1P - SM - 2010
Questão 3: Mostre que existe um número real que é igual a soma de seu
cubo e de seu quadrado mais um. Justifique sua resposta.
Solução Queremos encontrar um número real c tal que
c = c3 + c2 + 1
isto é, queremos encontrar um número real c tal que
c3 + c2 + 1 − c = 0
Para isso tome a seguinte função: f (x) = x3 + x2 − x + 1. Observe que
se encontrarmos um número c tal que f (c) = 0 temos o desejado.
Para encontrar tal número usaremos o Teorema do Valor Intermediário.
Temos
f (1) = 3 > 0 e f (−3) = −13 < 0
logo 0 está entre f (−3) e f (1).
Como f (x) = x3 + x2 − x + 1 é contı́nua em [−3, 1] e 0 está entre f (−3)
e f (1) temos, pelo Teorema do Valor Intermediário, que esxite um número
real c ∈ (−3, 1) tal que f (c) = 0.
Portanto,
f (c) = 0 ⇒ c3 + c2 − c + 1 = 0 ⇒ c = c3 + c2 + 1
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