P: comprimento da linha de contorno da área molhada.
Raio Hidráulico, RH: relação entre área molhada e perímetro molhado.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tipos de seções transversais:
1. simples:
Retangular:
A=Bh
B=b
P = B + 2h
RH = Bh/(B + 2h)
Trapezoidal:
tgθ = 1/z e z = cotgθ
A = h(b + zh)= (B + b) h / 2;
B = b + 2zh
P = b + 2h 1 + z 2
h(b + zh)
RH =
b + 2h 1 + z 2
Se z = 0
retângulo;
Se b = 0
triângulo;
Triangular:
tgθ = 1/z e z = cotgθ
A = Bh/2 = h2 z
B = 2hz
P = l + l = 2h 1 + z 2
Bh
hz
RH =
=
4l 2 1 + z 2
Circular:
sendo θ medido em radianos
cos
θ
2
=
R−h
h
h
ou
=1− = 1− 2
R
R
D
A = AAEB = Asetor OBEC - Atriangulo OBC. =
8


θ = 2 arccos1 − 2
ho 
,
D
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A=
R2
R2
θ − senθ 2 ou
senθ =
R
θ−
2
2
2
A=
D2
(θ − senθ ) ou A = D 2 2 arccos1 − 2 h  − 41 − 2 h  h 1 − h  
8
8 
D 
D  D  D 



θ
ou B = 2 h( D − h)
2
P = arco BEC ou P = (D/2).θ ou
P = D arccos( 1 − 2 h / D )
D  senθ 
RH = A / P ou Rh = 1 −

4
θ 
B = Dsen
Parabólica:
A = 2Bh/3
B = 3A/(2h)
2
2 

B
B  4h
h
 h  
P=
1 + 16  + ln
+ 1 + 16 
2
4h  B
B
 B  



RH = A / P
2. Compostas
Triangular/retangular
Definir equações de A, P e Rh
Triangular de fundo arredondado
)
(
A = zh 2 + 2 R(h − R) 1 + z 2 − z + R 2 arc cot z
[
P = 2[(h − R) 1+ z
B = 2 z (h − R) + R 1 + z 2
2
]
+ R( z + arc cot z)
9
]
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Retangular de fundo arredondado
π

A =  − 2  r 2 + (b + 2 r ) h
2

P = (π − 2) r + b + 2h
B = b + 2r
3. Naturais
Fig. xx - Canal natural de leito simples e de leito múliplo
A = f(y);
B = f1 (y) e P = f2 (y)
1.3. VARIAÇÃO DA PRESSÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL
Distribuição de p é muito importante no estudo do escoamento em canais:
∆p = pf - patm
Fig. xx - Perfil longitudinal de um escoamento em canal
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Se o escoamento é paralelo: a pressão tem distribuição hidrostática e
varia linearmente com a profundidade.
p = ρgh = γh com d = h cosθ
p = ρgd / cosθ
Se θ ≤ 10º (1:5,7)
declividade pequena: h ≈ d
Se θ > 10 (1:5,7)
declividade grande: h ≠ d.
º
p = γ h.
1.4. Profundidade Média
Também denominada de profundidade hidráulica é a relação entre a
área da seção transversal do escoamento e a largura na superfície
.
dA = bdh
h
A = ∫ bdh
0
h=
A
B
1.5. DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADES NOS CANAIS
Em uma seção transversal ao escoamento, a velocidade varia com a
posição, devido a presença das forças cisalhantes que geram atrito contra o
fundo e nas paredes laterais do canal. Diz-se que a velocidade do escoamento é
função da posição.
Forças cisalhantes (atrito):
água/fundo;
água/ar
11
água/paredes laterais;
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
dA → v ;
dQ = vdA ;
Q = ∫ vdA
A
Para representar o escoamento de uma forma geral, usa-se determinar
um valor para a velocidade, denominada de velocidade média, tal que:
V =Q
A
V =
ou
1
vdA
A ∫A
Esse valor é que deverá ser usado na solução macroscópica dos
problemas relativo ao escoamento nos condutos com superfície livre.
Em geral, a velocidade dos escoamentos nos canais é uma função da
posição e do tempo. Nos escoamentos permanentes, a dependência é apenas da
posição e, nesse caso, diz-se que:
V = f(x,y,z)
1.5.1. Variação da velocidade numa seção transversal de um canal:
Quando se considera uma seção transversal ao escoamento em um
canal, observa-se que a distribuição da velocidade não é uniforme. O efeito da
tensão cisalhante (devida à viscosidade) nas paredes laterais, no fundo e na
superfície livre em contato com o ar age de maneira desigual, com reflexo na
falta de uniformidade da velocidade na seção transversal. A distribuição de
velocidades referida irá depender da forma da seção e das condições
hidrodinâmicas do escoamento.
Na figura xx ilustra-se a distribuição das velocidades medidas ao longo
de linhas horizontais em diversos pontos da seção transversal de um escoamento
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
em canal de fundo curvo e paredes quase verticais. Observar que muito próximo
da parede a velocidade já assume valores consideráveis, tendendo a ter uma
menor variabilidade na região central. Isso é devido à presença da camada
limite.
Fig. Xx – Esquema de variação da velocidade numa seção transversal de um canal.
Na seção transversal ilustrada pode ser observado, ainda, que a
velocidade máxima não ocorre na superfície livre e sim um pouco abaixo dela.
Em escoamentos em canais rasos e de maior velocidade a velocidade máxima se
encontra mais próxima à superfície. A rugosidade do leito provoca uma maior
variação da velocidade segundo uma direção vertical. Em uma curva a
velocidade na parte exterior da é maior e menor na parte interior.
Com o conhecimento das velocidades em diversos pontos da seção
transversal é possível traçar curvas de igual velocidade, com intervalos
convenientes, mostrando mais claramente como ocorre a distribuição de
velocidades. Tais linhas são denominadas de isótacas, usadas para avaliação da
vazão escoada.
ISÓTACA: linha de igual velocidade em uma seção transversal do
escoamento.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
As figuras seguintes ilustram a distribuição de velocidade ao longo das
seções transversais para algumas formas geométricas da seção.
Seção retangular: Se a seção é de maior largura que a altura existe
diferenças significativas na distribuição de velocidades, conforme lustrado na
figura xx.
Figura XX - Isótacas em seções retangulares larga e estreita.
Seção triangular: A figura xx mostra um esquema da distribuição de
velocidades em um escoamento em canal de seção triangular.
Figura xx - Distribuição de velocidades em um escoamento livre de seção
triangular
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Seção trapezoidal: é muito utilizada na construção de canais. A figura
xx mostra um esquema da distribuição de velocidades nos escoamentos que
utilizam a seção trapezoidal.
Figura xx - Distribuição de velocidades em um escoamento livre de seção
trapezoidal
Seção circular: Os escoamentos livres que ocorrem com seção
transversal de forma circular possuem uma distribuição de velocidades
dependente da altura da Lâmina d´água, conforme ilustrado na figura xx.
Figura xx - Distribuição de velocidades em um escoamento livre de seção
circular de maior profundidade em valo raso.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Seção natural: É encontrada nos cursos d´águas naturais e costuma ser
muito irregulares, inclusive apresentando leitos múltiplos, conforme ilustrado na
figura xx, que apresenta um esquema da distribuição irregular de velocidades.
Figura xx - Distribuição de velocidades em um escoamento livre em um curso
d´água natural com dois leitos.
1.5.2. Variação da velocidade segundo a vertical:
Se considerarmos uma direção vertical pertencente a uma determinada
seção transversal do escoamento em canais, observa-se que a velocidade é
função da altura h, variando desde um valor nulo no fundo do canal até um
valor na superfície de contato entre a água e o ar, onde age a pressão
atmosférica, passando por um valor máximo próximo a essa superfície livre. Na
figura xx ilustra-se o perfil de velocidades segundo uma vertical de um
escoamento em canal para duas situações: fundo rugoso e fundo liso. Observar
que já bem próximo a fundo a velocidade tem um valor significativamente
diferente de zero, sendo menor no caso do leito rugoso. No caso do fundo liso a
curva que forma o perfil de velocidades é mais suave.
16
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Figura xx - Comparação do perfil de velocidades para o escoamento em um
canal de leito liso e de leito rugoso.
A velocidade também se distribui de maneira diferente, quando várias
verticais traçadas ao longo da seção transversal são comparadas. Assim
constata-se que ao longo de toda a seção transversal de um escoamento em
canal a velocidade varia desde zero no fundo ou nas paredes laterais, até um
valor máximo próximo ao centro e à superfície livre. Diversas verticais possuem
distribuição de velocidade com a altura diferentes, conforme exemplifica a
figura xx.
Figura xx - Perfis de velocidade em verticais diferentes
17
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Para um escoamento em canal conforme ilustrado na figura xx, as
verticais 1, 2 e 3 terão diferentes distribuições de velocidades.
Figura xx - Variação da velocidade em verticais distintas.
A
velocidade
segundo
uma
vertical
tem
uma
distribuição
aproximadamente parabólica com a altura medida à partir do fundo. Para
representar a distribuição de velocidades ao longo de uma vertical de uma seção
transversal de um escoamento, como ilustrado na figura xx, diversas equações
de previsão do perfil de velocidades tem sido propostas.
Figura xx - Perfil de velocidades genérico
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Para representar a distribuição de velocidades que ocorre ao longo de
uma direção vertical de uma seção transversal ao escoamento em canais, é usual
usar uma equação que obedece a uma lei logarítmica do tipo:
v − vmax
gho I
=
2,3
h
log
k
ho
ou
v=v +

1
h
ghI 1 + 2,3 log 
k
ho 

onde h é a distância do ponto ao fundo do canal onde a velocidade é v, ho é a
profundidade do mesmo, vmax é a velocidade máxima na vertical, I é a
declividade da linha de energia e k uma constante.
Outras equações podem ser utilizadas para representar a variação da
velocidade com a altura segundo a vertical de um escoamento de líquido que
tenha uma superfície livre. Em um escoamento turbulento completamente
desenvolvido, uma aproximação razoável é a lei de potência de Prandtl na
forma:
v
vmax
1/ n
h
=  
 ho 
co n variando entre 4 e 12, dependendo do atrito na superfície que encerra o
escoamento e da forma da seção transversal. É usual utilizar a lei com n igual a
7 e a equação passa a ser denominada lei da raiz sétima.
Numa vertical,observa-se que Vmax ocorre entre 5% e 25% de , medida à partir
da superfície livre.
A velocidade média em uma vertical ocorre abaixo da superfície livre a uma
distância aproximadamente igual a 0,60h.
1.5.3. Determinação da velocidade média segundo uma vertical
Na determinação da vazão em rios ou cursos d´água naturais, muitos
métodos têm sido empregados, destacando-se os denominados métodos de
19
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
velocidade-área, nos quais a vazão será determinada somando-se os diversos
produtos entre a velocidade média segundo uma vertical e a sua área de
influência. Assim, a vazão ficará determinada pela integral:
Q = ∫ vdA
A
Como a velocidade varia com a profundidade em uma vertical, é
conveniente, em muitos casos, conhecer a velocidade média segundo a direção
vertical de um escoamento e admitir que ela permanece aproximadamente
constante ao longo de uma faixa vertical. Tal velocidade pode ser obtida através
de um processo de integração da velocidade com a profundidade, tal que:
V =
1
ho
∫
ho
0
vdh
onde v é a velocidade que se observa a uma altura h e ho é a profundidade da
água na seção transversal.
Numa tentativa de se obter um valor aproximado para a velocidade
média numa vertical, algumas propostas são feitas e aceitas pelos
hidrometristas.
Numa primeira aproximação, para valores pequenos de ho, considera-se
que a velocidade média seja igual á velocidade que se obtém a 60% da
profundidade, medida em relação à superfície livre (0,60h), com erro máximo
de aproximadamente 3% e médio de 1%,. Assim, pode-se aproximar a
velocidade média pela velocidade observada a 60% da profundidade medida à
partir da superfície livre:
V ≅ V 0,6
Porém, quando a profundidade ho se torna maior, tal valor é um pouco
discrepante dos valores obtidos experimentalmente, de forma que uma novo
valor foi proposto, considerando-se as velocidades que se obtém a 0,20ho e
20
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
0,80ho, medidas em relação à superfície livre, com erro máximo da ordem de
1% e um erro médio quase nulo, de forma que:
V =
V 0 , 2 + V 0 ,8
2
Em determinações que requerem maior precisão, é costume considerar
que a velocidade média em uma vertical de uma seção transversal seja dada por:
V =
V 0 , 2 + V 0 , 8 + 2V 0 , 6
4
Observa-se, também que a velocidade média em uma vertical varia
entre 0,75 e 0,95 da velocidade observada na superfície da água. Também é
possível, na prática, aproximar a velocidade junto ao fundo como sendo
aproximadamente 0,75 da velocidade média observada na vertical.
Tais valores são empregados nas campanhas para determinação da
vazão em cursos d´águas naturais e em rios.
2. MÉTODO DE MEDIÇÃO DE VAZÃO EM RIOS
A vazão nos cursos d´água ou rios pode ser medida por um grande
número de métodos, dependendo das condições topográficas e hidrodinâmicas
de cada um. Sabe-se que a área da seção transversal de um rio tem uma forma
irregular e nenhuma equação simples pode ser utilizada para o seu cálculo.
Assim também ocorre com a velocidade, que varia ao longo da seção
transversal, de forma que aproximações numéricas são empregadas para se
calcular a vazão ao se multiplicar a velocidade pela área na qual ela prevalece.
21
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Um dos métodos de medição de vazão em rios ou cursos d´água naturais é pela
determinação da velocidade média em diversas verticais de uma mesma seção
transversal ao escoamento e, posteriormente, fazer uso de uma fórmula para
realizar a integração numérica ao longo de toda a seção transversal.
Para a determinação da velocidade em um dado ponto de um curso
d´água é usual utilizar um equipamento denominado molinete hidrométrico,
composto por um rotor ou hélice que, ao ser imersa no escoamento passa a girar
proporcionalmente à velocidade do escoamento naquela posição. Com a
calibração do equipamento, é possível determinar-se a velocidade do
escoamento através da medição da velocidade de rotação da hélice,
cronometrando-se um intervalo de tempo para que seja dada um certo número
de rotações, conhecido.
Nos molinetes empregados a variação da velocidade do escoamento é
linear com a velocidade de rotação da hélice de forma que
v = a + b.N
com N em rotação por minuto e v em m/s.
A constante a e o coeficiente b são determinadas experimentalmente
para cada conjunto molinete hidrométrico e hélice. Com o uso da equação de
calibração e com a medida de N no campo, determina-se a velocidade na
posição escolhida.
A figura xx ilustra o mini molinete HIDROMEC 8143 com a hélice Nº.
3. Para esse molinete uma equação experimental fornece a velocidade do
escoamento: V (m/s) = 0,00420 x N (rpm) + 0,0177.
22
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Mini molinete HIDROMEC 8143.
Para medir a rotação da hélice, pode-se utilizar um cronômetro para
medir o tempo para que a hélice dê um número pré-fixado de voltas. O número
de rotações dividido pelo tempo em minutos fornece a rotação em rpm, que
levada na equação do molinete fornece a velocidade do escoamento na posição
em que o molinete foi instalado.
Fig. xx - Contado de pulsos da HIDROMEC
Outra alternativa é utilizar um contador de pulsos como o da
HIDROMEC ilustrado na figura xx. Nesse caso escolhe-se um tempo adequado
na chave de tempo, pressiona-se o botão de início e, ao final do intervalo de
tempo escolhido o mostrador informa o número de voltas dado pela hélice.
23
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Nesse caso basta dividir o número de voltas indicado pelo tempo escolhido,
para se ter a velocidade de rotação da hélice em rpm.
Um outro dispositivo, atualmente muito vantajoso para se determinar a
velocidade do escoamento ou mesmo a distribuição de velocidade ao longo de
um vertical é o velocímetro baseado no efeito Doppler (ADV). Tal qual um
molinete hidrométrico, o equipamento é capaz de medir a velocidade do
escoamento em uma dada profundidade, pela emissão de um feixe de som de
frequência conhecida que, ao ser refletido por uma partícula, é captado por um
sensor que verifica a variação de frequência da onda refletida. À partir de
algumas considerações específicas, a velocidade das partículas onde o feixe
sonoro foi refletido é determinada. Tal equipamento mostra diretamente a
velocidade (ou suas componentes) que pode ser armazenada em sua memória.
Na maioria dos casos o equipamento possui recursos para registrar a velocidade
e da posição da sonda na vertical e na seção estabelecida, o que irá facilitar a
determinação da vazão. Atualmente a medida da velocidade com tal método
atinge uma resolução de 0,001 m/s. Com algoritmo previamente escolhido, a
integração das vazões parciais é realizada e a vazão total do curso d´água é
determinada com grande precisão. Um exemplo desse tipo de equipamento é o
modelo Flowtracker, fabricado pela SONTEK, com capacidade para medir
vazões em pequenos cursos d´água com profundidades desde 2 cm até 1,20 m
(ou 2,40 m em casos especiais). O Flowtracker mede duas ou três componentes
da velocidade numa dada posição. Lembre-se de que somente a componente
longitudinal (perpendicular à seção transversal do curso d´água) é considerada
para a medida da vazão. As demais componentes não contribuem para a vazão
na seção transversal. O Flowtracker já considera essa recomendação para o
cálculo automático da vazão.
24
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Flowtracker com o dispositivo de mão (computador e visor) e a sonda
bidimensional instalada em um canal para simulação de escoamentos livres.
Nos métodos de velocidade-área, a velocidade média em uma vertical
previamente escolhida ao longo de uma seção transversal de um curso d´água
será multiplicada pela sua área de influência para a obtenção da vazão parcial na
parte da seção transversal que corresponde à vertical considerada. Muitos
algoritmos são apresentados por diversos organismos para melhorar a precisão
na medida vazão do curso d´água. maiores detalhes serão vistos nos tópicos
seguintes.
Fig. xx - Vertical e sua área de influência no método velocidade-área.
Como visto na figura xx, a vazão parcial segundo a vertical i poderá ser
calculada, dentre outros métodos, por:
25
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Qi = hi x di x Vi
Repetindo o procedimento acima para verticais escolhidas desde a
margem esquerda até a margem direita e somando-se todas as vazões parciais,
obtém-se a vazão total do curso d´água.
Então, para se medir a vazão de um curso d´água pelo método
velocidade-área, o primeiro passo é escolher o local adequado para o traçado da
seção transversal, que conterá as verticais a serem escolhidas. Para isso,
algumas considerações devem ser observadas:
•
Escolher um local em que haja a máxima uniformidade do fundo
possível;
•
O local ideal deve apresentar um escoamento bem definido,
paralelamente às margens, sem escoamentos reversos ou obstruções ao
escoamento;
•
Estender uma fita graduada (trena) de uma margem à outra,
perpendicularmente à direção principal do escoamento;
•
Iniciar a medida em uma das margens, anotando a leitura na trena onde
a margem se inicia, bem como a profundidade da água nesse ponto;
•
A seção transversal do rio será dividida em várias estações (entre 20 e
30 verticais) e em cada estação será definida uma linha vertical, cuja
posição na fita dever ser anotada, assim como a profundidade e as
velocidades medidas, usadas para determinação da velocidade média
naquela vertical;
•
É recomendável que numa vertical a vazão parcial seja sempre inferior
a 10% da vazão total, para que os erros de medição não sejam grandes.
A figura xx ilustra uma seção transversal escolhida para a medida da
vazão em um curso d´água natural.
26
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Curso d´água e a seção transversal escolhida para a medida da vazão.
Vários métodos foram propostos para o cálculo da vazão pelo método
velocidade-área.
2.1. Método da meia seção para cálculo da vazão em cursos d´água.
Para integração dos perfis verticais, muitos métodos podem ser usados.
Um deles é o método da meia seção, usado pelo U. S. Geological Survey
(USGS), agência governamental americana responsável pelo monitoramento das
vazões nos rios daquele país, ser discutido. A metodologia completa está
padronizada pela ISO 748 (1997) e 9196 (1992).
A aplicação do método está baseado na medida da velocidade média do
escoamento em diversas verticais, de profundidades também medidas no
campo, segundo distâncias previamente definidas, ao longo de uma seção
transversal de um rio ou curso d´água. De forma geral, as distâncias entre as
verticais são fixadas de forma que a vazão em uma faixa vertical não ultrapasse
10% da vazão total da seção medida. Isso significa um processo em que as
velocidades serão medidas em cerca de 20 a 30 verticais.
27
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
No método da meia-seção, admite-se que a velocidade média em cada
vertical represente a velocidade média da subseção correspondente. Cada
subseção é definida como tendo uma largura igual à metade da distância que
separa as verticais anterior e seguinte à vertical em que se mede a velocidade,
conforme mostrado na Figura xx.
Figura xx - Elementos envolvidos no cálculo da vazão em cursos d´água pelo método da
meia seção.
i = índice contador das verticais a serem medidas, variando de 0 (margem
esquerda) a n (margem direita).
yi = posição transversal da vertical i (lida em uma trena ou cabo de aço
graduado, à partir de uma origem arbitrária em uma estaca cravada em uma das
margens).
yo = posição transversal da margem esquerda (vertical 0)
yn = posição transversal da margem direita (vertical n)
Hi = profundidade da vertical.
Ho = profundidade observada na margem esquerda
Hn = profundidade observada na margem direita
Li = largura da área de influência correspondente à vertical i.
Li =
y i + 1 − y i −1
, com i = 1 a n-1
2
28
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Largura da área de influência da vertical nas margens:
L0 =
y1 − y 0
2
e LN =
y n − y n −1
2
Ai = área de influência da vertical i com i = 1 a n-1
A i = L i . H i com i = 1 a n-1
Área considerada nas margens: A 0 = L 0 .H
0
e A N = L n .H
n
Vi = velocidade média na vertical i, com i = 0 a n.
Fator de correção para a velocidade das margens: Co e Cn a ser definido pelo
usuário, sendo menor ou igual a 1, em geral adotado entre 0,65 e 0,90. Nesse
caso a velocidade na margem não é medida por impossibilidade de se instalar o
equipamento.
Velocidade média para as margens: V 0 = C 0 .V 1 e V n = C n .V n − 1
Qi = vazão parcial na área de influência da vertical i, com i = 0 a n.
Q i = A i .V i , com com i = 1 a n-1
Vazão parcial nas margens: Q 0 = A 0 .V 0 e Q n = A n .V n
Q = vazão total na seção transversal escolhida
Q =
n
∑
0
Qi =
n
∑V
i
Ai
0
Lembrar que, se um rio encontra-se dividido em múltiplos canais,
formando ilhas internas, o fato deve ser considerado no cálculo da vazão,
através das considerações sobre as verticais de cada margens
vistas
anteriormente.
A margem esquerda é encontrada quando o observador dá as costas para
a nascente e fica de frente para a foz do rio.
Para profundidades inferiores a 0,60 m utiliza-se medir a velocidade
apenas a 0,60 da profundidade em relação à superfície livre. Para profundidades
superiores a 0,60 m e 1,20 m utiliza-se a média das velocidades a 0,20 e 0,80 da
29
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
profundidade. Entre 1,20 m e 2,00 m, utiliza-se as velocidades a 0,20, 0,60 e
0,80 da profundidade. Entre 2,00 m e 4,00 m utiliza-se as velocidades na
superfície (a 0,10 m abaixo da superfície), 0,20, 0,40, 0,60 e 0,80 da
profundidade. Acima de 4,00 m usa-se as velocidades na superfície, o,20, 0,40,
0,60, 0,80 e no fundo (o mais próximo do fundo possível).
30
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Exemplo: Planilha de medição de vazão em um rio nas imediações de Ouro
Preto, com um mini molinete hidrométrico, em uma campanha de campo com
os alunos de Hidráulica II, em dezembro de 2013.
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/EM/UFOP
LABORATÓRIO DE HIDRÁULICA
MEDIÇÃO DE VAZÃO EM RIOS - Método da Meia Seção
Código: M1
Rio:
Maracujá - Estação Fluviométrica IGAM
Nro. Medição: 1a.
Data: 07/12/2013
Hora: 11:50:00
Leitura Régua: Iníco: 1,340 m
Final: 1,360 m
Média: 1,350 m
Equipe: Grupo 3 - Molinete Hidrométrico
Molinete: Hidromec 8143 Hélice: 3 (D=50 mm)
Equação do molinete: V (m/s) = 0,00420.N(rpm) + 0,0177
VerPos.
ti Transv.
(m)
Largura
Prof.
Pos.
Molinete
Tempo
(m)
(m)
(m)
(s)
0
0,31 0,150
0,170
1
0,61 0,300
0,350
2
0,91 0,300
3
Rot.
V ponto
V.
Média
Área
Parcial
Vazão
Parcial
Vazão
Acum.
(m/s)
(m/s)
(m2)
(m3/s)
(m3/s)
60
0
0,0000
0,0000 0,0255
0,0000
0,0000
0,140
60
14
0,0765
0,0765 0,1050
0,0080
0,0080
0,605
0,242
60
39
0,1815
0,1815 0,1815
0,0329
0,0410
1,21 0,400
0,640
0,256
60
52
0,2361
0,2361 0,2560
0,0604
0,1014
4
1,71 0,495
0,520
0,208
60
77
0,3411
0,3411 0,2574
0,0878
0,1892
5
2,20 0,495
0,465
0,186
60
90
0,3957
0,3957 0,2302
0,0911
0,2803
6
2,70 0,500
0,440
0,176
60
94
0,4125
0,4125 0,2200
0,0908
0,3710
7
3,20 0,500
0,420
0,168
60
97
0,4251
0,4251 0,2100
0,0893
0,4603
8
3,70 0,500
0,400
0,160
60
104
0,4545
0,4545 0,2000
0,0909
0,5512
9
4,20 0,500
0,390
0,156
60
109
0,4755
0,4755 0,1950
0,0927
0,6439
10
4,70 0,500
0,350
0,140
60
112
0,4881
0,4881 0,1750
0,0854
0,7294
11
5,20 0,500
0,320
0,128
60
116
0,5049
0,5049 0,1600
0,0808
0,8101
12
5,70 0,500
0,270
0,108
60
116
0,5049
0,5049 0,1350
0,0682
0,8783
13
6,20 0,500
0,290
0,116
60
104
0,4545
0,4545 0,1450
0,0659
0,9442
14
6,70 0,500
0,300
0,120
60
94
0,4125
0,4125 0,1500
0,0619
1,0061
15
7,20 0,500
0,320
0,128
60
83
0,3663
0,3663 0,1600
0,0586
1,0647
16
7,70 0,500
0,310
0,124
60
80
0,3537
0,3537 0,1550
0,0548
1,1195
17
8,20 0,400
0,270
0,108
60
71
0,3159
0,3159 0,1080
0,0341
1,1536
18
8,50 0,300
0,300
0,120
60
67
0,2991
0,2991 0,0900
0,0269
1,1805
19
8,80 0,300
0,400
0,160
60
31
0,1479
0,1479 0,1200
0,0177
1,1983
20
9,10 0,300
0,400
0,160
60
6
0,0429
0,0429 0,1200
0,0051
1,2034
21
9,40 0,150
0,330
0,132
60
0
0,0000
0,0000 0,0495
0,0000
1,2034
22
9,40 0,000
0,000
0,000
60
0
0,0000
0,0000 0,0000
0,0000
1,2034
3
Valor da vazão obtida: 1,2034 m /s.
31
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
2.2. Método da seção média para cálculo da vazão em cursos d´água.
A ser descrito
32
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
2.3. Método dos Flutuadores para a determinação da vazão em cursos
d´água.
Quando a determinação da vazão não requerer grande exatidão ou no
caso de não se dispor de recursos adequados a uma medida mais precisa, podese utilizar um flutuador para obter a velocidade média do escoamento e, à partir
daí, calcular a vazão do curso d´água.
O método consiste em escolher um trecho retilíneo do curso d´água, o
mais uniforme possível, de comprimento L (maior que 2 ou 3 vezes a largura do
rio), onde será lançado um flutuador que se movimentará juntamente com a
corrente líquida. O tempo, ∆t, gasto para o flutuador percorrer a distância L é
medido e a velocidade do flutuador determinada por:
Vfl = L/∆t, em m/s.
Para encontrar a velocidade média do escoamento, um coeficiente
menor do que 1,00 deverá ser aplicado à Vfl, ficando tal coeficiente entre 0,80 e
0,90. A dificuldade é estabelecer o valor desse coeficiente, que depende de
alguns fatores externos. Assim,
V = k.Vfl
Na prática, três tipos de flutuadores podem ser utilizados: flutuador
superficial, flutuador subsuperficial e bastão flutuante, conforme ilustrado na
figura xx.
Fig. xx - Desenho esquemático de diferentes tipos de flutuadores
33
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Flutuador superficial:
São objetos aproximadamente esféricos capazes de flutuar na superfície
da água, o mais imerso possível, porém que ainda podem ser vistos pela
superfície. Eles medem a velocidade superficial, de forma que a velocidade
média na vertical será obtida pela multiplicação da velocidade do flutuador por
um fator que se encontra entre 0,80 e 0,90. Este tipo de flutuador é influenciado
pela ação do vento ou de ondas superficiais ou de correntes superficiais que
podem desviar a trajetória do flutuador da direção longitudinal do trecho
escolhido.
Flutuador subsuperficial:
São constituídos por flutuadores de superfície ligados por um fio a um
corpo submerso (formando um lastro) que se encontra a uma profundidade
previamente escolhida. O lastro é mantido, geralmente, a 60% da profundidade
média do trecho, medida em relação à superfície da água. Dessa forma a
velocidade medida se aproxima da velocidade que se observaria nessa
profundidade e será admitida como a velocidade média da seção. Aqui, também
é necessário aplicar um fator de correção à velocidade do flutuador, para
obtenção da velocidade média do escoamento, que em geral se encontra entre
0,90 e 1,0.
Bastão flutuante:
São construídos por tubos metálicos ocos ou de material de massa
específica inferior à da água (alguns tipos de madeira), com um lastro instalado
na sua parte inferior (chumbo ou areia), de maneira que eles passam a flutuar
em posição próxima da posição vertical. O comprimento total do bastão (B),
deve ser inferior a 95% da profundidade média local, observando-se que ele não
deve tocar o fundo ao longo do trecho de medida.
34
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Estudos feitos por Francis demonstram que a velocidade média na
vertical é dependente da velocidade do flutuador e da relação entre o
comprimento do flutuador e a profundidade média no trecho de medição.
Assim, estima-se a velocidade média na seção pela equação:

V = V fl  1, 02 − 1,116

1−
B
H




Essa equação é válida para B/H superior a 0,75.
Procedimentos:
1. Escolher um trecho de rio retilíneo, com o escoamento o mais uniforme
possível e com um mínimo de turbulência. O ideal é que o flutuador percorra a
distância entre os piquetes sempre da mesma forma.
2. Definir o comprimento do trecho, L, entre 2 e 3 vezes a largura do trecho.
3. Marcar a distância entre as seções, L, com piquetes, em uma das margens.
4. Testar o funcionamento do cronômetro. Ele será acionado quando o flutuador
passar pelo primeiro piquete e travado quando passar pelo segundo piquete.
5. Escolher o tipo de flutuador adequado; Até garrafas PET podem ser utilizadas
parcialmente cheias com água, de forma que apenas o gargalo fique acima da
superfície da água. Lembre-se de que não se deve ter a influência do vento
sobre o flutuador.
6. Lançar o flutuador um pouco a montante do primeiro piquete para fazer as
medidas de tempo. Adotar como tempo médio a média de pelo menos três
medidas de tempo.
7. Calcular a velocidade média do flutuador: Vfl.
8. Calcular a velocidade média do escoamento, aplicando-se o fator de redução
sobre a velocidade do flutuador: V = k.Vfl.
9. Esticar uma fita graduada (trena) de uma margem a outra do rio,
perpendicularmente à direção principal do escoamento. Com uma régua
35
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
graduada, medir as profundidades desde uma margem até a outra, em posições
definidas pela fita graduada. Desenhar o perfil do fundo da seção e calcular a
área, A, entre o fundo e a superfície livre. Determinar a área para um mínimo de
duas seções transversais e adotar a área média.
10. Calcular a vazão por Q = V.A
2.4. Velocidade Média e Limites Práticos
O custo de execução de um canal para o escoamento de uma dada vazão
é função do seu tamanho e, assim, será tanto menor quanto a área da sua seção
transversal, o que se consegue elevando-se a velocidade média do escoamento
ao máximo valor possível, sem que haja erosão do fundo e das paredes. Assim,
a velocidade média do escoamento deverá estar limitada à resistência do
material utilizado na confecção das paredes e fundo do canal. Água limpa pode
escoar com velocidade elevadas (até 10 m/s) sem danificar o material do
revestimento. Entretanto, se partículas em suspensão, as velocidades não podes
ser muito elevadas, sob pena de danificar o revestimento do fundo e das paredes
do canal. De maneira análoga, a velocidade não pode ficar abaixo de um certo
limite mínimo, sob pena de haver deposição de eventuais partículas ou materiais
em suspensão.
Para dimensionar canais: Vmin < Vmed < Vmax .
Vmin
é a velocidade abaixo da qual o material sólido contido na água é
sedimentado, provocando assoreamento do canal.
Vmax
é a velocidade acima da qual ocorre erosão das paredes do canal.
36
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A tabela seguinte fornece os valores médios para as velocidades nos
canais e os valores que não devem ser ultrapassados, sob risco de haver erosão
das paredes ou fundo dos canais.
Tabela para velocidades médias e máximas nos canais:
Material da Parede
Vmed (m/s)
Vmax (m/s)
Areia muito fina
0,23
0,30
Areia solta (média)
0,30
0,46
Areia grossa
0,46
0,61
Terreno arenoso comum
0,61
0,76
Terreno de aluvião
0,84
0,91
Terreno argiloso compacto
0,91
1,14
Cascalho grosso ou pedregulho
1,52
1,83
Rochas moles (xistos)
1,83
2,44
Alvenaria
2,44
3,05
Rochas compactas
3,05
4,00
Concreto
4,00
6,00
Paschoal Silvestre
Velocidades muito baixas podem propiciar a deposição de material em
suspensão ou mesmo o crescimento de plantas aquáticas. Em canais de terra,
velocidades da ordem de 0,60 m/s impedem o assoreamento e a fixação de
vegetação.Para que não haja possibilidade de sedimentação das partículas
carreadas pela água em suspensão, as velocidades devem ter um valor mínimo,
conforme dados na tabela seguinte.
Tabela de velocidades mínimas para não deposição:
Tipo de Suspensão
Água com suspensão fina
Água com areia fina
Água contendo esgoto
Águas pluviais
Azevedo Neto
37
Vmin (m/s)
0,30
0,45
0,60
0,75
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Para canais de terra, a velocidade recomendada para uso nos projetos
dos canais, impedindo a erosão das paredes e a deposição de partículas
suspensas pode ser obtida através da fórmula de Kennedy, dada por:
V = Ch
0 , 64
onde h é a profundidade média no canal e C um coeficiente que depende da
granulometria do material em suspensão, conforme pode ser visto na tabela
seguinte.
Tabela dos coeficientes da fórmula de Kennedy para uso em projetos de canais
de terra
Água
Água
Água
Água
Água
com
com
com
com
com
Tipo de Material em Suspensão
material extremamente fino
areia muito fina (0,125-0,25 mm)
areia fina (0,25-0,50 mm)
areia média ou barro graúdo (0,5-1,0 mm)
areia grossa (1,0.2,0 mm)
C
0,36
0,55
0,59
0,65
0,70
Eurico Trindade Neves
Para projetos de canais é costume, também, observar recomendações
práticas para as velocidades médias nos canais, conforme tabela seguinte.
Tabela de Velocidades Práticas
Tipo de Canal
Canais p/ navegação sem Revestimento
Aquedutos p/ água potável
Coletores e emissários de esgotos
Canais industriais, sem revestimento
Canais industriais, com revestimento
Vmed (m/s)
<0,50
0,60 a 1,30
0,50 a 1,50
0,40 a 0,80
0,60 a 1,30
Azevedo Neto
Ainda, no projeto dos canais é comum observar inclinações para os
taludes que formam as paredes dos canais, visto que existe limitações de
estabilidade
para
os
diversos
materiais.
38
A
tabela
seguinte
fornece
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
recomendações para a declividade das faces dos canais, onde z refere-se a
declividade na forma 1:z (V:H) e β o ângulo da face com a direção vertical.
Limitação de Talude (Valores Máximos)
Tipo de parede
Canais em terra sem revestimento
Canais em saibro, terra porosa
Canais em cascalho roliço
Terra compacta sem revestimento
Terra compactada ou paredes
rochosos
Rocha estratificada ou alvenaria
com pedra bruta
Rocha compacta, alvenaria
acabada, concreto
β
z
2,5–5,0
2
1,75
68º a 79º
63º
60º
1,5
1,25
56º
51º
0,5
26,5º
0
0º
Azevedo Neto (modificada)
OBS: β = inclinação do talude com a vertical e z = tgβ
Quando se trata de se estabelecer a declividade longitudinal do eixo do
canal, também é preciso levar em conta certos limites, já que a velocidade de
escoamento é função da declividade do fundo do canal, Io. A tabela seguinte
ilustra alguns casos práticos de declividade do fundo nos canais.
Tabela de Declividades Usuais
Tipo de Canal
Canais p/ navegação
Canais industriais
Canais de irrigação, pequenos
Canais de irrigação, grandes
Aquedutos p/ água potável
Io (m/km)
<0,25
0,40 a 0,50
0,60 a 0,80
0,20 a 0,50
0,15 a 1,00
Azevedo Neto
Quando se trata do projeto de escoamentos em coletores de esgoto, a
declividade do fundo do coletor não deve ultrapassar os limites estabelecidos na
tabela seguinte.
39
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Declividade de coletores de Esgoto
Declividade mínima
recomendada
(m/km)
0,10
20
0,15
6
0,20
4
0,25
3,5
0,30
2,5
0,40
1,5
0,50
1
0,60
0,75
0,65
0,6
1,00
0,5
grandes seções
--Diâmetro (m)
Declividades
comuns
(m/km)
20 a 250
6 a 200
4 a 150
3 a 125
2 a 100
1,5 a 50
1 a 40
...
...
0,5 a 10
0,25 a 5
Azevedo Neto (modificada)
Seções compostas para atender os requisitos de Vmin:
40
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3. CARACTERÍSTICAS DOS ESCOAMENTOS LIVRES
3.1. TIPOS DE ESCOAMENTOS:
A figura seguinte ilustra os diversos tipos de escoamentos que podem ocorrer
nos canais.
Fig. xx - Desenho esquemático com diversos tipos de escoamento em canais.
Mudança de regime de escoamento pode ocorrer com:
- mudança de declividade
- variação na seção transversal
- eventuais obstáculos no escoamento
trecho AC: escoamento variado (acelerado)
h varia, assim como V.
Trecho BC: ocorre uma aceleração (componente gravitacional é maior que a
resistência ao escoamento). O aumento de velocidade é
acompanhado de aumento da resistência ao escoamento até tornarse igual em C.
trecho CD: escoamento torna-se estabelecido e uniforme
constante, assim como V.
h torna-se
trecho DE: escoamento variado bruscamente, pois sofre desaceleração rápida
devida à diminuição da declividade entre D e E. Depois ocorre a
formação de remanso para atravessar o obstáculo.
Profundidade normal (ho): é a profundidade do escoamento uniforme.
41
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3.2. Nomeclatura:
Fig. Xx – Elementos hidráulicos da seção longitudinal do escoamento em um canal.
PCE
z = cota
h = p/γ
plano de carga efetivo.
energia potencial por unidade de peso de fluido. Define a linha
de fundo do canal.
energia de pressão por unidade de peso de fluido
V
V2
2g
Velocidade média: V = Q / A.
energia cinética por unidade de peso de fluido. Na realidade
2
dever-se-ia usar α V . α varia entre 1,00 e 1,10, dependendo
2g
da maneira como a velocidade se distribui na seção
transversal. Na prática, geralmente é adotado α = 1,00.
z+h
V2
H = z + h +α
2g
V2
2g
hf = H1 – H2
He = h + α
altura que define a linha piezométrica (LP) ou linha do
gradiente hidráulico (LGH). Em trechos retilíneos com
declividade constante, essa linha coincide com a superfície
livre do líquido. A inclinação da LP é denominada de
gradiente hidráulico, Ia.
em qualquer seção transversal é a carga total ou energia total
por unidade de peso de fluido. Ela define a linha de energia
(LE) ou linha de carga. A sua inclinação é o gradiente de
energia, I.
carga ou energia específica
perda de carga
42
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3.3. ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO
Conforme visto em Hidráulica I.
NÚMERO DE REYNOLDS:
Força de inércia: Fi = ma = ρL3V2/L = ρV2L2
Força viscosa: Fv = µAdv/dy = µVL2/L = µVL
•
Re = Fi/Fv
•
Escoamento em canais normalmente turbulento e completamente
rugoso
•
Re = VRh / ν
•
Tubos: Re = VD/ν
•
Canais: Re = VRh/ν com Rh = D/4
Re > 2000
esc. turbulento
Re > 500
3.4. NÚMERO DE FROUDE
Fr =
Fi
Fg
Força gravitacional: Fg = mg = ρL3g
Fr = ρ
V 2 L2
ρL3 g
ou Fr =
V
gLc
Nos canais: Lc = profundidade do escoamento, h
43
Esc. turbulento
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3.5. DECLIVIDADES IMPORTANTES:
Fig. xx - Desenho esquemático das principais declividades nos escoamentos em canais.
Io = declividade do leito (fundo)
Ia = declividade da superfície da água
Ie = declividade da linha de energia
Io = (z1 - z2) / ∆x
Ia = [(z1 + h1) - (z2 + h2)] / ∆x
z1 + h1 +
Ie =
V12 
V2 
−  z2 + h2 + 2 
2g 
2g  hf
=
L
L
∆x = L cos θ
se θ é pequeno
cos θ ≅ 1
L ≅ ∆x
44
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4. ESCOAMENTO UNIFORME EM CONDUTOS LIVRES
4.1. Introdução
Um escoamento é uniforme quando as grandezas que representam o
escoamento não variam com a posição, num determinado instante. Em canais,
com escoamento de líquidos, as principais grandezas usadas para a descrição do
escoamento são a profundidade do líquido, a largura e a área da seção
transversal, a declividade longitudinal do fundo do canal e a vazão. Assim, nos
escoamentos em condutos livres, diz-se que o escoamento é uniforme quando a
profundidade, a área da seção transversal, a velocidade média e a vazão são
constantes ao longo do canal, num dado instante.
Nesse caso: h, A, Vmed e Q não variam, logo
•
superfície // fundo // linha de energia
•
Raramente ocorre em canais naturais: é uma aproximação
prática.
Fig. xx - Desenho esquemático de um trecho com escoamento uniforme.
4.2. lei de Chézy:
Considerar um escoamento com superfície livre em que a área da seção
transversal, a profundidade, a velocidade média e a declividade do fundo sejam
constantes (escoamento uniforme). Nesse caso:
45
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Profundidades \
seção transversal|
são constantes
| h1 = h2
velocidade média /
| V1 = V2
| Io = Ia = tgθ = -∆y/∆x
| Ie =hf/L = senθ
Seja uma seção longitudinal ao longo do eixo do canal, conforme
ilustrado na Fig. xx, onde estão representados os principais elementos
necessários à descrição do escoamento, bem como a hipotética seção
transversal. Considerar duas seções transversais traçadas a uma distância L
medida no fundo do canal. O volume de líquido contido entre as duas seções, o
fundo do canal e a superfície livre é Vol. Denominou-se de θ o ângulo de
inclinação do fundo do canal com um plano horizontal, mesmo ângulo entre a
vertical que coincide com o peso do líquido e um direção perpendicular ao
fundo do canal.
Fig. xx - Desenho esquemático de uma seção longitudinal traçada ao longo de um escoamento em
um canal, com uma superfície livre.
Considerações:
1. se θ é pequeno: usualmente θ < 5,7o ou tgθ < 1/10
46
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
senθ ≅ tgθ ≅ Io ≅ Ia ≅ Ie
2. se θ > 5,7o
distinguir entre Io e Ie
3. Perda de energia: h f 12

V12  
V22 
 −  y 2 + h2 +

= H 1 − H 2 =  y1 + h1 +
2 g  
2 g 

Como V1 = V2 e h1 = h2, tem-se que a perda de carga entre as duas seções
transversais será: h f 12 = y1 − y 2 = ∆h
Fazendo o equilíbrio de forças segundo um eixo paralelo ao fundo do canal e
considerando uma situação em que a aceleração longitudinal é nula, tem-se:
F1 + P.sen θ - τo Per L - F2 = 0,
onde τo é a tensão cisalhante média no contorno e Per o perímetro molhado.
Considerar F1 = F2 , as forças resultante da ação do líquido sobre as seções de
área A1 e A2, respectivamente. A profundidade h é constante e o peso do líquido
contido no volume Vol será P = γ.Vol.
Substituindo na equação resultante do equilíbrio das forças, tem-se:
γ Vol senθ = τo Per L
e, como sen θ =
hf
A
e V = AL , pode-se escrever que:
= Ie ; Rh =
L
Per
γAL
hf
L
=τo
A
L
Rh
expressão que pode ser escrita de uma forma simplificada como τ o = γR h I .
Se θ é pequeno I = Io , de forma que a equação do equilíbrio de forças se
resume a:
τ o = γR h I o
Esta equação é denominada de equação fundamental do escoamento uniforme.
47
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Mas, considerando que I =
h f 12
L
e que a perda de carga entre as seções 1 e 2
2
seja dada pela fórmula universal da perda de carga, h f 12 = f L V , podemos
D 2g
dizer que a declividade do fundo do canal será:
L V2
D 2g
L
f
I=
2
ou I = f V .
D 2g
Considerando que o raio hidráulico é definido pela relação Rh = A e que no
P
caso dos escoamentos em tubulações de seção transversal circular de diâmetro
D, tem-se
Rh =
A πD 2 D
=
= ⇒ D = 4 Rh ,
P 4πD 4
Para os escoamentos em canais, a equação da declividade fica escrita em função
do raio hidráulico, dimensão mais apropriada para se usar nos equacionamentos
da seguinte forma:
I=
f V2
= Io
4 Rh 2 g
Então, substituindo na equação de τo, tem-se:
τ o = ρgRh
f V2
f V2
⇒τo = ρ
4 Rh 2 g
4
2
ou, quando se adota um coeficiente tal que Cf = f/4, a equação da tensão
cisalhante na parede fica sendo:
V2
τo = Cf ρ
;
2
Logo,
CfρV
igualando-se
2
2
= ρ gR H I o
com
o
resultado
anteriormente
obtido,
tem-se:
e, explicitando-se a velocidade média do escoamento, tem-
48
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
se uma equação bastante útil para previsão da velocidade média do escoamento
uniforme em um canal:
V =
2g
Cf
RH Io
Essa equação é a fórmula geral para estudo dos escoamentos uniformes nos
canais. Lembrar que Cf = coeficiente de atrito usual nos estudos dos
escoamentos em canais e
f
= fator de atrito usual nos escoamentos em
condutos forçados.
Chézy, no passado, já tinha chegado a tal resultado, apenas adotando uma
constante C tal que:
C=
2g
Cf
ou C =
8g
f
A equação de Cézy (1775) para os escoamentos uniforme em canais fica sendo:
V = C R hIo
lei de CHÉZY (1775)
onde C = coeficiente de Chézy ou fator de resistência de Chézy, Rh o raio
hidráulico da seção do escoamento e Io a declividade do fundo do canal. O
coeficiente de Chézy representa o efeito das forças de atrito decorrentes da
viscosidade que agem no fundo e nas paredes dos escoamentos livres.
C varia de 40 a cerca de 100: 40 para parede rugosa e 100 para parede lisa.
Como C e f estão relacionados, todas as considerações feitas para f se aplicam
para C.
49
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4.3. FÓRMULA DE MANNING (1890)
É uma das fórmulas mais usada e confiável para escoamentos uniforme
em canais, publicada por Manning em 1890, e construída à partir de numerosos
testes de campo e de laboratório. Mesmo em países que adotam outras fórmulas
para o cálculo dos canais, ela vem sendo utilizada com muita vantagem, devido
à sua simplicidade.
Manning propôs que o coeficiente de Chézy, além de variar com a
rugosidade do fundo e das paredes, também variava com as condições do
escoamento, representadas pelo número de Reynolds. Assim, Manning propôs
que C = f(Rh,n) e em seguida afirmou que
C=
R 1h/ 6
n ,
onde n é o coeficiente de rugosidade de Manning (o mesmo usado por
Ganguillet e Kutter). Assim, já que Q = A V, tem-se a equação de Manning
escrita para a velocidade média e para a vazão, respectivamente:
V=
1 2 / 3 1/ 2
1
R h I o ou Q = AR 2h / 3 I 1o/ 2
n
n
A escolha de n para um caso real é muito crítica, devido à sua
variabilidade. Se a superfície por onde o líquido escoa é regular, n é mais
preciso. Se a superfície é natural, a escolha de n torna-se difícil e imprecisa.
Para leito e paredes lisa, n vale cerca de 0,011. Para paredes rugosa, n pode
atingir mais de 0,10.
Lembrar que n é uma grandeza dimensional, possuindo unidades:
U(n)=m-1/3.s. A literatura traz diversas tabelas com valores para n, numa
tentativa de abranger todas as situações encontradas na prática.
50
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tabela do coeficiente n de Manning: Segundo Azevedo Neto, Vol. II, 7ª Ed.
Natureza das Paredes
Alvenaria: de pedras brutas
de pedras retangulares
de tijolos sem revestimento
De tijolos revestida
Canais de concreto: acabamento ordinário
com revestimento liso
Canais com revestimento muito liso
Canais de terra: em boas condições
com plantas aquáticas
Canais irregulares e mal conservados
Condutos de madeira aparelhada
Condutos de manilha cerâmica
Tubos de aço soldado
Tubos de concreto
Tubos de ferro fundido
Tubos de cimento-amianto
n
0,020
0,017
0,015
0,012
0,014
0,012
0,010
0,025
0,035
0,040
0,011
0,013
0,011
0,013
0,012
0,011
Tabela do coeficiente n de Manning: Segundo Hwang.
Natureza das Paredes
Superfície lisa, de aço
Metal corrugado
Concreto liso
Bueiro de concreto (com junta)
Tijolo vidrado
Escavação em terra, limpa
Leito natural de riacho, limpo, reto
Leito em rocha lisa
Canais sem conservação
51
n
0,012
0,024
0,011
0,013
0,013
0,022
0,030
0,035
0,050-0,100
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tabela do coeficiente n de Manning: Segundo Prof. Alfredo Bandini, Vol. I.
Natureza das Paredes
Canais de chapas com rebites embutidos, juntas perfeitas e água limpa.
Tubos de cimento e de fundição em perfeitas condições.
Canais de cimento muito liso, dimensões limitadas, madeira aplainada e
lixada, trechos retilíneos compridos e curvas de grande raio e água
limpa. Tubos de fundição usados.
Canais com reboco de cimento liso, curvas de raio limitado e águas não
completamente limpas; construídos com madeira lisa, mas com curvas
de raio moderado.
Canais com reboco de cimento não completamente liso; de madeira
aplainada e lixada, porém com traçado tortuoso e curvas de pequeno
raio e juntas imperfeitas.
Canais com parede de cimento não completamente lisas, com curvas
estreitas e águas com detritos; construídos de madeira não aplainada de
chapas rebitadas.
Canais com reboco de cimento não muito alisado e pequenos depósitos
no fundo; revestido por madeira não aplainada; de alvenaria construído
com esmero; de terra sem vegetação.
Canais com reboco de cimento incompleto, juntas irregulares,
andamento tortuoso e depósitos no fundo; de alvenaria revestindo
taludes não bem perfilados.
Canais com reboco de cimento rugoso, depósitos no fundo, musgo nas
paredes e traçado tortuoso.
Canais de alvenaria em más condições de manutenção e fundo com
barro, ou de alvenaria de pedregulhos; de terra bem construídos, sem
vegetação e com curvas de grande raio.
Canais de chapa rebitadas e juntas irregulares; de terra, bem construídos
com pequenos depósitos no fundo e vegetação rasteira nos taludes.
Canais de terra com vegetação rasteira no fundo e nos taludes
Canais de terra, com vegetação normal, fundo com cascalhos ou
irregular por causa de erosões; revestidos com pedregulhos e vegetação
Álveos naturais, cobertos de cascalhos e vegetação
Álveos naturais, andamento tortuoso
52
n
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,018
0,020
0,022
0,025
0,030
0,035
0,040
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4.4. OUTRAS FÓRMULAS PARA O ESCOAMENTO UNIFORME
Diversas outras fórmulas práticas são encontradas na literatura, tais
como Tadine, Prony, St. Venant, Eytelvein, Bazin, etc. As fórmulas modernas
tiveram origem nas fórmulas práticas, postulando que o coeficiente de atrito
depende da natureza das paredes e do tipo do escoamento. O aluno interessado
deverá pesquisar a respeito.
Tadini (1828) estabeleceu que a velocidade média de escoamento em
um canal, em regime uniforme, é proporcional à raiz quadrada do produto entre
o raio hidráulico e a declividade do fundo, de forma que:
V = 50 R h I o
Tal fórmula é de fácil aplicação e pode ser usada em cálculos
aproximados, principalmente no caso de canais rasos e largos, quando prevalece
o efeito da rugosidade do fundo.
Bazin (1855-1869), por sua vez, baseado em experiências próprias e de
Darcy, estabeleceu que V = C R h I o , como na fórmula de Chézy, onde o
coeficiente C seria dado por
C=
1+
87
n'
Rh
onde n’ é o coef. de Bazin e varia entre 0,06 e 1,75, conforme a natureza das
paredes do canal e segundo a tabela seguinte.
53
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Ord.
1
2
3
4
5
6
Natureza das paredes
Paredes muito lisas: cimento alisado, madeira aplainada
Paredes lisas: madeira não aplainada, pedra regular, tijolos
Paredes com alvenaria de pedra bruta
Paredes mistas, seções regulares de terra ou empedradas
Canais de terra, em condições ordinárias
Canais de terra, com excepcional resistência, fundo com
vegetação e pedras
n'
0,06
0,16
0,46
0,85
1,30
1,75
Tal fórmula já foi muito empregada na frança, assim como no Brasil.
Ela vem sendo substituída por fórmulas mais modernas, como a de Manning.
Contessini propôs uma modificação na fórmula de Basin, adotando um
valor de C e um expoente para o raio hidráulico maior do que 0,5, dependendo,
também, da natureza das paredes do canal. Nesse caso: V = C .Rhx I o . Ele
propôs que para canais de paredes muito lisas, C = 81,4 e x = 0,54. No caso do
canal ter as parede de concreto pouco lisas e com irregularidades decorrentes
das formas usadas, C=62,4 e x = 0,67. Diversos outros valores foram propostos
por Contessini.
Ganguillet e Kutter (1969), engenheiros suíços basearam-se em um
grande número de experimentos realizados em canais artificiais e naturais e à
luz da base de conhecimento existente até então, propuseram uma fórmula de
grande aceitação nos Estados Unidos, Inglaterra e Alemanha. A fórmula
proposta se aplica tanto para canais de pequeno e grande porte, submetidos a
grandes vazões. Na verdade adotaram a fórmula de Chézy, porém com um
coeficiente de atrito modificado que dependia tanto de um coeficiente de
rugosidade quanto do raio hidráulico e da declividade, de forma que:
0,00155 1
+
Io
n
C=

0,00155  n

1 +  23 +
I o  Rh

23 +
54
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Como se pode ver a declividade do fundo somente começa a influenciar
significativamente no valor de C quando for superior a 0,001 m/m. Para valores
maiores, C fica praticamente independente da declividade do fundo do canal. A
tabela seguinte fornece valores de n para as diversas situações, conforme
proposto por Ganguillet e Kutter.
Ord.
1
2
3
4
5
6
7
8
Natureza das paredes
Paredes muito lisas: cimento alisado, madeira aplainada
Paredes lisas: madeira não aplainada, pedra aparelhada,
tijolos
Paredes pouco lisas em alvenaria de pedra aparelhada
Paredes pouco rugosas em alvenaria de pedra bruta
Paredes de terra irregulares ou empedradas
Paredes de terra com pedras e vegetação
Paredes de terra com pedras irregulares e mal conservadas
Canais de terra e pedras, muito irregulares com vegetação e
lodo
n
0,010
0,013
0,017
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
Outros pesquisadores, como Horton, detalharam o coeficiente de atrito,
n, para outras situações, tornando a aplicação da equação de Ganguillet e Kutter
com boa aproximação para casos reais. A tabela seguinte, extraída do Curso de
Hidráulica do Professor Eurico Trindade Neves ilustra algumas situações
práticas.
Valores do coeficiente de Ganguillet e Kutter e a natureza das paredes
dos canais.
55
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Condições
Natureza das paredes
Tubos de ferro fundido sem
revestimento
Tubos de aço galvanizado
Condutos de barro vitrificado de
esgotos
Alvenaria de tijolos com argamassa
de cimento, condutos de tijolos para
esgotos
Superfícies de cimento alisados
Tubos de concreto
Canais com revestimento de concreto
Alvenaria de pedra argamassada
Alvenaria de pedra seca
Alvenaria de pedra aparelhada
Calhas metálicas semicirculares lisas
Calhas metálicas circulares
corrugadas
Canais de terra, retilíneos e uniformes
Canais abertos em rochas e uniformes
Canais abertos em rochas irregulares
ou com paredes de pedras irregulares
e mal arrumadas
Canais dragados
Canais com leito pedregoso e
vegetação nos taludes
Paredes de terra com pedras e
vegetação
Canais com fundo de terra e taludes
empedrados
Arroios e rios limpos, retilíneos e
uniformes
Arroios e rios limpos, retilíneos e
uniformes mas com vegetação e
pedras
Arroios e rios com meandros, bancos
e poços pouco profundos, porém
limpos
Arroios e rios com meandros, bancos
e poços pouco profundos, porém com
vegetação e pedras
Arroios e rios com margens
espraiadas e muita vegetação
muito
boas
Boas
Regulares
Ruins
0,012
0,013
0,014
0,015
0,013
0,014
0,015
0,017
0,011
0,013
0,015
0,017
0,012
0,013
0,015
0,017
0,010
0,012
0,012
0,017
0,025
0,013
0,011
0,011
0,013
0,014
0,020
0,033
0,014
0,012
0,012
0,015
0,016
0,025
0,033
0,015
0,013
0,013
0,016
0,018
0,030
0,035
0,017
0,015
0,023
0,025
0,028
0,030
0,017
0,025
0,020
0,030
0,023
0,033
0,025
0,035
0,035
0,040
0,045
0,025
0,028
0,030
0,033
0,025
0,030
0,035
0,04
0,028
0,030
0,033
0,035
0,025
0,028
0,030
0,033
0,030
0,033
0,035
0,040
0,035
0,040
0,045
0,050
0,033
0,035
0,040
0,045
0,075
0,100
0,125
0,150
0,030
56
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Para os canais de grandes dimensões, pode-se utilizar a fórmula
proposta por Forccheimer que estabelece o valor da velocidade média nos
canais como sendo:
V = C .Rh0 ,7 I o
Nesse caso, os valores de C são dados em função da natureza do
revestimento das paredes dos canais, conforme tabela seguinte, extraída do
Curso de Hidráulica Geral do Prof. Eurico Trindade Neves.
Tabela com os valores de C da fórmula de Forccheimer
Ord.
1
2
3
4
5
6
Natureza das paredes
Canais com revestimento de cimento liso ou de madeira
aparelhada
Canais revestidos em alvenaria de pedra em boas condições
Canais com paredes revestidas em concreto sem alisar
Canais com revestimento de cimento, pouco liso ou em
alvenaria comum
Canais de terra em boas condições
Cursos d´água naturais
C
80 a 90
70
60
50
40
24 a 30
Para cursos d´água naturais, existem fórmulas empíricas que tentam
considerar a diversidade de comportamento dos parâmetros do escoamento,
entretanto, sendo difícil de se encontrar uma fórmula com bons resultados em
todos os casos. Uma fórmula simples e que deve ser empregada com cuidado é
devida a Hermanek, em que a velocidade média do escoamento depende da
profundidade média (hm) e da declividade do fundo do canal (Io), nos seguintes
termos:
Para hm menor ou igual a 1,50 m:
V = 30,7 hm hm. I o
Para hm entre 1,50m e 6,0 m:
V = 34 hm hm. I o
Para hm igual ou superior a 6,0 m:
h 

V =  50,2. + m  hm. I o
2 

57
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4.5. PROBLEMAS HIDRÁULICAMENTE DETERMINADOS
São aqueles em que o elemento desconhecido é deduzido diretamente das
equações da continuidade e do movimento.
Temos basicamente 3 tipos de problemas envolvendo Chézy e Manning:
1o.) Calcular Q dados n, A, Rh e Io;
2o.) Calcular Io dados n, A, Rh e Q;
3o.) Calcular A e Rh dados n, Q e Io.
Obs: O primeiro e o segundo problemas são resolvidos diretamente. O terceiro é
mais trabalhoso, em decorrência da maior dificuldade em se resolver a equação
envolvendo a área e o raio hidráulico:
n.Q
= ARh2 / 3 = f (h)
Io
58
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
CÁLCULO AUTOMÁTICO:
Método de Newton Raphson: raiz de F(x) = 0
ver figura no quadro
x1 − x 0
1
=
F ( x0 ) − 0 − dF
dx
(
)
∴ x1 = x0 −
x0
Generalizando: x m +1 = x m −
Se F ( f ) =
Então:
F ( x0 )
dF
dx x0
(
)
F ( xm )
dF
dx xm
(
)
e
9,35
− 1,14 + 2 log +
 D Re f
f

1

=0


−1
dF
9,35 log e
=
−
df
e
2f f
9,35 
f +
Re
 D Re f 


f
Partindo de um valor f0 iteramos até encontra f com a precisão desejada:
f m +1 = f m −
F( fm )
 dF 
 df  xm
59
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4.6. EXEMPLOS:
1. Um canal construído de concreto ( n = 0,011), com 5 m2 de área da seção
transversal e raio hidráulico 1,20 m, tem inclinação do fundo igual a 0,005
m/m. Calcular a vazão que será escoada nesse canal.
Resposta: Q = 36,30 m3/s
60
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
2. Um canal de irrigação, de seção retangular com largura igual a 3,00 m,
conduz uma vazão de 25,3 m3/s de água quando a profundidade for de 1,20
m. Sendo o coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,022, calcular a
declividade do canal.
Resposta: Io = 0,0410 m/m
61
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3. Um canal de seção transversal trapezoidal de 10 m de largura no fundo tem
paredes laterais com inclinação de 1:2. O canal é revestido com argamassa
de cimento alisada em boas condições (n = 0,011) e possui a declividade
do fundo igual a 0,1 m/km. Sabendo que o escoamento é uniforme e que a
profundidade da água vale 2,00 m, pede-se determinar a vazão escoada.
Resposta: Q = 33,03 m3/s
62
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4. Calcular a altura da lâmina d´água do escoamento uniforme que ocorre em
um canal com a seção transversal mostrada abaixo, quando a vazão for 0,20
m3/s e a declividade do fundo 0,0004. Adotar n = 0,013.
Resposta: h = 0,32 m.
63
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5. Uma canaleta de rodovia a seção transversal com a forma mostrada na figura
seguinte, de altura 28 cm e declividade longitudinal de 1:600 (v:h). Supondo
que irá ocorrer um escoamento uniforme nessa canaleta, verificar se ela terá
capacidade para escoar 12 l/s de água, sem transbordar. Adotar n = 0,013.
Resposta: Sim, pois a vazão nessa canaleta será de 28,4 l/s se o escoamento
ocorrer com altura de 28 cm. Sim, calculando h tem-se h =20,28 cm.
64
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5. DIMENSIONAMENTO DE CANAIS EM ESCOAMENTO
UNIFORME
Conforme livro Hidráulica Básica do Rodrigo M. Porto, cp. 8.4, pg 248
Quando a água escoa em um canal e se observa que a seção transversal,
a profundidade de água e a velocidade não variam de um ponto para outro, o
escoamento é dito uniforme.
No escoamento uniforme em canais a equação de Manning permite o
cálculo da vazão escoada, quando se conhece os demais elementos. Nesse caso:
Q=
1
ARh2
n
3
Io
.................01
Nessa equação:
Q é a vazão,
n é o coeficiente de rugosidade de Manning,
A é a área da seção transversal ao escoamento,
Rh é o raio hidráulico e
Io a declividade do fundo do canal.
Quando se deseja calcular os elementos da seção transversal, por
exemplo, para determinação da profundidade, à partir de uma vazão,
declividade e rugosidade conhecidas, a equação de Manning, pode ser escrita na
forma:
nQ
Io
= ARh2
3
.................02
Nessa equação, o primeiro membro representa as condições
hidrodinâmicas necessárias para o escoamento acontecer. Já o segundo membro
65
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
representa apenas as condições geométricas que a seção transversal do
escoamento deve obedecer para que haja o escoamento. É de caráter puramente
geométrico e, uma vez escolhida uma determinada forma geométrica da seção
transversal, existirá mais de uma combinação dos elementos dessa seção
(largura, altura da lâmina d´água, etc.) que irá satisfazer à Eq. 02.
Então, o dimensionamento de um canal, obriga a:
1. escolher uma forma geométrica para a seção transversal e,
2. determinar os elementos que definem a seção transversal.
Como a área e o perímetro da seção transversal dependem da
profundidade do escoamento, h, o problema passa pela solução de uma equação
não linear em função dessa variável. Assim, f ( h) = ARh2 3 =
nQ
, define um
Io
valor específico de h, valor esse que será usado na definição da seção
transversal do escoamento. Atualmente, com o advento dos computadores, a
solução de tal equação pode ser encontrada com muita facilidade. Entretanto,
existem alguns métodos ainda utilizados para se definir completamente a seção
transversal. Um deles passa por tabelar a função decorrente da equação de
Manning para cada uma das seções transversais mais utilizadas, conforme será
visto a seguir.
Para uma seção transversal de forma definida, seja λ uma dimensão
característica necessária à completa definição da seção. Nesse caso,
A = αλ2
Rh = βλ
Onde A é a área da seção transversal do escoamento, Rh o
correspondente perímetro molhado, com α e β denominados parâmetros de
forma da seção.
66
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Uma vez escolhida uma determinada seção, α e β ficam determinados.
A equação de Manning pode, agora, ser escrita em função de α e β, dando:
nQ
= ARh2 3 = αλ2 β 2 3λ2 3
Io
Nesse caso, escreve-se:
nQ
= αβ 2 3λ8 3
Io
Observar que as condições geométricas estão expressas no segundo membro da
equação anterior.
Elevando ambos os membros da equação acima a 3/8, tem-se:
 nQ 


 I 
o


38
1
= α 3 8β 4 λ
Seja M o coeficiente dinâmico modificado, tal que:
 nQ 

M =
 I 
 o
38
..........03
Seja K um coeficiente de forma tal que:
K = α 3 8β 1 4
............04
A equação de Manning, finalmente, fica resumida a:
λ=
M
K
.....................05
O coeficiente K será calculado e tabelado para as diversas formas geométricas
que a seção transversal pode assumir.
67
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5.1. CASO DA SEÇÃO TRAPEZOIDAL:
Seja uma seção transversal de escoamento em forma de trapézio
definida conforme ilustrado na figura XX.
Fig. xx - dddd
ho = profundidade do escoamento
b = largura no fundo
B = largura na linha d´água
α = ângulo de inclinação das faces do trapézio
z = parâmetro que define a inclinação das faces do trapézio
No triângulo retângulo de cateto vertical igual a 1 e cateto horizontal igual a z,
tem-se:
tgα = 1/z
z = 1 / tgα = cotg α
............06
Da semelhança de triângulos, um de altura ho e outro de altura 1, pode-se
escrever:
x/ho = z/1
x = z ho
..........................07
A hipotenusa do triângulo retângulo, l será dada por:
l = ho2 + x 2
l = ho 1 + z 2
.............08
Observar que quando se tem z = 0, a seção é retangular e quando se
tem b = 0, trata-se de uma seção triangular. Assim, o esquema desenvolvido se
presta a definição de seções trapezoidais, retangulares ou triangulares.
68
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Façamos λ = ho:
2
A área será A = α .ho =
1
(b + b + 2 zho )ho o que permite calcular o valor de α,
2
de forma que:
α=
b
+z
ho
...........09
O raio hidráulico será calculado por:
Rh =
(b + zho )ho
A
= βho =
Pe
b + 2ho 1 + z 2
Assim, β fica definido pela expressão:
β=
b
+z
ho
......10
b
+ 2 1+ z2
ho
Ao valor m=b/ho denomina-se relação de aspecto, sendo de grande
importância na escolha da forma final da seção transversal. Podemos ter canais
largos se o valor de m é grande e canais profundos, se esse valor for pequeno.
Em função de m, pode-se reescrever as equações dos parâmetros α e de
β, tal que:
α=m+z e
β=
m+ z
m + 2 1+ z2
Logo, para a seção trapezoidal, pode-se escrever:
K =α β
38
14
= (m + z )
38
Ou
69

m+ z

2
 m + 2 1+ z



1
4
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
K=
(m + z )5 8
4
m + 2 1+ z2
................11
O valor de K deve ser tabelado para os valores usuais de m e de z, tabela
que facilitará os cálculos envolvendo a equação de Manning, que agora fica na
forma simplificada:
ho =
M
K
Observações:
1. K, será tabelado em função de m e z
M
M
⇒ ho =
K
K
2.
λ=
3.
 nQ 

M =
 I 
o


4. Se z = 0
38
seção retangular
5. Se m = b/ho = 0
seção triangular
6. Notar a dificuldade de se usar a tabela de K quando não se conhece ho.
Isso obriga o uso de um trabalhoso procedimento iterativo até se
encontrar um valor de ho e o K correspondente, tal que o produto de
ambos seja o valor de M.
Ver tabela 8.2, página 268, livro do Prof. Rodrigo
A tabela seguinte fornece os valores de K para alguns valores prédefinidos de z e para valores de m variando de 0 a 10.
70
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tabela 1: Valores do coeficiente de forma para seções trapezoidais, K
Valores de θ (em grau) =
90,00
75,96
63,43
45,00
38,66
33,69
29,74
26,57
z=
b/ho
0,00
0,25
0,50
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,0
0,000
0,351
0,530
0,771
0,859
0,935
1,001
1,061
0,2
0,300
0,495
0,640
0,850
0,929
0,998
1,058
1,113
0,4
0,453
0,610
0,735
0,921
0,993
1,056
1,112
1,163
0,6
0,572
0,707
0,818
0,986
1,052
1,110
1,163
1,211
0,8
0,672
0,793
0,893
1,046
1,107
1,162
1,211
1,256
1,0
0,760
0,869
0,961
1,103
1,159
1,210
1,257
1,299
1,2
0,838
0,939
1,023
1,155
1,209
1,257
1,300
1,341
1,4
0,909
1,003
1,082
1,205
1,255
1,301
1,342
1,380
1,6
0,974
1,062
1,136
1,253
1,300
1,343
1,382
1,419
1,8
1,034
1,117
1,187
1,298
1,342
1,383
1,421
1,455
2,0
1,091
1,169
1,236
1,340
1,383
1,422
1,458
1,491
2,2
1,143
1,219
1,282
1,382
1,422
1,459
1,494
1,526
2,4
1,193
1,265
1,326
1,421
1,460
1,495
1,528
1,559
2,6
1,241
1,310
1,368
1,459
1,496
1,530
1,562
1,592
2,8
1,286
1,352
1,408
1,495
1,531
1,564
1,595
1,623
3,0
1,329
1,393
1,446
1,531
1,565
1,597
1,626
1,654
3,2
1,370
1,432
1,484
1,565
1,598
1,629
1,657
1,684
3,4
1,410
1,469
1,519
1,598
1,630
1,660
1,687
1,713
3,6
1,448
1,505
1,554
1,630
1,661
1,690
1,716
1,741
3,8
1,484
1,540
1,588
1,661
1,691
1,719
1,745
1,769
4,0
1,520
1,574
1,620
1,692
1,721
1,748
1,773
1,796
4,2
1,554
1,607
1,652
1,721
1,750
1,776
1,800
1,823
4,4
1,587
1,639
1,682
1,750
1,777
1,803
1,826
1,849
4,6
1,619
1,670
1,712
1,778
1,805
1,829
1,852
1,874
4,8
1,651
1,700
1,741
1,805
1,831
1,855
1,878
1,899
5,0
1,681
1,729
1,770
1,832
1,858
1,881
1,903
1,923
5,2
1,711
1,758
1,797
1,858
1,883
1,906
1,927
1,947
5,4
1,740
1,786
1,824
1,884
1,908
1,930
1,951
1,971
5,6
1,768
1,813
1,851
1,909
1,933
1,954
1,975
1,994
5,8
1,795
1,840
1,876
1,933
1,957
1,978
1,998
2,017
6,0
1,822
1,866
1,902
1,958
1,980
2,001
2,021
2,039
6,2
1,848
1,891
1,926
1,981
2,004
2,024
2,043
2,061
6,4
1,874
1,916
1,951
2,004
2,026
2,046
2,065
2,083
6,6
1,899
1,940
1,975
2,027
2,049
2,068
2,086
2,104
6,8
1,924
1,964
1,998
2,050
2,071
2,090
2,108
2,125
7,0
1,948
1,988
2,021
2,072
2,092
2,111
2,129
2,145
7,2
1,972
2,011
2,043
2,093
2,114
2,132
2,149
2,166
7,4
1,995
2,034
2,066
2,115
2,134
2,153
2,170
2,186
71
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tabela 1: Valores do coeficiente de forma para seções trapezoidais, K
Valores de θ (em grau) =
90,00
75,96
63,43
45,00
38,66
33,69
29,74
26,57
z=
b/ho
0,00
0,25
0,50
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
7,6
2,018
2,056
2,087
2,136
2,155
2,173
2,190
2,205
7,8
2,041
2,078
2,109
2,156
2,175
2,193
2,209
2,225
8,0
2,063
2,100
2,130
2,177
2,195
2,213
2,229
2,244
8,2
2,084
2,121
2,151
2,197
2,215
2,232
2,248
2,263
8,4
2,106
2,142
2,171
2,216
2,235
2,251
2,267
2,282
8,6
2,127
2,162
2,191
2,236
2,254
2,270
2,285
2,300
8,8
2,148
2,182
2,211
2,255
2,273
2,289
2,304
2,318
9,0
2,168
2,202
2,231
2,274
2,291
2,307
2,322
2,336
9,2
2,188
2,222
2,250
2,293
2,310
2,325
2,340
2,354
9,4
2,208
2,241
2,269
2,311
2,328
2,343
2,358
2,372
9,6
2,227
2,261
2,288
2,329
2,346
2,361
2,375
2,389
9,8
2,247
2,279
2,306
2,347
2,364
2,379
2,393
2,406
10,0
2,266
2,298
2,325
2,365
2,381
2,396
2,410
2,423
EXEMPLO 1:
Seja o escoamento uniforme de água em um canal trapezoidal de 0,60 m
de largura na base, com faces inclinadas de 2:2,5 (V:H). Sabendo que a
declividade do eixo do canal é de 0,0025, que o coeficiente de rugosidade de
Manning é 0,022, calcular a vazão escoada quando a lâmina d´água for de 0,30
m.
SOLUÇÃO
Dados: b = 0,60m
1,25
Io = 0,0025
inclinação das faces: 2:2,5 ou 1:1,25 ==> z =
n = 0,022
ho = 0,30 m
A equação de Manning será usada na forma: ho = M = 0,30 m
K
A relação de aspecto será: b / ho = 0,60 / 0,30 = 2,0.
Pela tabela 1, com b / ho = 2,0 e z = 1,25 tem-se K = 1,383.
Logo M = ho . K = 0,30 . 1,383 = 0,4149
38
38
 nQ 
 0,022.Q 


Se M =
tem-se 0,4149 = 

 0,0025 
 I 


 o
3
Logo Q = 0,2176 m /s ou Q = 217,6 l/s.
72
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5.2. DETERMINAÇÃO DA ALTURA DA LÂMINA D´ÁGUA NO CANAL
Quando o objetivo é a determinação da altura da lâmina d´água no
canal, ho, para uma dada área molhada, o valor b/ho não é conhecido. Logo K
somente poderá ser determinado através de um processo iterativo trabalhoso.
Com a finalidade de se evitar esse inconveniente, quando se trata de canal
trapezoidal, é usual modificar o coeficiente de forma e a equação de Manning
da seguinte maneira:
nQ
= A.Rh2 3 ,
Io
Com a área dada por
A = (m + z )ho2
e o raio hidráulico dado por
2
3
 (m + z )h o 
Rh = 
.
2 
m + 2 1+ z 
Logo,
2
 (m + z )ho  3
nQ
= (m + z )ho2 
2 
Io
 m + 2 1+ z 
8
Dividindo membro a membro por b 3 , vem:
2
 ho  3
1 + z 
b 

5
nQ
8
b 3 Io
 h 3
= o
b
h

2 
1 + 2 o 1 + z 
b


Fazendo
73
2
3
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
2
h 
K2 =  o 
b
 ho  3
1 + z 
b 

5
3
h

2 
1 + 2 o 1 + z 
b


....................10
2
3
Tem-se:
nQ
b
8
3
= K 2 ..................11
Io
Nesse caso, o valor de K2 é tabelado para diversos valores de ho/b = 1/m
e de z, formando a tabela seguinte. O procedimento, agora, é calcular K2 pela
equação anterior e procurar na tabela, para um dado z, qual ho/b corresponde a
esse K2. Assim sendo, basta calcular o valor de ho, profundidade do escoamento
no canal.
Tabela 2: Valores do coeficiente de forma para seções Trapezoidais, K2
Valores de θ (em grau) =
90,00 75,96
Valores de z =
ho/b
0,00
0,25
63,43
45,00
38,66
33,69
29,74
26,57
23,96
21,80
0,50
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,000
0,001
0,005
0,009
0,014
0,020
0,027
0,035
0,044
0,053
0,063
0,073
0,084
0,096
0,108
0,000
0,001
0,005
0,009
0,015
0,021
0,029
0,038
0,047
0,057
0,069
0,081
0,094
0,108
0,123
0,000
0,001
0,005
0,009
0,015
0,022
0,030
0,039
0,049
0,059
0,071
0,084
0,098
0,113
0,129
0,000
0,001
0,005
0,009
0,015
0,022
0,030
0,039
0,050
0,061
0,074
0,087
0,102
0,118
0,135
0,000
0,001
0,005
0,009
0,015
0,022
0,031
0,040
0,051
0,063
0,076
0,090
0,106
0,123
0,141
0,000
0,001
0,005
0,009
0,016
0,023
0,031
0,041
0,052
0,065
0,078
0,093
0,110
0,127
0,146
0,000
0,001
0,005
0,010
0,016
0,023
0,032
0,042
0,053
0,066
0,080
0,096
0,113
0,132
0,152
0,000
0,001
0,005
0,010
0,016
0,023
0,032
0,043
0,055
0,068
0,083
0,099
0,117
0,136
0,157
0,000
0,001
0,004
0,009
0,013
0,019
0,025
0,032
0,039
0,047
0,055
0,063
0,071
0,080
0,089
0,000
0,001
0,005
0,009
0,014
0,020
0,026
0,034
0,042
0,050
0,059
0,068
0,078
0,088
0,099
74
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Tabela 2: Valores do coeficiente de forma para seções Trapezoidais, K2
Valores de θ (em grau) =
90,00 75,96
Valores de z =
ho/b
0,00
0,25
63,43
0,50
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
0,121
0,134
0,148
0,162
0,177
0,192
0,208
0,225
0,242
0,259
0,277
0,296
0,315
0,334
0,354
0,375
0,396
0,418
0,440
0,462
0,486
0,509
0,534
0,558
0,584
0,610
0,636
0,663
0,691
0,719
0,747
0,776
0,806
0,836
0,867
0,898
0,138
0,155
0,172
0,190
0,210
0,230
0,251
0,273
0,296
0,319
0,344
0,370
0,396
0,424
0,453
0,482
0,513
0,544
0,577
0,611
0,645
0,681
0,718
0,756
0,795
0,835
0,876
0,918
0,962
1,006
1,052
1,098
1,146
1,196
1,246
1,297
0,146
0,164
0,183
0,203
0,224
0,246
0,270
0,294
0,320
0,346
0,374
0,403
0,433
0,465
0,497
0,531
0,566
0,602
0,640
0,678
0,718
0,760
0,802
0,846
0,892
0,939
0,987
1,036
1,087
1,139
1,193
1,248
1,305
1,363
1,423
1,484
0,153
0,173
0,193
0,215
0,238
0,262
0,288
0,314
0,342
0,372
0,403
0,435
0,468
0,503
0,540
0,577
0,617
0,657
0,699
0,743
0,788
0,835
0,884
0,933
0,985
1,038
1,093
1,150
1,208
1,268
1,329
1,393
1,458
1,524
1,593
1,664
0,160
0,181
0,203
0,226
0,251
0,277
0,305
0,334
0,365
0,397
0,430
0,465
0,502
0,541
0,581
0,622
0,666
0,711
0,757
0,806
0,856
0,908
0,962
1,018
1,075
1,135
1,196
1,260
1,325
1,392
1,461
1,533
1,606
1,681
1,759
1,838
0,167
0,189
0,212
0,237
0,264
0,292
0,322
0,353
0,386
0,421
0,457
0,495
0,535
0,577
0,621
0,666
0,713
0,763
0,814
0,867
0,922
0,979
1,039
1,100
1,164
1,229
1,297
1,367
1,439
1,514
1,591
1,670
1,751
1,835
1,921
2,010
0,173
0,197
0,222
0,248
0,276
0,306
0,338
0,372
0,407
0,444
0,483
0,525
0,568
0,613
0,660
0,709
0,760
0,814
0,869
0,927
0,987
1,050
1,114
1,181
1,250
1,322
1,396
1,473
1,552
1,634
1,718
1,805
1,894
1,986
2,081
2,178
0,180
0,204
0,231
0,259
0,289
0,321
0,354
0,390
0,428
0,468
0,509
0,553
0,600
0,648
0,698
0,751
0,807
0,864
0,924
0,986
1,051
1,119
1,189
1,261
1,336
1,414
1,494
1,577
1,663
1,752
1,843
1,938
2,035
2,135
2,238
2,344
0,098
0,108
0,117
0,127
0,137
0,147
0,157
0,167
0,177
0,188
0,198
0,209
0,220
0,231
0,241
0,252
0,263
0,274
0,285
0,297
0,308
0,319
0,330
0,342
0,353
0,365
0,376
0,388
0,399
0,411
0,422
0,434
0,446
0,457
0,469
0,481
0,110
0,121
0,133
0,145
0,158
0,170
0,184
0,197
0,211
0,225
0,239
0,254
0,269
0,284
0,299
0,315
0,331
0,347
0,364
0,381
0,398
0,415
0,433
0,451
0,469
0,488
0,507
0,526
0,545
0,565
0,585
0,605
0,625
0,646
0,667
0,688
45,00
38,66
75
33,69
29,74
26,57
23,96
21,80
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Resumo:
nQ
1. Determinar K2 pelas condições hidrodinâmicas: K 2 =
b
8
3
Io
2. Para um valor de z, procurar o valor de K2 na tabela.
3. Obter o valor correspondente de de ho/b e,
4. Calcular de ho.
5. Realizar as interpolações, se necessário for.
Exemplo 2:
Um projetista pretende dimensionar um canal para escoamento de água pluvial
com a declividade do leito igual a 0,0015, a ser construído em alvenaria de
pedra argamassada em más condições (n = 0,030), de forma que a vazão seja de
600 l/s. Para tanto ele escolheu uma seção transversal trapezoidal com as faces
inclinadas de 1:2,25 (V:H) e definiu que a largura no fundo deverá ser o
quádruplo da altura da lâmina d´água. Determinar a altura do trapézio
lembrando que é requerida ema folga entre o nível da água e a borda
equivalente a 15% da altura desse trapézio.
SOLUÇÃO
Dados: Io = 0,0015
z = 2,25
Q = 600 l/s = 0,600 m3/s
n = 0,030
m = b / ho = 4 Folga = 15.H/100
Na tabela 2 determina-se o valor de K2 para ho / b = 0,25 e z = 2,25, por
interpolação. Logo K2 = 0,1225
8
Como K = nQ = 0,1225 , tem-se b 3 =
2
8
b 3 Io
Logo,
76
nQ
0,030 x0,600
=
K 2 I o 0,1225x 0,0015
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
b =1,649 m ==> ho = 0,25 . b = 0,25 . 1,649 ou ho = 0,412 m.
Como a altura do trapézio será H = ho + 0,15.H, finalmente tem-se
H = 0,485 m.
5.3. CASO DA SEÇÃO CIRCULAR
A seção circular é muito utilizada em projetos de sistemas de esgotos e
em galerias de águas pluviais.
Considerar uma circunferência de raio R e diâmetro D, conforme figura
seguinte. Supor que o nível da água, quando em escoamento, atinja a
profundidade ho. Seja θ o ângulo formado pelos raios que ligam o centro da
circunferência com as extremidades da largura na superfície, medido em
radianos. Lembrar que 1 radiano é o ângulo central subentendido por um arco
de circunferência de comprimento igual ao raio.
Fig. xx – Elementos geométricos da seção circular.
77
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Relações no triangulo retângulo:
Ângulo θ medido em radianos:
cos
θ
2
=
R−h
h
h
ou
=1− = 1− 2
R
R
D


θ = 2 arccos1 − 2
ho 
,
D
Áreas:
Área do escoamento (área molhada): A.
Área da circunferência: Aci = π.D2/4
A = AEFG = Asetor CEFG - Atriangulo CEG. =
A=
θ − senθ 2 ou
R2
R2
senθ =
R
θ−
2
2
2
2 

D2
(θ − senθ ) ou A = D 2 arccos(1 − 2h / D) − 4(1 − 2h / D) h 1 − h  
8
8 
D  D  
Largura na superfície:
θ
θ B
ou B = 2 h( D − h)
sen = 2 e B = Dsen
2
2 D
2
Perímetro: Pe
A=
P = arco BEC ou P = (D/2).θ ou P = D arccos( 1 − 2 h / D )
Raio Hidráulico: Rh
Rh =
A D 2 (θ − senθ )
=
Dθ
Pe
8
2
Rh =
D  senθ 
1 −

4
θ 
Altura da lâmina d´água: ho
ho =
D D
θ
− cos
2 2
2
ho =
D
θ
1 − cos 
2
2
Para estabelecer as propriedades geométricas no escoamento com seção
transversal circular, seja:
λ=D
78
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A = α.D2
Rh = β.D
α=
θ − senθ
8
1
4
β = 1 −
3
senθ 

θ 
1
Como já foi visto, K = α 8 β 4
Reescrevendo o K em função de θ e denominando o K da seção circular de K1:

 senθ

1−
θ
θ
−
sen


θ

K1 = 


8
4





3






2
3
8





Esse valor de K1 é calculado e colocado sob a forma de tabela, em função de θ
ou de ho/D.
3
Lembrando que
 nQ  8

M =
 I  , a equação de Manning que foi posta na
 o
forma λ = M / K e, finalmente, ficará na forma:
D=
M
K1
A tabela 3 seguinte apresenta os valores de K1 para valores de ho/D variando de
0 a 1.
Resumo:
3
 nQ  8


M
=
1. Determinar M pelas condições hidrodinâmicas:
 I 
 o
2. Determinar K1 pela relação: K1 =
79
M
D
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
3. Procurar na tabela um valor de ho/D correspondente ao valor de K1
determinado.
4. Calcular ho = (ho/D)tabela*D.
5. Realizar as interpolações, caso necessário.
Tabela 3: Valores do coeficiente de forma para seções circulares, K1
ho/D
K1
ho/D
K1
ho/D
K1
ho/D
K1
0,00
0,000
0,30
0,350
0,60
0,556
0,90 0,661
0,01
0,024
0,31
0,359
0,61
0,562
0,91 0,662
0,02
0,042
0,32
0,367
0,62
0,567
0,92 0,663
0,03
0,058
0,33
0,375
0,63
0,572
0,93 0,664
0,04
0,073
0,34
0,383
0,64
0,577
0,94 0,664
0,05
0,087
0,35
0,391
0,65
0,582
0,95 0,664
0,06
0,101
0,36
0,399
0,66
0,586
0,96 0,663
0,07
0,114
0,37
0,407
0,67
0,591
0,97 0,661
0,08
0,127
0,38
0,415
0,68
0,596
0,98 0,659
0,09
0,139
0,39
0,422
0,69
0,600
0,99 0,656
0,10
0,151
0,40
0,430
0,70
0,604
1,00 0,646
0,11
0,163
0,41
0,437
0,71
0,608
0,12
0,175
0,42
0,444
0,72
0,612
0,13
0,186
0,43
0,451
0,73
0,616
0,14
0,197
0,44
0,458
0,74
0,620
0,15
0,208
0,45
0,465
0,75
0,624
0,16
0,218
0,46
0,472
0,76
0,627
0,17
0,229
0,47
0,479
0,77
0,631
0,18
0,239
0,48
0,485
0,78
0,634
0,19
0,249
0,49
0,492
0,79
0,637
0,20
0,259
0,50
0,498
0,80
0,640
0,21
0,269
0,51
0,504
0,81
0,643
0,22
0,279
0,52
0,511
0,82
0,646
0,23
0,288
0,53
0,517
0,83
0,649
0,24
0,297
0,54
0,523
0,84
0,651
0,25
0,306
0,55
0,528
0,85
0,653
0,26
0,316
0,56
0,534
0,86
0,655
0,27
0,324
0,57
0,540
0,87
0,657
0,28
0,333
0,58
0,546
0,88
0,659
0,29
0,342
0,59
0,551
0,89
0,660
0,30
0,350
0,60
0,556
0,90
0,661
80
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Exemplo 3:
Determinar a altura da água em um escoamento numa galeria de águas pluviais,
de concreto (n = 0,013) e D = 0,80 m, com declividade do fundo igual a 0,004
m/m, quando a vazão for de 600 l/s, em regime permanente e uniforme.
SOLUÇÃO:
 nQ 

M =
 I 
 o
Como D = M/K1
38
=
0,013 * 0,600
= 0,456
0,004
K1 = M/D = 0,456/0,80
K1 = 0,570
Da tabela 3, para K1 = 0,570, tem-se ho/D = 0,625
Então ho = 0,50 m.
Exemplo 4:
Qual a relação entre as vazões transportadas em regime permanente e uniforme
em uma galeria de águas pluviais, com lâmina d´água igual a 2/3 do diâmetro e
à meia seção?
Solução:
Da tabela xxx, tem-se K1 = 0,588 para ho/D = 2/3 = 0,667 e K´1 = 0,498 para
ho/D = 0,500.
Como D = M/K1
M´/K´1= M/K1
M/M´= K1/K´1= 0,588/0,498
M/M´= 1,180
38


Como M =  nQ 
 I 
 o
38
 nQ 


3
 Q 8
M  I o 
=
=   = 1,180
M ´  nQ´ 3 8  Q´ 


 I 
o


8
Q
= (1,180) 3 = 1,56
Q´
81
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Então a vazão irá aumentar de 56%.
5.3.1. VARIAÇÃO DA VELOCIDADE MÉDIA E DA VAZÃO
Como a seção circular é muito empregada na construção de canais, de
uma maneira geral, é interessante estudar a variação da vazão e da velocidade
média do escoamento com a variação relativa da altura da lâmina d´água.
Quando se escreve a equação de Manning para a velocidade média do
escoamento ou para a vazão, verifica-se como essas grandezas com ho/D ou θ.
Para tanto, basta escrever a equação de Manning em função de θ.
Q=
1
ARh2
n
3
Io
onde,
Área: A =
D2
(θ − senθ )
8
Perímetro: Pe = (D/2).θ
Raio Hidráulico: Rh =
D  senθ 
1 −

4
θ 
Substituindo na equação de Manning:
1 D2
(θ − senθ ) D 1 − senθ 
Q=
n 8
θ 
4
23
Io
Essa equação pode ser simplificada para dar a vazão:
1 D 3 (θ − senθ )
Q=
2
20,16 n
θ 3
8
5
3
Io
A equação de Manning pode ser escrita para a velocidade média:
82
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
V =
Q 1 23
= Rh I o
A n
Substituindo o raio hidráulico pela sua expressão:
2
1 D 3  senθ 
V=
1 −

2,52 n 
θ 
2
3
Io
Observar que tanto Q quanto V são funções de θ que varia com ho/D.
Estudando o máximo de cada uma das funções acima, através da
derivada em relação a θ, conclui-se que:
1. V = Vmax quando θ = 257,57o ou ho =0,8132D.
2. Q = Qmax quando θ = 302,56o ou ho =0,9385D. A vazão máxima não
ocorre à seção plena.
3. Os máximos não ocorrem à mesma altura. Observar que a velocidade
depende do raio hidráulico, ao passo que a vazão depende do raio
hidráulico e da área do escoamento.
4. A vazão é máxima mais perto da seção plena (ho ≈0,94D). ao passo que
a velocidade máxima ocorre um pouco mais afastada da seção plena (ho
≈0,81D).
5. Na prática do projeto de canais é usual adotar-se ho ≤ 0,75D.
5.3.2. RELAÇÕES DA VAZÃO E DA VELOCIDADE NA SEÇÃO DE
ESCOAMENTO COM A SEÇÃO PLENA.
Em alguns casos é vantajoso comparar o escoamento que ocorre a uma
dada seção com o escoamento que ocorreria no caso da seção ser plena. Isso
pode facilitar os cálculos necessários ao dimensionamento dos canais de seção
transversal circular, quando a lâmina d´água for inferior ao diâmetro.
Para a seção plena, tem-se:
83
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Ap =
πD 2
Rhp =
Pep = πD
4
D
.
4
Pela equação de Manning, pode-se escrever que:
2
2
nQ
= Ap Rhp3
Io
e
nV
= Rhp3
Io
Para uma seção transversal do escoamento genérica, A, de valor inferior à área
da seção plena, Ap, tem-se:
2
nQ
= AR 3
Io
e
nV p
Io
2
= Rh3
Dividindo-se, membro a membro, uma relação pela outra, tem-se:
2
V  Rh  3
=
V p  Rhp 
2
Q
A  Rh  3
=
Q p Ap  Rhp 
e
Escrevendo em função de θ:
2
V  senθ  3
= 1 −

Vp 
θ 
Sendo
2
3
Q
1
e
(θ − senθ )1 − senθ 
=
Q p 2π
θ 

ho 1 
θ
= 1 − cos  .
D 2
2
Lançando-se, em um mesmo gráfico, as relações de velocidade, vazão e
raio hidráulico da seção de escoamento e os correspondentes valores para a
seção plena pela relação entre a profundidade do escoamento e o diâmetro da
seção, tem-se:
84
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Relação entre vazões, velocidades e raios hidráulicos de uma seção
de escoamento para os correspondentes valores à seção plena com a relação
entre a profundidade e o diãmetro, no caso de seção circular.
Esse gráfico nos permite realizar uma série de análise do escoamento
em seções transversais circulares, comparando-se com o escoamento a plena
seção.
Observar que a velocidade máxima é cerca de 14% maior que a
velocidade na seção plena (máximo de V/Vp = 1,140) e ocorre quando ho/D é
igual a 0,8132. O raio hidráulico máximo é cerca de 21,7% maior que o raio
hidráulico que ocorre à seção plena (máximo de Rh / Rhp = 1,2172) e ocorre para
a mesma relação ho/D da velocidade. Já a vazão máxima vale cerca de 13,34%
da vazão à seção plena (máximo da relação Q/Qp = 1,1334) e ocorre para ho/D
igual a 0,92.
Pelo visto anteriormente, quando se quer um escoamento de vazão
máxima, deve-se lembrar que ele ocorre a uma profundidade do escoamento
igual a 92% do diâmetro. Em projeto de canais, é de grande importância
conhecer o valor da velocidade média do escoamento, que no caso da seção
85
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
circular irá ocorrer quando a profundidade do escoamento for de 81,32% do
diâmetro da seção, com valor cerca de 14% maior que a velocidade do
escoamento à seção plena.
Exemplo 5:
Um escoamento em um canal de seção transversal circular ocorre de
forma que a profundidade do escoamento da água é igual à metade do diâmetro
(escoamento a meia seção). Determinar:
a) A relação entre a vazão na seção considerada e a vazão à seção plena;
Se ho/D = 0,50, a simples leitura no gráfico da figura anterior, na curva
correspondente à relação de vazões, indica que Q/Qp = 0,50, isto é a vazão à
meia seção é exatamente a metade da vazão à seção plena.
b) a relação da velocidade entre o escoamento a meia seção e a velocidade que
ocorre a seção plena.
Se ho/D = 0,50, a simples leitura no gráfico da figura anterior,
na curva correspondente à relação de velocidades, indica que V/Vp = 1,0, isto é
a velocidade à meia seção é exatamente igual à velocidade do escoamento que
ocorre à seção plena, resultado aparentemente inusitado.
5.4. SEÇÕES DE MÁXIMA EFICIÊNCIA HIDRÁULICA
São também denominadas de seções econômicas ou seções de custo
mínimo.
Em geral, para dimensionamento de um canal, é necessário,
inicialmente, decidir sobre a forma geométrica da seção. Somente depois é que
se determina as dimensões necessárias a veicular certa vazão, para uma dada
declividade do fundo (Io) e para uma determinada rugosidade das paredes,
representada pelo coeficiente de rugosidade de Manning (n).
86
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Esse problema pode ter várias soluções, visto que mais de uma seção
satisfará à fórmula de Manning. Assim, para se ter uma solução adequada, é
preciso observar:
•
•
•
•
Natureza do terreno;
Limitações de dimensões locais;
Limitações de profundidades do escoamento;
Etc.
O dimensionamento irá depender, portanto dos fatores:
• técnicos;
• construtivos;
• econômicos.
Por definição, uma seção transversal de um canal é de máxima
eficiência hidráulica, quando a vazão for máxima para uma determinada área
e declividade.
A equação de Manning do escoamento uniforme, já foi apresentada,
tendo sido escrita como:
Q=
1
A.Rh2 3 I o ,
n
onde Rh = A / Pe.
Nesse caso, colocando-se em função do perímetro, tem-se:
Q=
1 A5 3
. Io
n Pe2 3
Considerando-se que a área (A), o coeficiente de rugosidade de
Manning (n) e a declividade do fundo do canal (Io) constantes conclui-se que a
vazão (Q) será máximo quando o perímetro molhado (Pe) for mínimo. Portanto
a melhor seção hidráulica corresponde à seção de menor perímetro molhado,
dentre aquelas de mesma área.
87
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A definição de tal seção é de suma importância no dimensionamento
dos canais, visto que ela deve ser eficiente do ponto de vista hidráulico, mas
também deve ser econômica, já que o custo do revestimento também deve ser
minimizado. O custo do revestimento, de uma maneira geral, é uma grande
parte do custo da obra.
Na prática nem sempre é possível respeitar a seção mais eficiente, visto
que podem ocorrer problemas com escavação, rebaixamento do lençol freático,
dificuldades construtivas, velocidade média elevada incompatível com o tipo de
revestimento adequado, etc.
Para se ter um exemplo, o semicírculo é uma das formas geométricas
que tem o menor perímetro para uma dada A, conforme será demonstrado à
frente. Portanto ela é a seção de melhor eficiência hidráulica, todavia é uma
seção de custo construtivo elevado quando se constrói canais de grande
diâmetro. Então, dentre as seções circulares, a de máxima eficiência hidráulica
ocorre quando o nível da água atinge o centro do círculo, de forma que a ho =
D/2, conforme ilustrado na Fig. xx.
Figura xx - Seção circular de máxima eficiência hidráulica.
88
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5.4.1. SEÇÃO TRAPEZOIDAL
É muito utilizada como seção transversal nos escoamentos em canais.
Para a seção trapezoidal, foi visto que:
A = (m + z )ho2
(
Pe = m + 2
 A 
ho = 

m+ z
1+ z
2
)h
1
2
(
)
 A 
Pe = m + 2 1 + z 

m+ z
o
2
1
2
Onde m = b/ho e z = cotgα.
Logo,
constantes,
mínimo
sendo
o
se,
A
e
perímetro
z
será
matematicamente
ocorrer:
dPe
=0
dm
Derivando em relação a m
e resolvendo, chega-se a:
(
m = 2 1+ z2 − z
)
A equação anterior exprime o valor que m deve assumir para que o
perímetro seja mínimo. Portanto é a condição para que uma dada seção
transversal de um escoamento em canal seja de máxima eficiência hidráulica.
Nesse caso:
(
b
= 2 1+ z2 − z
ho
Logo:
ho = 0,866.b e b = R
α = 60º e z =
3
=0,57735
3
89
)
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Conclusão: a seção trapezoidal de maior eficiência hidráulica
é um semi-hexágono inscrito em um semicírculo com centro na superfície da água.
Lembrar que, se z = 0 o trapézio fica transformado em um retângulo.
Assim,
b
=2
ho
m=2
Daí se poder deduzir que ho =
b
e α = 90º.
2
Conclusão: A seção retangular de máxima eficiência hidráulica é
um retângulo (semi-quadrado) de base b e altura
ho = b/2.
Figura xx - Seção retangular de máxima eficiência hidráulica.
Lembrete:
1. Considerar os aspectos práticos e o custo de construção;
2. Considerar a boa prática de se deixar uma folga para evitar
transbordamentos do escoamentos. A cota de segurança é a
90
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
distância vertical acima do nível d´água de projeto e a borda
superior da margem do canal. Em geral fica entre 5 e 30% de ho. O
valor ideal será obtido por consulta a curvas para cota de segurança
nas normas específicas.
Figura xx - Seção retangular de máxima eficiência hidráulica com cota de segurança.
EXEMPLO:
Dimensionar um canal trapezoidal com taludes inclinados de 1:2 (V:H),
declividade do fundo 1 m/km, vazão a ser transportada de 6,5 m3/s, razão de
aspecto b/ho = 4 e coeficiente de rugosidade de Manning igual a 0,025. Calcular
a profundidade da água, a velocidade média do escoamento e definir se a seção
é de máxima eficiência hidráulica.
SOLUÇÃO
Como m = b/ho = 4 e z = 2.
Com tais valores, na tabela 1 tem-se K = 1,796
Equação de Manning:
 n.Q 

M =
 I 
o


3
8
 0,025 x6,5 

= 

 0,001 
ho = M/K = 1,847/1,796 = 1,03 m.
91
3
8
= 1,847
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Mas, como m = 4
b = 4.ho
b = 4,12 m.
Trapézio de 4,12 m de largura no fundo e altura de 1,03 m.
Área: A = (m+z).ho2 = (4+2).1,032
V=Q/A = 6,5 / 6,36
A = 6,36 m2.
V = 1,02 m/s.
Para ser uma seção de máxima eficiência hidráulica é preciso que o perímetro
seja mínimo. Para a seção trapezoidal essa condição é expressa por:
(
) (
)
m = 2 1 + z 2 − z = 2 1 + 22 − 2 = 0,472
Como 0,47 é diferente de 4 (valor dado), verifica-se que a seção não é de
máxima eficiência hidráulica.
5.4.2.
SEÇÃO
CIRCULAR
DE
MÁXIMA
EFICIÊNCIA
HIDRÁULICA
Para a seção circular, foi visto que:
Perímetro molhado: Pe =
D
θ
2
1
D2
Área da seção do escoamento: A =
(θ − senθ )
8
Raio hidráulico: Rh =
 8A 2
D=

 θ − senθ 
D  senθ 
1 −

4
θ 
Assim, pode-se escrever a equação para o perímetro como sendo:
θ
1
8A 2
Pe = 

2  θ − senθ 
Pe = 2 A
θ
θ − senθ
A condição para que o perímetro seja mínimo é
92
dP
=0
dθ
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
θ
d 

Assim,
 2A
=0
dθ 
θ − senθ 
1. θ − senθ −
(
1
1
(θ − senθ )− 2 (1 − cosθ )θ
2
=0
2
θ − senθ
)
1
1 (1 − cosθ )
1
−
= 0 ∴ θ − senθ = (1 − cosθ )
3
2
θ − senθ 2 (θ − senθ )2
2(θ − senθ ) = (1 − cosθ ) ou
2(θ − senθ ) − (1 − cosθ ) = 0
A solução desta equação fornece o valor de θ que minimiza o perímetro
molhado. A solução de tal equação é
θ = π radianos. Nesse caso, substituindo
o
valor
de
θ
nas
equações
correspondentes, tem-se:
ho =
A=
Rh =
D
2
πD 2
8
Pe =
πD
2
D ho
e B = 2R = D.
=
4
2
Conclusão: entre as seções circulares, a que possui o menor perímetro para
uma dada área é a meia seção, quando o nível da água atinge o centro da
circunferência.
5.5. SEÇÕES ESPECIAIS EM CANAIS FECHADOS
Segundo livro de Hidráulica Básica do Prof. Rodrigo Porto.... pg. 261
Em obras de médio e grande portes destinadas a transportar água,
normalmente são usadas seções fechadas, de formato especial, geralmente
93
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
compostas de mais de uma figura geométrica. Esse é o caso de grandes túneis
para condução de água em barragens, interceptores e emissários de esgotos,
galerias de drenagem, etc.
Nessas seções compostas, a forma do fundo é projetada de maneira que
para pequenas vazões, as velocidades médias estabelecidas evitam a deposição
de materiais em suspensão. Da mesma forma, a geometria é vantajosa sob o
ponto de vista estrutural e traz facilidades construtivas, ao fazer uso de arcos
que tornam a estrutura de sustentação de menor espessura. A forma de arco
possibilita o emprego de formas deslizantes ideais para a construção do canal.
O dimensionamento de canais com seções especiais é feito com o uso
da equação de Manning aplicada à seção plena, da qual se conhece a área,
perímetro e o raio hidráulico, em função do principal elemento que define a
seção, quer seja o diâmetro da geratriz, quer seja a altura total da seção. Em
seguida, consulta-se gráficos adimensionais que fornecem as relações entre a
vazão na seção e a vazão na seção plena (Q/Qp) ou entre a velocidade média na
seção e a velocidade média na seção plena (V/Vp), em função da lâmina d´água
relativa (h/H), conforme ilustrado nas figuras seguintes. Os referidos gráficos
são úteis tanto no processo de dimensionamento do canal, quanto para
verificação da capacidade de vazão.
5.5.1. SEÇÃO CAPACETE
Seção bastante utilizada para galerias de esgotamento de águas pluviais,
formada por arcos de circunferência adequadamente traçados, para dar a forma
mostrada na figura xx.
94
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Desenho esquemático para a seção capacete
Valores para a seção plena: D = 0,88H; H = 1,136D,
Ap = 0,847D2 = 0,656H2; Pp = 3,441D = 3,028H, Rhp = 0,246D = 0,216H
Figura xx - Seção Capacete e as curvas de vazão e velocidade normalizadas
pelas vazões e velocidades da seção plena.
EXEMPLO:
Determinar a vazão em uma galeria feita de concreto em boas
condições, construída com a seção capacete, quando estiver funcionando com
uma lâmina d´água igual a 70% da altura total da seção. O diâmetro utilizado
para definir a seção é de 1,80 m e a declividade do fundo da galeria é de 0,15%.
Calcular, ainda a velocidade média do escoamento.
SOLUÇÃO
Para concreto em boas condições, adota-se n = 0,014.
Para a seção capacete, a seção plena, tem-se:
Área molhada: Ap = 0,847 D2 = 0,847 . 1,802 = 2,744 m2.
Raio hidráulico: Rhp = 0,246 D = 0,246 . 1,80 = 0,443 m.
95
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A vazão, à seção plena vale: Q =
2
1
1
23
Ap .Rhp
Io =
.2,744.0,443 3
n
0,014
Q = 4,41 m3/s.
Se h = 70.H/100 = 0,70.H
h/H = 0,70.
No gráfico da seção capacete, para h/H = 0,70, verifica-se, na curva de Q, que
Q/Qp = 0,90.
Assim, Q = 0,90.4,41
Q = 3,97 m3/s.
A velocidade quando a galeria funciona a seção plena é:
Vp = Qp/Ap = 4,41/2,744
Vp = 1,61 m/s.
No gráfico da seção capacete, na curva de V, para h/H = 0,70, verifica-se que
V/Vp = 1,12.
Então, a velocidade média para a vazão determinada será:
V = 1,61.1,12 ou V = 1,80 m/s
96
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5.5.2. SEÇÃO OVAL NORMAL INVERTIDA
Fig. xx - Desenho esquemático para a seção oval normal invertida.
Valores para a seção plena:
D = 2H/3
H = 1,5 D
Ap = 1,149 D2 = 0,511 H2
Pp = 3,965 D = 2,643 H
Rhp = 0,289 D = 0,193 H
5.5.3. SEÇÃO ARCO DE CÍRCULO ALTO
97
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
5.5.4. SEÇÃO ARCO DE CÍRCULO BAIXO
98
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
EXERCÍCIOS
Exercício 1. Um canal de drenagem será executado em terra com vegetação
rasteira nos taludes e leito, com declividade do fundo igual a 30 cm/km. Os
taludes da seção transversal têm inclinação de 1:2,5 (V:H) e foi dimensionado
tal que a largura no fundo é de 1,75 m e a profundidade da lâmina d´água no
escoamento uniforme é de 1,40 m. Pede-se:
a) Determinar a vazão capaz de ser escoada;
b) Verificar se a seção é de mínimo perímetro molhado;
c) se a seção for alterada para a forma retangular com largura igual ao dobro da
largura da base do canal trapezoidal (B = 2b) e o canal for executado em
concreto e a vazão tiver que ser 6,0 m3/s, qual será a nova profundidade do
escoamento?
SOLUÇÃO
a) Dados:
Consultado tabela encontra-se: n = 0,025
Declividade do fundo: Io = 0,3 m/km = 0,0003 m/m
m = b/ho = 1,75/1,40 = 1,25
e z = 2,5
Pela tabela1, com os valores de m e de z, por interpolação encontra-se K =
1,423.
A equação de Manning ficou reduzida a ho = M/K.
1,40 = M/1,423 ==> M = 1,9922
 n.Q 

M =
 I 
 o
3
8
 0,025xQ 

= 

 0,0003 
3
8
= 1,9922
Logo, tem-se Q = 4,35 m3/s.
b) Para que a seção seja de mínimo perímetro molhado é preciso que a relação
seguinte se verifique:
99
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
(
m = 2 1 + z2 − z
No caso em questão:
(
)
)
m = 2 1 + 2,52 − 2,5 = 0,38
Como o valor usado (m=1,25) é bem diferente do calculado, conclui-se que a
seção usada não é de mínimo período molhado.
c) Se q = 6,0 m3/s, seção retangular de B = 3,50 m e n = 0,014, tem-se:
Foi demonstrado que:
nQ
K2 =
b
Nesse caso tem-se: K 2 =
0,014.6,0
3,5
8
3
8
3
Io
= 0,172 .
0,0003
Na tabela 2, para o valor de K2 correspondente a 0,172 e para z = 0 (seção
retangular), tem-ser ho/b = 0,45, após interpolação. Logo:
ho = 0,45.b = 0,45.3,50 ==> ho = 1,57 m.
Exercício 2. Uma galeria destinada ao escoamento de 1,20 m3/s de águas
pluviais tem diâmetro de 1,0 m e declividade do fundo igual a 0,25%. A galeria
é feita de peças de concreto com bom acabamento. Nesse caso, pede-se:
a) A profundidade e a velocidade média do escoamento;
b) Força cisalhante atuante em um trecho de 10 metros de comprimento;
c) a relação entre a velocidade média e a velocidade de atrito;
d) a capacidade de vazão, caso a galeria funcionasse na condição de vazão
máxima;
SOLUÇÃO
a) Dados:
Q = 1,20 m3/s
100
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
D = 1,0 m
Io = 0,25% = 0,0025 m/m
n = 0,013 (ver tabela)
Conforme visto, o fator hidrodinâmico vale:
 nQ 

M =
 I 
 o
38
 0,013x1,20 

= 

0
,
0025


38
= 0,646
A equação de Manning na forma reduzida é D = M/K1 = 1,0.
Então K1 = 0,646.
Consultando a tabela 3 para os valores de K1, encontra-se ho/D = 0,82,
correspondente a K1 = 0,646 (por interpolação)
Assim, ho = 0,82 m.
A área é dada por: A =
D2
(θ − senθ )
8
O ângulo θ é dado por:


θ = 2 arccos1 − 2
ho 
 = 2 arccos(1 − 2 x0,82) = 4,5306 rad
D
Com isso a área será:
A=
1,02
(4,5306 − sen(4,5306) ) = 0,6893 m2.
8
Logo a velocidade média será V = Q/A = 1,20/0,6893 ou V = 1,74 m/s.
b) Sabe-se que a força cisalhante no escoamento uniforme é dada por:
Fcis = τo.A = τo.Pe.L, com τo.= γ.Rh.Io.
γ = ρ.g = 1000x9,807
γ = 9.807 N/m3.
O raio hidráulico será:
Rh =
D  senθ  1,0  sen( 4,5306) 
1 −
 = 0,3043 m
1 −
 =
4
θ 
4 
4,5306 
Assim, τo.= 9.807x0,3043x0,0025
τo.= 7,46 N/m2.
O perímetro será dado por: Pe = (D/2).θ = (1,0/2)x4,5306
101
Pe = 2,265 m.
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Finalmente,
Fcis = 7,46x2,265x10 = 169,0 N.
c) A velocidade de atrito será:
7,46
τo
=
= 0,0864 m / s
ρ
1000
u* =
Logo V/u* = 1,74/0,0864 =20,14.
d) Na condição de vazão máxima, para condutos circulares, foi demonstrado
que ho/D =0,9385. Com esse valor, na tabela 1 encontra-se K1 = 0,664.
Como D = M/K1 = 1,0, então M = 0,664.
Mas
 nQ 

M =
 I 
o


38
 0,013xQ 

= 

 0,0025 
38
= 0,664 .
Logo,
Q = 1,291 m3/s.
Exercício 8.20 do livro de Hidráulica Básica do Prof. Rodrigo Porto:
No projeto de um coletor de esgotos, verificou-se que, para atender à
condição de esgotamento dos lotes adjacentes, ele deveria ter uma declividade
de 0,015 m/m. Sendo 20 l/s a vazão de esgotos no fim do plano e 10 l/s a vazão
atual (início do plano), determinar:
a) O diâmetro do coletor e a velocidade média do escoamento no final do plano;
b) A lâmina d'água atual , bem como a velocidade média atual (início do plano).
Material da tubulação é manilha cerâmica: n = 0,013.
Adote como lâmina d´água máxima no coletor ho/D = 0,50.
Solução:
102
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Dados:
Io = 0,015 m/m Qmax = 20 l/s = 0,020 m3/s Qmin = 10 l/s = 0,010 m3/s.
n = 0,013 ho/D = 0,50.
a) Para ho/D = 0,50, a tabela 3 de K1 para seção circular fornece K1 = 0,498.
D = M/K1, sendo
 nQ 

M =
 I 
 o
38
 0,013x0,020 

= 

0
,
015


38
= 0,09945
Logo,
D = 0,09945/0,498, o que dá D = 0,1997 m ou D = 200 mm.
A velocidade média será: V = Q/A, com A = (π.D2/4)/2 = 0,01571 m2.
V = 0,020/0,01571 ou V = 1,273 m/s.
b) Na situação atual, Q = 0,010 m3/s.
 nQ 

Como D = M/K1 e sendo M = 
 I 
 o
38
 0,013 x0,010 

= 
0,015 

38
= 0,07669 .
0,20 = 0,07669/K o que dá K = 0,383.
Com tal valor de K1, na tabela 3 de K1 para seção circular encontra-se
ho/D = 0,34, por interpolação. Logo, ho = 0,34x0,200 ou ho = 0,068 m.
Para tal valor de ho/D, o ângulo θ é dado por:


θ = 2 arccos1 − 2
ho 
 = 2 arccos(1 − 2 x0,34) = 2,49013 rad .
D
Com isso a área será:
A=
0,200 2
(2,49013 − sen(2,49013)) = 0,0942 m2.
8
Logo a velocidade média será V = Q/A = 0,010/0,0942 ou V = 1,062 m/s.
103
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
6. CONSIDERAÇÕES SOBRE PROJETO E CONSTRUÇÃO DE
CANAIS
SEGUNDO O CAPÍTULO 9 DO LIVRO DE HIDRÁULICA BÁSICA –
Rodrigo Porto – página 275.
Introdução
•
Como já visto, são vários os processos de cálculo para o
dimensionamento dos canais.
•
Em geral os problemas ficam restritos à determinação de parâmetros
geométricos que satisfaçam à equação de Manning, com uma ou outra
condição hidráulica estabelecida.
•
Na prática o planejamento, o projeto e a construção de um canal estão
condicionados por uma série de restrições das mais diferentes naturezas.
•
O projeto de um canal em um sistema de drenagem urbana pode
depender de:
–
Condições topográficas, geotécnicas e construtivas;
–
Influência do sistema viário;
–
Existência de obras de arte;
–
Existência de faixa de domínio;
–
Etc, etc.
Todas as condições de caráter não hidráulico/hidrológico limitam a liberdade do
projetista no dimensionamento das seções.
OBSERVAÇÕES GERAIS:
104
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
1. As obras de retificação, alargamento ou canalização, devem ser feitas, na
medida do possível, de jusante para montante. Essa é a regra básica em obras de
melhorias em cursos d´água, principalmente em bacias hidrográficas urbanas.
Se a obra for executada de montante para jusante, melhorando-se inicialmente
as condições de drenagem na parte alta da bacia, quando ocorrer uma chuva, um
volume maior de água e em um tempo menor chegará às seções de jusante,
agravando-se ainda mais as condições de escoamento na parte baixa da bacia.
2. Haverá aumento da rugosidade das paredes e do fundo dos canais, pelo uso e
má manutenção, sendo recomendável adotar como coeficiente de rugosidade de
projeto majorados em 10 a 15% em relação aos valores tabelados. Assim, o
projetista prevê o “envelhecimento” do canal.
3. No projeto dos canais é conveniente deixar uma folga de 20% a 30% da
altura da lâmina d´água acima do nível máximo decorrente do projeto. Isso evita
transbordamento decorrente de excesso de vazão, curvas, diminuição da seção
devido a depósito de materiais carregados em suspensão. Essa folga é
denominada de margem se segurança.
4. Na medida do possível deve-se evitar grandes profundidades, principalmente
em canais urbanos, devido ao custo de escavação, da segurança de transeuntes,,
de veículos e por questões estéticas, visto que a seção será completamente
ocupada pela água durante a passagem da onda de cheia. Evitar profundidades
superiores a 4,0 metros.
5. Para canais regulares, com perímetro de diferentes rugosidades, deve-se usar
uma rugosidade equivalente para a seção, na equação de Manning, que deverá
ser avaliada por critérios definidos.
105
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Para uma seção que pode ser subdividida em N subáreas, tendo cada
uma um perímetro molhado, Pi e de correspondente coeficiente de rugosidade
de Manning,ni, considerado constante (i variando de 1 a N), tem-se:
a) Assumindo que em cada subárea os escoamentos têm a mesma velocidade
média, igual à velocidade média do escoamento, de forma que V = V1 = V2 = ...
= VN
Nesse caso a rugosidade equivalente da seção será:
Onde:
 N  32  
 ∑  Pi ni  

ne =  i =1
P




2
3
ne = rugosidade equivalente
ni = coeficiente de rugosidade de Manning de cada subárea
Pi = perímetro molhado de cada subárea
P = perímetro total da seção
N = número se subseções
b) Assumindo que a força total de resistência ao escoamento, originada pela
tensão cisalhante junto ao perímetro P é igual à soma das forças de resistência
em cada subárea de perímetro Pi :
Nesse caso a rugosidade equivalente da seção será:
(
Onde:
 N
2
 ∑ Pi ni
ne =  i =1
 P

)





1
2
ne = rugosidade equivalente
ni = coeficiente de rugosidade de Manning de cada subárea
Pi = perímetro molhado de cada subárea
P = perímetro total da seção
N = número se subseções
106
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
6. Para canais executados em concreto, deve-se prever a utilização de drenos
nas paredes e no fundo, com certo espaçamento longitudinal, para evitar
subpressão quando o nível do lençol freático estiver alto. Deve-se prever juntas
de dilatação na laje do fundo.
7. Em canais urbanos destinados a drenagem de águas pluviais, executados com
taludes de pedras argamassadas e fundo de concreto magro, o uso dos drenos
nos talude é indispensável, pois a alvenaria de pedras permite uma certa
permeabilidade.
8. Em canais de seção composta ou de leito múltiplo (canais siameses), as
equações da resistência não dão bons resultados se aplicadas à seção completa.
Nesse caso, para seções com uma única rugosidade ou de rugosidades
diferentes, a seção deve ser subdividida por linhas verticais imaginárias e, para
cada subseção, utilizar a equação de Manning para o cálculo da vazão parcial. A
vazão total será a soma das vazões das seções parciais. As linha verticais
imaginárias não são computadas no cálculo do perímetro molhado de cada
subseção.
9. Cuidados especiais devem ser adotados na retificação de canais e córregos,
principalmente em cortes de meandros devido à diminuição do comprimento
longitudinal e consequente aumento da declividade da linha d´água e velocidade
média. O aumento da velocidade média pode provocar um processo erosivo
107
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
com consequente aumento do transporte de sólidos com provável assoreamento
em algum ponto de jusante. O aumento da declividade e a diminuição da linha
d´água pode prejudicar eventuais sistemas de captação de água a jusante ou
interferir no nível do lençol freático, prejudicando culturas ribeirinhas.
10. A declividade de projeto dos canais deve ser tal que a velocidade média do
escoamento seja maior que uma velocidade mínima estabelecida para evitar
deposição de lama, lodo, material em suspensão e crescimento de plantas
aquáticas. Por outro lado, a velocidade média deve ser menor que uma
velocidade máxima estabelecida para evitar erosão do material formador das
paredes e fundo do canal. Aconselha-se os seguintes valores, em função do tipo
de material de revestimento de paredes e fundo.
Material das paredes do canal
Velocidade média (m/s)
Areia muito fina
0,23 a 0,30
Areia solta média
0,30 a 0,46
Areia grossa
0,46 a 0,61
Terreno arenoso comum
0,61 a 0,76
Terreno silte-argiloso
0,76 a 8,84
Terreno de aluvião
0,84 a 0,91
Terreno argiloso compacto
0,91 a 1,14
Terreno argiloso duro
1,14 a 1,22
Solo cascalhado
1,22 a 1,52
Cascalho grosso, pedregulho, piçarra
1,52 a 1,83
Rochas sedimentares moles – xistos
1,83 a 2,44
Alvenaria
2,44 a 3,05
Rochas compactas
3,05 a 4,00
Concreto
4,00 a 6,00
108
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A adoção de uma velocidade média máxima compatível com o revestimento
pode ser utilizada como critério de projeto para que a seção seja estável. Em
projetos de canais estáveis com fronteiras móveis, utiliza-se o critério da
máxima tensão de cisalhamento, a partir da equação da tensão de cisalhamento
na parede (τo = γ Rh Io), o que pode ser encontrado em textos especializados, tais
como Chow, Henderson ou Graf, dentre outros.
11. Outra limitação quanto à estabilidade dos canais é o estabelecimento da
máxima inclinação dos taludes, que deve ser inferior ao ângulo de repouso do
material do revestimento, para que o talude seja estável. Valores médios
usualmente utilizados para canais abertos:
Z = cotg
α (em
α
grau)
Canais em terra, sem revestimento
2,5 a 5,0
11° a 22º
Canais em saibro, terra porosa
2,0
27
Cascalho roliço
1,75
30°
Terra compacta, sem revestimento
1,50
34°
Terra muito compacta/ paredes rochosas
1,25
39°
Rochas estratificadas/alvenaria de pedra bruta
0,5
64°
Rochas compactas/alvenaria acabada/em concreto
0,0
90°
Natureza das paredes do canal
Leitos múltiplos:
Pode ser utilizado em pequenos canais urbanos para que o escoamento que
ocorre na época da estiagem ocorra em uma seção pré-fabricada, de geometria
109
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
circular. Durante as cheias o leito secundário é ocupado temporariamente para
acomodar as maiores vazões. Observar que a solução é esteticamente
conveniente e permite manutenção do leito secundário na época da seca.
Exemplo 9.1, página 279
Determinar a capacidade de vazão do canal de seção transversal mostrada na
figura. Taludes e bermas são de alvenaria de pedra aparelhada, em condições
regulares e o fundo é de concreto em boas condições. A declividade do fundo é
Io = 1 m/km.
Exemplo 9.1, página 279
Dividir a seção em duas partes: I – Trapézio; II – seção composta
n = 0,015
n = 0,014
Io = 1 m/km.
Parte trapezoidal: Q1
m = b/ho = 2,00/0,80 = 2,50. Considerar z = 1,0
ho = M/K
M = 0,80x1,440 = 1,152.
 nQ 
M = 1 
 I 
 o
38
38
 0,015Q1 

= 

 0,001  110
tabela 8.2: K = 1,440
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Q1 = 3,07 m3/s.
Mas ,
Parte composta (semicírculo e retângulo): Q2
A = 0,80x1,20 + πx0,602/2 = 1,53 m2. Pe = πx0,60 = 1,88 m
Rh = A/P = 1,53/1,88 = 0,81 m.
2
2
nQ2
= A.Rh 3 = 1,53 x0,81 3
Io
Mas ,
Q2 = 3,00 m3/s.
Vazão total: Q = Q1 + Q2 = 3,07 + 3,00
Q = 6,07 m3/s.
Exemplo 9.2, página 280
Determinar a capacidade de vazão do canal para drenagem urbana, com 2,0 m
de base e 1,0 m de altura de água, declividade do fundo Io = 0,001 m/m e
taludes 1:1,5 (V:H). O fundo corresponde a canal dragado em condições
regulares e os taludes são de alvenaria de pedra aparelhada em boas
condições. Esta seção é de mínimo perímetro molhado?
SOLUÇÃO:
Revestimento do fundo: n1 = 0,030
Revestimento dos taludes: n2 = 0,014
Supondo que o cisalhamento deva ser calculado sobre o perímetro:
ne =
P1.n12 + P2 .n22
2,0 x0,30 2 + 2 x1,80 x0,014 2
=
= 0,021
P1 + P2
2,0 + 2 x1,80
Para z = 1,5 e m = b/ho = 2,0/1,0 = 2,0, na tabela 8.2
Como: ho = M/k
 nQ 

M =
 I 
o


38
K = 1,422
M = 1,422 e
 0,021Q 

= 

 0,001 
38
= 1,422
Logo, Q = 3,85 m3/s.
Condição de mínimo perímetro molhado:
(
) (
)
m = 2 1 + Z 2 − Z = 2 1 + 1,5 2 − 1,5 = 0,605
Como o m calculado difere de 1,5
a seção não é de M.P.M.
111
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
7. ENERGIA ESPECÍFICA E REGIMES DE ESCOAMENTO
Quando se estuda o escoamento de líquido em um canal, os princípios
relativos à energia vistos nos escoamentos em condutos forçados se aplicam
integralmente. Assim, considera-se que a energia por unidade de peso de fluido
presente nesse escoamento é composta de três parcelas correspondentes à
energia potencial gravitacional, energia de pressão e energia cinética. Tal
consideração é de grande valia, como foi visto nos estudos realizados até o
momento.
Fig. XX – Elementos hidráulicos na seção longitudinal dos canais.
A parcela da energia cinética é calculada à partir da velocidade média
do escoamento, considerando-se a vazão escoada, Q, e a área da seção
transversal ao escoamento, sendo dada pela equação:
V = Q/A
É sabido que a velocidade da água pode variar no plano da seção
transversal. As velocidades das partículas que escoam próximas ao leito do
canal têm velocidades inferiores às partículas que estão mais longe desse leito, o
que é explicado pelo atrito entre o leito e o líquido e entre partículas adjacentes
do líquido, o que origina a tensão cisalhante. Quando se exprime a energia
112
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
cinética por unidade de peso de fluido em termos da velocidade média, o valor
encontrado é inferior ao valor real calculado em relação ao perfil de velocidades
variável. Assim, torna-se necessária a correção do valor resultante do cálculo
com a velocidade média pelo coeficiente de correção de energia cinética ou
coeficiente de Coriolis, α. A energia cinética do escoamento por unidade de
2
peso de fluido calculada pela velocidade média é V
2g
. O valor real,
calculado a partir da consideração de que existe uma variação de velocidade na
seção transversal é igual a α V
2
2g
. O valor de α tem sido medido
experimentalmente, variando entre 1,05 e 1,20. É usual adotar-se α = 1,0, nos
cálculos mais simples e aproximados. Entretanto, em situações que requer
precisão nos cálculos, o coeficiente de Coriolis deve estar presente.
Ao escoar em um canal, a água apresenta uma superfície livre sujeita a
uma pressão atmosférica considerada constante. A energia de pressão em um
canal é contada à partir da superfície livre do líquido quando o escoamento se
dá sobre uma superfície plana. Ao escoar sobre uma superfície plana, o conceito
de pressão envolve apenas a distribuição hidrostática de pressões, conforme
visto até então, sendo o seu valor proporcional à profundidade do escoamento,
h. Se o escoamento ocorre em relação a uma superfície curva, a pressão
hidrostática precisa ser complementada, para se encontrar a verdadeira pressão
que age na superfície.
Quando a água escoa sobre uma superfície curva, a declividade da linha
d´água, Ia, pode não ser constante e a linha piezométrica não coincide com a
superfície livre. Isso ocorre em certos trechos do vertedor de uma barragem,
onde a força centrífuga decorrente da massa líquida em escoamento pode
determinar uma diferença apreciável entre a linha piezométrica e a superfície
livre do líquido, conforme ilustrado na Fig. xx. A energia de pressão por
unidade de peso de fluido é inferior à profundidade do escoamento, visto que a
113
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
força centrífuga age no sentido oposto ao da gravidade. Em certos casos, no
fundo do canal a pressão chega a ser negativa, fato que incomoda os
engenheiros em algumas aplicações específicas.
a) em superfícies convexas
b) em superfícies côncavas
Ao escoar sobre uma superfície convexa, a energia de pressão é menor
mV 2
que a profundidade do líquido de uma grandeza
2
r = V , onde r é o raio
mg
rg
de curvatura da superfície em relação à qual o escoamento ocorre. A pressão
resultante fica diminuída, de forma que:
p
γ
=h−
h V2
.
g r
Para escoamentos que ocorrem sobre uma superfície côncava, Fig. xx, a
força centrífuga age em conjunto com a gravidade, no mesmo sentido, de forma
que a energia de pressão por unidade de peso de fluido fica maior que a
profundidade do líquido. A pressão resultante fica aumentada de uma parcela
dada por:
p
γ
=h+
hV2
.
r g
Com as considerações acima, podemos escrever as equações que
descrevem o movimento da água em contato com as superfícies curvas.
114
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A energia gravitacional por unidade de peso de fluido (cota) é dada em
relação a um plano horizontal de referência escolhido adequadamente, à partir
do fundo do canal.
A energia total por unidade de peso de fluido (ou carga total) é escrita
na maneira convencional, já vista, sendo dada por:
H = z+h+
V2
2g
Observar que a parcela p/γ foi substituída por h, pressupondo um
escoamento em canal com fundo plano. Do contrário seria necessário adicionar
ou subtrair mais uma parcela conforme visto anteriormente.
A pesar dos problemas poderem ser resolvidos à luz da energia total,
existe outra maneira, bastante vantajosa, de estudar os escoamentos dos fluidos
em canais, através da consideração da energia específica por unidade de peso de
fluido, medida em relação ao fundo do canal. Nesse caso a linha de energia será
definida pela energia específica existente, desde que o fundo do canal esteja
definido.
Define-se como energia específica (ou carga específica) à quantidade
de energia do escoamento por unidade de peso de fluido medida à partir do
fundo do canal. Em uma seção qualquer a energia específica vale:
He = h +
V2
2g
Importante no estudo: alteração do fundo, alargamento e estreitamento
Conceito introduzido por Bakmetef em 1912.
Conhecida a vazão do escoamento, Q, e sendo A a área da seção
transversal de um canal com escoamento em regime permanente. A velocidade
média, V, será obtida pela relação V = Q/A. Assim, a energia específica será
dada por:
115
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
He = h +
Q2
2gA2
Sendo a vazão Q constante e a área da seção dependente da
profundidade h, A = f(h), vemos que a energia específica numa dadaa seção do
escoamento de um líquido dependerá apenas da profundidade h, segundo a
equação:
Q2
He = h +
2 g[ f (h)]2
Essa equação permite entender melhor como ocorre a variação da
energia específica com a profundidade em um escoamento em canal, para uma
dada vazão constante. Em um gráfico, poderemos lançar os valores da energia
específica nas abscissas e o valor da profundidade do escoamento nas
ordenadas, ficando bem claro como se dá essa variação. A curva obtida
denomina-se curva da energia específica. Observa-se que He é composta de
V2
duas parcelas: h e
. Assim é conveniente verificar como He varia com dada
2g
uma dessas parcelas para, em seguida, somar ambos os efeitos para se ter a
variação total.
A primeira parcela é a energia de pressão por unidade de peso de
fluido, Ep = h, e a segunda parcela é a energia cinética por unidade de peso de
fluido, Ec =
V2
Q2
.
=
2 g 2 gA2
Lançando-se cada uma dessas parcelas em um gráfico de h x He, tem-se as
curvas mostradas na Fig. xx.
116
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. XX - Gráfico elaborado para o caso de um canal retangular de B = 2m, com Q =
2,2 m3/s, n = 0,013 e I = 0,0036. Nesse caso tem-se hc = 0,498m e Hemin = 0,747 m.
A primeiro curva do gráfico, em azul, representa a energia potencial por
unidade de peso do fluido com a profundidade h. Como Ep = h, vê-se que se
trata de uma reta, de inclinação unitária, exatamente segundo a bissetriz dos
eixos coordenados. Assim, aumentando-se h vê-se que He aumenta
proporcionalmente.
A segunda curvado gráfico, em preto, representa a variação da energia
cinética por unidade de peso de fluido, Ec = Q2/(2gA2), com a profundidade h.
Notando que Q é constante e que A está no denominador da equação e varia
com h, podemos verificar algumas tendências. Se h tende para zero, A também
tende para zero, de forma que V = Q/A tende para infinito, satisfazendo a
equação da continuidade o que torna a energia cinética infinitamente grande.
117
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Por outro lado, se h cresce muito, tendendo para infinito, A também tende para
infinito e V e Ec tenderão, ambos para zero. Variando-se h entre zero e infinito,
com Q constante, Ec variará entre infinito e zero, respectivamente, segundo uma
curva, de aspecto "hiperbólico", mostrada na figura, curva essa tendo por
assíntotas os eixos coordenados de h e de Ec.
A terceira curva do gráfico, em vermelho, representa a energia
específica total por unidade de peso de fluido com a profundidade h, obtida
somando-se as parcelas de Ep e Ec, para cada profundidade h. Nesse caso podese observar que ela se encontra limitada abaixo da bissetriz do primeiro
quadrante e acima do eixo das abscissas He. Se h cresce à partir de zero, a
energia específica diminuirá, no sentido de A para C, até um valor mínimo,
Hemin, e, depois, torna a ser crescente com h, no sentido de C para B. A esse
valor mínimo denomina-se de energia específica crítica e ao valor mínimo da
profundidade correspondente a Hemin, denomina-se de profundidade crítica. A
vazão que originou a profundidade crítica é denominada de vazão crítica. A
velocidade do escoamento correspondente ao ponto C é denominada velocidade
crítica.
Portanto, profundidade Crítica é a altura da água em escoamento em
um canal que corresponde ao valor mínimo valor de He, para uma dada vazão.
Para uma seção de escoamento definida, a profundidade crítica varia com a
vazão.
Regimes de Escoamento:
Definido o ponto de energia específica mínima, ou seja, definida a
profundidade crítica, pode-se observar que o escoamento poderá se dar de duas
formas diferentes, podendo-se definir dois regimes distintos de escoamento. O
primeiro, com a profundidade hs superior ao valor da profundidade crítica e o
segundo, com profundidade hi inferior ao valor da profundidade crítica. Esses
118
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
regimes são denominados genericamente de regimes recíprocos de escoamento
em canal.
Ao regime superior, que ocorre com profundidade hs superior à
profundidade crítica, denomina-se de regime de escoamento subcrítico,
superior, fluvial, tranquilo ou lento. Para uma mesma vazão, a profundidade
sendo maior implica em velocidade menor, daí a denominação de escoamento
tranquilo ou lento. Esse é o tipo de escoamento que ocorre com maior
frequência no domínio da engenharia.
Ao regime inferior, onde ocorre profundidade hi é inferior à
profundidade crítica, denomina-se de escoamento supercrítico, inferior,
torrencial ou rápido. Como a profundidade é pequena na seção transversal,
sendo a vazão constante, a velocidade assume valores mais elevados, daí a
denominação de escoamento torrencial ou rápido.
Observações:
1. Variação de Q: Para uma mesma seção transversal, aumentando-se a vazão, a
curva da energia específica desloca-se para a direita. Ao contrário,
diminuindo-se a vazão, ela desloca-se para a esquerda conforme ilustrado
pelas três curvas da figura xx.
119
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Fig. xx - Curva da energia quando Q varia
2. Mínimo valor de He: existe um valor mínimo para He, ao qual corresponde
um valor da profundidade hc (profundidade crítica). hc é a profundidade
crítica e Hemin é a energia específica crítica. Para o vértice C, da curva,
corresponde um hc para o qual a vazão que atravessa a seção considerada
tem o menor dispêndio possível de energia, Hemin.
3. Para He > Hemin existirão duas profundidades hi e hs que definem os dois
regimes recíprocos de escoamento. O escoamento que ocorre com hs
denomina-se regime de escoamento superior, lento, tranqüilo, fluvial ou
subcrítico; o que ocorre com hi denomina-se escoamento em regime inferior,
rápido, torrencial ou supercrítico. O escoamento que ocorre com hc
denomina-se de escoamento em regime crítico.
120
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Variação de h com He com variação da declividade do fundo do canal
Podemos compreender melhor a variação de He com h, imaginando um
canal de largura da seção e vazão constantes e com declividade variável, desde
próxima de zero a até valores mais elevados, conforme mostra a figura abaixo.
Fig. xx - Variação da Energia Específica com a profundidade, para um canal de
fundo inclinável, para uma vazão constante.
Se a declividade do canal for pequena, h será grande, correspondente ao
ponto B da fig. xx, para uma dada energia específica. Na medida em que a
declividade do canal vai aumentando, o valor de h vai diminuindo e a energia
específica também vai diminuindo, até que o ponto C seja atingido, percorrendo
a curva no sentido b para C. Nesse caso, diminuindo-se ainda mais o valor de h,
a energia específica agora passa a crescer, fazendo com que o ponto A se
distancie segundo a curva no sentido C para A. Assim, em conseqüência de uma
dada declividade, tem-se os seguintes casos:
I baixo (I < Ic)
regime subcrítico (h > hc)
I = Ic
regime crítico
I alto (I > Ic)
regime supercrítico (h < hc)
121
declividade crítica (h = hc)
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
7.1. DETERMINAÇÃO DO ESCOAMENTO CRÍTICO EM UM CANAL
O regime crítico é estabelecido quando He for mínimo (Hemin). Para esse
caso diz-se que Q = Qc , I = Ic e h = hc, portanto a condição para que tal fato
ocorra é que a derivada a primeira de He em relação a h seja nula. Logo,
dH e d 
Q2 
=0
=  h +
dh
dh 
2 gA2 
O que pode ser reescrito na forma
( )
Q2 d −2
Q2
dA
1+
A = 0 ou 1 +
(−2) A− 3
=0
2 g dh
2g
dh
Rearranjando os termos na última equação acima, tem-se:
Q 2 dA
=1
gA3 dh
essa é a equação que deve ser respeitada para que ocorra o regime crítico em um
escoamento de líquido em um canal de forma seção genérica, de área A.
Para um escoamento em um canal cuja seção tem a forma genérica
mostrada na figura XX, pode-se observar que a uma profundidade h
corresponde uma área A, cuja largura na superfície é B. Se a profundidade variar
de um infinitésimo, dh, a área sofrerá uma variação dA, correspondente a
dA = B.dh
dA/dh = B,
com B = f(h).
Então, substituindo o resultado na
equação anterior, tem-se a equação
122
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
característica do escoamento em regime crítico:
Q 2 A3
=
g
B
Para os canais de seção genérica, um importante parâmetro já definido é
a profundidade média ou profundidade hidráulica, definida
h=
A
B
A profundidade média pode ser entendida como a profundidade de um
escoamento de seção retangular de largura B que tivesse a mesma área da seção
de forma genérica. De acordo com essa consideração, a área da seção
transversal do escoamento pode ser escrita em função da profundidade média e
da largura na superfície:
A = Bh
Observação: no caso da seção ser retangular a profundidade média é a própria
profundidade do escoamento.
Tendo em mente que a vazão será Q = AV , a equação característica do
escoamento crítico pode ser reescrita de uma forma mais compacta.
A 2V 2 A 2 V 2
= A ∴
= h ∴V = gh
g
B
g
ou que
V
gh
=1
Pode-se concluir, nesse caso, que ocorrerá escoamento em regime
crítico sempre que
V
gh
deve-se ter V =
= 1 ou que
V2
= 1 . Então, no escoamento crítico,
gh
gh , onde h será, agora, a profundidade crítica do
escoamento. Tal velocidade é denominada de velocidade crítica, Vc. Logo, em
um escoamento crítico que ocorre em uma seção de forma qualquer, deve-se ter:
123
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Vc = ghc .
Deve ser observado que a grandeza
V
é adimensional. Tal
gh
adimensional é o número de Froude para um escoamento, definido como sendo
Fr =
Fi
V
=
. Assim, o resultado obtido anteriormente mostra que, no
Fg
gh
regime crítico, sempre ocorre Fr = 1.
O número de Froude desempenha um papel importante nos
escoamentos livres pois define os regimes de escoamento para os quais esse
número é maior que 1, regime supercrítico, e os regimes para os quais o Froude
é inferior a 1, subcrítico.
Observações:
1. O escoamento em regime crítico (ou em suas imediações) é instável pois a
menor alteração da energia específica provoca sensível alteração da
profundidade da água no canal, levando ao escoamento subcrítico ou ao
escoamento supercrítico, dependendo de certas condições.
2. No regime crítico a carga cinética é igual à metade da profundidade média:
V2
V2
1 V2 h
=
= 1∴
= ∴
gh
2 gh 2 2 g 2
3. No regime crítico a energia específica é igual a 1,5 vezes a profundidade
crítica.
3
V2
h
He = h +
= h + ou H e = h .
2
2g
2
124
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
4. Para um escoamento em canal, de seção transversal de forma genérica, a
profundidade crítica é função da vazão unitária que se estabeleceu no canal, não
dependendo da declividade do fundo.
5. Para canal retangular, B é constante e, quando funcionando no regime crítico,
tem-se h = h = hc . Nesse caso:
Q2
Q2
Q2
A Bhc
=
h
∴
= hc .
.
==>
=
=
c
A2 g
B 2 hc2 g
A2 g B
B
Definindo-se a vazão unitária (ou vazão por unidade de largura do canal) como
q = Q/B, pode-se escrever:
q2
q2
3
= hc ∴ hc =
hc2 g
g
Assim, para canais de seção retangular, a profundidade crítica será:
hc = 3
q2
g
Para um canal de seção genérica, de área A e profundidade média h , tem-se:
V 2 V 2h h V 2
=
=
2 g 2 gh 2 gh
Como
V2
V2 h 2
= Fr 2 , tem-se
= Fr .
gh
2g 2
V2
V 2h
h V2
He = h +
∴ He = h +
= h+
.
2g
2 g
2 gh
Logo,
125
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
He = h +
h
Fr 2
2
Propagação de uma onda superficial nos escoamentos livres:
Foi visto que, no escoamento crítico
V
. Observando que V é a
gh
velocidade média do escoamento no canal e que a relação é adimensional,
percebe-se que o termo
a grandeza
gh deve ser, também uma velocidade. É admitido que
gh é a velocidade de propagação de uma onda de pressão (onda
gravitacional) na superfície livre do escoamento. Nesse caso o resultado
encontrado no escoamento crítico de que V =
gh , pode ser entendido no
sentido de que a velocidade de propagação de uma onda superficial pelo líquido
em movimento é igual à velocidade média do escoamento. É de se supor,
portanto, que a velocidade de propagação da onda de pressão pose ser maior ou
menor que a velocidade média do escoamento.
Observações:
1 Se Fr = 1 o regime de escoamento é crítico:
•
V2 h
=
2g 2
•
equilíbrio entre energia de pressão e cinética
•
Vc = ghc
•
velocidade do escoamento, V, é igual à de uma onda gravitacional
superficial ( V =
gh )
126
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
2. Se Fr < 1 o regime de escoamento é subcrítico:
•
V2 h
<
2g 2
•
a energia de pressão maior que a cinética;
•
A velocidade média do escoamento é inferior a de uma onda
gravitacional superficial ( V =
gh ). As perturbações geradas na
superfície do escoamento em um dado ponto se propagam para
montante.
3. Se Fr > 1 o regime de escoamento é supercrítico ou torrencial:
•
V2 h
>
2g 2
•
a energia pressão menor que a cinética;
•
a velocidade do escoamento é maior que a de uma onda superficial (
V = gh ). As perturbações geradas no escoamento não se propagam
para montante.
RESUMO:
No Escoamento crítico:
dH e
= 0 ⇒ h = hc
dh
Q2B
Ac3 g
2
=
1
∴
Q
=
= Ac2 ghc ∴ Q = Ac ghc
Ac3 g
B
Fr = 1
V c= ghc
A vazão é máxima na seção e ocorre quando V = Vc.
No escoamento crítico, para canais retangulares:
127
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
A = Bh e hc = hc = h ∴ hc =
q=
2
He
3
Ac
q2
⇒ hc = 3
B
g
No escoamento crítico para canais de seção circular:
2
3
h
Q
hc = 0,483  + 0,083D , para 0,3 ≤ c ≤ 0,9
D
D
2
Q=
Ac 2 / 3 1 / 2
A
2
Rh I c ∴ Q 2 = c2 Rh4 / 3 I c e ∴ Q 2 = Ac ghc
n
n
2
ou
Ac 4 / 3
n 2 ghc
2
R
I
=
A
g
h
∴
I
=
h
c
c
c
c
n2
Rh4 / 3
Se I < Ic
h > hc
Escoamento subcrítico.
Se I > Ic
h < hc
Escoamento supercrítico.
• Fixando He e h
único Q
• Fixando Q e h
único He
• Fixando Q e He
2 valores de h (hs e hi)
Regime supercrítico é obtido:
aumentando I
aumentando a seção do canal (diminui h)
128
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
7.2. EXEMPLOS DE OCORRÊNCIA DO REGIME CRÍTICO
Quando, em um canal, o regime de escoamento muda de supercrítico
para subcrítico, ou vice-versa, a profundidade passa, necessariamente, pelo
valor crítico. Como exemplo da mudança de regime subcrítico
para
supercrítico, pode-se citar o aumento brusco de declividade de sub para
supercrítica ou quando temos as entradas de canais de grande declividade.
As seções em que se verifica a mudança de regime recebem o nome de
seções de controle, porque definem a profundidade do escoamento a montante.
Desde que sejam conhecidas as dimensões dessa seção de controle, podemos
obter a vazão do canal por meio da equação característica:
Q2B
= 1 . Esta é a
gA3
mais importante característica do regime crítico e é aplicada a certa categoria de
medidores.
129
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Também ocorre a profundidade crítica na queda livre formada por
degrau em canais de pequena declividade. O atrito provoca uma diminuição na
carga, fazendo com que a profundidade e a energia específica na seção do
degrau sejam menores que na seção imediatamente a montante. Como hc ocorre
na seção de menor He, esta profundidade acontece exatamente na seção do
degrau.
Na realidade isso não acontece, vez que na seção da queda ou nas suas
proximidades, o escoamento afasta-se, sensivelmente, do movimento paralelo.
A mudança de regime supercrítico para subcrítico pode não acontecer
de maneira gradual e contínua. Em certos casos, quando há forte desaceleração
(passagem acontece bruscamente e com grande turbulência), forma-se o ressalto
hidráulico. Verifica-se a elevação brusca da lâmina d'água, sendo difícil definir
perfeitamente a posição da profundidade crítica.
Nessa figura o ressalto ocorre quando I passa de super para subcrítico:
130
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Nessa figura mostra-se a formação do ressalto em canal de pequena
declividade, recebendo a descarga de uma comporta de fundo, com a velocidade
de saída da água sob a comporta maior que a velocidade crítica.
EXEMPLO 1:
Seja um escoamento de água em um canal retangular, de paredes em
concreto, largura igual a 2,00 m e declividade do fundo igual a 0,00052 m/m.
Para uma profundidade do escoamento de 1,0 m, determinar a vazão e as
condições hidráulicas para o escoamento.
Solução
Área: A = B.h = 2,0x1,0 = 2,0 m2.
131
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Perímetro: Pe = B + 2.h = 2+1+1 = 4,0 m
Raio hidráulico; Rh = A/Pe = 2,0/4,0 = 0,5 m
1
1
ARh2 / 3 I o =
2,0 x0,52 / 3 0,00052
n
0,013
Equação de Manning: Q =
Q = 2,21 m3/s.
Velocidade média: V = Q/A = 2,21/(2,0x1,0)
Energia específica: H e = h +
V = 1,105 m/s.
V2
Q2
=h+
2g
2 gA2
H e = 1,0 +
2,212
2 x9,807 x 2,0 2
He = 1,062 m.
q 2 3 (Q / B ) 2 3 (2,21 / 2,0) 2
=
=
g
g
9,807
Profundidade crítica: hc = 3
Velocidade crítica: Vc =
ghc = 9,807 x 0,499
Hc = 0,499 m.
Vc = 2,12 m/s.
(n.Vc ) = n 2 ghc
1 23
Rhc I oc ∴ I oc =
2
4
n
 R 2 3 
Rhc3
 hc 
2
Declividade
I oc =
Vc =
crítica:
0,0132 x9,807 x0,499
 2,0 x0,499 


 2,0 + 2 x0,499 
4
,
3
Ioc = 0,00358 m/m.
Número de Froude: Fr =
V
gh
=
1,105
= 0,353
9,807 x1,00
Como V > Vc, h > hc, Io < Ioc e Fr < 1
Escoamento subcrítico ou tranquilo.
Curva da energia específica: H e = h +
Finalmente, H e = h +
V2
Q2
Q2
∴ He = h +
=
h
+
2g
2 gA2
2 gB 2 h 2
1
16,064h 2
132
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Calculando valores de He para vários valores de h, tem-se:
h (m)
0,1
0,2
0,3
0,4
0,499
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
A (m2)
0,2
0,4
0,6
0,8
0,998
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
1,0
Q (m3/s)
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
2,21
Em um gráfico:
133
V (m/s)
11,050
5,525
3,683
2,763
2,214
2,210
1,842
1,579
1,381
1,228
1,105
He (m)
6,325
1,756
0,992
0,789
0,749
0,749
0,773
0,827
0,897
0,977
1,062
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
EXEMPLO 2:
Um canal com uma dada declividade do fundo possui dois trechos distantes
entre si de 18,0 m, com um desnível de 0,5 m, conforme mostrado na figura. A
ligação entre ambos terá de ser realizada com um trecho de maior inclinação. O
canal tem seção retangular, de 4,0 m de largura e deve escoar uma vazão de 10
m3/s de água com profundidade de 2,00 metros no final do primeiro trecho.
Determinar a profundidade do escoamento que se forma no início do segundo
trecho, logo após a transição, admitindo que a declividade da linha de energia
na transição seja de 0,6%, distribuída igualmente sobre todo o comprimento da
transição.
SOLUÇÃO:
Dados: Q = 10 m3/s
L = 18 m
∆h = 0,50 m
B = 4,0 m
h1 = 2,00 m
hp/L = 0,6% = 0,006 m/m
Escolher um Plano Horizontal de Referência passando pelo fundo do canal na
seção 2.
Na seção de entrada, a velocidade média será: V1 = Q/A1 = 10/(2,00x4,0) ==>
V1 = 1,250 m/s.
A carga cinética será: V12/(2g) = 1,2502 / 2 / 9,807 = 0,080 m
A energia total por unidade de peso de fluido é:
134
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
H 1 = z1 + h1 +
V12
= 0,54 + 2,00 + 0,080 = 2,620m .
2g
V22
Na seção de saída da transição: H 2 = z 2 + h2 +
.
2g
Como não se determinou V2 e h2, tem-se que: H1 = H2 + hp. Logo, H2 = H1 - hp.
Mas hp/L = 0,006 ==> hp = 0,006*18 = 0,108 m.
Assim, H2 = 2,620 - 0,108 =2,512 m.
A energia específica na seção 2 será: He2 = H2 = 2,512 m, visto que z2 = 0.
Para
esse
canal,
a
V2
Q2
=h+
He = h +
2g
2 gA2
curva
da
energia
específica
é
dada
por:
V2
0,3187
logo H e = h +
=h+
2g
h2
Aplicando essa curva para a seção 2, pode-se calcular qual valor de h torna He =
2,512 m. Esse valor será a profundidade da água na seção de saída da transição.
Assim,
h+
0,3187
= 2,512 ou h 3 − 2,512h 2 + 0,3187 = 0
2
h
A solução dessa equação fornecerá 3 raízes, das quais apenas uma será
fisicamente adequada ao caso em questão.A primeira raiz será: h = 0,387 m que
corresponde a um escoamento supercrítico, que não é o caso na seção 2 pois tal
valor é inferior à profundidade crítica (hc = 0,861 m). Assim, a segunda raiz será
h = h2 = 2,459 m. A terceira raiz será negativa e não interessa ao caso.
Assim, a solução será h2 = 2,459 m.
Observação: para evitar resolver uma equação do terceiro grau, é conveniente
traçar a curva da energia específica para diversas profundidades e, em seguida
determinar qual valor de h2 dará a energia específica determinada para a seção
2.
135
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
7.3. SEÇÕES DE CONTROLE
No regime crítico existe uma relação definida entre a profundidade da água
e a vazão do escoamento. Assim a seção crítica é uma seção de controle.
Definição:
•
São seções transversais de um escoamento livre que determinam uma
relação entre a altura da água na seção e a vazão correspondente.
•
Elas controlam as profundidades do escoamento no canal, à montante
ou à jusante, dependendo do tipo do escoamento que está ocorrendo.
As seções de controle influenciam os escoamentos de várias maneiras,
conforme será demonstrado a seguir, o se analisar o escoamento que ocorre
sobre um vertedor de soleira espessa, a partir de um reservatório de nível
constante.
Considerar o escoamento formado sobre um vertedor de soleira espessa,
instalado em um canal de largura B = b, constante. Considerar, ainda, que a
estrutura do vertedor seja relativamente curta para que se possa considerar
desprezível a perda de energia.
A vazão unitária é q = Q/B
O escoamento será controlado através de uma comporta plana, vertical, ora
instalada na seção de entrada do vertedor, ora instalada na seção de saída do
vertedor, conforme ilustrado nas figuras xx e xx. Observar a variação da vazão
unitária com a profundidade do escoamento, em um gráfico.
136
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Situação 1: Operação da comporta instalada na posição 2.
O nível da água sobre o vertedor será controlado por meio de uma comporta de
fundo (no caso a comporta 2), instalada na seção final do vertedor, que poderá
assumir diferentes posições, desde totalmente fechada até totalmente aberta. A
figura xx ilustra tal situação.
Fig. xx - Controle sobre um vertedor de soleira espessa instalado a jusante do
nível controlado.
Comporta 2 fechada (borda da em J):
•
Não haverá escoamento e a vazão será q =0.
•
A água ficará parada, com o nível na posição A, atingindo o ponto F na
comporta.
•
A profundidade sobre o vertedor será h = ho = He = Heo.
•
Situação correspondente ao ponto A na curva da vazão, com h = ho e q = 0.
Abrindo-se a comporta 2, lentamente, o nível sobre a soleira do vertedor irá
abaixar, assumindo valores inferiores a ho., tendo-se em vista que a vazão
aumenta, aparecendo uma parcela correspondente a energia cinética por unidade
de peso de fluido.
137
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Quando a comporta 2 for parcialmente aberta até a posição I, o nível sobre o
vertedor será o nível B, com a água atingindo o ponto G na comporta, tal que:
•
Posição da comporta em I.
•
Ocorrerá um aumento de vazão que será tanto maior quanto maior for
abertura.
•
A altura da água sobre a soleira do vertedor será menor que no caso
anterior.
•
Parte da energia potencial se transformou em energia cinética pois h <
ho e aparece V2/2/g.
•
O nível sobre a soleira passa a ser G.
•
Na curva da vazão o ponto correspondente será B, tendo percorrido a
curva desde o ponto A, com q ≠ 0 e h < ho.
Continuando a abertura da comporta, o nível irá abaixar mais ainda e a vazão
será aumentada, respeitando à curva ABC no gráfico de h x q.
Comporta aberta até a posição H, tal que a profundidade se iguale à
profundidade crítica:
•
h = hc = 2He/3.
•
A água atinge o nível H sobre o vertedor.
•
A vazão unitária assumirá o seu máximo valor: qmax =
•
Na curva da vazão unitária pode-se marcar o ponto C, correspondente
8
gH e3 .
27
ao máximo valor de q e ao mínimo valor de h.
Uma maior abertura da comporta, partir da posição C, não mais irá influenciar
na vazão e nem a profundidade pois a vazão já é máxima e a profundidade da
água sobre a soleira do vertedor deverá ser a profundidade crítica. Nesse caso a
138
Lições de Hidráulica Básica - Parte II
comporta deixa de estabelecer um controle sobre o nível da água, controlando
apenas a parte em que h tenha variado de ho até hc.Nesse caso, diz-se que o
elemento controlador do nível fica a jusante do escoamento. Essa situação
acontecerá sempre que o escoamento for fluvial (subcrítico).
Situação 2: A operação da comporta instalada na posição 1
Seja a comporta 2 completamente aberta e o nível passando a ser controlado
pela comporta 1, instalada logo no início do vertedor de parede espessa,
conforme ilustrado na Fgi. xx.
A comporta 1 será operada e a comporta 2 estará completamente aberta.
Comporta 1 totalmente fechada (nível máximo no reservatório):
•
Nível em F no reservatório.
•
Vazão nula e (q = 0).
•
Profundidade da água sobre a soleira do vertedor nula (h = 0).
•
Nível em K no escoamento sobre o vertedor.
•
Ponto E na curva de h pela vazão unitária.
Fig. xx - Controle sobre um vertedor de soleira espessa, instalado a montante do
nível controlado.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
Abrindo-se parcialmente a comporta 1, a vazão irá aumentar, bem como a
profundidade da água sobre a soleira do vertedor (h > 0). Nesse caso o ponto irá
se deslocar ao longo da curva da vazão unitária, seguindo uma curva EDC.
Comporta 1 parcialmente aberta até a posição L:
•
q aumenta, sendo maior que zero.
•
h aumenta com a água assumindo o nível L sobre a soleira do vertedor
(hD > 0)
•
Ponto D na curva da vazão unitária, de profundidade h.
•
Como a profundidade (h = hD ) é inferior à profundidade crítica (hc), o
escoamento será torrencial (supercrítico).
Continuando a abertura da comporta 1:
•
h aumenta até ficar compatível com Heo
•
q será máxima quando o nível for C (nível do escoamento crítico)
•
h = hc e o escoamento será crítico
•
Ponto C na curva da vazão
Abrindo-se ainda mais a comporta 1 não haverá influência sobre o nível da água
no vertedor. A comporta já não controla mais o nível da água sobre o vertedor,
sendo a vazão a máxima possível. O elemento controlador do nível,
correspondente ao trecho EDC na curva da vazão específica, está a montante do
escoamento que está sendo controlado. Esse é o caso do escoamento torrencial
ou supercrítico.
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Lições de Hidráulica Básica - Parte II
RESUMO:
Escoamento fluvial ou subcrítico
•
O controle está a jusante da região em que o nível está sendo
controlado.
•
Perturbações numa dada posição se propagam para montante.
•
Exemplo: Barragem em um rio condiciona a linha d´água a
montante, com ocorrência de remanso de elevação.
Escoamento torrencial ou supercrítico
•
O controle está a montante da região em que o nível está sendo
controlado.
•
Perturbações numa dada posição não se propagam para
montante.
•
Exemplo: Vertedor de barragem condiciona o escoamento de
jusante.
•
Dito: O escoamento torrencial ignora o que ocorre águas abaixo
(a saída de um vertedor não é afetada pelo ressalto hidráulico
que será formado no pé do mesmo).
Importância do conceito de controle: fundamental na determinação da linha
d´água no escoamento gradualmente variado.
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