Capítulo 2
Funções
Ao final deste capítulo você deverá:
 Recordar o conceito de função, domínio e imagem;
 Enunciar e praticar as operações com funções;
 Identificar as funções elementares, calcular função composta e
determinar a função inversa;
 Aplicar funções em situações práticas.
2.1
Funções
Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas
situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A
procura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual no
mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos
na rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações são
matematicamente representadas por funções.
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de A
associa um único elemento de B , e é indicada por f : A → B . A relação entre os conjuntos
A e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma y = f (x) .
Glossário
Função :Na Matemática, função significa uma relação (com algumas características
determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações
matemáticas especiais entre dois objetos, x e y. O objeto x é chamado o argumento da função f
e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.
Função:Em Contabilidade, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de
um sistema contábil. Exemplo: função custo direto e função custo total.
Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ou
aplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está em
correspondência com um único elemento de B . Escrevemos f : A → B definida por
y = f ( x) onde y é o valor de f em x .
Domínio:
É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida.
Anotamos D( f ) = A ou Dom( f ) = A .
Contra-domínio:
O conjunto B é o contra-domínio da função CD( f ) = B .
Imagem:
É o conjunto dos valores y ∈ B tais que y = f ( x) para algum x .
Anotamos Im( f ) ⊆ B .
Assim:
e
D( f ) = { x ∈ A y = f ( x ) para algum y ∈ B} ,
Im( f ) = { y ∈ B ∃ x ∈ A com y = f ( x )} .
Por exemplo, seja f : A → B definida por f ( x) = 2 x , onde A = { 1, 2,3} e B = { 1, 2, 4, 6, 7} .
Neste caso, D( f ) = { 1, 2,3} , CD ( f ) = { 1, 2, 4, 6, 7} e Im( f ) = { 2, 4, 6} . Veja a figura abaixo:
A = Df( )
B = CDf( )
f
7
1
2
2
4
3
6
1
Im( f )
Figura 2.1
Uma função f : A → B é dita função real de uma variável real se A ⊂ ¡ e B ⊂ ¡ .
Figura 2.2
Normalmente, representamos por y = f ( x) , x ∈ A e y ∈ B .
Veja a seguir alguns exemplos de funções.
(i)
f ( x) = x , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = ¡ .
(iii)
f ( x) = x 2 , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = ¡
f ( x ) = x , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = [ 0, ∞ ]
(iv)
f ( x) =
(ii)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
x
, x ≠ 2 , D( f ) = ¡ − { 2}
x−2
f ( x ) = 1 − x 2 , −1 ≤ x ≤ 1 , D( f ) = [ −1,1]
f ( x) = x + 1 , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = ¡
3
f ( x ) = , x ≠ 0 , x ∈ ¡ , D( f ) = ¡ ∗ = ¡ − { 0}
x
f ( x) = x , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = ¡ .
1
f ( x) =
, x ≠ −2
x+2
D( f ) = ¡ − { −2} = { x ∈ ¡ / x ≠ −2} e Im( f ) = ¡ .
f ( x ) = 2 x + 3 ⇒ 2 x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ −3 / 2 . Neste caso,
D( f ) = { x ∈ ¡ / x ≥ −3 / 2} .
(xi)
f ( x) =
x−2
x−2
⇒
≥ 0 e x ≠ −3 .
x+3
x+3
1º Caso: x − 2 ≥ 0 e x + 3 > 0 ⇒ x ≥ 2 e x > −3
2º Caso: x − 2 ≤ 0 e x + 3 < 0 ⇒ x ≤ 2 e x < −3 . Assim,
D( f ) = { x ∈ ¡ / x ∈ ( −∞, −3) U ( 2, +∞ ) }
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure,
então, atender aos exercícios propostos .
Atividades de Auto Avaliação 1
•
Determine domínio nas seguintes funções:
x+3
f ( x) =
(i)
(ii)
x +1
1
f ( x) =
(iii)
(iv)
x +1
(v)
(vi)
f ( x) = 2 x + 3
1
1
f ( x) = +
(vii)
(viii)
x x+5
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
f ( x) =
(ix)
f ( x) = x + 2
(x)
f ( x) =
(xi)
f ( x) = x 2 − 4
(xii)
f ( x) =
x +1
x+2
1
x+2
1 − 3x
1
1
+
2
x −4
x+4
1
x2 −1
x−3
(xiii)
f ( x) =
1
x −3
(xiv)
3
f ( x) =
x
2x
2.1.1 Gráfico de uma Função
É o subconjunto do plano formado pelos pontos ( x, f ( x) ) , ∀ x ∈ ¡ , quando x percorre o
campo de definição de função f : ¡ → ¡ . Im( f ) = G ( f ) .
Exemplo 2.1. Seja f ( x ) = x , ∀ x ∈ ¡ . D( f ) = ¡ e Im( f ) = ¡ .
Figura 2.3
Exemplo 2.2. Seja f ( x ) = x 2 , ∀ x ∈ ¡ . D( f ) = ¡ e Im( f ) = ¡ + .
Figura 2.4
Exemplo 2.3. Seja f : ¡
+
→ ¡ + , f ( x) = x , D( f ) = ¡
+
e Im( f ) = ¡ + .
Figura 2.5
Exemplo 2.4. Seja f ( x ) = x , ∀ x ∈ ¡ , D( f ) = ¡ e Im( f ) = ¡ + .
Figura 2.6
Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e
f ( x) = g ( x ) , ∀ x ∈ D( f ) .
Exemplo 2.5. f : A → B , f ( x) = x − 1 e g ( x) =
. Neste caso, f ( x) = g ( x) , ∀ x ∈ A .
x2 − x
, onde A = { 1, 2,3} e B = { 0,1, 2,3, 4,5}
x
Exemplo 2.6. Sejam f , g : ¡ → ¡ , definidas por f ( x) = x 4 e g ( x) = x 2 . Neste caso,
temos f ( x) = g ( x) , ∀ x ∈ ¡ , pois x 4 = x 2 .
Exemplo 2.7. Sejam f , g : ¡ → ¡ , f ( x) = x 2 e g ( x) = x . Neste caso, f ( x) ≠ g ( x ) ,
x2 ≠ x , ∀ x < 0 .
Exemplo 2.8. Sejam f ( x) = x e g ( x) =
¡ ∗ = ¡ − { 0} .
x2
são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é
x
2.1.2
Operações com Funções
Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:
(i)
Soma de f e g :
( f + g )( x) = f ( x ) + g ( x ) ;
(ii)
Diferença de f e g :
( f − g )( x) = f ( x ) − g ( x) ;
(iii)
Produto de f e g :
( f ×g )( x) = f ( x) ×g ( x) ;
(iv)
Quociente de f e g :
 f 
f ( x)
, g ( x) ≠ 0 .
 ÷( x) =
g ( x)
g
Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de x comuns ao das
f
funções f e g , sendo que para
, o domínio é interseção excluídos os pontos tais que
g
3
g ( x) ≠ 0 . Por exemplo, dadas às funções f ( x) = x 2 + 2 e g ( x) =
, então:
x −1
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
2.1.3
3
, x ≠ 1.
x −1
3
( f − g )( x) = x 2 + 2 −
, x ≠ 1.
x −1
 3 
( f ×g )( x) = x 2 + 2 
÷, x ≠ 1 .
 x −1 
x2 + 2
( x − 1) x 2 + 2
 f
 g ÷( x ) =  3  =
,
3
 

÷
 x −1
( f + g )( x) = x 2 + 2 +
(
(
)
)
(
)
D( f + g ) = ¡ − { 1}
D( f − g ) = ¡ − { 1}
D( f ×g ) = ¡ − { 1}
 f 
D  ÷ = ¡ − { 1} , pois D( g ) = ¡ − { 1} .
g
Funções Definidas por Várias Sentenças
São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.
Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções:
f :¡ → ¡ .
1, se x < 0

Exemplo 2.9. f ( x) = 2, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1

Resolução: D( f ) = ¡ , Im( f ) = { 1, 2} .
Figura 2.7
− x, se x < 0
Exemplo 2.10. f ( x) =  2
 x , se x ≥ 0
Resolução: D( f ) = ¡ , Im( f ) = ¡ + .
Figura 2.8
 x, se 0 ≤ x ≤ 2

Exemplo 2.11. f ( x) = 2, se 2 ≤ x ≤ 3
5 − x, se x ≥ 3

Resolução: D( f ) = ¡ + , Im( f ) = ( −∞, 2] .
Figura 2.9
 x − 1, se x < 3
Exemplo 2.12. f ( x) = 
 2 x + 1, se x ≥ 3
Resolução: D( f ) = ¡ , Im( f ) = ¡ .
Figura 2.10
2.2
Tipos de Funções
(a)
Funções monótonas
(i)
Função Crescente: A função y = f ( x) é crescente num intervalo de seu domínio
se dados dois valores quaisquer deste intervalo, x1 e x2 com x1 ≤ x2 , temos
f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) . Por exemplo, y = 2 x , D( f ) = ¡ , Im( f ) = ¡ , ∀ x1 , x2 ∈ ¡ e
x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) .
(ii)
Função Decrescente: A função y = f ( x) é decrescente num intervalo de seu
domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, x1 e x2 com x1 ≤ x2 ,
temos f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) . Por exemplo, y = −2 x , D( f ) = ¡ , Im( f ) = ¡ , ∀ x1 , x2 ∈ ¡
e x1 ≤ x2 ⇒ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) .
Figura 2.11
(b)
Função Injetora
Dizemos que f : A → B é injetora se e somente se, dados x1 e x2 ∈ A com x1 ≠ x2 implica
que f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ou se f ( x1 ) = f ( x2 ) então x1 = x2 .
Por exemplo,
(i) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x é injetora, pois ∀ x1 , x2 com x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .
(ii) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x 2 não é injetora, pois x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) , considerando x1 = 3
e x2 = −3 , temos x1 ≠ x2 ⇒ f ( −3) ≠ f (3) = 9 .
Figura 2.12
(c)
Função Sobrejetora
Dizemos que f : A → B é sobrejetora se e somente se Im( f ) = B ou f ( A) = B .
Por exemplo,
(i) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x 3 é sobrejetora, pois D( f ) = ¡ e Im( f ) = ¡ .
(ii) f : ¡
+
→ ¡ + , f ( x) = x 2 é sobrejetora, pois D( f ) = ¡
+
e Im( f ) = ¡ + .
(iii) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x 2 não é sobrejetora, pois D( f ) = ¡ e Im( f ) = ¡ + .
(d)
Função Bijetora
Dizemos que f : A → B é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é,
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) e Im( f ) = B .
Por exemplo,
(i) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x ;
(ii) f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x 3 ;
+
(iii) f : ¡
(e)
→ ¡ + , f ( x) = x 2 ; são funções bijetoras.
Função Inversa
Se f : A → B é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que
denominamos função inversa e indicamos por f −1 .
Figura 2.13
Observação:
f : A → B sendo bijetora, garante a existência da função inversa f −1 : B → A e
(i)
(
)
(
)
D f −1 = Im( f ) = B e Im f −1 = D( f ) = A .
(ii)
(iii)
∃ f −1 ⇔ f é bijetora.
Existe f −1 é equivalente dizer f é inversível.
Por exemplo,
(i)
Figura 2.14
A função dada acima na figura 2.14 é inversível.
(ii)
Figura 2.15
A função dada acima na figura 2.15 é não inversível.
•
Regras práticas para o cálculo de função inversa


Na função y = f ( x) trocamos x por y e y por x ,
obtendo x = f ( y ) .
Expressamos y em função de x .
Por exemplo,
(iii)
Seja f : ¡ → ¡ , y = 2 x − 4
y = f ( x) = 2 x − 4
⇒ x = 2y − 4
⇒ 2y = x + 4
x
+ 2 = f −1 ( x)
2
x
⇒ f −1 ( x) = + 2 .
2
⇒y=
(iv)
Seja f : ¡
y = x2
⇒ x = y2
+
→ ¡ + , y = x2
⇒y= x
⇒ f −1 : ¡
+
→ ¡ + , f −1 ( x ) = x .
Observação: Os gráficos de f e f −1 são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º
quadrante do plano cartesiano.
Por exemplo,
f ( x) = x3 , f : ¡ → ¡
(i)
⇒ f −1 : ¡ → ¡ , f −1 ( x ) = 3 x .
Figura 2.16
(ii)
f :¡
+
→ ¡ + , f ( x) = x 2 ⇒ f −1 ( x) = x
Figura 2.17
2.3
Composição de Funções
Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que
f : A→ B e g:B →C .
Associado com f e g existe uma função L : A → C denominada composição e
definida por
h( x) = ( g o f )( x) = g ( f ( x )) , ∀ x ∈ A .
Figura 2.18
Assim temos
f : x → f ( x) = y ∈ Im( f ) ⊂ B e g : y → g ( y ) = z ∈ Im( g ) ⊂ C .
Observações:
g o f só está definida, quando CD( f ) = D( g ) .
(i)
(ii)
Em geral, g o f ≠ f og .
(iii)
O domínio de f og é o conjunto de todos os números x no domínio D( f ) .
Exemplo 2.13. Sejam A = { 1, 2,3, 4} , B = { 0, 2, 4, 6,8,9} e C = { 0, 4,16,36, 64,81,100} .
Consideremos f : A → B : f ( x) = 2 x = y e g : B → C : g ( y ) = y 2 = z . Então
h : A → C : h( x) = ( g o f )( x) = g ( f ( x )) = g (2 x) = 4 x 2 .
Exemplo 2.14. Sejam f , g : ¡ → ¡ definidas por f ( x ) = x + 1 e g ( x) = x 2 . Então,
( f og )( x ) = f ( g ( x)) = f ( x 2 ) = x 2 + 1 ,
e
( g o f )( x ) = g ( f ( x)) = g ( x + 1) = ( x + 1) = x 2 + 2 x + 1 .
2
Agora,
x 2 + 1 ≠ x 2 + 2 x + 1 ⇒ f og ≠ g o f .
2
Exemplo 2.15. Sendo f : ¡ → ¡ , f ( x ) = x − 1 e g ( x ) = x + 2 . Calcular:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
f ( g ( x )) = f ( x + 2) = ( x + 2) 2 − 1 = x 2 + 4 x + 3 .
g ( f ( x )) = g ( x 2 − 1) = x 2 − 1 + 2 = x 2 + 1 .
f ( g (1)) = f (3) = 9 − 1 = 8
g ( f (0)) = g (−1) = −1 + 2 = 1 .
2
Exemplo 2.16. Sendo f : ¡ → ¡ , f ( x ) = 3 − 2 x e g ( x ) = 4 x + 1 . Calcular
f og , g o f , f o f e g og .
( f og )( x ) = f ( g ( x ))
(i)
= f (4 x + 1)
= 3 − 2(4 x + 1) 2
= 3 − 2(16 x 2 + 8 x + 1)
= 3 − 32 x 2 − 16 x − 2
= −32 x 2 − 16 x + 1
(ii)
( g o f )( x ) = g ( f ( x ))
= g (3 − 2 x 2 )
= (4(3 − 2 x 2 ) + 1)
= 12 − 8 x 2 + 1
= −8 x 2 + 13
(iii)
( f o f )( x ) = f ( f ( x ))
= f (3 − 2 x 2 )
= 3 − 2(3 − 2 x 2 ) 2
= 3 − 2(9 − 12 x 2 + 4 x 4 )
= 3 − 18 + 24 x 2 − 8 x 4
= −8 x 4 + 24 x 2 − 15
(iv)
( g og )( x ) = g ( g ( x ))
= g (4 x + 1)
= (4(4 x + 1) + 1)
= 16 x + 4 + 1
= 16 x + 5
2.4
Funções Pares e Ímpares
(a)
Função Par
Seja f : A → B . f é uma função par se e somente se f ( x) = f (− x) , ∀ x ∈ A .
Por exemplo, f ( x) = x 2 , ∀ x ∈ ¡ é par, pois f ( x) = f (− x) = x 2 , ∀ x ∈ ¡ .
Figura 2.19
(b)
Função Ímpar
Seja f : A → B . f é uma função par se e somente se f ( − x) = − f ( x) , ∀ x ∈ A .
Por exemplo, f ( x) = x 3 , ∀ x ∈ ¡ é ímpar, pois f ( x) = − f ( − x) = x 3 , ∀ x ∈ ¡ .
Observações:
(i)
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y .
(ii)
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema
cartesiano.
(iii)
Existem funções que nem são pares e nem ímpares. Por exemplo, f ( x) = e x e
f ( x ) = x + x 2 , ∀ x ∈ ¡ , nem são pares e nem são ímpares.
Verifique se são pares ou ímpares as funções:
(i) y = x
(ii) y =
2.5
1
, x ≠ 0.
x
Funções elementares
A seguir apresentaremos algumas funções elementares.
a) Função constante
A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do
contradomínio é chamada de função constante.
Exemplo 3.11. A função f :[0, ∞) → ¡ , f ( x) = 2 , é uma função constante. Seu Figura no
intervalo [ 0, 2] do seu domínio é o seguinte:
Figura 2.20
b) Funções afim ou linear
Chama-se função afim qualquer função dada por f ( x) = ax + b onde os coeficientes
a e
b são números reais dados. Quando b = 0 , a função é chamada de linear. O Figura da função
afim com domínio e contradomínio ¡ é uma reta com coeficiente angular igual a a e que
 b 
intercepta os eixos coordenados X e Y nos pontos  − , 0  e ( 0, b ) , respectivamente.
 a 
Exemplo 3.12. O gráfico da função afim tomando-se a = 1 e b = −1 , ou seja,
y = f ( x ) = x − 1 , no intervalo [−1, 2] , é mostrado abaixo.
Figura 2.21
Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma y = ax + b . Precisamos
apenas determinar a e b .
c) Função módulo
 x, x ≥ 0
É a função definida por f ( x) = | x | = 
 − x, x < 0
O gráfico da função módulo é o seguinte:
Figura 2.22
d) Função quadrática
Sejam a, b e c números reais quaisquer com a ≠ 0 . A função f definida em ¡ e dada
por y = f ( x) = ax 2 + bx + c recebe nome de função quadrática.
Exemplo 3.13.
y = f ( x) = x 2 − 9 x + 14
(i)
y = f ( x) = 5 x 2 + 25 x
(ii)
2
3
1
y = f ( x) = − x 2 + x −
(iii)
3
4
5
a = 1; b = −9; c = 14 .
a = 5; b = 25; c = 0 .
2
3
1
a = − ;b= ;c = − .
3
4
5
e) Função polinomial
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,
f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0 ,
onde os coeficientes a0 , a1 ,..., an são números reais e
de f ( x ) .
n é número natural chamado de grau
Exemplo 3.14. As funções afim e linear são exemplos de funções polinomiais de grau n = 1 .
A função quadrática f ( x) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , é uma função polinomial de grau n = 2 . A
função f ( x ) = 2 x 4 − x 3 + 3x 2 − 5 x + 1 é uma função polinomial de grau n = 4 .
f) Função racional
É toda função f cuja regra de associação é do tipo
f ( x) =
p( x)
,
q( x)
onde p ( x) e q (x) ( q( x ) ≠ 0 ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida
em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q (x) .
Exemplo 3.15. Determine o maior domínio possível da função racional
f ( x) =
x 2 + x +1
.
x +1
Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto x
tal que x + 1 ≠ 0 . Portanto, o maior domínio possível é o conjunto { x ∈ ¡ | x ≠ −1} .
Figura 2.23
2.6
Função exponencial e logarítmica
a) Função exponencial de base a
Seja a um número positivo e a ≠ 1 . A função f : ¡ → (0, ∞) , dada por f ( x) = a x , é
chamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:
Gráfico da função exponencial quando a > 1 .
Figura 2.24
Gráfico da função exponencial, quando 0 < a < 1 .
Figura 2.25
O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, + ∞) .
Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.
b) Propriedades da função exponencial
As seguintes propriedades valem para quaisquer a, b, x, y ∈ R com a > 0 , b > 0 :
P1 P2 P3 -
a x ⋅ a y = a x+ y .
( a x b x ) = ( ab) x .
ax
= a x−y .
ay
x
P4 P5 -
 ax   a 
 x  =   .
b  b
(a x ) y = ( a y ) x = a xy .
A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial de
base a = e onde e = 2,71828... é a constante de Euler, que é um número
irracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial natural
ou, simplesmente, função exponencial.
2.7
Função logaritmo
Seja a um número positivo e a ≠ 1 . A função definida por y = f ( x) = log a x x > 0 ,
recebe o nome de função logarítmico de base a .
Vejamos os gráficos da função logarítmica:
Figura 2.26
Figura 2.27
2.7.1
Propriedades da função logaritma
Para todo x, y > 0 , valem as seguintes propriedades.
P1.
Propriedade do produto:
log a ( xy ) = log a x + log a y .
P2.
Propriedade do quociente:
x
log a 
y
 = log a x − log a y .
 
P3.
Propriedade da potenciação:
log a ( y x ) = x log a y .
O logaritmo na base
indicá-lo como ln x .
3.9
a = e é chamado de logaritmo natural e é comum
Aplicações práticas das funções
A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de
exemplos.
a) Função receita
Exemplo 3.25. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, a
receita de vendas será 300 × x . Podemos dizer que R ( x ) = 300 × x é uma função que fornece
a quantidade vendida x à receita correspondente.
Exemplo 3.26. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidade
vendida.
a) obtenha a função receita R ( x ) ;
b) calcule R(50) ;
c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?
Resolução:
a) R ( x ) = 6 × x .
b) R (50) = 6 × 50 = 300 .
c) Devemos ter 1.200 = 6 × x ⇒ x = 200 .
Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.
b) Função custo e lucro do primeiro grau
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , e
a relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por C ( x) . Existem custos que
não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma desses
custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos por
CF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por
CV ( x) . Logo, podemos escrever
C ( x) = CF + CV ( x) .
A função lucro L( x) é definida como a diferença entre a função receita R ( x ) e a
função custo C ( x) e temos
L( x) = R ( x) − C ( x) .
Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custo
variável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por
C ( x ) = 6.000 + 15 x .
Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...
Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão números
reais positivos.
Exemplo 3.27. Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A função
receita será R ( x ) = 20 x . Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo
C ( x ) = 6.000 + 15 x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico
abaixo
Figura 2.28
Gráfico de R ( x ) = 20 x e C ( x ) = 6.000 + 15 x no mesmo sistema de coordenadas.
A abscissa, xc , do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.
Note que:
• Se x > xc , então R ( x ) > C ( x) e L( x ) > 0 .
• Se x < xc , então R ( x ) < C ( x ) e L( x) < 0 .
c) Função demanda
Exemplo 3.28. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se
com o preço unitário ( p ) conforme a função demanda
p = 20 − 0, 004 x .
Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será
8 = 20 − 0, 004x ⇒ 0, 004 x = 20 − 8 = 16 ⇒ x = 4.000 .
O gráfico da função demanda p = 20 − 0, 004 x é dado abaixo
Figura 2.29
d) Funções quadráticas receita e lucro
Exemplo 3.29. A função de demanda de certo produto é p = 20 − x , e a função custo é
C ( x ) = 30 + x onde x é a quantidade demandada. Determinar:
a) a função receita e o preço que a maximiza.
b) a função lucro e o preço que a maximiza.
Resolução:
a)
Por definição de receita, temos
R ( x ) = p × x = ( 20 − x ) × x = 20 x − x 2 .
Logo, a função receita é R ( x ) = − x 2 + 20 x .Veja figura abaixo
Figura 2.30
De R ( x ) = − x 2 + 20 x , temos a = −1; b = 20; c = 0 .
Logo, o valor de x que maximiza R ( x ) = − x 2 + 20 x
b
20
xV = −
=−
= 10 para uma receita máxima de
2a
2 × (−1)
é a abscissa do vértice
R (10) = − ( 10 ) + 20 × 10 = −100 + 200 = 100 .
2
Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de x = 10 itens do
produto.
b)
Assim,
A função lucro é L( x) = R ( x) − C ( x) .
L( x) = 20 x − x 2 − ( 30 + x ) = 20 x − x 2 − 30 − x = − x 2 + 19 x − 30 ,
onde
a = −1; b = 19; c = −30 .
Veja a figura de L( x ) abaixo
Figura 2.31
O valor de x que maximiza a função lucro L( x) = − x 2 + 19 x − 30 é a abscissa do vértice
b
19
19
xV = −
=−
= = 9,5 para um lucro máximo de
2a
2 × (−1) 2
L(9,5) = − ( 9,5) + 19 × 9,5 − 30
2
= −90, 25 + 180,5 − 30 = 60, 25
.
Portanto, temos um lucro máximo de R$240,75.
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure,
então, atender aos exercícios propostos .
Exercícios propostos – 2
1)
Seja a função f ( x) = 4 x − 3 , calcular:
f (−2) ;
a)
f (a + 1) ;
b)
c)
d)
e)
f ( x + h) ;
f ( x ) + f (h ) ;
f ( x + h) − f ( x )
,h ≠ 0 .
h
2)
Seja a função g ( x) = 5 x 2 − 4 x , calcular:
g (−1) ;
a)
1
g  ÷;
b)
4
g ( x + h) − g ( x )
,h ≠ 0 ;
c)
h
1
g  ÷;
d)
 x
g (−2)
e)
.
g ( x)
3)
Seja a função f ( x) = 2 x − x − 3 , calcule:
f (−1) ;
a)
f (2) ;
b)
f (3) ;
c)
1
f  ÷;
d)
2
f (2 x ) .
e)
4)
Faça o Figura da função f ( x) = − x 2 + 2 , com o Dom( f ) = { −3, −2, −1, 0,1, 2,3} .
5)
Obtenha o domínio das seguintes funções:
y = f ( x) = 3 x − 2 ;
a)
b)
y = f ( x) = 3 − x ;
c)
y = f ( x) =
x−5
.
x−2
6)
Esboce o Figura da função f , de domínio Dom( f ) = ¡ , dada por
 x 2 + 1, se x ≥ 0
f ( x) = 
.
se x < 0
 x,
7)
Sejam as funções f ( x) =
a)
b)
c)
x +1
1
e g ( x) = , determinar:
x −1
x
f og e Dom( f og ) .
g o f e Dom( g o f ) .
f o f e Dom( f o f ) .
8)
O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela função
C ( x ) = 300 + 2 x .
a)
Qual o custo de fabricação de 30 unidades?
b)
Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas
dezenove unidades?
9)
Dada a função demanda p = 20 − 2 x e a função custo C ( x ) = 5 + x , determinar:
a)
O valor de x que maximiza a receita.
b)
O valor de x que maximiza o lucro.
10)
Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da função
receita dada por R ( x ) = 4 x e o Figura da função custo dada por C ( x) = 50 + 2 x e
determine o ponto de nivelamento.
11)
Obtenha a função lucro do exercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal.
12)
Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de
R$10,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de x
cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 250 − x .
a)
Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .
b)
Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de
venda for de R$35,00 cada.
13)
Seja f :[0, ∞) → [ −2, ∞) ,
14)
Determinar a função inversa da função demanda p =
15)
Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por CM ( x) , temos
C ( x)
CM ( x) =
onde C ( x ) é o custo de fabricação de x unidades de um produto. O
x
custo de fabricação de x unidades de um produto é C ( x ) = 400 + 5 x .
a)
Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades?
b)
Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades?
c)
Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?`
y = f ( x) = x 2 − 2 . Determine a inversa da função f .
20 − x
.
4
Relembrando o Capítulo: Neste capítulo, você teve a oportunidade de estudar e compreender
o que é uma função. Você aprendeu operações com funções e esboçar gráfico de uma função.
Neste capítulo você também estudou funções elementares, tais como, a função afim, a função
linear e a função quadrática. Vimos também a função módulo, a função polinomial, a função
racional, função par e função impar, a função exponencial de base a, a > 0 e a ≠ 1 , a função
logaritmo de base a, a > 0 e a ≠ 1 , a função composta, funções crescentes e funções
decrescentes e função inversa. Você viu também aplicações práticas de funções.
Saiba Mais
Para aprofundar os temas estudados neste capítulo consulte:
MORETTIN, Pedro A., HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma e
várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.
SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da.
Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 3. ed. São
Paulo: Atlas, 1988.
A partir de agora passaremos a estudar limites e continuidade de uma
função..