Unidade 6
Alguns tópicos Finais dos modelos de
portefólio
-
Sobre o modelo de Markowitz
- Sobre o Modelo simplificado de Sharpe (1963)
- Sobre a Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M. e de
dois factores
(Notas de Moukhamedjanova Sabina Chan Bonnie e de
Abhishek Kapur & Geir Sivertsen)
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Economia Bancária e financeira
Carlos Arriaga
• Eugene F. Fama e Merton H. Miller The Theory of
Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7.
.Bibliografia
Economia Bancária e financeira
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Carlos Arriaga
Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na
variância
Considere N activos num portfolio e as
seguintes notações :
Vector de ponderações
w=[w1 . . . wN]
Matriz das variâncias-covariâncias
Ω
Vector de retornos
R=[R1 . . . RN]
Vector unitário
1=[11 . . . 1N]
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Carlos Arriaga
Retorno do portfolio : wT R
Variância do Portfolio : wT Ω w
Fronteira do Portfolio
Economia Bancária e financeira
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Carlos Arriaga
Efficiencia segundo Markowitz
Para encontrar a fronteira de eficiência
s.a.
min wT Ω w
w
1=1T w
r=RT w
Optimização :
min
w
1
2
wT Ω w + (1-1T w) + (rRT w)
Economia Bancária e financeira
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Carlos Arriaga
FOC :
Eq. 1 : Ωw=1 + R
Eq 2: w=Ω-11 + Ω-1 R
Multiplicando equação 2 por 1T e RT :
Eq. 3 :1=a  +b 
Eq. 4 : r=b  +c 
onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R
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Economia Bancária e financeira
Carlos Arriaga
Resolvendo em ordem a  e  nas equações 3 e 4,
e substituindo na eq 2, obtem-se :
w=v1+v2 r
V1 e v2 são dois vectores fixos.
Por outro lado, qualquer combinação convexa de
portfolios eficientes é também um portfolio
eficiente.
O portfolio de mercado não é mais do que uma
combinação ponderada de portfólios, e que,por
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sua vez também é eficiente.
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Carlos Arriaga
• Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão
da matriz de co-variâncias (cálculo computacional
complicado em 1959)
• Conhecimento da matriz das co-varâncias
• Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos
activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a
um factor comum subjacente:
• Ři = αi + βi Ĩ + ũi
• Ĩ = αn+1+ vn+1
Modelo simplificado de Sharpe
Economia Bancária e financeira
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Carlos Arriaga
• Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market.”
Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83.
• Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market
Equilibrium under Conditions of Risk.” Journal of Finance
19(Sept. 1964): 425-42.
CAPM
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Carlos Arriaga
• Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from
Diversification.” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587-615.
• Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of
Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.”
Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13-37.
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Carlos Arriaga
• Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)
• SEcurity market line: Determinação do valor de um activo,
tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.
• CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação
dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o
modelo de mercado e a security market line.
• APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos activos
financeiros são função lineares de mais do que um factor
Avaliação de activos financeiros: Modelos
C.A.P.M. e A.P.T.
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Economia Bancária e financeira
Carlos Arriaga
• O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de
representação porque diferentes investidores têm
assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do
activo sem risco resolve esta ambiguidade.
• O activo sem risco reduz o número potencial de
portfolios eficientes a um único portfolio.
O papel do activo sem risco no
modelo
Economia Bancária e financeira
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Carlos Arriaga
mp
rp
rf
sp
Economia Bancária e financeira
sp
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Carlos Arriaga
• Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio
eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode
ser retratado no modelo através de uma combinação
de um portfolio simples e eficiente e um
emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à
taxa sem risco.
• Substituindo xm por xp ou deixando que o “portfolio
índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-seá:
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
1  s m
m j  m m   ~  s m 
1  x j

1 m m  r f 

1
sm
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Carlos Arriaga
 m m  r f  s m
m j  rf  
 ~
 s m  x j
 m m  rf  s jm
 rf  

 sm  sm
 rf   j m m  r f 
s jm
j  2
sm
rit     i rm t   it
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Carlos Arriaga
• Um investidor é capaz de se endividar de maneira a
comprar um montante de um portfólio cujo valor seja
superior aos valores iniciais:
• E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb
• rb é a taxa de empréstimo
Conceitos
Borrowing Portfolio
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• Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e
associação à aquisição de activos com risco.
• Condições :
• - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não
cumprimento da dívida (quem pede emprestado com
risco nulo)
- O rendimento presente e futuro de quem adquire este
activo é um valor certo
- Este activo oferece uma protecção perfeita contra a
perda do poder de compra
Conceitos
Lending portfolio
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Carlos Arriaga
MODELO CAPM
O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios
eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo
risco.
Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de
mercado é também eficiente.
Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrarse na fronteira eficiente.
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Condições de estimação do modelo de mercado
• O índice de mercado deverá responder às condições
seguintes:
• 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir
de todos os activos financeiros com risco existente no
mercado (vinte são representativos)
• 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um
índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos
líquidos distribuídos (dividendos e juros).
• 3. Ser um índice ponderado e não uma média
aritmética simples.
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Carlos Arriaga
Versões do CAPM
Sharpe-Lintner : E[Zi]=i + ßi (E[Zm])
Este activo assume a presença de um
Activo sem risco
Black :
E[Ri]=  i + ßi (E[Rm])
Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável
aleatória
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Problema de minimização
• Black version
minN wTVw s.t. 1T w  1 and RT w  R
wR
• Sharpe-Lintner (com activo sem risco)
minN wTVw s.t. (R  R01)T w  R  R0
wR
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Sharpe Model
• Regressão de Zit sobre Zmt
• Hipótese nula :
0  0
Versão de Black
• Regressão
• Hipótese nula α = (i-β)γ
E[ Rt ]  i   E[ Rmt ]     (i   )  E[ Rmt ]
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Modelo de Sharpe-Lintner
• A solução de SharpeLintner é uma fronteira de
eficiência.
• Esta fronteira de eficiência
combina uma posição longa
no portfolio de mercado
com um activo sem risco
adquirido em situação de
“lending” ou “borrowing”
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Carlos Arriaga
Black CAPM
Rp  Rz ( m)   pm ( Rm  Rz ( m) )
Rp  (1   pm ) Rz ( m)   pm Rm
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• E(Rp)
• E(rm)
•
y
• rf
•
•
•
Zero Beta Portfolio
1
σ (p)
Security Market Line
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Carlos Arriaga
Security Market Line
• Derivamos a security
market line:
Rp  R0   pm (Rm  R0 )
• Em forma de retorno
em excesso
R p  R0   pm ( Rm  R0 )
Z it   pm Z mt
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Carlos Arriaga
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Carlos Arriaga
Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo
de excesso de retorno
•
•
•
A intercepção é zero
Beta captura completamente a variação dos retornos
em excesso.
O prémio de mercado é positivo.
Como testar o CAPM?
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Carlos Arriaga
Sharpe-Lintner :
E[Zi]=  i + ßi (E[Zm])
Testar se  i = 0
Black :
E[Ri]=  i + ßi (E[Rm])
Testar se
 i = (1-ßi) E[R0]
Testes sobre a “intercept”
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Carlos Arriaga
Zero-Beta CAPM
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As estimativas encontram-se sujeitas a erro de
amostragem pelo que o portfolio de mercado não é
suposto ser ex-post eficiente.
A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do
portfolio de mercado que nos permite detrminar quando
deveremos rejeitar o CAPM.
Pressupostos implicitos do
modelo
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Carlos Arriaga
Dada uma tangente a, e um
portfolio de mercado m :
A diferença ra - rm dános uma medida da
ineficiência de m
Rácio de Sharpe
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a
rf
m
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Carlos Arriaga
• Assumimos que cada empresa vende acções a um
preço Pi. Os Investidores desejam adquirir estas
acções fundamentados no valor futuro da empresa no
final do período, Vi. O valor de aquisição e o valor
da empresa no final do período determinarão a taxa
de retorno:
Vi  Pi
Ri 
Pi
Oferta de acções pela
empresa
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Carlos Arriaga
O valor futuro da empresa implica algum risco, por
isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado,
todos os investidores avaliam o investimento
considerando o equilibrio da linha de “capital
market”.
• Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de
mercado fica: N
N
Pm   Pi e Vm   Vi
i 1
i 1
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Medidas de Performance baseadas no APT
• Modelo de dois factores
A p  E(r p )  (E(r Z ) + [E(I 1 )  E(r Z )] β1,p  [E(I 2 )  E(r Z )] β 2,p )
• Nota: A medida é semelhante ao índice de
Jensen Index:
• .αj= Ri- (rf+βiM(RM-rf))
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Carlos Arriaga
Conclusão
• No caso do CAPM não se sabe se a performance
é derivado à habilidade do investidor ou à
ineficiência do índice de mercado. No modelo
APT, existe liberdade de seleccionar os factores
sem restrição, pelo que a performance tem em
conta os factores que considerámos.
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Economia Bancária e financeira
Carlos Arriaga