Unidade 8
.
O Modelo simplificado de Sharpe (1963)
Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M.
(Notas de Moukhamedjanova Sabina
Chan Bonnie e de
Abhishek Kapur & Geir Sivertsen)
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
1
.Bibliografia

Eugene F. Fama e Merton H. Miller The
Theory of Finance (Hinsdale, Illinois:
Dryden Press, 1972) Cap 7.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
2
Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e
na variância
Considere N activos num portfolio e as
seguintes notações :
Vector de ponderações
w=[w1 . . . wN]
Matriz das variâncias-covariâncias
Ω
Vector de retornos
R=[R1 . . . RN]
Vector unitário
1=[11 . . . 1N]
Variância do portfólio
wT Ω w
Retorno do portfólio
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
wT R
3
Fronteira do Portfolio
Retornos do portfolio : wT R
Variância do Portfolio : wT Ω w
3
2
1
4
6
5
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
4
Efficiencia segundo Markowitz
(Média-Var)
Para encontrar a fronteira de eficiência
min wT Ω w
s.a.
1=1T w
r=RT w
w
Optimização :
min
w
Carlos Arriaga
1
2
wT Ω w + (1-1T w) + (rRT w)
Economia Bancária e financeira
5
FOC :
Eq. 1 : Ωw=1 + R
Eq. 2 :w=Ω-11 + Ω-1 R
Multiplicando equação 1 por 1T e RT :
Eq. 3 :1=a  +b 
Eq. 4 : r=b  +c 
onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
6
Resolvendo em ordem a  e  nas equações 3 e 4,
e substituindo na eq 2, obtem-se :
w=v1+v2 r
V1 e v2 são dois vectores fixos.
Por outro lado, qualquer combinação convexa de
portfolios eficientes é também um portfolio
eficiente.
O portfolio de mercado não é mais do que uma
combinação ponderada de portfólios, e que,por
sua vez também é eficiente.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
7
Modelo simplificado de Sharpe



Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão
da matriz de co-variâncias (cálculo computacional
complicado em 1959)
Conhecimento da matriz das co-varâncias
Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos diversos
activos encontram-se ligados entre eles por uma relação
a um factor comum subjacente:
Ři = αi + βi Ĩ + ũi
 Ĩ = αn+1+ vn+1

Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
8
CAPM
– Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset
Market.” Econometrica 34(Oct. 1966): 768-83.
– Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory
of Market Equilibrium under Conditions of
Risk.” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 42542.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
9
– Lintner, John. “Security Prices, Risk, and
Maximal Gain from Diversification.” Journal of
Finance 20(Dec. 1965): 587-615.
– Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets
and the Selection of Risky Investments in
Stock Portfolios and Capital Budgets.” Review
of Economics and Statistics 47(Feb. 1965):
13-37.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
10
Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M.
e A.P.T.

Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em
conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.

CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos
activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de
mercado e a security market line.

APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos
financeiros são função lineares de mais do que um factor
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
11
O papel do activo sem risco no
modelo

O equilíbrio de mercado oferece
dificuldades de representação porque
diferentes investidores têm assumpções
diferentes quanto ao risco. A introdução
do activo sem risco resolve esta
ambiguidade.
– O activo sem risco reduz o número potencial
de portfolios eficientes a um único portfolio.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
12
mp
rp
rf
sp
Carlos Arriaga
sp
Economia Bancária e financeira
13
– Dentro deste equilíbrio, existe apenas um
portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão
ao risco pode ser retratado no modelo através
de uma combinação de um portfolio simples e
eficiente e um emprestimo ou emprestar
(borrowing ou lending) à taxa sem risco.
– Substituindo xm por xp ou deixando que o
“portfolio índice” seja o portfolio de mercado
eficiente, ter-se-á:
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
14

1  s m
m j  m m   ~  s m 
1  x j

1
1
Carlos Arriaga

m

m
 rf 
sm
Economia Bancária e financeira
15
 m m  rf  s m
m j  rf  
 ~
 s m  x j
 m m  rf  s jm
 rf  

 sm  sm
 rf   j m m  rf 
s jm
j  2
sm
rit     i rmt   it
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
16
Conceitos
Borrowing Portfolio
Um investidor é capaz de se endividar de
maneira a comprar um montante de um
portfólio cujo valor seja superior aos
valores iniciais:
 E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb

 rb
é a taxa de empréstimo
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
17
Conceitos
Lending portfolio



Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e
associação à aquisição de activos com risco.
Condições :
- Existe ao menos alguem que não apresenta risco de
não cumprimento da dívida (quem pede emprestado
com risco nulo)
- O rendimento presente e futuro de quem adquire este
activo é um valor certo
- Este activo oferece uma protecção perfeita contra a
perda do poder de compra
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
18
MODELO CAPM
O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios
eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo
risco.
Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de
mercado é também eficiente.
Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrarse na fronteira eficiente.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
19
Condições de estimação do modelo de mercado

O índice de mercado deverá responder às
condições seguintes:

1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a
partir de todos os activos financeiros com risco
existente no mercado (vinte são representativos)

2. Ser um indice de rendimento e não apenas
um índice de preços. Deverá ter em conta os
rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e
juros).

3. Ser um índice ponderado e não uma média
aritmética simples.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
20
Versões do CAPM
Sharpe-Lintner : E[Zi]=i + ßi (E[Zm])
Este activo assume a presença de um
Activo sem risco
Black :
E[Ri]=  i + ßi (E[Rm])
Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável
aleatória
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
21
Problema de minimização

Black version
minN wTVw s.t. 1T w  1 and RT w  R
wR

Sharpe-Lintner (com activo sem risco)
minN wTVw s.t. (R  R01)T w  R  R0
wR
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
22
Sharpe Model
 Regressão de Zit sobre Zmt

Hipótese nula :
0  0
Versão de Black
 Regressão
E[ Rt ]  i   E[ Rmt ]     (i   )  E[ Rmt ]

Hipótese nula α = (i-β)γ
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
23
Modelo de Sharpe-Lintner

A solução de SharpeLintner é uma fronteira
de eficiência.

Esta fronteira de
eficiência combina uma
posição longa no
portfolio de mercado
com um activo sem risco
adquirido em situação de
“lending” ou “borrowing”
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
24
Black CAPM
Rp  Rz ( m)   pm ( Rm  Rz ( m) )
Rp  (1   pm ) Rz ( m)   pm Rm
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
25
Security Market Line

E(Rp)

E(rm)


y
rf

Zero Beta Portfolio


Carlos Arriaga
1
σ (p)
Economia Bancária e financeira
26
Security Market Line
• Derivamos a security
market line:
Rp  R0   pm (Rm  R0 )
• Em forma de retorno
em excesso
R p  R0   pm ( Rm  R0 )
Z it   pm Z mt
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
27
Como testar o CAPM?
Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo
de excesso de retorno
 A intercepção é zero
 Beta captura completamente a variação dos

retornos em excesso.
O prémio de mercado é positivo.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
28
Testes sobre a “intercept”
Sharpe-Lintner :
E[Zi]=  i + ßi (E[Zm])
Testar se  i = 0
Black :
E[Ri]=  i + ßi (E[Rm])
Testar se
 i = (1-ßi) E[R0]
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
29
Zero-Beta CAPM
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
30
Pressupostos implicitos do modelo
As estimativas encontram-se sujeitas a erro de
amostragem pelo que o portfolio de mercado não é
suposto ser ex-post eficiente.
A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do
portfolio de mercado que nos permite detrminar quando
deveremos rejeitar o CAPM.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
31
Rácio de Sharpe
Dada uma tangente a, e um
portfolio de mercado m :
A diferença ra - rm dános uma medida da
ineficiência de m
Carlos Arriaga
a
rf
Economia Bancária e financeira
m
32
Oferta de acções pela empresa

Assumimos que cada empresa vende acções a
um preço Pi. Os Investidores desejam adquirir
estas acções fundamentados no valor futuro da
empresa no final do período, Vi. O valor de
aquisição e o valor da empresa no final do
período determinarão a taxa de retorno:
Carlos Arriaga
Vi  Pi
Ri 
Pi
Economia Bancária e financeira
33
O valor futuro da empresa implica algum risco,
por isso a taxa de retorno possui risco. Por
outro lado, todos os investidores avaliam o
investimento considerando o equilibrio da linha
de “capital market”.
 Matematicamente, o preço e o valor do portfolio
de mercado fica:
N
N
i 1
i 1
Pm   Pi e Vm   Vi
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
34
Medidas de Performance baseadas no APT

Modelo de dois factores
A p  E(rp )  (E(r Z ) + [E(I 1 )  E(rZ )] β1,p  [E(I 2 )  E(r Z )] β 2,p )

Nota: A medida é semlhante ao índice
de Jensen Index.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
35
Conclusão

No caso do CAPM não se sabe se a
performance é drivado à habilidade do
investidor ou à ineficiência do índice de
mercado. No modelo APT, existe
liberdade de seleccionar os factores sem
restrição, pelo que a performance tem
em conta os factores que considerámos.
Carlos Arriaga
Economia Bancária e financeira
36