PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo I /2006
Para realizar o trabalho 2, sobre REGRA DE L’HÔPITAL, você deverá se
preparar fazendo a leitura do assunto em livro de Cálculo e resolvendo alguns
exercícios sobre o assunto.
Para ajudá-lo nesta tarefa apresentamos abaixo alguns exercícios resolvidos e
recomendamos dois livros onde você poderá encontrar o assunto.
Regra de L’Hôpital
No estudo inicial sobre limites, para calcular limites indeterminados como
x −9
lim
, usamos métodos algébricos ou geométricos. Estabeleceremos
x →3 x − 3
agora outra técnica para calcular esse tipo de limite, que utiliza derivadas.
2
f ( x)
f ' ( x)
0
∞
assume a forma indeterminada
ou
e se lim
tem
x → a g ( x)
x → a g ' ( x)
0
∞
f ( x)
f ' ( x)
valor finito L ou se esse limite for + ∞ ou − ∞ então lim
= lim
.
x → a g ( x)
x → a g ' ( x)
Se lim
* Essa regra é válida para x → a , x → a + , x → a − , x → + ∞ ou x → − ∞ .
Observação: Repare que na regra de L’Hôpital o numerador e o
denominador são derivados separadamente, e não é o mesmo que derivar
f ( x)
.
o quociente
g ( x)
Exemplos
a) lim
x →3
x2 − 9
2x
= lim
= 2 (3) = 6
x →3 1
x−3
ex
ex
ex
ex
b) lim 3 = lim
= lim
= lim
= +∞
x→+∞ x
x → + ∞ 3x 2
x → + ∞ 6x
x→+∞ 6
c) lim
x→0
e x − e− x
e x + e− x
= lim
= lim (e x + e − x ) ( x + 1) = (1 + 1) (0 + 1) = 2
x
→
0
ln( x + 1)
1 /( x + 1) x → 0
Outras formas indeterminadas
Indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0
Se lim f ( x) = ∞ e lim g ( x) = 0 , diz-se que lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] assume forma
x→a
x→a
x→a
indeterminada ∞ ⋅ 0 .
Nesse caso, para investigar o lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] , pode-se escrever
x→a
g ( x)
, o que conduz o limite procurado à forma
1 / f ( x)
0
∞
indeterminada
ou .
0
∞
como
f ( x)
1 / g ( x)
f ( x) ⋅ g ( x)
ou
Exemplo:
ln x
1/ x
1
= lim+
= lim+ (− ) x 2 = 0
3
−2
x → 0 − 2x
x→0
2
x
lim+ x 2 ln x = lim+
x→0
x →0
Indeterminação do tipo ∞ − ∞
Se lim f ( x) = ∞ e lim g ( x) = ∞ , diz-se que lim [ f ( x) − g ( x)] assume forma
x→a
x→a
x→a
indeterminada ∞ − ∞ .
Nesse caso, efetua-se a subtração indicada e o limite procurado pode assumir
0
a forma indeterminada .
0
Exemplo:
1⎞
⎛
lim ⎜ csc x − ⎟
x→0
x⎠
⎝
=
⎛ 1
1⎞
lim ⎜⎜
− ⎟⎟ =
x → 0 sen x
x⎠
⎝
= lim
x→0
lim
x→0
x − sen x
=
x sen x
lim
x→0
1 − cos x
=
sen x + x cos x
sen x
0
= = 0
2 cos x − x sen x
2
Indeterminações do tipo 0 0 , ∞ 0 , 1∞
Para calcular um limite que apresente qualquer um dos três tipos de
indeterminação acima citados, usa-se o mesmo processo. Portanto
ilustraremos apenas um dos casos.
Se f ( x) > 0 , lim f ( x) = 0 e lim g ( x) = 0 então lim [ f ( x)] g ( x ) assume forma
x→a
0
indeterminada 0 .
x→a
x→a
Para
lim [ f ( x)] g ( x )
calcular
primeiro
x→a
calcula-se
lim [ g ( x) ⋅ ln f ( x)].
x→a
Se
lim [ g ( x) ⋅ ln f ( x) = L então lim [ f ( x)] g ( x ) = e L
x→a
x→a
** Este procedimento justifica-se pelo fato de
lim g ( x ) ln[ f ( x )]
lim [ f ( x)] g ( x ) = lim e g ( x ) ln[ f ( x )] = e x → a
x→a
x→a
= eL
Exemplo:
⎞
⎛ 5π
lim ⎜
− 5x ⎟
x→π/ 2
⎠
⎝ 2
cos x
5π
− 5 x)]
L = lim [cos x ⋅ ln(
x→π/ 2
2
= lim
x→π/ 2
Logo,
−5
5π
− 5x
2
=
sen x
cos 2 x
lim
x→π/ 2
⎛ 5π
⎞
− 5x ⎟
lim ⎜
x→π/ 2
⎝ 2
⎠
= lim
x→π/ 2
ln(
5π
− 5 x)
2
=
sec x
lim
x→π/ 2
−5
5π
− 5x
2
=
sec x ⋅ tan x
− 5 cos 2 x
10 sen x cos x
= lim
=0
5π
5π
x→π/ 2
− 5 x) sen x
− 5 sen x + cos x (
− 5 x)
(
2
2
cos x
= e 0 =1
CUIDADO !
Observe o cálculo do seguinte limite:
e x + e -x
e x − e -x 1 − 1
lim
= lim
=
=0
x →0 2x - 2
x →0
2
2
O limite foi calculado incorretamente. Identifique o erro e calcule o limite
corretamente.
** Consulta indicada
ANTON,H , Cálculo um Novo Horizonte, Volume I, páginas 277 à 287.
STEWART, J , Cálculo, Volume I, páginas 305 à 313