Mecânica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC
Série VI
Movimentos Oscilatórios
1. Um corpo de massa m = 2 kg move-se sem atrito sobre
um plano horizontal preso a duas molas iguais de comprimento
próprio ℓo = 0.4 m e constante elástica K = 10 N/m, conforme
mostra a figura. A distância d entre os pontos A e B é de 1.0 m.
A
K
m
B
K
a) Escreva a equação diferencial do movimento para a função x(t) que representa o afastamento do corpo relativamente à sua posição de equilı́brio (ponto médio do segmento AB);
b) Determine a frequência da oscilação;
c) Se no instante inicial o corpo se encontrar na origem com uma velocidade de 0.5 m/s, qual
vai ser a amplitude e fase inicial da oscilação?
2. Uma massa m presa a uma mola elástica de constante K realiza oscilações de amplitude
A na direcção horizontal. No instante t = 0 a mola encontra-se na sua posição de equilı́brio.
a) Escreva a forma explı́cita das funções x(t) e ẋ(t) que descrevem a posição da massa m
(relativamente à posição de equilı́brio) e a sua velocidade. Identifique o perı́odo da oscilação;
b) Determine, a partir da definição, o trabalho da força elástica no trajecto entre a posição
de equilı́brio e o valor máximo da oscilação. Compare com os valores da energia cinética do
corpo quando passa pela posição de equilı́brio e com a energia potencial elástica da mola no
ponto de elongação máxima;
c) Calcule o trabalho da força elástica entre os instantes t = 0 e t = T /8;
d) Qual é o trabalho da força elástica durante um perı́odo?
3. Uma esfera de massa m = 5 kg e raio R = 25 cm oscila verticalmente suspensa numa
das extremidades de uma mola elástica de constante K = 200 N/m e comprimento próprio
ℓ = 0.5 m.
a) Escreva a equação de Newton para o movimento e determine a posição de equilı́brio da
massa;
b) Escreva a solução geral dessa equação;
c) Qual é o perı́odo da oscilação?
d) Sabendo que no instante t = 0 a mola se encontra na posição de equilı́brio com uma
velocidade v0 = 1.5 m/s dirigida para baixo, encontre o valor das constantes de integração
que surgem na solução geral.
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4. Considere que o sistema descrito no problema anterior é imerso em água a 20o C (densidade d = 1.00, viscosidade η = 1.005 × 10−3 kg/ms). e o factor de forma de uma esfera é
κesf = 6 π R.
a) Escreva a equação do movimento para este sistema;
b) Dê a solução geral da equação e identifique a frequência angular da oscilação.
c) Quanto tempo leva a amplitude da oscilação a reduzir-se a um décimo do valor inicial?
5. Um bloco de gelo com a forma de um cubo de aresta a = 2 m e densidade dg = 0.92
flutua no Oceano Glacial Ártico, cuja água salgada tem uma densidade média da = 1.06.
Sobre o bloco de gelo encontra-se em repouso uma foca de massa 100 kg.
a) Determine o volume de gelo imerso e a sua altura;
b) A foca abandona lentamente o bloco de gelo. Escreva a equação do movimento oscilatório
que se segue (despreze o atrito). Qual a frequência e a amplitude das oscilações?
6. Duas massas, de valor m1 e m2 , ligadas entre si por uma mola elástica de constante K e
comprimento próprio ℓ0 , caem verticalmente de uma altura h ≫ ℓ0 .
a) Escreva as equações do movimento para a posição z1 e z2 de cada uma das massas
relativamente ao solo;
b) Escreva as equações do movimento para a posição do centro de massa Z, e para a
coordenada relativa z (que dá a posição de uma partı́cula relativamente à outra). Qual
a vantagem de usar estas coordenadas em lugar de z1 e z2 ?
c) Por integração das equações do movimento deduzidas em b), encontre as funções Z(t) e
z(t) que descrevem o movimento do centro de massa e o movimento relativo entre as massas.
7. O sistema de amortecedores de um automóvel de 1000 kg de massa pode ser assimilado a
uma mola elástica de constante K = 105 N/m. O automóvel roda por uma estrada cheia de
lombas cujo perfil é aproximadamente uma sinusoide, sendo a distância entre dois máximos
consecutivos de 10 m. Desprezando os efeitos dos atritos nos amortecedores, determine a
velocidade do automóvel para a qual o sistema entra em ressonância.
8. Uma partı́cula de massa m oscila em torno do mı́nimo do potencial representado por:
V (x) = A (1 − cos x),
com
x ∈ [−π/2, +π/2].
a) Escreva a equação do movimento da partı́cula. Mostre que, para pequenas oscilações,
p
isto é, x ≪ 1, a frequência da oscilação é dada por A/m;
b) Qual a energia total da partı́cula nas condições referidas?
c) Admitindo que iria ainda actuar uma força de atrito proporcional à velocidade, qual teria
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de ser o coeficiente de amortecimento para que a amplitude das oscilações se reduzisse a
metade do seu valor inicial ao fim de 10 s?
9. Um pêndulo, de 1 m de comprimento, é largado sem velocidade inicial de um ângulo de
5o . Tendo-se verificado que a amplitude das suas oscilações se reduziu a metade ao fim de
5 minutos. Use a aproximação das pequenas oscilações.
a) Escreva a sua equação do movimento;
b) Escreva a sua solução geral;
c) Calcule o coeficiente de amortecimento;
d) Calcule a frequência do movimento;
e) Particularize a solução geral para este caso;
f) Qual a frequência exterior que se deve aplicar ao sistema para que ele entre em ressonância.
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