7a¯ Lista de Exercı́cios - Cálculo C
Disciplina:61093 - Engenharia Ambiental
Nome:
Professor Alexandre Monteiro
ra:
Turma:
Data:01/06/2011
1. Ache a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a
solução geral está definida.
dy
dy
+ y = e3x ; (b) y 0 + 3x2 y = x2 ; (c) x2 y 0 + xy = 1 (d) x − y = x2 sen(x);
dx
dx
dy
(e) xy 0 + 4y = x3 − x; (f) x2 y 0 + x(x + 2)y = ex ; (g) cos(x) + sen(x) · y = 1
dx
dy
(h) (x + 1) + (x + 2)y = 2xe−x
dx
(a)
2. Resolva o problema de valor inicial.
(a) y 0 + y = x + ex , y(0) = 0
dy
(b) t + 2y = t3 , t > 0, y(1) = 0
dt
dP
= (k · cos(t))P , onde k é uma constante positiva, é um modelo
dt
matemático para a população P (t) que sofre flutuações sazonais anuais. Resolva a equação
sujeita a P (0) = P0 . Use o software MAXIMA para obter o gráfico de solução para diferentes escolhas de P0 .
3. A equação diferencial
dx
=
dt
r − kx, onde r e k são constantes positivas. A função x(t) descreve a concentração da droga
no fluxo sanguı́neo no instante t. Resolva a equação diferencial sujeita a x(0) = 0. Esboce
o gráfico de x(t) e determine em que instante a concentração é a metade do valor-limite?
4. A taxa segundo a qual uma droga se difunde no fluxo sanguı́neo é governada por
5. À medida que uma gota de chuva cai, ela se evapora, mantendo sua forma esférica. Supondo
ainda que a taxa segundo a qual a gota evapora é proporcional à área de sua superfı́cie e que
a resistência do ar é desprezı́vel, a velocidade v(t) da gota da chuva é dada por
k
3
dv
ρ
+ ·v =g
k
dt
+ r0
ρ
Aqui, ρ é a densidade da água, r0 é o raio da gota em t = 0, k < 0 é a constante de
proporcionalidade e o sentido positivo é considerado para baixo.
(a) Determine v(t), se a gota cair do repouso
k
· t + r0 .
ρ
(c) Se r0 = 0.01 pés e se r = 0.007 pés, dez segundos depois que a gota cai de uma nuvem,
determine o tempo no qual a gota evapora completamente.
(b) Mostre que o raio da gota no instante t é r(t) =
6. Resolva a Equação Diferencial.
(a) y 00 − 6y 0 + 8y = 0
(b) y 00 + 8y 0 + 41y = 0
(c) y 00 − 2y 0 + y = 0
(d) 4y 00 + y 0 = 0
(e) 4y 00 + y = 0
(f) 2y 00 − y 0 − y = 0
7. Resolva o problema de condição inicial.
(a) 2y 00 + 5y 0 + 3y = 0, y(0) = 3, y 0 (0) = −4
(b) y 00 − 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0
(c) y 00 − 2y 0 + 2y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 2
(d) y 00 + 4y 0 + 6y = 0, y(0) = 2, y 0 (0) = 4
(e) y 00 − 2y 0 − 3y = 0, y(1) = 2, y 0 (1) = 1
(f) y 00 + 9y = 0, y( π3 ) = 0, y 0 ( π3 ) = 1
(g) y 00 + 4y = 0, y( π6 ) = 1, y 0 ( π6 ) = 0
8. Resolva o problema de contorno
(a) y 00 + 4y 0 + 4y = 0, y(0) = 0, y(1) = 3
(b) y 00 + 5y 0 − 6y = 0, y(0) = 0, y(2) = 1
(c) y 00 + y = 0, y(0) = 1, y(π) = 0
(d) y 00 + 9y = 0, y(0) = 1, y( π2 ) = 0
9. Uma mola com massa de 3 Kg é mantida esticada 0.6 metros além de seu comprimento
natural por uma força de 20N. Se a mola começar em suas posição de equilı́brio, mas um
empurrão der sua velocidade inicial de 1.2 m
s , determine a posição da massa depois de t
segundos.
10. Uma mola com massa de 4 Kg tem um comprimento natural de 1 m e é mantidsa esticada
até um comprimento de 1.3 m por uma força de 24.3 N. Se a mola for comprimida até um
comprimento de 0.8 m e então for solta com velocidade zero, determine a posição da massa
em qualquer instante de tempo t.
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11. Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas. O peso é solto do repouso 6
polegadas abaixo da posição de equiı́brio.
π π π 9π
, , e
segundos.
12 8 6 32
3π
segundos? Qual será o sentido do
(b) Qual será a velocidade do peso quando t =
16
movimento do peso nesse instante?
(a) Determine a posição do peso em t =
(c) Em que instante o peso passa pela posição de equilı́brio?
Lb
. O meio oferece uma repé
sistência ao movimento do peso numericamente igual à velocidade instantânea. Se o peso
pés
for solto de um ponto 1 pé acima da posição de equiı́brio a uma velocidade de 8
segundo
para baixo, qual será o tempo no qual o peso passará pela posição de equilı́brio? Ache o
tempo no qual o peso atinge seu deslocamento máximo em relação à posição de equilı́brio.
Qual é a posição do peso nesse instante?
12. Um peso de 4 libras é preso a uma mola cuja constante é 2
N
13. Uma massa de 1 quilograma é presa a uma mola cuja constante elástica é 16 e todo o
m
sistema é então submerso em um lı́quido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações do movimento,
considerando que
(a) o peso é solto do repouso 1 metro abaixo da posição de equilı́brio;
m
(b) o peso é solto 1 metro abaixo da posição de equilı́brio a uma velocidade de 12 para
s
cima;
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