Primeira prova de Introdução a Estatı́stica
23/09/2010
Questão 1: Num mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do
volume total de contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e
2%, respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é
futuro em dólares. Qual é a probabilidade de ter sido negociado pela corretora A?
Defina os eventos:
A: volume negociado pela corretora A
B: volume negociado pela corretora B
C: volume negociado pela corretora C
F: contrato futuro em dólares
O problema nos fornece as seguintes probabilidades:
P (A) = 0.2
P (B) = 0.5
P (C) = 0.3
P (F |A) = 0.2
P (F |B) = 0.05
P (F |C) = 0.02
Queremos obter a probabilidade do contrato ter sido negociado pela corretora A, dado que era
um futuro em dólares, ou seja queremos obter P (A|F ). Pelo Teorema de Bayese, obtemos:
P (A|F ) =
=
P (A)P (F |A)
P (A)P (F |A)
=
P (F )
P (A)P (F |A) + P (B)P (F |B) + P (C)P (F |C)
(0.2)(0.2)
= 0.5634
(0.2)(0.2) + (0.05)(0.5) + (0.3)(0.02)
Questão 2: Considere o experimento em que um dado honesto é lançado seis vezes, ou até que
se obtenha uma face de número 6. Suponha que os lançamentos são independentes. Denotando
por X o número de lançamentos do dado:
(A) Obtenha a função de probabilidade de X e a função de distribuição acumulada de X;
Função de probabilidade:
f (1) = P (X = 1) = 1/6 − sair o número 6 no primeiro lançamento;
f (2) = P (X = 2) = (5/6)(1/6) − nao sair o número 6 no primeiro lançamento, mas sair no segundo;
f (3) = P (X = 3) = (5/6)2 (1/6) − nao sair o número 6 nos dois primeiros lançamentos, mas sair no terceiro;
f (4) = P (X = 4) = (5/6)3 (1/6) − nao sair o número 6 nos três primeiros lançamentos, mas sair no quarto;
f (5) = P (X = 5) = (5/6)4 (1/6) − nao sair o número 6 nos quatro primeiros lançamentos, mas sair no quinto;
1
f (6) = P (X = 6) = (5/6)5 − nao sair o número 6 nos cinco primeiros lançamentos - o número que sair no
sexto lançamento não importa.
Função de distribuição acumulada: A função de distribuição acumulada é obtida por F (x) =
P (X ≤ x). Por exemplo, F (x) = P (X ≤ x) = 0, para qualquer valor de x menor que 1. Para
91
3 ≤ x < 4, F (x) = P (X ≤ x) = f (1) + f (2) + f (3) = (5/6)(1/6) + (5/6)2 (1/6) + (5/6)3 (1/6) = 216
.
Para x variando de menos infinito a mais infinito, obtemos a função abaixo:
F (x) =















0,
1/6,
11/36,
91/216,
671/1296,
4651/7776,
1,














x≤1
1≤x<2
2≤x<3
3≤x<4
4≤x<5
5≤x<6
x≥6
(B) Calcule a probabilidade de X ser maior ou igual a 3;
P (X ≥ 3) = 1 − P (X = 1) − P (X = 2) = 1 −
25
11
= .
36
36
(C) Calcule E(X) e V AR(X).
E(X) =
E(X 2 ) =
6
X
1
5
25
125
625
3125
xP (x) = 1 + 2 + 3
+4
+5
+6
= 3.99,
6
36
216
1296
7776
7776
x=1
6
X
1
5
25
125
625
3125
x2 P (x) = 1 + 4 + 9
+ 16
+ 25
+ 36
= 19.78,
6
36
216
1296
7776
7776
x=1
V AR(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = 19.78 − (3.99)2 = 3.86.
Questão 3: X é uma variável aleatória cuja função densidade de probabilidade é dada por:
(
x + c,
0,
f (x) =
0<x<1
caso contrário
(A) Obtenha o valor da constante c.
Sabemos que:
Z 1
(x + c)dx = 1.
0
Então,
Z 1
0
#1
"
x2
(x + c)dx =
+ cx
2
2
= (1/2 + c) = 1.
0
Logo, c = 1/2.
(B) Obtenha a função de distribuição acumulada de X.
Como x varia entre 0 e 1, F (x) = 0, x ≤ 0, e F (x) = 1, x ≥ 1. Para 0 < x < 1, temos:
Z x
F (x) =
0
(t + 1/2)dt = [t2 /2 + t/2]x0 =
x2 + x
.
2
Então,
F (x) =




0, x ≤ 0
0≤x<1
1, x ≥ 1.
x2 +x
2 ,



(C) Obtenha E(2X 3 ).
3
Z 1
Z 1
3
(2x ) (x + 1/2) dx =
E(2X ) =
0
0
"
2x5 x4
(2x + x )dx =
+
5
4
4
#1
3
= 13/20.
0
Questão 4: Seja X uma variável aleatória contı́nua com distribuição uniforme no intervalo
[−2, 2]:
(A) Qual é a função densidade de probabilidade de X?
f (x) =
1
= 1/4,
2 − (−2)
−2 ≤ x ≤ 2,
e vale zero caso contrário.
(B) Considerando os eventos A : X = 1 e B : X = −1, obtenha P (AU B).
Como o espaço amostral é contı́nuo a probabilidade de X ser igual a um único ponto é igual a
zero. Sendo assim, P (A) = P (B) = 0. P (A ∩ B) = 0, pois são eventos disjuntos. Então,
P (AU B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0 + 0 − 0 = 0.
(C) Dado que X está no intervalo [−2, 1], qual a probabilidade de X ser um valor positivo?
P (X > 0| − 2 ≤ X ≤ 1) =
Note que P (0 < X ≤ 1) =
P (X > 0 ∩ −2 ≤ X ≤ 1)
P (0 < X ≤ 1)
1/4
=
=
= 1/3.
P (−2 ≤ X ≤ 1)
P (−2 ≤ X ≤ 1)
3/4
R1
0
(1/4)dx = 1/4 e P (−2 < X ≤ 1) =
3
R1
−2 (1/4)dx
= 3/4